В. И. Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения. В. И. Арнольд Обыкновенные дифференциальные уравнения
 Скачать 4.58 Mb.
|
|
§ . Производная по направлению векторного поля и первые интегралы Многие геометрические понятия можно описывать двумя способами на языке точек пространства или же с помощью функций, заданных на нем. Такая дуализация часто оказывается полезной в самых разных отделах математики § . Производная по направлению векторного поля Рис. . Производная функции f по направлению вектора В частности, векторные поля можно описывать не только с помощью скоростей движений, но и как дифференцирования функций, а основные теоремы теории дифференциальных уравнений можно сформулировать втер- минах первых интегралов. Производная по направлению вектора. Пусть v –– приложенный в точке x области вектор, и пусть f : U → R –– дифференцируемая функция. Пусть ϕ : I → U –– какая-либо параметризованная кривая, выходящая из x со скоростью v, так что ϕ(0) = x, ˙ ϕ(0) = v. Возникает сквозное отображение интервала I вещественной оси в вещественную ось, f ◦ϕ : I →R, ( f ◦ϕ)(t)= f (ϕ(t)), те. вещественная функция вещественного переменного t рис. ). Оïðåäåëåíèå. Производной функции f по направлению вектора v называется производная построенной функции в нуле. Это число обозначается через L v f (L –– в честь Софуса Ли. Чтобы оправдать это определение, надо проверить, что полученное число зависит только от вектора v, а не от специального выбора кривой Это видно, например, из выражения производной по направлению через координаты по правилу дифференцирования сложной функции где производные берутся в точке приложения вектора здесь x i –– координаты в окрестности этой точки, v i –– компоненты вектора скорости в этой системе координат. То же самое можно выразить иначе, сказав, что L v f есть значение формы df на векторе З . Вычислить производную функции по направлению вектора. 0. . Производная по направлению векторного поля. Пусть теперь векторное поле в области U . Оïðåäåëåíèå. Производной функции f : U → R по направлению поля v называется новая функция L v f : U → R, значение которой в каждой точке x равно производной функции f по направлению Глава . Основные теоремы приложенного в точке x вектора поля (L v f )(x) = L v(x) f . Функция называется также производной Ли функции f . Пðèìåð. Пусть v = ∂/∂x 1 –– базисное векторное поле, компоненты которого в системе координат (x 1 , …, x n ) равны (1, 0, …, 0). Тогда частная производная функции f . Пðåäîñòåðåæåíèå. При работе с частными производными нужно твердо понимать, что в самом их обозначении кроется опасность: частная производная функции f по зависит не только оттого, какая функция в рассматриваемой области принята за координату нов еще большей мере оттого, как выбраны прочие координаты. Например, на плоскости с координатами (x, y) частная производная функции y равна нулю, но частная производная ∂ f той же функции точки плоскости по той же переменной x в системе координат (x, z), где z = x + y, равна. Следовало бы писать f /∂x | y=const , ∂ f Производная функции по направлению векторного поля лишена указанного недостатка частной производной это геометрический объект, по самому своему определению независящий ни от какой системы координат. Если гладкие функция f и поле v заданы, то L v f –– вполне определенная функция (класса C r −1 , если f и класса C r ). Иными словами, если диффеоморфизм переводит на новое место векторное поле и функцию, то производная перенесенной функции по направлению перенесенного поля совпадает с перенесением производной исходной функции по направлению исходного поля. Это свойство операции дифференцирования по направлению называется естественностью. Другие примеры естественных операций –– сложение и умножение функций, сложение полей и умножение функций на поле. Свойства производной по направлению. Здесь мы опять займемся формализацией очевидных фактов. Обозначим через множество всех бесконечно дифференцируемых функций f : U → Это множество имеет естественную структуру вещественного линейного пространства (так как сложение функций сохраняет диффе- ренцируемость), и даже кольца (так как произведение бесконечно дифференцируемых функций дифференцируемо) или, лучше сказать, алгебры (кольца, для элементов которого определено умножение на числа, удовлетворяющее обычным требованиям). Пусть v –– бесконечно дифференцируемое векторное поле в U Производная функции из F по направлению поля v снова прина- § . Производная по направлению векторного поля длежит F здесь существенна бесконечная дифференцируемость). Итак, дифференцирование по направлению поля v есть отображение алгебры бесконечно дифференцируемых функций в себя. Рассмотрим некоторые свойства этого отображения) L v ( f + g) = L v