В. И. Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения. В. И. Арнольд Обыкновенные дифференциальные уравнения
 Скачать 4.58 Mb.
|
|
§ . Линейные неавтономные уравнения Та часть теории линейных уравнений, которая не зависит от инвариантности относительно сдвигов, легко переносится на линейные уравнения и системы с переменными коэффициентами. Определение. Линейным однородным) уравнением с переменными коэффициентами ∗) мы будем называть уравнение = A(t)x, x ∈ R n , A(t) : R n → где t принадлежит интервалу I вещественной оси. Этот интервал может составлять всю ось Геометрически решения уравнения () изображаются интегральными кривыми в полосе I × расширенного фазового пространства (рис. ). Как обычно, мы будем предполагать функцию A(t) гладкой ∗∗) Пðèìåð . Рассмотрим уравнение маятника ¨ x = −ω 2 x. Частота определяется длиной маятника. Колебания маятника переменной длины описываются аналогичным уравнением ¨ x Мы предполагаем, что коэффициенты вещественны. Комплексный случай вполне аналогичен. ∗∗) Достаточно было бы предполагать функцию A(t) непрерывной (см. ниже § пс. Линейные неавтономные уравнения Рис. . Интегральные кривые линейного уравнения Рис. . Качели Рис. . Непродолжаемое решение уравнения ˙ x = Это уравнение можно записать в виде (): ¨ ˙ x 1 = x 2 , ˙ x 2 = −ω 2 ( t)x 1 , A(t) = 0 1 −ω 2 ( t) Примером маятника переменной длины являются качели изменяя положение своего центра тяжести, человек на качелях периодически изменяет величину параметра рис. ). . Существование решений. Одно решение у уравнения () видно сразу нулевое. Для любых начальных условий (t 0 , x 0 ) из по общим теоремам гл. существует решение, определенное в некоторой окрестности точки t 0 . Для нелинейного уравнения это решение может не продолжаться навесь интервал I рис. ). Особенностью линейных уравнений является то, что для них уход в бесконечность за конечное время невозможен. Тåîðåìà. Всякое решение уравнения () можно продолжить навесь интервал Причина заключается в том, что для линейного уравнения ˙x| ¶ и поэтому решение растет не быстрее Аккуратное доказательство проводится, например, так. Пусть [a, b] компактный отрезок в I. Тогда на отрезке [a, b] норма ∗) оператора A(t) ограничена, Мы предполагаем, что в выбрана какая-нибудь евклидова метрика Глава . Линейные системы Докажем следующую àïðèîðíóþ Если решение ϕ определено на отрезке [t 0 , t] (a ¶ t 0 ¶ t ¶ b) (рис. ), то ¶ Для нулевого решения это очевидно. Если ϕ(t 0 ) 6= 0, тоне обращается в 0 по теореме единственности. Положим r(τ)= |ϕ(τ)|. Функция L(τ)=ln определена при t 0 ¶ τ ¶ Рис. . Априорная оценка роста решения на [a, Рис. . Продолжение решения до t = По условию, ˙L ¶ 2r˙ r/r 2 ¶ 2 C. Поэтому L(t) ¶ L(t 0 ) + 2 C(t − t 0 ), что и доказывает априорную оценку (Пусть теперь > 0. Рассмотрим компакт в расширенном фазовом пространстве (рис. ) F = {t, x : a ¶ t ¶ По теореме продолжения, решение с начальным условием ϕ(t 0 ) = продолжается вперед до границы цилиндра F. Граница цилиндра F состоит из торцов (t = a, t = b) и боковой поверхности ( |x| 2 = 2 Be 2 C(b −a) ). На боковую поверхность решение выйти не может, так как, согласно априорной оценке ¶ Be 2 C(b −a) . Итак, решение продолжается вправо до t = b. Аналогично доказывается продолжение влево до Ввиду произвольности a и b, теорема доказана. Линейное пространство решений. Рассмотрим множество всех решений уравнения (), определенных на всем интервале I. Поскольку решения –– это отображения ϕ : I → со значениями в линейном фазовом пространстве R n , то их можно складывать и умножать на числа (c 1 ϕ 1 + c 2 ϕ 2 )( t) = c 1 ϕ 1 ( t) + c 2 ϕ 2 ( t). Тåîðåìà. Множество X всех решений уравнения (), определенных на интервале I, является линейным пространством. Дîêàçàòåëüñòâî. Это