В. И. Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения. В. И. Арнольд Обыкновенные дифференциальные уравнения
 Скачать 4.58 Mb.
|
|
x 0 . При любом имеем + s) = ϕ(t). Следовательно, g t t 0 ≡ g t+s t 0 + s , что и утвержда- лось. Обозначим отображение короче g τ . Отображения g τ ) определены при достаточно малых в окрестности избранной точки фазового пространства) являются диффеоморфизмами этой окрестности в фазовое пространство и гладко зависят от) при всех достаточно малых и |t| и при всех x из некоторой окрестности избранной точки выполняется групповое свойство = g s+t x; ) при фиксированном ξ функция ϕ(t) = g t ξ есть решение уравнения) с начальным условием) = Семейство называется локальным фазовым потоком векторного поля З . Предположим, что уравнение ˙ x = v( t, x) имеет T периодические коэффициенты (v(t + T, x) ≡ v(t, x)) и что все отображения за время от до t для него определены всюду. Докажите, что преобразования за Глава . Основные теоремы времена, кратные T , образуют группу при любом целом k. Какое из двух следующих соотношений верно g kT +s 0 = A k g s 0 , g kT О. Второе. Теоремы о непрерывной и дифференцируемой зависимости от параметра. Предположим, что правая часть данного уравнения) гладко зависит от параметра α, пробегающего некоторую область A пространства Из основной теоремы о выпрямлении вытекает Сëåäñòâèå Значение в момент t решения с начальным условием ϕ(t 0 ) = гладко зависит от начального условия, времени и параметра Обозначим это значение через Φ(t 0 , x 0 ; α; t). Следствие утверждает, что функция Φ (со значениями в фазовом пространстве) определена, непрерывна и гладка в окрестности каждой точки произведения расширенного фазового пространства на ось времени и на область изменения параметра класса C r , если правая часть класса Д. Здесь полезна маленькая хитрость. Рассмотрим расширенное уравнение ˙ x = v( t, x; α), ˙ α = 0 с фазовым пространством размерности m + a где m =dim{x}). Решение этого уравнения с начальным условием (t 0 , x 0 ; α) есть пара (x = ϕ(t), α = первая компонента которой ϕ –– решение исходного уравнения при = α 0 , удовлетворяющее начальному условию ϕ(t 0 ) = x 0 . Последствию эта пара гладко зависит от (t 0 , x 0 ; t; α 0 ). Следовательно, и первая компонента гладко зависит от этих аргументов, что и тре- бовалось. Зàìå÷àíèå. Трюк с расширением сводит теорему о гладкой зависимости от параметра к гладкой зависимости от начальных условий. Обратно, из гладкой зависимости от параметра (при фиксированном начальном условии) легко вывести гладкую зависимость от начального условия. Достаточно сдвинуть уравнение, чтобы начальное условие превратить в параметр v α ( t, x) = v(t, x − Теорема о дифференцируемой зависимости от параметра доставляет весьма эффективный метод приближенного решения уравнений, близких к невозмущенным, для которых решение известно. Достаточно представить решение возмущенного уравнения в виде ряда Тейлора по степеням возмущения, подставить этот ряд ввоз- мущенное уравнение и приравнять члены при одинаковых степенях возмущения. Свободный член ряда для решения будет известным ре § . Теоремы о выпрямлении шением невозмущенного уравнения. Для определения следующих членов получатся рекуррентно разрешаемые уравнения. Наиболее важное из них, уравнение для членов первой степени по возмущению это неоднородное уравнение в вариациях (ср. § Описанный метод постоянно используется во всех приложениях теории дифференциальных уравнений под названием теория возмущений или метод малого параметра. Он является одной из разновидностей метода рядов Ньютона. Зàäà÷à . Найти производную решения логистического уравнения ˙ x = = x(a − x) с начальным условием x(0) = 1 по параметру a при a = Р. Пусть = 1 + ǫ, возмущенное решение x = При подстановке в возмущенное уравнение получаем уравнение ˙ ϕ 1 + … = ( ϕ 0 + ǫϕ 1 + …)(1 + ǫ − ϕ 0 − ǫϕ 1 − Невозмущенное уравнение ˙ x = x(1 − x) имеет решением ϕ 0 ≡ 1. Приравнивая коэффициенты при, получаем уравнение в вариациях ˙ ϕ 1 = 1 − с начальным условием) = 0 (почему?). Оòâåò. 