В. И. Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения. В. И. Арнольд Обыкновенные дифференциальные уравнения
 Скачать 4.58 Mb.
|
|
. Теоремы дифференцируемости и продолжения. Поскольку уже установлена эквивалентность уравнения го порядка системе уравнений первого порядка, мы заключаем, что решение уравнения n-го порядка гладко зависит от начальных условий и параметров (если правая часть гладко зависит от параметров читатель легко сформулирует и теорему о продолжении § . Применения к уравнениям выше первого порядка Зàäà÷à . Найти в первом приближении по влияние малого сопротивления среды, ˙ x) на движение падающего с высоты h тела. Рåøåíèå. Речь идет об уравнении ¨ x = −g + ǫF(x, ˙x) и начальных условиях По теореме о дифференцируемости по параметру, решение имеет вид = ϕ 0 + ǫϕ 1 + …, где) = h − gt 2 /2. Подставляя x = ϕ(t) в уравнение и приравнивая члены ряда по, находим ¨ ϕ 1 = F(ϕ 0 , ˙ ϕ 0 ), откуда) = = t R 0 s R 0 F(ϕ 0 ( τ), ˙ ϕ 0 ( τ)) dτ ds. Например, если F = −˙x, то ϕ 1 = gt 3 /6. Значит, отставание во времени падения в первом приближении пропорционально высоте ˙ ϕ 0 = ǫt 2 /6 = З . Докажите, что все решения уравнения маятника ¨ θ = − sin продолжаются неограниченно. Зàäà÷à . При каких натуральных неограниченно продолжаются все решения уравнения ¨ x = О. Только при = 1. . Системы уравнений. Подсистемой дифференциальных уравнений мы будем понимать систему уравнений относительно n неизвестных функций x, …), i = 1, …, где среди аргументов каждой из функций находятся независимое переменное t, зависимые переменные и их производные порядков меньше n j ( j = 1, …, n) соответственно. Решение системы определяется, как в п. . Следует подчеркнуть, что решением системы является векторная функция, заданная на интервале. Таким образом, ( ϕ 1 , …, ϕ n ) –– это не решений, а одно решение системы n уравнений –– замечание, равно относящееся к системам алгебраических и дифференциальных уравнений. Прежде всего выясним, какое фазовое пространство соответствует системе (). Тåîðåìà. Система () эквивалентна системе N уравнений первого порядка. Иными словами размерность фазового пространства системы) равна Для доказательства надо ввести в качестве координат в фазовом пространстве производные порядка меньше Например, пусть n = n 1 = n 2 = 2. Тогда система имеет вид x 1 , ˙ x 1 , x 2 , ˙ x 2 ), ¨ x 2 = F 2 ( t; x 1 , ˙ x 1 , x 2 , ˙ x 2 ) Глава . Основные теоремы и эквивалентна системе из четырех уравнений x), ˙ x 4 = F 2 ( t; где x = (x 1 , x 3 , x 2 , x 4 ). Пðèìåð. Система n дифференциальных уравнений второго порядка механики Ньютона = 1, …, где U –– потенциальная энергия, m i > 0 –– массы, эквивалентна системе уравнений Гамильтона = 1, …, где p i = m i ˙ q i , а H = T + U –– полная энергия (T кинетическая энергия. Таким образом, размерность фазового пространства системы () равна Теоремы о существовании, единственности, дифференцируемо- сти по начальным условиями параметрам, а также теоремы о продолжении переносятся на системы вида () автоматически для однозначного определения решения достаточно в начальный момент задать производные порядка меньше n i . Например, для системы уравнений Ньютона () достаточно задать n координат и n скоростей в начальный момент. Зàäà÷à . На материальную точку массы, движущуюся относительно Земли со скоростью v, действует (в связанной с Землей системе координат) сила Кориолиса F = 2m[v, Ω], где Ω –– вектор угловой скорости Земли. Камень брошен (безначальной скорости) в шахту глубиной 10 м на широте Ленинграда ( λ = 60 ◦ ). Насколько сила Кориолиса отклонит его от вертикали? Рåøåíèå. По условию ¨ x = g + 2[ ˙ x, Ω]. Величину угловой скорости Земли, считаем малым параметром. По теореме о дифферен- цируемости, x = x 0 + Ω y + O(Ω 2 ), x 0 = g t 2 /2. Подставляя x в уравнение, получаем. Значит, Ω y = [g, Ω]t 3 /3. Следовательно y] = 2 t 3 |h||Ω| cos О. Камень отклонится на восток на 0,3 мм. Зàìå÷àíèå. Задача об отклонении камня сыграла выдающуюся роль в истории физики. Эффект отклонения камня на востока не на запад, как это кажется на первый взгляд) был предсказан Ньютоном в