В. И. Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения. В. И. Арнольд Обыкновенные дифференциальные уравнения
 Скачать 4.58 Mb.
|
|
a(x 0 , u(x 0 )) не касается начальной гиперпо- верхности. Зàìå÷àíèå. В отличие от линейного уравнения, для квазилинейного уравнения нельзя говорить о характеристичности самих точек начальной гиперповерхности будет данная точка характеристической или нет, зависит также и от начального значения Глава . Основные теоремы. Нелинейное уравнение с частными производными первого порядка. Как и линейные или квазилинейные уравнения, нелинейные уравнения самого общего вида, F(x, ∂u/∂x, u) = 0, интегрируются при помощи характеристик. Но если характеристики линейного уравнения относительно функции в лежат в R n , а квазилинейного в (n + мерном пространстве R n × R, то характеристики общего нелинейного уравнения являются кривыми в (2n + мерном пространстве струй функций, на котором определена задающая уравнение функция F. Оïðåäåëåíèå. Пространством струй функций от x = (x 1 , … …, x n ) называется (2 n + мерное пространство с координатами, x n ; p 1 , …, p n ; y). струя функции u в точке x –– это точка этого пространства с координатами (x, p = ∂u/∂x, y = u(x)). Множество струй функции u во всех точках x ее области определения называется графиком этой функции. Уравнение F(x, ∂u/∂x, u) = 0 определяет в пространстве струй гиперповерхность E, где F(x, p, y) = 0. Решение уравнения F = 0 это функция, график которой принадлежит гиперповерхности Мы будем предполагать, что вектор производных с компонентами) отличен от нуля без этого требования уравнение могло бы вовсе не содержать ∂u/∂x и не было бы дифференциальным. Из условия F p 6= 0 вытекает, что гиперповерхность E –– гладкая (по теореме о неявной функции. Самая трудная часть теории нелинейного уравнения с частными производными первого порядка –– придумать следующее Оïðåäåëåíèå. Характеристиками уравнения F = 0 называются фазовые кривые следующей трудно запоминаемой системы дифференциальных уравнений на гиперповерхности E в пространстве 1-струй: ˙ x = F p , ˙ p = −F x − pF y , ˙ y = З . Докажите, что фазовая кривая этой системы, начинающаяся на гиперповерхности E, целиком лежит на Р. ˙ F = F x ˙ x + F p ˙ p + F y ˙ y = З . Докажите, что график каждого решения уравнения F = 0 содержит вместе с каждой своей точкой интервал характеристики, проходящей через эту точку. Обратно, если график функции состоит из целых характеристик, то функция –– решение. Рåøåíèå. Вдоль графика решения = p dx и dp = (∂ 2 u/∂x 2 ) dx. Для характеристического вектора первое условие очевидно выполнено, авто. Линейные и квазилинейные уравнения рое вытекает из равенства нулю сужения dF на график сужение F x dx + + F p dp + F y dy на график имеет вид + Доказательство обратного (а также геометрическую мотивировку странного определения характеристик) можно найти в книге В. И. Арнольда Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений (М МЦНМО, ), § , или в книге В. И. Арнольда Математические методы классической механики Мс они основаны на геометрии поля контактных плоскостей в пространстве струй. Результат задачи сводит интегрирование нелинейного уравнения первого порядка (например, отыскание решения задачи Коши) к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений –– уравнений характеристик. По начальному условию строится подмногообразие пространства струй, проходящие через него характеристики образуют 1-график искомого решения. Зàäà÷à . Докажите, что характеристики нелинейного уравнения, являющегося квазилинейным, проектируются в характеристики этого квазилинейного уравнения при отображении (x, p, y) 7→ (x, З *. Доказать, что характеристики нелинейного уравнения = инвариантно связаны с уравнением при диффеоморфизмах пространства или даже произведения пространства на ось значений функции производные преобразуются так, что характеристики старого уравнения переходят в характеристики нового приумножении на не