1 − З. Физик приведенные вычисления оформил бы так. Ясно, что при a = 1 + ǫ решение x = 1 + y мало отличается от 1. Пренебрежем отличием x перед скобкой в уравнении от 1. Получаем приближенное уравнение, откуда y ≈ ǫ(1 − Традиционная математическая строгость запрещает пренебрегать отличием от единицы первого x в уравнении, ноне второго. На самом деле «физическое» рассуждение правильно –– оно просто является удобной стенограммой приведенных выше вычислений. Зàäà÷à . Найти производную решения уравнения маятника с постоянным крутящим моментом, ¨ θ = a − sin θ по моменту a при a = 0. В начальный момент маятник покоится ( θ = ˙ θ = Р = ay + …, a ¨ y = a − ay, ¨y = 1 − y, y − 1 = z, ¨z = −z, z(0) = −1, ˙ z(0) = 0, z = − cos t, y = 1 − cos О. В первом приближении эффект малого крутящего момента состоит в сдвиге положения равновесия в точку a, причем маятник совершает малые колебания с частотой 1 вокруг этой точки поэтому производная решения по a равна 1 − cos П. Строго говоря, все наши приближенные решения обоснованы теоремой о дифференцируемости только при малых. В действительности нетрудно обосновать их для любого конечного интервала времени ¶ T, если только величина возмущения не превосходит некоторой, зависящей от T, величины Глава . Основные теоремы Рис. . Асимптотическое поведение решений возмущенного уравнения На этом интервале времени погрешность первого приближения теории возмущений оценивается сверху величиной O(ǫ 2 ), но константа врастет с ростом T Крайне рискованно распространять полученные таким образом выводы на бесконечный интервал времени переставлять предельные переходы t → ∞ и ǫ → 0 нельзя. Пðèìåð. Рассмотрим ведро с водой, в дне которого имеется маленькая дырка радиуса рис. ). Для любого существует столь малое ǫ, что в течение большого времени < T ) ведро почти полно. Но при любом фиксированном ǫ > 0 ведро становится пустым, когда время стремится к бесконечности. Зàäà÷à . Найти производную решения уравнения малых колебаний маятника ¨ θ = −ω 2 θ с начальным условием θ (0) = 1, ˙ θ (0) = 0 по параметру при ω = Р. Точное решение дается формулой = cos ωt. Следовательно, производная равна sin Если бы мы знали точное решение только при = 1 и стали бы искать решение для = 1 + ǫ методом малого параметра, то мы получили бы ≈ cos t − ǫt sin t. Мы могли бы подумать, что истинное решение не ограничено, если бы забыли, что приближением можно пользоваться только при малых. Теоремы о продолжении. Рассмотрим дифференциальное уравнение ˙ x = v( t, x), заданное гладким полем направлений в области расширенного фазового пространства. Пусть Γ –– подмножество области U О. Решение с начальным условием ϕ(t 0 ) = продолжается вперед назад) до Γ, если существует решение стем же начальным условием, график которого пересекается св точке, где ¾ t 0 (¶ Решение продолжается вперед назад) неограниченно, если существует решение стем же начальным условием, определенное при всех t ¾ при всех t ¶ П. Ни одно решение уравнения ˙ x = x 2 + 1 не продолжается неограниченно ни вперед, ни назад. Оïðåäåëåíèå. Множество называется компактом, если из любого его покрытия открытыми множествами можно выбрать конечное