письме к Гуку от ноября года Ньютон просил Гука проделать эксперимент с камнем для доказательства вращения Земли, тогда не общепризнанного § . Применения к уравнениям выше первого порядка В ответном письме (от января года) Гук сформулировал закон всемирного тяготения. Ньютон в то время неточно представлял себе орбиту камня. Возникшая дискуссия заставила Ньютона отказаться от его намерения оставить занятия наукой и послужила поводом написания Математических начал натуральной философии –– знаменитых «Principia», с которых началась современная физика. В письме Гука правильно указан показатель в законе тяготения (в «Principia» Ньютон пишет, что Врен, Гук и Галлей независимо друг от друга нашли, что третий закон Кеплера соответствует именно этому показателю. Кроме закона Кеплера, Гук ссылается на наблюдения Галлея об отставании маятниковых часов при поднятии на гору Св. Елены. В письме Гука явно сказано, что камень движет та же сила, которая заставляет планеты двигаться по кеплеровым эллипсам критикуя нарисованную Ньютоном спираль, Гук утверждал, что орбитой камня в отсутствие сопротивления воздуха будет эксцентрический эллиптоид». Ньютон истолковал эллиптоид как эллипс и заинтересовался, как Гук нашел орбиту. После больших трудов ему удалась доказать, что орбита действительно эллипс (как при падении на Землю, таки внутри шахты. Доказательство было (и остается) столь трудным математически, что Ньютон пришел к заключению, что Гук утверждал больше, нежели знал. Вдаль- нейшем он никогда не ссылался на письмо Гука. В письме к Галлею о своей дискуссии с Гуком Ньютон дал описание разницы между подходами математика и физика к естествознанию, остающееся актуальными сегодня Математики, которые все открывают и устанавливают и проделывают всю работу, должны довольствоваться ролью сухих вычислителей и чернорабочих; другой, который всего лишь все схватывает и на все претендует, присваивает себе все изобретения как своих последователей, таки своих предшественников Гук бросал стальные шары с высоты 10 ми утверждал, что наблюдал систематическое отклонение на юго-восток (что практически невозможно из-за крайней малости этого отклонения по сравнению с аэродинамическими эффектами. В отсутствие сопротивления камень внутри шахты водно- родной Земле подчинялся бы закону Гука (сила притяжения прямо пропорциональна расстоянию до центра Земли, носам Гук вряд ли мог об этом знать. Орбита камня в этом случае –– эллипс (в невращающейся с Землей системе координат, с центром в центре Земли и малой полуосью около км (почему орбита проходится зато же время, за которое облетает Землю близкий спутник, теза полтора часа (почему?). Зàäà÷à . Из газет известно, что космонавт Леонов, выйдя в открытый космос, бросил к Земле заглушку от кинокамеры. Куда она полетела? Рåøåíèå. Это задача о влиянии малого возмущения начального условия на решение. Уравнение движения по закону всемирного тяготения мож- Глава . Основные теоремы но записать в виде ¨ r = −γr/r 3 . Движение и космонавта, и заглушки происходит в плоскости круговой орбиты, поэтому можно считать, что r ∈ R 2 . Запишем уравнение движения в полярных координатах. Для этого введем орты и перпендикулярный ему e ϕ , направленный вперед вдоль круговой орбиты. Ясно, что ˙ e r = ˙ ϕe ϕ , ˙ e ϕ = − ˙ ϕe r . Дифференцируя величину r = мы находим ˙ r = ˙ re r + r ˙ ϕe ϕ , ¨ r = ¨ re r + 2˙ r ˙ ϕe ϕ + r ¨ ϕe ϕ − r ˙ ϕ 2 e r . Следовательно, уравнение Ньютона в полярных координатах принимает вид системы двух уравнений второго порядка r ˙ ϕ 2 = −γr 2 , r ¨ ϕ + 2˙r ˙ ϕ = Выберем за единицу длины радиус круговой орбиты станции ( ≈ 6400 км). Единицу времени выберем так, чтобы угловая скорость движения по орбите была равна единице. Тогда движение по орбите описывается формулами = 1, ϕ = t, и, значит, γ = 1. Начальные условия для станции (и космонавта. Начальные условия для заглушки отличаются лишь тем, что ˙ r(0) = −v –– скорость броска, те. начальная скорость заглушки относительно космонавта. Предположим, что скорость броска, скажем, 10 мс. Тогда v ≈ 1/800 (так как наша единица скорости близка к первой