обращающуюся в нуль функцию характеристики не меняются. Зàìå÷àíèå. В действительности связь между гиперповерхностью E и характеристиками на ней инвариантна относительно еще более широкой группы диффеоморфизмов пространства струй, перепутывающей аргументы не только со значениями, но и с производными важно лишь, чтобы диффеоморфизм пространства струй сохранял поле контактных плоскостей Рис. . Решение уравнения Гамильтона Якоби (заданных уравнением dy = p dx). Такие диффеомор- физмы называются контактными и образуют контактную группу, фундаментальную для теории уравнений с частными производными первого порядка и для геометрической оптики. Оïðåäåëåíèå. Уравнением Гамильтона––Якоби называется уравнение с частными производными первого порядка, в которое явно не входит значение неизвестной функции, те. уравнение вида H(x, ∂u/∂x) = З . Доказать, что расстояние от точки плоскости до гладкой кривой па плоскости (рис. ) удовлетворяет уравнению Гамильтона––Якоби P(∂u/∂x i ) 2 = 1 в окрестности этой кривой (исключая саму кривую Глава . Основные теоремы Зàäà÷à . Доказать, что расстояние от точки евклидова пространства до гладкого подмногообразия (любой размерности) в этом пространстве удовлетворяет уравнению Гамильтона––Якоби P(∂u/∂x i ) 2 = 1 в окрестности подмногообразия (исключая само подмногообразие). Зàäà÷à . Доказать, что всякое решение уравнения Гамильтона––Якоби P(∂u/∂x i ) 2 = 1 в достаточно малой окрестности любой точки евклидова пространства является суммой расстояния до некоторой гладкой гиперповерхности и константы. Зàäà÷à . Доказать, что характеристики уравнения Гамильтона––Яко- би H = 0 проектируются на пространство (x, p) в виде фазовых кривых уравнений Гамильтона ˙ x = H p , ˙ p = −H x , лежащих на поверхности нулевого уровня функции Гамильтона . Консервативная система с одной степенью свободы В качестве примера применения первого интеграла к исследованию дифференциального уравнения мы рассмотрим здесь механическую систему с одной степенью свободы, без трения. Определения. Консервативной системой с одной степенью свободы называется система, описываемая дифференциальным уравнением где F –– дифференцируемая на некотором интервале I вещественной оси x функция. Уравнение () эквивалентно системе I × В механике принята следующая терминология –– конфигурационное пространство –– координата –– скорость –– ускорение R –– фазовое пространство) –– уравнение Ньютона –– силовое поле) –– сила. Рассмотрим еще следующие функции на фазовом пространстве = ˙ x 2 2 = x 2 2 2 –– кинетическая энергия § . Консервативная система с одной степенью свободы = − x R x 0 F(ξ) dξ –– потенциальная энергия = T + U –– полная механическая энергия. Очевидно, F(x) = − dU dx , так что потенциальная энергия определяет систему. Рис. . Потенциальная энергия маятника Пðèìåð . Для маятника § (рис. ) ¨ x = − sin x, x –– угол отклонения. Для уравнения малых колебаний маятника ¨ x = −x F(x) = −x, U (x) = x 2 Для уравнения малых колебаний перевернутого маятника ¨ x = x F(x) = x, U (x) = − x 2 рис. Рис. . Потенциальная энергия маятника вблизи нижнего и верхнего положения равновесия. Закон сохранения энергии. Тåîðåìà. Полная энергия E является первым интегралом системы (). Глава . Основные теоремы Дîêàçàòåëüñòâî. Имеем d dt x 2 ( t) 2 2 + U (x 1 ( t)) = x 2 ˙ x 2 + U ′ ˙ x 1 = x 2 F(x 1 ) − что и требовалось доказать. Доказанная теорема позволяет исследовать и явно в квадратурах решать уравнения вида (), например уравнение маятника. Линии уровня энергии. Изучим фазовые кривые системы (Каждая из них целиком лежит на одном множестве уровня энергии. Исследуем эти множества уровня. Тåîðåìà. Множество уровня энергии) : x 2 2 2 + U (x 1 ) является гладкой кривой в окрестности каждой своей точки, исключая лишь положения равновесия, те. точки (x 1 , x 2 ) , где) = 0, x 2 = 0. Дîêàçàòåëüñòâî. Воспользуемся теоремой о неявной функции. Имеем ∂E ∂x 1 = −F(x 1 ), ∂E ∂x 2 = x 2 Если одна из производных отлична от 