подпокрытие. § . Теоремы о выпрямлении Компактные подмножества евклидова пространства –– это егоза- мкнутые и ограниченные множества. Границей множества называется множество точек, в любой окрестности которых есть как точки, принадлежащие множеству, таки не принадлежащие ему точки. Из основной теоремы о выпрямлении очевидно вытекает Сëåäñòâèå Решение с начальным условием из компакта в расширенном фазовом пространстве можно продолжить впереди назад до границы этого компакта. Иными словами, через любую внутреннюю точку компакта проходит интегральная кривая, пересекающая границу компакта как Рис. . Продолжение решения до границы компакта с одной, таки с другой стороны от начальной точки рис. Продолжение единственно в том смысле, что всякие два решения с общим начальным условием совпадают всюду, где оба определены. Зàäà÷à . Верно ли, что интегральную кривую любого гладкого поля направлений в области евклидова пространства, проходящую через точку компакта, можно продолжить до его границы? Оòâåò. Нет, пример –– поле направлений фазовых кривых маятника в области x 2 1 + x 2 2 > 0, K –– кольцо 1 ¶ x 2 1 + x 2 Таким образом, для справедливости теоремы существенно, что полена- правлений в расширенном фазовом пространстве «невертикально». Дîêàçàòåëüñòâî ñëåäñòâèÿ . Начнем с доказательства единственности. Рассмотрим точную верхнюю грань значений времени, при которых два решения с общим начальным условием совпадают. Левее этой точки решения совпадают. Если в этой точке оба определены, то они совпадают ив ней, так как они непрерывны. Но тогда они совпадают и правее (по локальной теореме единственности). Значит, указанная точка –– конец одного из интервалов определения. Это доказывает единственность продолжения вперед (для продолжения назад рассуждения аналогичны. Теперь построим продол- жение. По локальной теореме существования у каждой точки расширенного фазового пространства есть такая окрестность, что решение с начальным условием в любой из точек этой окрестности продолжается впереди назад на общий для всех точек этой окрестности Глава . Основные теоремы интервал времени. Из покрытия компакта такими окрестностями выбираем конечное подпокрытие. Из конечного набора интервалов времени, соответствующих выбранным окрестностям, выбираем самый короткий. Обозначим его через ǫ. Решение с начальным условием в исходной точке продолжается вперед на так как эта точка принадлежит компакту и, значит, покрыта одной из наших окрестностей. Возьмем значение этого решения через время после исходного момента. Если соответствующая ему точка интегральной кривой еще лежит в компакте, то решение с начальным условием в ней продолжается вперед еще на ǫ (итого на 3 ǫ/2 от исходного момента. Опять сдвигаем время нате. рассматриваем значение продолженного решения в момент через после исходного) и опять продолжаем решение на ǫ, и т. д. Через конечное число шагов интегральная кривая покинет компакт (так как его проекция на ось t не может быть неограниченной, а t на каждом шагу увеличивается на. Следовательно, наступит момент, когда интегральная кривая пересечет границу компакта, что и требовалось. Зàäà÷à . Докажите, что любое решение уравнения ˙ x = v( t, x), заданного полем направлений в R × R n , продолжается неограниченно, если v растет на бесконечности не быстрее, чем первая степень x, те. если, x)| ¶ при всех t и ¾ r, где r и k –– постоянные. Уêàçàíèå. Сравнивая сдвижением в поле ˙ x = kx, построить компакты, до границ которых придется добираться сколь угодно долго. Предположим теперь, что область определения правой части уравнения ˙ x = v( t, x) содержит