очевидно) = c 1 ˙ ϕ 1 + c 2 ˙ ϕ 2 = c 1 Aϕ 1 + c 2 Aϕ 2 = A(c 1 ϕ 1 + c 2 ϕ 2 ). § . Линейные неавтономные уравнения Тåîðåìà. Линейное пространство X решений линейного уравнения изоморфно фазовому пространству этого уравнения. Дîêàçàòåëüñòâî. Пусть t ∈ I. Рассмотрим отображение R n , B t ϕ = сопоставляющее каждому решению ϕ его значение в момент Отображение линейно (так как значение суммы решений равно сумме их значений. Его образ –– все фазовое пространство так как по теореме существования для любого x 0 ∈ существует решение ϕ с начальным условием ϕ(t 0 ) = x 0 . Ядро отображения равно 0, так как решение с нулевым начальным условием ϕ(t 0 ) = равно нулю тождественно по теореме единственности. Итак, B t –– изоморфизм X на R n . Это –– основной результат теории линейных уравнений. Оïðåäåëåíèå. Фундаментальной системой решений уравнения) называется базис линейного пространства решений X З . Найти фундаментальную систему решений уравнения (где = 0 1 −1 Из доказанной теоремы вытекают: Сëåäñòâèå . Всякое уравнение () имеет фундаментальную систему из n решений ϕ 1 , …, С. Всякое решение уравнения () является линейной комбинацией решений фундаментальной системы. Рис. . Линейное преобразование фазового пространства, осуществляемое решениями линейного уравнения за время от до С. Всякие n + 1 решений уравнения () линейно зави- симы. Сëåäñòâèå . Соответствующие уравнению () отображения за время от до рис. ) g t 1 t 0 = B t 1 B −1 t 0 : R n → являются линейными изоморфиз- мами. . Определитель Вронского. Пусть e 1 , …, e n –– некоторый базис в фазовом пространстве R n . Выбор базиса фиксирует единицу объема и ориентацию в R n . Поэтому каждый параллелепипед в фазовом пространстве имеет определенный объем Глава . Линейные системы Рассмотрим n вектор-функций ϕ k : I → R n (k = 1, …, n). Оïðåäåëåíèå. Определителем Вронского системы вектор-функ- ций называется числовая функция W : I → R n , значение которой в точке t равно (ориентированному) объему параллелепипеда, натянутого на векторы ϕ 1 ( t), …, ϕ n ( t) ∈ R n , W (t) = ϕ 11 ( t) … ϕ n1 ( t) ϕ 1 n ( t) … ϕ nn ( t) , ϕ k ( t) = ϕ k1 ( t)e 1 + … +В частности, пусть ϕ k –– решения уравнения (). Их образы при построенном выше изоморфизме B t –– это векторы фазового пространства. Они линейно зависимы, если и только если определитель Вронского равен 0 в точке t. Отсюда: Сëåäñòâèå . Система решений ϕ 1 , …, уравнения () является фундаментальной тогда и только тогда, когда ее определитель Вронского отличен отв какой-нибудь точке С. Если определитель Вронского системы решений уравнения () равен 0 водной точке, то он равен 0 тождественно при всех З . Может ли определитель Вронского системы линейно независимых вектор-функций тождественно равняться нулю? Зàäà÷à . Докажите, что определитель Вронского фундаментальной системы решений пропорционален определителю преобразования за время от до t: W (t) = (det g t t 0 ) W У. Решение см. в п. . . Случай одного уравнения. Рассмотрим одно уравнение го порядка + a n x = с переменными, вообще говоря, коэффициентами a k = a k ( t), t ∈ Некоторые уравнения второго порядка с переменными коэффициентами столь часто встречаются в приложениях, что имеют собственные имена, а их решения изучены и затабулированы не менее подробно, чем синус и косинус (см, например, Е. Янке, Ф. Эмде. Таблицы функций. –– М Наука, ). Пðèìåð . Уравнение Бесселя ¨ x + 1 t ˙ x + 1 − ν 2 t 2 x = 0. § . Линейные неавтономные уравнения Пðèìåð . Гипергеометрическое уравнение Гаусса + ( α + β + 1)t − γ t(t − 1) ˙ x + αβ t(t − 1) x = П . Уравнение Матье: ¨ x + (a + b cos t)x = Мы могли бы записать уравнение () в виде системы n уравнений первого порядка и применить предыдущие рассуждения. Можно, однако, рассмотреть непосредственно пространство