f + L v g; ) L v ( fg) = f L v g + gL v f ; ) L u+v = L u + L v ; ) L f u = f L u ; ) L u L v = L v L u ( f и g –– гладкие функции, u и v –– гладкие векторные поля). Зàäà÷à . Докажите свойства ––, кроме того из них, которое неверно. Тåðìèíîëîãè÷åñêîå Алгебраисты называют отображение (коммутативного) кольца в себя дифференцированием, если оно обладает свойствами и отображения L v . Все дифференцирования кольца образуют модуль над этим кольцом (модуль над кольцом –– обобщение линейного пространства над R: элементы модуля можно складывать между собой и умножать на элементы кольца). Векторные поля в U образуют модуль над алгеброй F функций в U . Свойства и означают, что операция L, переводящая поле в дифференцирование L v , –– гомоморфизм модуля полей в модуль всех дифференцирований алгебры F. Свойство , если оно имеет место, означает, что дифференцирования и L v коммутируют. Зàäà÷à *. Является ли гомоморфизм изоморфизмом? Аналитики называют отображение линейным однородным дифференциальным оператором первого порядка. Это название объясняется тем, что, согласно и , оператор L v : F → F линеен. В координатах этот оператор записывается так L v = v 1 ∂/∂x 1 + … + Выше мы и само векторное поле v обозначили таким же символом (с. ): поле часто отождествляют с оператором дифференцирования вдоль него. Аналогичный оператор производной Ли вдоль векторного поля можно определить не только для функций, но для произвольных дифференциально-геометрических объектов, переносимых диффео- морфизмами (векторных полей, форм, тензоров, –– производная каждого объекта будет объектом той же природы. Французы называют оператор производной рыбака рыбак сидит на месте и дифференцирует объекты, проносимые мимо него фазовым потоком Глава . Основные теоремы. Алгебра Ли векторных полей. Свойство для векторных полей u и v выполнено не всегда. Например, для полей u = и v = x ∂/∂x на оси x имеем + x ∂ 2 /∂x 2 , L v L u = x З . Докажите, что дифференциальный оператор L b L a –– не второго порядка, как это кажется на первый взгляда первого L a L b − L b L a = = L c , где c –– некоторое векторное поле, зависящее от полей a и О. Поле c называется коммутатором или скобкой Пуассона полей a и b и обозначается [a, З . Докажите три свойства коммутатора) [a, b + λc] = [a, b] + λ[a, c], λ ∈ R (линейность) [a, b] + [b, a] = 0 (кососимметричность); ) [[a, b], c] + [[b, c], a] + [[c, a], b] = 0 (тождество Якоби). Оïðåäåëåíèå. Линейное пространство с бинарной операцией, обладающей свойствами , и , называется алгеброй Ли. Итак, векторные поля с операцией коммутирования образуют алгебру Ли. Эта операция столь же фундаментальна для всей математики, как сложение и умножение. Зàäà÷à . Докажите, что трехмерное ориентированное евклидово пространство становится алгеброй Ли, если определить операцию как векторное произведение. Зàäà÷à . Докажите, что пространство квадратных матриц порядка n становится алгеброй Ли, если определить операцию как AB − З . Образуют ли алгебру Ли симметричные матрицы с такой же операцией Кососимметрические? Зàäà÷à . Зная компоненты полей a ив некоторой системе координат, найти компоненты их коммутатора. Оòâåò. [a, b] i = P a j ∂b i /∂x j − b j ∂a i /∂x j = L a b i − З . Пусть { g t } –– фазовый поток поля a, {h s } –– поля b. Докажите, что потоки коммутируют (g t h s ≡ h s g t ) тогда и только тогда, когда коммутатор полей равен нулю. Зàäà÷à . Пусть a ω –– поле скоростей точек тела, вращающегося с угловой скоростью ω вокруг точки 0 в R 3 . Найти коммутатор полей a α , О. [a α , a β ] = a γ , где γ –– векторное произведение α и β. . Первые интегралы. Пусть v –– векторное поле в области U , f : U → R –– дифференцируемая функция. Оïðåäåëåíèå. Функция f называется первым интегралом уравнения, если ее производная по направлению поля v равна нулю L v f ≡ 0. § . Производная по направлению векторного поля Странное наименование первый интеграл осталось от тех времен, когда пытались решить все дифференциальные уравнения путем интегрирования. В те времена интегралом (или частным интегралом) называли также то, что мы теперь называем решением. Следующие два свойства первого интеграла очевидно эквивалентны соотношению L v f ≡ 0 и могли бы быть приняты за его определение. Функция f постоянна вдоль каждого решения ϕ : I → U, т. е. каждая функция f ◦ ϕ постоянна. Каждая фазовая кривая поля v принадлежит одному и только одному множеству уровня функции f рис. Рис. . Фазовая кривая целиком лежит на одной поверхности уровня интеграла Рис. . Система без первых интегралов Пðèìåð. Рассмотрим систему, фазовым пространством которой является вся плоскость, ˙ x 1 = x 1 , ˙ x 2 = x 2 . Фазовые кривые (лучи) изображены на рис. . Покажем, что эта система не имеет ни одного первого интеграла, отличного от