космической скорости, те. составляет примерно 8 км/с). Величина 1 /800 мала по сравнению с 1, поэтому мы должны исследовать влияние малого изменения начального условия на невозмущенное решение r = 1, ϕ = t. По теореме о дифференцируемости по начальному условию, решение, близкое к невозмущенному, ищем в виде r = 1 + r 1 + …, ϕ = t + ϕ 1 + …, где точки означают малые порядка v 2 . Подставляя эти выражения в уравнения Ньютона си отбрасывая малые порядка получаем уравнения в вариациях Решение уравнений в вариациях с начальными условиями заглушки) = ϕ 1 (0) = ˙ ϕ 1 (0) = 0, ˙ r 1 (0) = −v) легко найти, заметив, что ˙ ϕ 1 + 2 r 1 ≡ и, значит, ¨ r 1 = −r 1 . Это решение имеет вид r 1 = −v sin t, ϕ 1 = 2 v(1 − cos Рис. . Движение заглушки относительно станции По теореме о дифференцируемости, истинное решение уравнений Ньютона отличается от найденного малыми порядка при не слишком больших t). Следовательно, заглушка описывает относительно космонавта эллипс (рис. ) с полуосями и 2v. Наша единица длины –– радиус орбиты, а v ≈ 1/800. Значит, длины полуосей эллипса составляют около 8 и 16 км. Вначале заглушка движется вниз (к Земле), но затем начинает обгонять космонавта и уходит на 32 км вперед по орбите наконец, она возвращается сверху, описав примерно стокилометровый эллипс как раз за время одного оборота станции по орбите § . Применения к уравнениям выше первого порядка Разумеется, в этом расчете мы пренебрегли величинами порядка и на самом деле движение заглушки относительно космонавта не будет периодическим (виток не замкнется, причем погрешность будет порядка от размера эллипса, те. заглушка пролетит на расстоянии порядкам от станции. Мы пренебрегли также многими эффектами (световым давлением, отличием направления броска от вертикали, отличием орбиты станции от круговой и т. д, дающими большие погрешности. В. В. Белецкий, из увлекательной книги которого Очерки о движении космических небесных тел (М Наука, ) заимствована задача о заглушке, замечает, что заглушка вряд ли была видна на расстоянии больше километра, а первый километр эллипса очень близок к прямой, поэтому Леонов увидел, как брошенная им заглушка полетела прямо к Земле. Терминологические замечания. Рассмотренные выше уравнения и системы иногда называют нормальными или разрешенными относительно старших производных. В этом курсе никакие другие уравнения и системы не рассматриваются, так что термин уравнение или система всегда означает нормальную систему или систему, эквивалентную нормальной (как, например, система уравнений Ньютона (Функции, входящие в правую часть системы, могут задаваться разными способами явно, неявно, параметрически и т. п. Пðèìåð. Запись ˙ x 2 = x есть сокращенное обозначение двух разных дифференциальных уравнений, ˙ x = p x и ˙ x = − p x, фазовым пространством каждого из которых служит полупрямая x ¾ 0. Эти уравнения задаются двумя разными векторными полями, гладкими при x > 0 (рис. Рис. . Интегральные кривые двух уравнений, объединенных записью При неявном задании правой части следует внимательно относиться к выяснению ее области определения и остерегаться двусмысленных обозначений Глава . Основные теоремы Пðèìåð. Уравнением Клеро называется уравнение x = ˙ xt − f Уравнение Клеро x = ˙ xt − есть краткая запись двух разных дифференциальных уравнений, заданных при x ¶ t 2 /2. Каждое из них удовлетворяет теореме существования и единственности в области под параболой, x < рис. ). Через каждую точку этой области проходят две касатель- Рис. . Интегральные кривые двух уравнений, записанных вместе в виде уравнения Клеро ные к параболе. Каждая касательная состоит из двух полукасатель- ных. Каждая полукасательная –– интегральная кривая одного из двух уравнений, объединенных формулой (З . Исследовать уравнение Клеро x = ˙ xt − ˙x 3 Зàìå÷àíèå. При исследовании уравнений, правая часть которых задана неявно, те. уравнений вида F(t, x, ˙ x) = 0, часто бывает полезно рассматривать заданное этим уравнением поле направлений не на плоскости с координатами (t, x), а на поверхности в трехмерном пространстве с координатами (t, x, p), заданной