решений уравнения (). Это линейное пространство функций I → → R. Оно естественно изоморфно пространству решений эквивалентной системы n уравнений. Изоморфизм задается сопоставлением функции вектор-функции ϕ = (ϕ, ˙ ϕ, …, ϕ ( n −1) ) из производных. Итак: Сëåäñòâèå . Пространство X решений уравнения () изоморфно фазовому пространству уравнения (), причем изоморфизм можно задать, сопоставляя каждому решению ϕ ∈ X набор значений производных в какой-нибудь точке t 0 : ϕ 7→ (ϕ(t 0 ), ˙ ϕ(t 0 ), …, ϕ ( n −1) ( t 0 )). Оïðåäåëåíèå. Базис линейного пространства X называется фундаментальной системой решений уравнения (З . Указать фундаментальную систему решений уравнения (в случае, когда коэффициенты постоянны. Например, для ¨ x + ax = О. { t r e λt } , где 0 ¶ r < ν , если λ –– корень характеристического уравнения кратности. В случае комплексных корней (λ = α ± iω) нужно заменить на e αt cos ωt и e αt sin ωt. В частности, для ¨ x + ax = 0 cos ωt и sin если a = ω 2 > 0; ch αt и sh αt или и если a = −α 2 < 0; 1 и t, если a = 0. Оïðåäåëåíèå. Определителем Вронского системы функций ϕ k : I → R, 1 ¶ k ¶ n, называется числовая функция W : I → R, значение которой в точке t равно (t) = ϕ 1 ( t) … ϕ n ( t) ˙ ϕ 1 ( t) … ˙ ϕ n ( t) ϕ ( n −1) 1 ( t) … Иными словами, это –– определитель Вронского системы вектор- функций ϕ k : I → R n , полученных из ϕ k обычным образом) = (ϕ k ( t), ˙ ϕ k ( t), …, ϕ ( n −1) k ( t)), k = 1, …, n. Глава . Линейные системы Все сказанное об определителе Вронского системы векторов-ре- шений уравнения () переносится без изменений на определитель Вронского системы решений уравнения (). В частности: Сëåäñòâèå . Если определитель Вронского системы решений уравнения () обращается в 0 хоть водной точке, то он тождественно равен нулю при всех З . Пусть определитель Вронского двух функций равен 0 в точке. Следует ли отсюда, что он тождественно равен С. Если определитель Вронского системы решений уравнения () обращается в 0 хоть водной точке, то эти решения линейно зависимы. Зàäà÷à . Пусть определитель Вронского двух функций тождественно равен 0. Следует ли отсюда, что эти функции линейно зависимы? Сëåäñòâèå . Система n решений уравнения () фундаментальна, если и только если определитель Вронского отличен от 0 хоть в одной точке. Пðèìåð . Рассмотрим систему функций e λ 1 t , …, e λ n t . Эти функции образуют фундаментальную систему решений линейного уравнения вида () (какого. Поэтому они линейно независимы. Значит, их определитель Вронского отличен от 0. Но этот определитель равен (t) = e λ 1 t … e λ n t λ 1 e λ 1 t … λ n e λ n t λ n −1 1 e λ 1 t … λ n −1 n e λ n t = e ( λ 1 + …+ λ n ) t 1 … 1 λ 1 … λ n λ n −1 С. Определитель Вандермонда 1 … 1 λ 1 … λ n λ n −1 1 … отличен от 0, если попарно различны. Пðèìåð . Рассмотрим уравнение маятника ¨ x + ω 2 x = 0. Фундаментальная система решений (cos ωt, sin ωt). Определитель Врон- ского W = cos ωt sin ωt −ω sin ωt ω cos ωt = ω постоянный. Это неудивительно, так как фазовый поток уравнения маятника сохраняет площади (см. § , п. ). § . Линейные неавтономные уравнения Посмотрим теперь, как меняется объем фигур фазового пространства под действием преобразований за время от до в общем случае. Теорема Лиувилля. Определитель Вронского системы решений уравнения () является решением дифференциального уравнения = aW где) = tr след С (t) = exp t R t 0 a(τ) dτ W (t 0 ), det g t t 0 = exp t R t 0 a(τ) Действительно, уравнение () легко решить dt, ln W − ln W 0 = t R t 0 a(τ) Между прочим, из формулы () снова видно, что определитель Вронского системы решений либо равен 0 тождественно, либо не обращается в 0 нив одной точке. Зàäà÷à . Найти объем образа единичного куба 0 ¶ x i ¶ 1 под действием преобразования за время 1 фазового потока системы x 