В. И. Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения. В. И. Арнольд Обыкновенные дифференциальные уравнения
 Скачать 4.58 Mb.
|
|
r имеет первый интеграл, который в полярных координатах записывается в виде (r ∈ Этот интеграл, называемый секториальной скоростью, открыл Кеплер из наблюдений за движением Марса (второй закон Кеплера»). Зàäà÷à . Докажите, что секториальная скорость является первым интегралом уравнения ¨ r = r a(r) при любом виде функции Силовое поле вида ra(r) называется центральным. Предыдущая задача показывает, почему из второго закона Кеплера нельзя извлечь закона всемирного тяготения нужен третий. Зàäà÷à . Докажите, что при движении в любом центральном поле в трехмерном пространстве каждая из компонент векторного произведения является первым интегралом (закон сохранения момента количества движения»). Зàäà÷à . Докажите, что если функция Гамильтона не зависит от, то первый интеграл уравнений Гамильтона. Зàäà÷à . Предположим, что каждое решение уравнения ˙ x = v( t, с мерным фазовым пространством можно продолжить на всю ось t. Докажите, что такое уравнение имеет во всем расширенном фазовом пространстве функционально независимых первых интегралов (зависящих от времени, через которые все его (зависящие от времени) первые интегралы функционально выражаются . Линейные и квазилинейные уравнения первого порядка с частными производными Уравнения с частными производными изучены гораздо хуже, чем с обыкновенными. Теорию одного уравнения с частными производными первого порядка удастся свести к исследованию специальных обыкновенных дифференциальных уравнений, так называемых уравнений характеристик. Сущность связи между уравнением с частными производными и уравнением характеристик состоит в том, что движение сплошной среды можно описывать как с помощью обыкновенных дифференциальных уравнений движения ее частиц, таки с помощью уравнения с частными производными для поля. Ниже подробно разобраны простейшие частные случаи линейных итак называемых квазилинейных уравнений с частными § . Линейные и квазилинейные уравнения производными первого порядка и также приведен рецепт решения общего уравнения. Линейное однородное уравнение. Оïðåäåëåíèå. Линейным однородным уравнением первого порядка в области U называется уравнение L a u = 0, где a –– известное векторное поле в области U , а u –– неизвестная функция. В координатах оно имеет вид a 1 ∂u/∂x 1 + … + a n ∂u/∂x n = 0, a k = a k ( x 1 , …, Фазовые кривые векторного поля a называются характеристиками уравнения L a u = 0. Уравнение ˙ x = a(x) называется уравнением харак- теристик. Зàìå÷àíèå. Прилагательное характеристический в математике всегда означает связанный инвариантно (в данном случае инвариантно относительно выбора системы координат. Так, характеристическая подгруппа группы –– это подгруппа, переходящая в себя при всех автоморфизмах группы, характеристическое уравнение матрицы оператора не зависит от выбора базиса, характеристические классы в топологии переходят в себя при диффеоморфиз- махи т. д. Характеристики уравнения L a u = 0 связаны с ним инвариантно относительно диффеоморфизмов: если диффеоморфизм переводит старое уравнение в новое, то он переводит характеристики старого уравнения в характеристики нового. Можно даже вдобавок умножить полена не обращающуюся в нуль функцию –– это не изменит ни решений, ни характеристик уравнения. Зàäà÷à . Найти характеристики уравнения = y ∂u/∂ Р. ˙ x = 1, ˙ y = − y; y = Ce −x Тåîðåìà. Функция u является решением уравнения L a u = 0, если и только если она является первым интегралом уравнения характе- ристик. Дîêàçàòåëüñòâî. Это определение первого интеграла. Несмотря на очевидность этой теоремы, она очень полезна, так как решать обыкновенное уравнение характеристик легче, чем решать исходное уравнение с частными производными. Зàäà÷à . Решить