цилиндр R × K, где K –– компакт в фазовом пространстве. Оïðåäåëåíèå. Решение с начальным условием ϕ(t 0 ) = продолжается вперед (назад) до границы компакта K, если существует решение стем же начальным условием, принимающее значения из границы компакта K при некотором t ¾ t 0 (t ¶ Из следствия очевидно вытекает Сëåäñòâèå Решение с начальным значением изданного компакта K в фазовом пространстве продолжается вперед (назад) либо неограниченно, либо до границы компакта П. Решение уравнения маятника ˙ x 1 = x 2 , сна- чальным условием x 1 = 1, x 2 = 0 не продолжается до границы компакта. Теоремы о выпрямлении Дîêàçàòåëüñòâî ñëåäñòâèÿ . Рассмотрим отрезок ∆ = [ a, оси t, содержащий t 0 . Цилиндр ∆ × K в расширенном фазовом пространстве (рис. ) компактен. По предыдущей теореме решение продолжается до его границы. Эта граница состоит из двух торцов K и b × K) и боковой поверхности ∆ × (∂K) (по формуле Лейбница. Если при любом b > интегральная кривая пересечет торец b × K, то решение продолжается вперед неограниченно если же при каком-либо b она пересечет боковую поверхность –– то до границы компакта. Рис. . Продолжение до границы фазового компакта Рис. . Выпрямление векторного поля Сëåäñòâèå . Решение автономного уравнения ˙ x = с начальным значением из любого компакта фазового пространства продолжается вперед назад) либо неограниченно, либо до границы этого компакта. Ибо цилиндр R × K принадлежит расширенному фазовому пространству автономного уравнения для любого компакта K в фазовом пространстве. Зàäà÷à . Докажите, что векторное поле v определяет фазовый поток, если все решения уравнения ˙ x = v(x) продолжаются неограниченно. Выпрямление векторного поля. Рассмотрим гладкое векторное поле v в области U Выпрямлением поля называется диффеоморфизм, превращающий его в поле параллельных векторов одинаковой длины в евклидовом пространстве (рис. Из основной теоремы о выпрямлении легко вытекает Сëåäñòâèå . Всякое гладкое векторное поле локально выпрям- ляемо в окрестности каждой неособой точки точки, где вектор поля отличен от нуля). Дîêàçàòåëüñòâî. Векторы поля в окрестности неособой точки отличны от нуля и, значит, определяют поле направлений в этой области фазового пространства. По основной теореме это поле вы Глава . Основные теоремы прямляемо. Выполним выпрямляющий диффеоморфизм. Этим мы добьемся параллельности векторов поля, но их длины будут, вообще говоря, зависеть от точки. В выпрямляющих координатах уравнение, заданное нашим полем, примет вид = причем u(0) 6= Введем вместо новую координату, определив ξ(x) как время движения от плоскости x 1 = 0 до точки рис. ). Решая уравне- Рис. . Построение выпрямляющих координат ние, находим это время по формуле Ньютона. В координатах, x 2 , …, x n ) уравнение принимает вид ˙ ξ = 1, ˙ x 2 = … = ˙ x n = 0, те. поле выпрямлено. Зàìå÷àíèå. Теорема о выпрямлении векторного поля –– еще одна переформулировка теоремы о выпрямлении поля направлений (чтобы вывести вторую из первой, достаточно выбрать по вектору, гладко зависящему от точки, на прямых данного поля направлений, что локально всегда легко сделать). Вот еще две очевидные переформулировки следствия С. Любые два гладких векторных поля в областях одинакового числа измерений переводятся друг в друга диффеомор- физмами в достаточно малых окрестностях любых неособых точек. Сëåäñòâèå . Всякое дифференциальное уравнение ˙ x = может быть записано в нормальной форме ˙ x 1 = 1 , ˙ x 2 = … = ˙ x n = 0 при подходящем выборе координат в достаточно малой окрестности любой неособой точки поля. Иными словами, всякое уравнение ˙ x = локально эквивалентно