2 − x 3 , ˙ x 2 = x 1 + x 2 + x 3 , ˙ x 3 = x 1 − x 2 − Р. tr A = 2, поэтому W(t) = e 2 t W (0) = И теоремы Лиувилля. Если коэффициенты постоянны, то уравнение () –– это формула Лиувилля из § . Замораживая коэффициенты A(t) (положив их равными значениям Рис. . Действие фазового потока на параллелепипед, натянутый на фундаментальную систему решений в некоторый момент времени τ), убедимся в справедливости равенства) при любом τ. Дîêàçàòåëüñòâî. Рассмотрим линейное преобразование фазового пространства рис. ) за малое время от до τ + ∆. Это преобразование переводит значение любого решения ϕ уравнения () в момент в его значение в момент + ∆. Согласно уравнению (), ϕ(τ + ∆) = ϕ(τ) + A(τ)ϕ(τ)∆ + те+ Следовательно, согласно § , коэффициент растяжения объемов при преобразовании равен det g τ+∆ τ = 1 + ∆ a + o(∆), где a = tr A. Глава . Линейные системы Но W (τ) –– это объем параллелепипеда Π τ , натянутого назначения нашей системы решений в момент. Преобразование переводит эти значения в систему значений той же системы решений в момент + ∆. Параллелепипед, натянутый на эти новые значения, имеет объем W(τ + Итак + ∆) = (det g τ+∆ τ ) W (τ) = [1 + a(τ)∆ + o(∆)]W откуда ˙ W = aW, что и требовалось. Сëåäñòâèå. Определитель Вронского системы решений уравнения () равен W (t) = exp − t R t 0 a 1 ( τ) dτ W Знак минус появляется из-за того, что при записи уравнения (в виде системы () приходится перенести в правую часть. На диагонали матрицы получившейся системы 1 0 1 0 стоит только −a 1 Пðèìåð . Рассмотрим уравнение качелей ¨ x + f (t)x = 0. Тåîðåìà. Положение равновесия x = ˙ x = 0 ни при каком f не может быть асимптотически устойчивым. Дîêàçàòåëüñòâî. Рассмотрим какой-нибудь базис ξ, η в плоскости начальных условий рис. ). Устойчивость означала бы, что 0 и g t t 0 η → 0. Тогда для соответствующей фундаментальной системы W (t) → Рис. . Фазовый поток асимптотически устойчивой линейной системы Наше уравнение эквивалентно системе f (t)x 1 § . Линейные неавтономные уравнения с матрицей A = 0 1 − f 0 . Поскольку tr A = 0, то W (t) = const вопреки З . Рассмотрите качели с трением ¨ x + α(t) ˙ x + ω 2 ( t)x = 0. Покажите, что асимптотическая устойчивость невозможна, если коэффициент трения отрицателен ( α(t) < 0 Верно ли, что при положительном коэффициенте трения положение равновесия) всегда устойчиво? Зàìå÷àíèå. Дивергенцией векторного поля v в евклидовом пространстве с декартовыми координатами называется функция div v В частности, для линейного векторного поля v(x) = Ax дивергенция –– это след оператора A: div Ax = tr Дивергенция векторного поля определяет скорость растяжения объемов соответствующим фазовым потоком. Пусть D –– область в евклидовом пространстве уравнения ˙ x = необязательно линейного. Обозначим через D(t) образ области Рис. . Фазовый поток векторного поля дивергенции 0 сохраняет площади под действием фазового потока и через V (t) объем области З. Докажите следующую теорему. Тåîðåìà Л рис. С. Если div v = то фазовый поток сохраняет объем любой области. Такой фазовый поток можно представить себе как течение несжимаемой фазовой жидкости в фазовом пространстве. Сëåäñòâèå . Фазовый поток уравнений Гамильтона = 1, …, сохраняет объемы. Дîêàçàòåëüñòâî. div v = P ∂ 2 H ∂q k ∂p k − ∂ 2 H ∂p k ∂q k ≡ 0. Глава . Линейные системы Этот факт играет фундаментальную роль в статистической физике. Теоремы Штурма о нулях решений уравнений второго порядка. Решения линейных уравнений второго порядка обладают своеобразными свойствами колеблемости. Штурм говорило теоремах, имя которых я имею честь носить». Рассмотрим уравнения с постоянными коэффициентами (рис + ω 2 x = 0, ¨ x − k 2 x = Решения первого уравнения имеют бесконечно много нулей. Расстояние между двумя последовательными нулями любого его