уравнением (рис. Это трехмерное пространство называют пространством 1-струй ∗) функций. Его точки –– это всевозможные невертикальные (те. непа- раллельные оси x) направления во всех точках плоскости (t, Точка (t, x, p) –– это направление прямой dx = p dt в точке (t, форма = dx − p dt задает описанную ниже контактную структуру в многообразии струй. Векторы, приложенные в точке трехмерного пространства струй, на которых эта форма обращается ∗) k-струей функции называется ее многочлен Тейлора степени k. § . Применения к уравнениям выше первого порядка Рис. . Поверхность E и следы контактных плоскостей на ней в нуль, составляют плоскость. Она называется контактной плоскостью. Контактная плоскость вертикальна (содержит направление оси p). Все контактные плоскости образуют поле контактных плоскостей в пространстве струй, оно и называется контактной структурой. Предположим, что поверхность E, задающая уравнение, гладкая (это условие выполнено для уравнений F = 0 с F общего положения. Рассмотрим проектирование поверхности E на плоскость с координатами (t, x) параллельно направлению. Точка на поверхности называется регулярной, если в ней касательная плоскость поверхности не вертикальна (те. не содержит прямую p-направления). В окрестности регулярной точки проектирование диффеоморфизм (по теореме о неявной функции, а поверхность график гладкой функции p = v(t, x). Эта функция задает дифференциальное уравнение ˙ x = v(t, x) (в окрестности проекции рассматриваемой регулярной точки. В туже точку плоскости могут проектироваться другие точки поверхности, регулярные или нет. Каждой регулярной точке соответствует свое поле направлений на плоскости и свое дифференциальное уравнение в уравнении = 0 объединены все эти различные дифференциальные урав- нения. Рассмотрим в регулярной точке поверхности E контактную плоскость. Она пересекает касательную плоскость по прямой. Таким об Глава . Основные теоремы разом, в окрестности регулярной точки на E возникает гладкое поле направлений –– поле следов контактных плоскостей. Очевидна Тåîðåìà. При проектировании поверхности E, заданной уравнением p = v(t, x), на плоскость (t, x) вдоль оси p поле следов контактных плоскостей на E переходит в поле направлений уравнения = v(t, x) на плоскости. Сëåäñòâèå. Указанное проектирование переводит интегральные кривые поля следов на E в интегральные кривые уравнения на плоскости. Касательная плоскость поверхности E в нерегулярных точках вертикальна. Но она все равно может пересекаться с контактной плоскостью по прямой (для поверхности E общего положения полное совпадение касательной плоскости с контактной будет лишь в отдельных исключительных точках). В окрестности неисключительной нерегулярной точки на поверхности следы контактных плоскостей задают гладкое поле направлений. Таким образом, поле следов контактных плоскостей на поверхности E продолжается в неисключительные нерегулярные точки. Продолженное поле называется полем направлений уравнения F = 0 на E, его интегральные кривые называются интегральными кривыми уравнения F = 0 на Проекции кусков этих кривых между нерегулярными точками на плоскость (t, x) локально являются интегральными кривыми соответствующих уравнений dx/dt = v(t, x) (в целом это неверно, даже Рис. . Проекции интегральных кривых если нерегулярных точек нет!). Переход от плоскости к поверхности часто бывает полезен как для исследования, таки для решения уравнения. Зàäà÷à Найти интегральные кривые уравнения ˙ x 2 = t на поверхности p 2 = t и их проекции на плоскость (t, Р. За координаты на примем и x. В этих координатах уравнение следов контактных плоскостей (dx = p dt) принимает вид dx = 2p 2 dp. Интегральные кривые x + C = = 2 p 3 /3. Их проекции –– полукубические параболы (x + C) 2 = 4 t 3 /9 (рис. Нерегулярные точки образуют линию p = 0. Все они неисключительные. Проекция линии нерегулярных точек на плоскость (t, x) называется дис- криминантной кривой. В данном случае дискриминантная кривая –– ось x. § . Применения к уравнениям выше первого порядка Точка возврата делит полукубическую параболу на две части. Каждая из них –– интегральная кривая одного из двух уравнений ˙ x = p t (или − p t) в полуплоскости t > 0. Можно показать, что проекции на плоскость интегральных кривых на E для уравнения общего положения имеют в общей точке дискриминантной кривой точку возврата (более того, в окрестности такой точки уравнение приводится к виду ˙ x 2 = t диффеоморфизмом плоскости. Однако это верно не для всех уравнений. Зàäà÷à . Найти интегральные кривые уравнения Клеро x = t ˙ x − f на поверхности x = pt − f (p), их проекции на плоскость (t, x) и дискрими- нантную кривую. Рåøåíèå. За координаты на принимаем p и t. Уравнение следов контактных плоскостей (dx = p dt) принимает вид t dp + p dt − f ′ dp = p dt или f ′ ) dp = 0. Нерегулярные точки t = f ′ . Все они исключительные. Интегральные кривые на E: p = const (в области, где t 6= f ′ ). Это прямые. Их проекции на плоскость (t, x) –– также прямые x = tC − f (C). Уравнение Кле- ро –– это просто уравнение семейства прямых, запараметризованных тангенсом угла наклона коси абсцисс. Дискриминантная кривая параметрически задается уравнениями t = = f ′ ( C), x = tC − f (C). В окрестности точки, где f ′′ 6= 0, эти формулы задают гладкую кривую, являющуюся графиком функции x = g(t). Действительно, вблизи точки, где f ′′ 6= 0, можно выразить C через t и затем x через Прямая x = tC − f (C) касается дискриминантной кривой в такой точке (почему?). Итак, дискриминантная кривая уравнения Клеро является огибающей семейства прямых, описываемого этим уравнением. Переход от функции f к функции g называется преобразованием Лежандра. Преобразованием Лежандра функции g будет снова f докажите. Поэтому функции f и g называются двойственными друг другу. Зàäà÷à . Вычислить преобразование Лежандра функции О, где Геометрический смысл преобразования Лежандра состоит в следующем. Рассмотрим множество всех невертикальных (не параллельных оси x) прямых на плоскости (t, x). Прямая задается своим уравнением x = at − b. Таким образом, невертикальные прямые можно рассматривать как точки на плоскости с координатами (a, b). Эта плоскость называется двойственной к исходной плоскости. Координаты a и b называются тангенциальными координатами прямой. Плоскость, двойственная к плоскости (a, b), есть исходная плоскость, x), ввиду полной симметрии уравнения x + b = at относительно замены, x) 7→ (a, b): прямая на плоскости прямых есть точка исходной плоскости. Рассмотрим на плоскости (t, x) гладкую кривую, x = g(t). Касательная к этой кривой меняется при движении вдоль кривой. Соответствующая касательной точка двойственной плоскости описывает при этом некоторую Глава . Основные теоремы кривую. Эта кривая называется двойственной к исходной кривой. Кривая, двойственная к построенной, –– исходная кривая. Если для исходной кривой, то двойственная кривая является графиком функции b = f Функции f и g –– преобразования Лежандра друг друга. Доказательство этих фактов (имеющих многочисленные обобщения и приложения во всех областях математики) оставляется любознательному читателю в виде задачи . Фазовые кривые автономной системы Здесь рассматриваются простейшие геометрические свойства фазовых кривых автономных систем, те. систем, правые части которых не зависят от времени. Автономные системы. Оïðåäåëåíèå. Система дифференциальных уравнений называется автономной, если она переходит в себя при произвольных сдвигах вдоль оси времени. Иными словами, система называется автономной, если ее правая часть не зависит от времени. Например, автономное уравнение n-го порядка –– это уравнение, …, x ( n −1) ). Зàìå÷àíèå. При описании эволюционных процессов дифференциальными уравнениями обычно возникают именно автономные системы независимость правой части от t отражает независимость от времени законов природы (без чего невозможно научное ее изучение. Термин автономный означает самостоятельный и отражает независимость эволюции состояния рассматриваемой системы от всех других. Неавтономные системы возникают при описании природы чаще всего следующим образом. Предположим, что мы рассматриваем часть I физической системы I + II. Тогда, хотя закон эволюции