простейшему уравнению ˙ x = v (v 6= 0 не зависит отв окрестности любой неособой точки. Зàäà÷à . Выпрямить векторное поле фазовой скорости маятника в окрестности точки Р. Годятся полярные координаты. Пусть cos θ , x 2 = −r sin θ (r > 0, |θ | < π). В этих координатах уравнение имеет вид ˙r= 0, ˙ θ = 1, поэтому поле выпрямлено оно имеет вид ∂/∂θ З . Выпрямить поля) при x 1 > 0; ) ∂/∂x 1 + sin x 1 ∂/∂x 2 ; ) x 1 ∂/∂x 1 + (1 − x 2 при x 2 1 < 1. § . Применения к уравнениям выше первого порядка . Применения к уравнениям выше первого порядка Основные теоремы о системах любого числа уравнений любого порядка выводятся здесь из аналогичных теорем для систем уравнений первого порядка. Эквивалентность уравнения го порядка и системы n уравнений первого порядка. Оïðåäåëåíèå. Дифференциальным уравнением го порядка называется уравнение где F –– дифференцируемая (класса C r , r ¾ 1) функция, заданная в области пространства размерности 1 + n время t и производные неизвестной функции порядков от 0 до n − 1 включительно). Решением уравнения () называется отображение : I → R интервала вещественной оси в вещественную ось, для которого) точка с координатами ( τ, ϕ(τ), …, ϕ ( n −1) ( τ)) принадлежит области при любом τ из I; ) при любом из I d n ϕ dt n t=τ = F(τ; ϕ(τ), …, ϕ ( n −1) ( τ)). Пðèìåð. Решением уравнения малых колебаний маятника, ¨ x = = −x, является функция ϕ(t) = sin t, а также функция ϕ(t) = cos Рис. . Графики двух решений уравнения второго порядка (рис. ). Следовательно, графики решений уравнения второго порядка могут пересекаться (в отличие от графиков решений уравнения первого порядка, те. интегральных кривых, которые по теореме единственности либо не пересекаются, либо совпадают на целом интервале). Фазовым пространством уравнения маятника является плоскость с координатами (x, задание этих двух чисел в начальный момент определяет все движение маятника. Рассмотрим вопрос о размерности фазового пространства для общего уравнения го порядка (): сколько чисел нужно задать в начальный момент, чтобы однозначно определить решение вовсе моменты времени Глава . Основные теоремы Тåîðåìà. Уравнение го порядка () эквивалентно системе уравнений первого порядка x 1 , …, в том смысле, что если ϕ –– решение уравнения (), то вектор из производных (ϕ, ˙ ϕ, …, ϕ ( n −1) ) –– решение системы (), а если (ϕ 1 , … …, ϕ n ) –– решение системы (), то ϕ 1 –– решение уравнения Доказательство очевидно. Итак, фазовое пространство процесса, описываемого дифференциальным уравнением порядка n, имеет размерность n: все течение процесса описывается заданием в начальный момент времени набора n чисел –– значений производных ϕ порядка меньше n в точке t 0 Зàìå÷àíèå. Причина, по которой для однозначного определения решения уравнения го порядка нужно задать в начальный момент начальных условий, становится, быть может, понятнее, если рассмотреть дифференциальное уравнение как предел разностных. Зафиксируем число h > 0 (называемое шагом. Первой разностью данной функции ϕ с шагом h называется функция, значение которой в точке t равно ϕ(t + h) − ϕ(t). Первая разность обозначается. Вторая разность ∆ 2 ϕ определяется как З . Доказать, что (∆ 2 ϕ)(t) = ϕ(t + 2h) − 2ϕ(t + h) + Аналогично определяется я разность ∆ n ϕ = З . Доказать, что ∆ n ϕ ≡ 0, если и только если ϕ(t + kh) –– многочлен степени меньше n от k ∈ Например, если выписать подряд значения k 2 , строчкой ниже –– их разности, затем разности разностей, тов третьей строке будет всюду стоять число 2; если начать сто в четвертой строке –– всюду 6, и т. д 4 9 16 25 3 5 7 9 2 2 2 1 8 27 64 125 7 19 37 61 12 18 