ненулево- Рис. . Решения уравнений ± ¨x = го решения равно. Каждое решение второго уравнения, неравное нулю тождественно, имеет не более одного нуля. В обоих случаях между каждыми двумя нулями любого неравного тождественно нулю решения уравнения есть нуль любого другого решения. Теоремы Штурма показывают, что аналогичные явления имеют место и для уравнений с переменными коэффициентами + q(t)x = более общее уравнение ¨ x + p(t) ˙ x + q(t)x = 0 легко приводится к виду (Рассмотрим для уравнения () фазовую плоскость с координатами. Фазовые кривые неавтономного уравнения могут пересекаться. Тем не менее некоторую информацию об этих кривых для уравнения второго порядка получить можно. Эта информация и лежит в основе теоремы Штурма. Пðåäëîæåíèå . Фазовые кривые уравнения () пересекают луч = 0, y > 0 в сторону возрастания x, а луч x = 0, y < 0 –– в сторону убывания x. Дîêàçàòåëüñòâî. Запишем уравнение () в виде системы = y, ˙ y На прямой x = 0 вектор фазовой скорости при любом y имеет компоненты) (рис. ), что и доказывает предложение Заметим, что при y 6= 0 вектор фазовой скорости на оси x = 0 отличен от нуля. Поэтому нули любого (неравного нулю тождествен § . Линейные неавтономные уравнения Рис. . Фазовая плоскость уравнения + q(t)x = но) решения уравнения () изолированы и на любом отрезке оси t их конечное число. Из предложения непосредственно вытекает Пðåäëîæåíèå . Из любых двух последовательных пересечений прямой x = 0 фазовой кривой одно происходит при y >0, а другое при y Обозначим через полярный угол, отсчитываемый от положительного направления оси в сторону положительного направления оси Из предложения вытекает Пðåäëîæåíèå . Между двумя последовательными пересечениями оси x = 0 фазовой кривой величина ϕ вдоль фазовой кривой увеличивается на Из этого предложения очевидно вытекает Тåîðåìà. На отрезке между двумя последовательными нулями любого решения уравнения () есть нуль любого другого решения. Действительно, заметающий полуплоскость луч должен в процессе движения обогнать любой луч, остающийся в этой полуплоско- сти. Дîêàçàòåëüñòâî. Рассмотрим полярный угол вдоль первого и второго решения (рис. ), ϕ = α(t), ϕ = β(t). Пусть нули первого решения соот- Рис. . Доказательство теоремы о нулях ветствуют t = и t 2 . Предположим, что для первого решения y > 0 при t = если это не так, изменим знак первого решения. Тогда мы можем считать) = 0. По предложению α(t 2 ) = π. Мы можем считать, что 0 ¶ β(t 1 ) ¶ π если это не так, изменим знак второго решения). Если решения линейно зависимы, тонули их совпадают и все доказано. Если же решения линейно независимы, то соответствующие им векторы на фазовой плоскости в любой момент времени тоже линейно независимы. Следовательно, в этом случае) 6= α(t) при любых Итак π = α(t 2 ) < β(t 2 ). Следовательно, на отрезке [ t 1 , t 2 ] существует, для которого) = π; это и есть нуль второго решения. Второе соображение, лежащее в основе теорем Штурма, состоит в том, что угловая скорость движения фазовой точки уравнения (вокруг начала координат может быть явно вычислена. Пðåäëîæåíèå . Обозначим через ˙ ϕ скорость изменения полярного угла ϕ при движении фазовой точки (x(t), y(t)) уравнения (). Глава . Линейные системы Тогда значение ˙ ϕ одинаково для всех векторов (x, y), коллинеарных данному, и равно = q(t)x 2 + y 2 x 2 + y 2 Дîêàçàòåëüñòâî. Если r –– радиус-вектор фазовой точки, то удвоенная секториальная скорость равна [r, ˙ r] ив тоже время −r 2 ˙ ϕ (плоскость ориентирована координатами (x, y), а угол ϕ отсчитывается от оси y коси. Поэтому = − [r, что и требовалось доказать. Из предложения следует, что при равных значениях полярного угла ϕ 6= kπ радиус-вектор фазовой точки того уравнения вращается быстрее, у которого коэффициент q больше. Отсюда