уравнение задачи Р = ye x –– решение, все решения исчерпываются функциями от этого. Зàäà÷à . Решить уравнение ∂u/∂x = x ∂u/∂ y на всей плоскости. Оòâåò. Решения –– функции от Глава . Основные теоремы Зàäà÷à . Исчерпываются ли решения уравнения ∂u/∂x = y ∂u/∂ на функциями от О. Нет, существует решение, для которого, 1) 6= u(−1, −1). . Задача Коши. Оïðåäåëåíèå . Задачей Коши для уравнения L a u = 0 называется задача об определении функции u по ее значениям на данной гиперповерхности. (Гиперповерхностью в называется (n − мерная поверхность. Например, в случае n = 2 гиперповерхность есть кривая, при n = 3 –– обычная поверхность.) Заданная гиперповерхность называется начальной гиперповерхностью, а задание на ней искомой функции –– начальным условием, Рис. . Неразрешимая задача Коши. Функция ϕ называется начальной функцией, она задана на начальной гиперповерхности. Задача Коши не всегда имеет решение. Действительно, вдоль каждой характеристики значение постоянно. Но характеристика может пересекать начальную поверхность несколько раз (рис. ). Если значения начальной функции в этих точках различны, то соответствующая задача Коши не имеет решения нив какой области, содержащей указанную характеристику. Оïðåäåëåíèå. Точка на начальной гиперповерхности называется нехарактеристической, если характеристика, проходящая через эту точку, трансверсальна (не касательна) к начальной гиперповерх- ности. Тåîðåìà. Пусть x –– нехарактеристическая точка на начальной гиперповерхности. Тогда существует такая окрестность точки что задача Коши в этой окрестности имеет решение, ипритом только одно. Дîêàçàòåëüñòâî. По теореме о выпрямлении можно выбрать координаты в окрестности точки x так, что поле a будет иметь компоненты (1, 0, …, 0), а начальная гиперповерхность примет вид. В этих координатах задача Коши принимает вид. Единственное в выпуклой области решение u(x 1 , …, x n ) = = ϕ(x 2 , …, З . Решить задачу Коши для уравнения Р. На характеристике = Ce −x ; согласно начальному условию = sin C. § . Линейные и квазилинейные уравнения Оòâåò. u = З . Какие точки прямой = 1 являются нехарактеристическими для уравнения y ∂u/∂x = x ∂u/∂ О З . Имеет ли решение задача Коши u | x=1 = y 2 для этого уравнения на и единственно ли решение? Оòâåò. Решение существует, ноне единственно. Зàìå÷àíèå. Решения обыкновенного дифференциального уравнения образуют конечномерное многообразие каждое решение задается конечным набором чисел (начальных условий. Мы видим, что у линейного однородного уравнения с частными производными первого порядка относительно функции от n переменных столько решений, сколько существует функций от n − 1 переменных. Аналогичное явление имеет место и для общих уравнений с частными производными первого порядка. Причина становится ясной, если рассмотреть дифференциальное уравнение как предел разностных. Те же соображения подсказывают, что для уравнения с частными производными второго порядка нужно задавать на начальной гиперповерхности две функции (значения решения и его производной по трансверсальному начальной гиперповерхности направлению, и т. д. Разумеется, эти соображения не заменяют доказательств соответствующих теорем существования и единственности решений. Эти доказательства можно найти в учебниках по теории уравнений с частными производными, например, в книге Р. Куранта и Д. Гильберта Методы математической физики (М Гостехиздат, ). . Линейное неоднородное уравнение. Оïðåäåëåíèå. Линейным неоднородным уравнением первого порядка в области U называется уравнение L a u = b, где a –– заданное векторное поле, b –– заданная функция, u –– искомая функция в области. В координатной записи a 1 ∂u/∂x 1 + … + a n ∂u/∂x n = b, где a k и b –– известные функции от x 1 , …, Задача Коши ставится также, как для однородного уравнения. Тåîðåìà. В достаточно малой окрестности любой