24 Разностное уравнение первого порядка –– это уравнение вида, ϕ), те. Из такого уравнения, зная одно число, можно найти, по нему ϕ(t 0 + 2 h), и т. д. При h → 0 разностное уравнение переходит в дифференциальное. Поэтому неудивительно, что и для дифференциального уравнения § . Применения к уравнениям выше первого порядка первого порядка решение определяется значением в начальный момент одного числа. Разностное уравнение второго порядка имеет вид те Зная значения в два разделенных интервалом h момента времени, мы можем найти из этого уравнения значение еще через время h. Итак, все значения ϕ(t 0 + kh) определяются двумя первыми из них. При h → 0 разностное уравнение второго порядка переходит в дифференциальное. Поэтому неудивительно, что и для дифференциального уравнения второго порядка решение определяется заданием в начальный момент двух чисел (n чисел для уравнения го порядка. Теорема нас как рази обосновывает возможность перехода к пределу при h → З . Доказать, что уравнению удовлетворяют все многочлены степени меньше n и только они. Зàäà÷à . Найти размерность многообразия решений уравнения Гельм- гольца ∂ 2 u ∂x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 + u = 0 в области x 2 + y 2 > 0, зависящих только от расстояния до начала координат. Рåøåíèå. Искомая функция от должна удовлетворять уравнению второго порядка, следовательно, решения определяются двумя числами. Теоремы существования и единственности. Из теоремы пи теорем существования и единственности для системы уравнений первого порядка (§ ) вытекает Сëåäñòâèå. Пусть u = (u 0 ; u 1 , …, u n ) –– точка области U определения правой части уравнения (). Решение ϕ уравнения () с начальным условием) = u 1 , …, ˙ ϕ(u 0 ) = u 2 , …, ϕ ( n −1) ( u 0 ) существует и единственно в том смысле, что всякие два решения с общим начальным условием совпадают на пересечении интервалов определения). При записи начального условия уравнения () обычно вместо ϕ пишут x. Глава . Основные теоремы Пðèìåð. Решения cos t и sin t уравнения маятника ¨ x = −x удовлетворяют при t = π/4 начальным условиями соответственно (рис. Эти начальные условия различны, поэтому неудивительно, что графики решений пересекаются, не совпадая. Теорема единственности для уравнения второго порядка запрещает несовпадающим графикам лишь иметь в точке пересечения общую касательную. Графики решений одного уравнения третьего порядка могут касаться, но тогда обязаны иметь в точке касания разные кривизны и т. д. Зàäà÷à . Пусть известно, что уравнение () имеет решениями функции и sin t. Найти порядок уравнения Р. У функций ив нуле совпадают значения производных порядков 0, 1 и 2. Если бы они удовлетворяли общему уравнению третьего Рис. . Невозможное расположение графиков порядка, они совпадали бы по теореме единственности. Уравнение порядка n ¾ 4, которому удовлетворяют обе функции, придумать несложно, например, О ¾ З . Могут ли графики двух решений уравнения ¨ x + p(t) ˙ x + q(t)x = 0 иметь изображенный на рис. вид? Рåøåíèå. Нет, так как решения cϕ 1 и ϕ 2 име- ют общее начальное условие и не совпадают. Зàäà÷à . Рассмотрим уравнение 2 x = Решения x ≡ 0 и x = оба удовлетворяют начальному условию x = ˙ x = при t = 0. Почему они не совпадают? Рåøåíèå. Теорема единственности относится к уравнениям вида (те. уравнениям, разрешенным относительно старшей производной, а рассматриваемое уравнение нельзя записать в таком виде (в окрестности нуля). Зàäà÷à . Решить разностное уравнение ∆ 3 ϕ = 0 с начальным условием при t, кратных шагу h = Р = a + bt + ct 2 , ∆ ϕ = b + 2ct + c, ∆ 2 ϕ = 2c. Изначальных условий О = t 2 − t. |