легко вытекает Тåîðåìà Рассмотрим два уравнения вида () ¨ x + q(t)x = 0, ¨ x + Q(t)x = и предположим, что Q ¾ q. Тогда на отрезке между любыми двумя последовательными нулями любого решения первого уравнения (с меньшим коэффициентом, q) есть нуль любого решения второго уравнения. Дîêàçàòåëüñòâî. Предположим вначале, что строго больше q при всех t. Обозначим через ϕ = α(t) полярный угол вдоль первого решения и через = A(t) –– вдоль второго. Как выше, мы можем считать, что α(t 1 ) = 0, α(t 2 ) = π, 0 < A(t 1 ) < π. В начальный момент имеем A(t 1 ) > α(t 1 ). Вдаль- нейшем, прибудет оставаться больше α(t). Действительно, если бы функция в некоторый момент времени τ впервые обогнала бы тов этот момент времени значения и A совпали бы и были бы отличны от. Но тогда в момент обгона радиус-вектор догоняющей точки вращался быстрого медленнее ((A(τ) > ˙ α(τ) согласно предложению , так как Q > и обгона не произошло бы. Итак, A(t 2 ) > α(t 2 ) = π. Но A(t 1 ) < π. Значит, существует момент t 3 ∈ [t 1 , t 2 ], где) = π. Это и есть нуль второго урав- нения. Доказательство в случае Q ¾ q получается предельным переходом от случая q. Сëåäñòâèå. Расстояние между любыми двумя последовательными нулями уравнения а) не больше π/ω, если q(t) ¾ ω 2 ∀t, § . Линейные неавтономные уравнения б) не меньше π/Ω, если q(t) ¶ Ω 2 ∀t. В частности, если q(t) ¶ 0 то никакое решение уравнения (), кроме тождественно равного нулю, не обращается в нуль дважды. Дîêàçàòåëüñòâî. а) Пусть строго между последовательными нулями можно вставить отрезок длины. Для любого отрезка длины можно подобрать решение уравнения ¨ x + ω 2 x = 0 так, что этот отрезок будет ограничен последовательными нулями решения. На этом отрезке уравнение () сне меньшим чем ω 2 коэффициен- том q не имеет нулей. Это противоречит теореме сравнения. Значит, отрезка длины вставить между нулями уравнения () нельзя. б) Доказывается аналогичным сравнением с уравнением ¨ x + + Ω 2 x = Исследование собственных колебаний сплошных сред (закрепленной струны) приводит к следующей çàäà÷å Шòóðìà––Лèóâèë- ëÿ Найти решения уравнения + (q(t) + λ)x = обращающиеся в нуль на концах данного отрезка 0 ¶ t ¶ Значения спектрального параметра λ, при которых такие (не тождественно равные нулю) решения существуют, называются соб- Рис. . Собственные колебания струны ственными значениями, асами решения собственными функциями. Зàäà÷à . Найти собственные функции и числа в случае q ≡ О. Собственные функции суть sin риса собственные числа λ k = k 2 λ 1 , λ 1 = = ( π/l) 2 Рåøåíèå. ¨ x + λx = 0, x(0) = x(l) = 0 ⇒ λ > 0 ⇒ x = a cos p λt + b sin p λt; x(0) = 0 ⇒ a = 0 ⇒ p λl = kπ ⇒ λ k = k 2 ( π/l) 2 Тåîðåìà. Для любой гладкой на отрезке [0, l] функции q задача Штурма––Лиувилля имеет бесконечное количество собственных чисел: соответствующие собственные функции имеют на этом отрезке как угодно много нулей. Дîêàçàòåëüñòâî. Рассмотрим решение уравнения () с начальным условием x(0) = 0, ˙ x(0) = 1. Обозначим через ϕ = α(t, λ) значение полярного угла вдоль фазовой кривой для этого решения пусть, λ) ≡ 0. Функция α непрерывна. Рассмотрим значение α(l, λ) Глава . Линейные системы как функцию от. При λ → +∞ величина α(l, λ) стремится к бесконечности. Действительно, пусть q + λ > ω 2 . Если достаточно велико, то отрезок будет укладываться на отрезке [0, l] как угодно большое число раз k. Значит, число нулей уравнения со столь большим на этом отрезке не меньше k теорема сравнения). Следовательно, α(l, λ) ¾ πk предложение ). Итак, α(l, λ) → ∞ при → +∞. Значит, существует бесконечный набор собственных чисел, для которых, λ k ) = πk. Теорема доказана. Зàäà÷à . Доказать, что З . Перенести результаты на уравнения вида ˙ x)˙+ qx = 0, p(t) > У. Рассмотреть фазовую плоскость ( x, y), где y = p ˙ x. |