нехаракте- ристической точки начальной поверхности решение существует и единственно. Дîêàçàòåëüñòâî. Производная неизвестной функции повремени движения вдоль характеристики известна (равна b), поэтому ее приращение вдоль отрезка характеристики равно интегралу от b по Глава . Основные теоремы времени движения вдоль этого отрезка. Например, если a 1 6= 0 визу- чаемой точке, то указанное приращение равно R b/a 1 dx 1 вдоль отрезка характеристики. Зàäà÷à . Решить задачу Коши для уравнения = y ∂u/∂ y + Р. При изменении со скоростью 1 значение u на характеристике меняется со скоростью Ce −x . Следовательно, приращение вдоль этой характеристики при изменении x от 0 до X равно C(1 − Точка (X , Y ) лежит на характеристике, где C = e X Y . В этой точке u = = sin C + C(1 − О = sin(e x y) + y(e x − 1). . Квазилинейное уравнение. Оïðåäåëåíèå. Квазилинейным уравнением первого порядка называется уравнение L α u = β относительно функции u, где α(x) = = a(x, u(x)), β (x) = b(x, u(x)). Здесь a –– векторное поле в пространстве, зависящее от точки оси u как от параметра, b –– функция в пространстве, также зависящая от точки оси u как от параметра. В координатной записи уравнение имеет вид + a n (x, u) ∂u ∂x n = b(x, Отличие от линейного уравнения только в том, что коэффициенты a и b могут зависеть от значения неизвестной функции. Пðèìåð. Рассмотрим одномерную среду из частиц, движущихся по прямой по инерции, так что скорость каждой частицы остается неизменной. Обозначим скорость частицы, находящейся в момент в точке x, через u(t, x). Запишем уравнение Ньютона ускорение частицы равно нулю. Если x = ϕ(t) –– движение частицы, то = u(t, ϕ(t)) и ¨ ϕ = ∂u ∂t + ∂u ∂x ˙ ϕ = ∂u ∂t + u ∂u ∂x . Итак, поле скоростей среды из невзаимодействующих частиц удовлетворяет квазилинейному уравнению З . Построить график решения в момент, если u = arcctg x при = Р. Диффеоморфизм плоскости ( x, u) 7→ (x + ut, u) сдвигает каждую прямую u = const вдоль осина и переводит график решения в момент в график решения в момент t этот диффеоморфизм есть нечто иное, как преобразование фазового потока уравнения Ньютона для частиц; плоскость (x, u) –– фазовая плоскость частицы § . Линейные и квазилинейные уравнения Рис. . График решения получается из графика начального условия действием фазового потока Оòâåò. См. рис. З. При ¾ π/2 гладкого решения не существует. Начиная с этого момента частицы сталкиваются, и предположение об отсутствии взаимодействия между ними становится физически нереалистическим. В этих условиях движение среды описывают так называемые ударные волны разрывные решения, удовлетворяющие уравнению левее и правее разрыва и удовлетворяющие на разрыве дополнительным условиям физического происхождения (зависящим от характера взаимодействия при столкновении частиц). Зàäà÷à . Составить уравнение эволюции поля скоростей среды из невзаимодействующих частиц в силовом поле с силой F(x) в точке x. Оòâåò. u t + uu x = F. Зàäà÷à . Решить это уравнение с начальным условием для силы F(x) Р. Фазовый поток состоит из поворотов, поэтому график) прямая с углом наклона −t. Оòâåò. u(t, x) = −x tg t, |t| < З . Найти максимальную ширину полосы 0 ¶ t < C, в которой существует решение уравнения u t + uu x = sin x с начальным условием О = π/2. . Характеристики квазилинейного уравнения. Разобранный пример показывает, как полезно перейти от уравнения с частными Рис. . Геометрический смысл квазилинейного уравнения производными для поля скоростей к обыкновенным уравнениям движения частиц среды. Нечто аналогичное можно сделать ив случае общего квазилинейного уравнения первого порядка. Уравнение L a(x, u(x)) u = b(x, означает, что если точка x выходит из x 0 со скоростью a 0 = a(x 0 , u 0 ), где, то значение) начинает меняться со скоростью рис. ). Иными словами, приложенный в точке (x 0 , u 0 ) вектор прямого произведения