0, тов окрестности рассматриваемой точки множество уровня E является графиком дифференцируемой функции вида x 1 = x 1 ( x 2 ) или. Теорема доказана. Заметим, что исключенные выше точки (x 1 , x 2 ), где) = и x 2 = 0, –– это в точности стационарные точки (положения равновесия) системы () и особые точки векторного поля фазовой скорости. Далее, эти же точки являются критическими точками ∗) полной энергии E(x 1 , x 2 ). Наконец, точки, где F(x 1 ) = 0, –– это критические точки потенциальной энергии U Чтобы нарисовать линии уровня энергии, полезно представлять себе шарик, катающийся в потенциальной яме U рис. Зафиксируем значение полной энергии E. Заметим, что кинетическая энергия неотрицательна. Поэтому потенциальная энергия не превосходит полной. Значит, линия уровня энергии E проектируется на конфигурационное пространство (на ось x 1 ) в множество ∗) Критической точкой функции называется точка, в которой полный дифференциал функции равен нулю. Значение функции в такой точке называется критическим значением. § . Консервативная система с одной степенью свободы Рис. . Шарик в потенциальной яме и фазовая кривая не превосходящих E значений потенциальной энергии {x 1 ∈ I : U(x 1 ) ¶ E} (шарик не может подняться выше уровняв потенциальной яме). Далее, скорость тем больше (по абсолютной величине, чем меньше потенциальная энергия = p 2( E − U(x 1 )) (скатываясь в яму, шарик набирает скорость, а поднимаясь, теряет ее. В точках поворота, где U (x 1 ) = E, скорость равна Из четности энергии по отношению к следует, что линия уровня энергии симметрична относительно оси шарик проходит каждую точку туда и обратно с одинаковой скоростью). Этих простых соображений достаточно, чтобы рисовать линии уровня энергии систем с разнообразными потенциалами U . Рассмотрим сначала простейший случай (бесконечно глубокая потенциальная яма с одним притягивающим центром, когда F(x) монотонно убывает, F(ξ) = 0, I = R (рис. Если значение полной энергии меньше минимума потенциальной, то множество уровня E = пусто (движение шарика физически невозможно. Множество уровня E = состоит из одной точки ( ξ, 0) (шарик покоится на дне ямы). Если значение полной энергии больше критического значения, то множество уровня E = E 3 –– гладкая замкнутая симметричная кривая, окружающая положение равновесия ( ξ, 0) на фазовой плоскости (шарик катается в яме взад и вперед он поднимается до высоты E 3 , в этот момент его скорость обращается в 0, ион скатывается обратно в яму, проходит, в этот момент его скорость максимальна, поднимается с другой стороны и т. д.). При исследовании более сложных случаев следует поступать подобным же образом, последовательно увеличивая значения полной энергии E и останавливаясь назначениях, равных критическим значениям потенциальной энергии U (ξ) (где U ′ ( ξ) = 0), следя каждый раз за кривыми со значениями E, немного меньшими и немного большими критических. Пðèìåð . Пусть потенциальная энергия U имеет трикритические точки: ξ 1 (минимум), ξ 2 (локальный максимум), ξ 3 (локальный Глава . Основные теоремы минимум. На рис. показаны линии уровня E 1 = U (ξ 1 ), U (ξ 1 ) < 2 3 ), E 3 = U (ξ 3 ), U (ξ 3 ) < E 4 < U(ξ 2 ), E 5 = U (ξ 2 ), E 6 > Рис. . Линии уровня энергии Зàäà÷à . Нарисовать линия уровня энергии для уравнения маятника = − sin x и для уравнений маятника вблизи нижнего и верхнего положений равновесия ( ¨ x = −x и ¨x = З . Нарисовать линии уровня энергии для задачи Кеплера и для потенциалов, представленных на рис. Рис. . Нарисуйте линии уровня энергии. Линии уровня энергии вблизи особой точки. При исследовании поведения линий уровня вблизи критического значения энергии полезно помнить о следующих обстоятельствах. Зàìå÷àíèå . Если потенциальная энергия –– квадратичная форма U = kx 2 /2, то линии уровня энергии –– кривые второго порядка = x 2 2 + kx 2 Уравнением Ньютона с таким потенциалом описывается изменение расстояния планет и комет от Солнца § . Консервативная система с одной