всей системы со временем и не меняется, влияние части II на часть I может привести к тому, что закон эволюции части будет меняться со временем. Например, влияние Луны на Землю вызывает приливы. Математически это влияние выражается тем, что величина ускорения силы тяжести, входящая в уравнение движения земных объектов, становится переменной. В таких случаях говорят, что выделенная часть I неавтономна. Поэтому и все системы, правая часть которых явно зависит от вре- § . Фазовые кривые автономной системы мени, называются неавтономными. Разумеется, неавтономные системы могут получиться ив других случаях, например, в процессе преобразований при решении автономных систем. Пример переход к неавтономному уравнению с разделяющимися переменными при интегрировании системы Лотки––Вольтерра (п. § З . Автономно ли уравнение в вариациях для малого возмущения решения автономной системы при малом изменении начальных условий О. Если невозмущенное решение –– состояние равновесия, то автономно, в общем случае –– нет. Сдвиг повремени. Начнем с примера. Рассмотрим автономное уравнение го порядка, ˙ x, …, x ( n −1) ). () Тåîðåìà. Предположим, что x = sin t –– решение уравнения тогда функция x = cos t –– тоже решение. Это сразу следует из следующего предложения. Тåîðåìà. Пусть ϕ : R → U –– решение автономного уравнения = v(x) , заданного векторным полем v в фазовом пространстве U и пусть h s : R → R –– сдвиг оси времени, h s ( t) = s + t. Тогда ϕ ◦ h s при любом s тоже решение. Иными словами, если x = ϕ(t) –– решение, то x = ϕ(t + s) –– тоже решение. Дîêàçàòåëüñòâî. Это очевидно поле направлений автономного уравнения переходит в себя при сдвигах вдоль оси времени, следовательно, интегральные кривые переходят при таких сдвигах в интегральные кривые. Сëåäñòâèå. Через каждую точку фазового пространства автономной системы проходит одна и только одна фазовая кривая. Зàìå÷àíèå. Здесь и ниже всюду идет речь о максимальных фазовых кривых, те. о фазовых кривых, являющихся образами решений, не продолжаемых на более длинный интервал (решение ϕ : I → → U может не продолжаться либо потому, что интервал I уже вся прямая, либо потому, что ϕ(t) подходит к границе области U, когда подходит к концу интервала). Дîêàçàòåëüñòâî Предположим, что через точку проходят две фазовые кривые –– образы решений ϕ и ψ, определенных на всей прямой (случай, когда решения не продолжаются неограниченно, оставляется читателю. Тогда существуют такие моменты Глава . Основные теоремы времени a и b, что ϕ(a) = ψ(b) (так как обе кривые проходят через одну точку. Сдвигая одно из решений вдоль оси времени, мы получаем новое решение, ϕ ◦ h a −b . Это решение имеет с решением ψ общее начальное условие при t = b. Значит, они совпадают. Следовательно получается из ϕ сдвигом вдоль оси времени. Итак, образы отображений ϕ и ψ совпадают, что и требовалось доказать. Зàìå÷àíèå. Фазовые кривые неавтономной системы (образы решений в фазовом пространстве) могут пересекаться, не совпадая. Поэтому за решениями неавтономных систем лучше следить по интегральным кривым. Зàäà÷à . Пусть через каждую точку фазового пространства системы = v( t, x) проходит одна и только одна фазовая кривая. Следует ли из этого, что система автономна? Оòâåò. Нет, пример ˙ x = 1 + t 2 . Замкнутые фазовые кривые. Мы уже знаем, что разные фазовые кривые автономной системы не пересекаются. Посмотрим, может ли пересекать себя одна фазовая кривая. Иными словами, может ли решение автономной системы первого порядка несколько раз принимать одно и тоже значение. Тåîðåìà. Максимальная фазовая кривая автономной системы либо не самопересекается, либо сводится к одной точке, либо является замкнутой фазовой кривой (диффеоморфной окружности). С примерами замкнутых фазовых кривых мы уже сталкивались (например, предельные циклы, см. § Доказательство теоремы основано наследующих четырех лем- мах. Лåììà . Решение ϕ автономной системы первого порядка, дважды принявшее одно значение ϕ(a) = ϕ(b), b > a, можно продолжить на всю ось времени, в виде периодического отображения с периодом T = b − a. Дîêàçàòåëüñòâî. Всякое s однозначно