постоянной. Действительно, первый интеграл –– непрерывная на всей плоскости функция, постоянная на каждом луче, выходящем изначала координат, следовательно постоянная. Зàäà÷à . Докажите, что в окрестности предельного цикла всякий первый интеграл постоянен. Зàäà÷à . При каких система уравнений ˙ x 1 = x 1 , на всей плоскости имеет непостоянный первый интеграл? Оòâåò. При ¶ 0 (см. рис. нас. З . Докажите, что множество всех первых интегралов данного поля образует алгебру сумма и произведение первых интегралов –– первый интеграл. Непостоянные первые интегралы встречаются редко. Зато в тех случаях, когда они есть и когда их удается найти, награда бывает весьма значительной Глава . Основные теоремы Пðèìåð. Пусть H –– дифференцируемая (r ¾ 2 раз) функция переменных (p 1 , …, q n ). Система 2 n уравнений ˙ p i = −∂H/∂q i , называется системой канонических уравнений Гамильтона. (Гамильтон показал, что дифференциальные уравнения большого числа задач механики, оптики, вариационного исчисления и других областей естествознания можно записать в таком виде) Функция называется функцией Гамильтона в механике это обычно полная энергия системы). Тåîðåìà (çàêîí ñîõðàíåíèÿ Функция Гамильтона является первым интегралом системы канонических уравнений Га- мильтона. Дîêàçàòåëüñòâî. L v H что и требовалось. Локальные первые интегралы. Отсутствие непостоянных первых интегралов связано с топологическим устройством фазовых кривых. В общем случае фазовые кривые не укладываются в целом на поверхности уровня никакой функции, поэтому непостоянного первого интеграла и нет. Однако локально, в окрестности неособой точки, фазовые кривые устроены простои непостоянные первые интегралы существуют. Пусть U –– область в мерном пространстве, v –– дифференцируемое векторное поле в U , x 0 –– неособая точка поля (v(x 0 ) 6= 0). Тåîðåìà. Существует такая окрестность V точки x 0 , что уравнение ˙ x = в V имеет n − 1 функционально независимый первый интеграл, f 1 , …, f n −1 , причем любой первый интеграл уравнения весть функция от f 1 , …, Набор m функций функционально независим в окрестности точки, если ранг производной в точке отображения f : U → заданного этими функциями, равен m см, например, ГМ. Фихтен- гольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления. –– М.: Наука, . –– Т. , гл. ).) Дîêàçàòåëüñòâî. Для стандартного уравнения ˙ y 1 = 1, ˙ y 2 = … … = ˙ y n = 0 в это очевидно первые интегралы –– любые гладкие функции от y 2 , …, y n . Тоже верно для этого уравнения в любой выпуклой области (область называется выпуклой, если вместе с любыми точками она содержит соединяющий их отрезок. В выпуклой об § . Производная по направлению векторного поля ласти любой интеграл стандартного уравнения сводится к функции от y 2 , …, y n . Всякое уравнение в подходящей окрестности неособой точки записывается в подходящих координатах y в стандартном виде. Окрестность эту можно считать выпуклой в координатах если это не так, заменим меньшей выпуклой). Остается заметить, что как свойство функции быть первым интегралом, таки функциональная независимость, от системы координат не зависят. Зàäà÷à . Приведите пример области, в которой стандартное уравнение имеет первый интеграл, не сводящийся к функции от y 2 , …, y n . Первые интегралы, зависящие от времени. Пусть f –– дифференцируемая функция на расширенном фазовом пространстве уравнения, вообще говоря, неавтономного. Составим автономную систему, фазовые кривые которой будут интегральными кривыми исходного уравнения. Для этого расширим уравнение, добавив к данному уравнению тривиальное уравнение, v). Оïðåäåëåíèå. Функция f называется зависящим от времени первым интегралом уравнения ˙ x = v( t, x), если она является первым Рис. . Интегральные кривые на поверхности уровня первого интеграла, зависящего от времени интегралом расширенного автономного уравнения (рис. Иными словами каждая интегральная кривая исходного уравнения лежит водном множестве уровня функции. Векторное поле V в нуль не обращается. По теореме п. в окрестности каждой точки расширенного фазового пространства уравнение ˙ x = v( t, имеет столько функционально независимых первых интегралов зависящих от времени, какова размерность фазового пространства число компонент вектора x); причем каждый зависящий от времени) первый интеграл выражается через эти специальные в указанной окрестности. В частности, автономное уравнение с мерным фазовым пространством имеет в окрестности любой (необязательно неособой) точки n зависящих от времени функционально независимых пер Глава . Основные теоремы вых интегралов. Первым интегралом дифференциального уравнения (или системы) любого порядка называется первый интеграл эквивалентной системы первого порядка. Зàäà÷à . Докажите, что система уравнений Ньютона ¨ |