пространства и оси u, с компонентами и b 0 , касается графика решения. Пусть A 0 6= 0. Глава . Основные теоремы Оïðåäåëåíèå. Прямая направления вектора называется характеристическим направлением квазилинейного уравнения в точке (Характеристические направления во всех точках области определения коэффициентов уравнения образуют поле направлений. Это поле называется характеристическим полем направлений уравнения. В координатной записи характеристические направления –– это направления векторов поля = P a k (x, u) ∂ ∂x k + b(x, Дифференциальное уравнение, заданное полем характеристических направлений, называется уравнением характеристика его интегральные кривые –– характеристиками. Таким образом, характеристики являются фазовыми кривыми векторного поля З . Найти характеристики уравнения среды из невзаимодействующих частиц, Р. ˙ x = u, ˙t = 1, ˙ u = 0. Характеристики –– прямые x = x 0 + u 0 t, u = З. Линейное уравнение –– частный случай квазилинейного, но характеристики линейного уравнения, рассматриваемого как квазилинейное, отличаются от его характеристик как линейного уравнения первые лежат в (x, пространстве, авто- рые –– их проекции в x-пространство. Зàìå÷àíèå . Квазилинейные уравнения сохраняют квазилинейный вид при диффеоморфизмах пространства и даже при диф- феоморфизмах пространства-произведения, где определены его коэффициенты и b. Характеристики инвариантно связаны с уравнением если такой диффеоморфизм переводит старое уравнение в новое, то характеристики старого переходят в характеристики нового. Более того, уравнение можно умножить на не обращающуюся в нуль функцию от x и u –– при этом ни решения, ни характеристики не меняются (хотя векторное поле A меняется). Зàäà÷à . Докажите, что квазилинейное уравнение приводится подходящим локальным диффеоморфизмом пространства-произведения к стандартному виду ∂u/∂x 1 = 0 в окрестности любой точки (x, u), в которой значение ненулевое. Интегрирование квазилинейного уравнения. Уравнение характеристик для уравнения a k ∂u/∂x k = b принято записывать § . Линейные и квазилинейные уравнения в так называемом симметричном виде = выражающем коллинеарность касательной к характеристике с характеристическим вектором (эти соотношения означают равенство 1-форм на векторах, касающихся характеристики, если знаменатели отличны от нуля). Оïðåäåëåíèå. Поверхность называется интегральной поверхностью поля направлений, если направление поля в каждой точке лежит в ее касательной плоскости. Тåîðåìà. Чтобы гладкая поверхность была интегральной поверхностью гладкого поля направлений, необходимо и достаточно, чтобы каждая интегральная кривая, имеющая с поверхностью общую точку, целиком на ней лежала. Дîêàçàòåëüñòâî. По теореме о выпрямлении поле можно диф- феоморфизмом превратить в поле параллельных прямых. Для такого поля теорема очевидна. Из определения характеристического направления вытекает Тåîðåìà. Функция u(x) тогда и только тогда является решением квазилинейного уравнения, когда ее график является интегральной поверхностью поля характеристических направлений. Из двух последних теорем непосредственно вытекает Сëåäñòâèå. Функция u(x) тогда и только тогда является решением квазилинейного уравнения, когда ее график содержит вместе с каждой своей точкой интервал характеристики, проходящей через эту точку. Таким образом, нахождение решений квазилинейного уравнения сводится к нахождению его характеристик. Если характеристики известны, то остается лишь составить из них поверхность, являющуюся графиком функции эта функция будет решением квазилинейного уравнения, и все решения получаются этим способом. Зàäà÷à . Доказать, что задача Коши для квазилинейного уравнения первого порядка имеет решение ипритом только одно в достаточно малой окрестности такой точки начальной гиперповерхности и для такого начального условия, что вектор |