представимо в виде s = = nT + σ, 0 ¶ σ < T . Положим Φ(a + s) = ϕ(a + σ). Тогда Φ –– решение периода T , совпадающее сна отрезке [a, b]. Действительно, Φ совпадает со сдвигом решения ϕ в окрестности каждой точки и, значит, само является решением (по теореме п. Полученное решение может иметь, кроме T , другие периоды. Изучим множество всех периодов отображения прямой. Лåììà . Множество всех периодов любого отображения прямой является подгруппой группы R. § . Фазовые кривые автономной системы Дîêàçàòåëüñòâî. Число T является периодом отображения f если и только если сдвиг прямой на T переводит f в себя. Сдвиги, переводящие f в себя, образуют подгруппу группы всех сдвигов. Ибо если два сдвига переводят f в себя, то и их произведение, и обратные им сдвиги переводят f в себя. Зàìå÷àíèå. Это рассуждение показывает также, что если какая угодно группа действует на каком угодно множестве, то все преобразования группы, оставляющие на месте фиксированный элемент множества, образуют подгруппу исходной группы. Эта подгруппа называется стационарной группой фиксированного элемента. Лåììà . Множество всех периодов непрерывного отображения прямой замкнуто. Дîêàçàòåëüñòâî. Пусть последовательность периодов отображения сходится к числу T , тогда f (t + T ) = lim f (t + T i ) = lim f (t) = = f (t) при любом Итак, множество всех периодов непрерывного отображения прямой является замкнутой подгруппой прямой. Лåììà . Всякая замкнутая подгруппа G группы вещественных чисел R есть либо R, либо арифметическая прогрессия, образованная целыми кратными некоторого числа, либо {0}. Дîêàçàòåëüñòâî. Если G 6= {0}, тов есть положительные элементы (вместе св входит −t). Возможные два случая) весть сколь угодно близкие к 0 положительные элементы) расстояния от 0 до всех положительных элементов группы больше некоторого положительного числа. В первом случае G содержит арифметические прогрессии со сколь угодно малыми разностями, следовательно, элементы G есть в любой окрестности любой точки прямой. Поскольку G замкнута, G = Во втором случае рассмотрим ближайший к 0 положительный элемент группы (он существует, так как группа замкнута. Арифметическая прогрессия целых кратных элемента T принадлежит группе. Докажем, что никаких других элементов в группе нет. Действительно, любое другое число t представимо в виде nT + τ, где 0 < τ < T Если t ∈ G, то t − nT = τ < T –– положительный элемент группы, вопреки минимальности элемента T З . Найти все замкнутые подгруппы ) плоскости R 2 , ) пространства) окружности S 1 = { z ∈ C: |z| = 1}. Глава . Основные теоремы Оòâåò. ) и ) –– прямые суммы замкнутых подгрупп прямой (рис. ); ) правильные угольники, образованные корнями степени n из 1, и Рис. . Замкнутая подгруппа плоскости Объединяя леммы , и , мы заключаем, что множество всех периодов непрерывного периодического отображения прямой либо состоит из всех целых кратных одного наименьшего периода, либо составляет всю прямую тогда отображение –– кон- станта). В частности, решение Φ леммы либо постоянно (и тогда соответствующая фазовая кривая –– положение равновесия), либо имеет наименьший период . Определим отображение A окружности на фазовую кривую формулой : (cos α, sin α) 7→ Φ(αθ /2π). Это отображение A определено, так как Φ имеет период . Отображение A дифференцируемо, так как Φ –– решение. Отображение A взаимно однозначно отображает окружность на фазовую кривую, так как Φ не может дважды принять одно значение внутри наименьшего периода (по лемме Производная A повсюду отлична от нуля, иначе решение принимало бы значение, являющееся положением равновесия, и тогда по теореме единственности было бы константой. По теореме о неявной функции, A локально диффеоморфно отображает ось α на образ в фазовом пространстве, те. на фазовую кривую. Значит, отображение, обратное A, дифференцируемо, те диффеоморфизм. Теорема доказана. Незамкнутые фазовые кривые, хотя и не могут самопересекать- ся, могут сложным образом навиваться сами на себя. Зàäà÷à . Найти замыкания фазовых кривых двойного маятника ¨ x 1 = = −x 1 , О. Точка, окружности и торы. См. § и § , п. . |