степенью свободы В случае притяжения k > 0 (те. критическая точка 0 –– минимум потенциальной энергии U рис. )). В этом случае линии уровня энергии –– гомотетичные эллипсы с центром в Рис. . Линии уровня энергии для притягивающего и отталкивающего квадратичных потенциалов В случае отталкивания k < 0 (те. критическая точка 0 –– максимум потенциальной энергии (рис. )). В этом случае линии уровня энергии –– гомотетичные гиперболы с центром в 0 и пара их асимптот x 2 = ± p −k x 1 . Эти асимптоты называются также сепаратрисами, так как они отделяют друг от друга гиперболы разных типов. Зàìå÷àíèå . В окрестности невырожденной критической точки приращение функции является квадратичной формой, если только надлежащим образом выбрать координату. Точка 0 является критической точкой дифференцируемой функции, если f ′ (0)=0. Критическая точка 0 невырождена, если f ′′ (0) 6= 6=0. Предположим, что f (0) = Л МВ окрестности невырожденной критической точки 0 можно выбрать координату y так, что f =Cy 2 , C =sgn Такой координатой будет, конечно, y = sgn x p | f (x)|. Утверждение состоит в том, что соответствие x 7→ y в окрестности точки 0 диффеоморфно. Для доказательства удобно воспользоваться следующим предло- жением: Лåììà Аäàìàðà ∗) Пусть f –– дифференцируемая класса функция, равная в точке x = 0 нулю. Тогда f (x) = xg(x), где g –– дифференцируемая класса в окрестности точки x = 0) функция. ∗) Обе леммы можно распространить на функции многих переменных Глава . Основные теоремы Дîêàçàòåëüñòâî. Имеем f (x) = 1 R 0 df (tx) dt dt = 1 R 0 f ′ ( tx)x dt = x 1 R 0 f ′ ( tx) функция g(x) = 1 R 0 f ′ ( tx) dt класса C r −1 , и лемма доказана. Применим лемму Адамара к функции f леммы Морса дважды. Находим f = x 2 ϕ(x), где 2ϕ(0) = f ′′ (0) 6= 0. Итак, y = x p |ϕ(x)|. Лемма Морса доказана, так как функция p |ϕ(x)| в окрестности точки = 0 дифференцируема (r − 2 раза, если f класса Таким образом, линии уровня энергии в окрестности невырожденной критической точки превращаются либо в эллипсы, либо Рис. . Касательные к сепаратрисам отталкивающей особой точки в гиперболы при диффеоморфном изменении системы координат (З . Найти касательные к сепаратрисам отталкивающей особой точки (U ′′ ( ξ) < О ξ) (рис. ). . Продолжение решений уравнения Ньютона. Пусть потенциальная энергия определена на всей оси x. Из закона сохранения энергии непосредственно вытекает Тåîðåìà. Если потенциальная энергия всюду положительна, то каждое решение уравнения продолжается неограниченно. Пðèìåð . Пусть = −x 4 /2. Решение x = 1/(t − 1) нельзя продолжить до t = Установим сначала следующее утверждение, называемое априорной оценкой: Лåììà. Если решение существует при < τ, то оно удовлетворяет неравенствам ¶ p 2 E 0 , |x(t) − x(0)| < p 2 E 0 |t|, где E 0 = = ˙ x(0) 2 2 + U (x(0)) –– начальное значение энергии. ∗) Разумеется, изменение потенциальной энергии U на константу не меняет уравнения. Существенно лишь, что U ограничена снизу § . Консервативная система с одной степенью свободы Дîêàçàòåëüñòâî. Согласно закону сохранения энергии (x(t)) = и поскольку U > 0, первое неравенство доказано. Второе неравенство вытекает из первого, так как x(t) − x(0) = t R 0 ˙ x(θ ) dθ . Лемма доказана. Рис. . Прямоугольник, откуда фазовая точка не выйдет за время Д Пусть T произвольное положительное число. Рассмотрим прямоугольник Π (рис. на фазовой плоскости x 1 (0) | ¶ 2 p 2 E 0 T , |x 2 | ¶ Рассмотрим в расширенном фазовом пространстве) параллелепипед ¶ T, ( x 1 , x 2 ) ∈ Π. По теореме о продолжении решение можно продолжить до границы параллелепипеда. Из леммы следует, что решение может выйти лишь нате грани параллелепипеда, где = T. Итак, решение можно продолжать до любого t = ±T и, следовательно, неограниченно. Зàäà÷à . Доказать неограниченную продолжаемость решений системы уравнений Ньютона m i ¨ m i = − ∂U ∂x i , i = 1, …, N, m i > 0, x ∈ R N , в случае положительной потенциальной энергии (U > Рис. . Множество точек x, где) < E |