В. И. Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения. В. И. Арнольд Обыкновенные дифференциальные уравнения
 Скачать 4.58 Mb.
|
|
Издание подготовлено при поддержке Фонда Дмитрия Зимина «Династия» Фонд некоммерческих программ Династия основан в году Дмитрием Борисовичем Зиминым, почетным президентом компании «Вымпелком». Приоритетные направления деятельности Фонда –– развитие фундаментальной науки и образования в России, популяризация и просвещение. Библиотека Династии –– проект Фонда по изданию современных научно-популярных книг, отобранных экспертами-учеными. Книга, которую выдержите в руках, выпущена в рамках этого проекта. Более подробную информацию о фонде Династия вы найдете по адресу www.dynastyfdn.ru. В. И. Арнольд Обыкновенные дифференциальные уравнения Москва Издательство МЦНМО УДК . ББК .. А А Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. –– Новое издание, исправл. –– М МЦНМО, . –– сил За сорок лет, прошедших со времени выхода первого издания, этот учебник успел стать классическим. Большое внимание уделяется геометрическому смыслу основных понятий. В книге прослеживается тесная связь предмета с приложениями, в особенности с механикой. При изложении делается упор не на формулы, а на геометрический смысл основных определений и теорем. Автор знакомит читателя с такими понятиями, как многообразия, однопараметрические группы диффеоморфизмов, касательные пространства и расслоения. В число рассматриваемых примеров из механики входит исследование фазовых портретов консервативных систем с одной степенью свободы, теория малых колебаний, параметрический резонанс. Книга предназначена для студентов и аспирантов математических факультетов университетов и вузов с расширенной программой по матема- тике. ББК Публикуется по изданию В. И. Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения Учеб. пособие для вузов. –– е изд, перераб. и доп. –– М Наука, . ISBN ---- © Арнольд В. И, . © МЦНМО, . Оглавление Предисловие к третьему изданию . . . . . . . . . . . . . . . . . . Предисловие к первому изданию . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Некоторые постоянно употребляемые обозначения . . . . . . . Глава. Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 1. Фазовые пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 2. Векторные поляна прямой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 3. Линейные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 4. Фазовые потоки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 5. Действие диффеоморфизмов на векторные поля и на поля направлений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 6. Симметрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава. Основные теоремы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 7. Теоремы о выпрямлении . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 8. Применения к уравнениям выше первого порядка . . . . . § 9. Фазовые кривые автономной системы . . . . . . . . . . . . . § 10. Производная по направлению векторного поля и первые интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 11. Линейные и квазилинейные уравнения первого порядка с частными производными . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 12. Консервативная система с одной степенью свободы . . . . Глава. Линейные системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 13. Линейные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 14. Показательная функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 15. Свойства экспоненты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 16. Определитель экспоненты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 17. Практическое вычисление матрицы экспоненты –– случай вещественных и различных собственных чисел . . . . . § 18. Комплексификация и овеществление . . . . . . . . . . . . . § 19. Линейное уравнение с комплексным фазовым пространством. . . . . . . . . . . . . . § 20. Комплексификация вещественного линейного уравнения § 21. Классификация особых точек линейных систем . . . . . . Оглавление 22. Топологическая классификация особых точек . . . . . . . . § 23. Устойчивость положений равновесия . . . . . . . . . . . . . § 24. Случай чисто мнимых собственных чисел . . . . . . . . . . § 25. Случай кратных собственных чисел . . . . . . . . . . . . . . § 26. О квазимногочленах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 27. Линейные неавтономные уравнения . . . . . . . . . . . . . . § 28. Линейные уравнения с периодическими коэффициентами § 29. Вариация постоянных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава. Доказательства основных теорем . . . . . . . . . . . § 30. Сжатые отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 31. Доказательство теорем существования и непрерывной зависимости от начальных условий . . . . . . . . . . . . . . . § 32. Теорема о дифференцируемости . . . . . . . . . . . . . . . . Глава. Дифференциальные уравнения на многообразиях § 33. Дифференцируемые многообразия . . . . . . . . . . . . . . . § 34. Касательное расслоение. Векторные поляна многообразии. . . . . . . . . . . . . . . . § 35. Фазовый поток, заданный векторным полем . . . . . . . . § 36. Индексы особых точек векторного поля . . . . . . . . . . . . Программа экзамена . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Образцы экзаменационных задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Предисловие к третьему изданию Первые две главы книги сильно переработаны и значительно расширены. Добавлены разделы об элементарных методах интегрирования (о линейных однородных и неоднородных уравнениях первого порядка, об однородных и квазиоднородных уравнениях), о линейных и квазилинейных уравнениях с частными производными первого порядка, об уравнениях, неразрешенных относительно производных, и о теоремах Штурма о нулях линейных уравнений второго порядка. Таким образом, в новое издание книги включены все вопросы действующей программы по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Излагая специальные приемы интегрирования, автор старался всюду выявлять геометрическую сущность разбираемых методов и показывать, как эти методы работают в приложениях, особенно в механике. Так, для решения линейного неоднородного уравнения вводится δ-функция и вычисляется запаздывающая функция Грина, квазиоднородные уравнения приводят к теории подобия и закону всемирного тяготения, а теорема о дифференцируемости решения по начальным условиям –– к исследованию относительного движения космических тел на близких орбитах. Автор позволил себе включить в это предисловие несколько исторических отступлений. Дифференциальные уравнения изобретены Ньютоном (––). Ньютон считал это свое изобретение настолько важным, что зашифровал его в виде анаграммы, смысл которой в современных терминах можно вольно передать так Законы природы выражаются дифференциальными уравнениями». Основным аналитическим достижением Ньютона было разложение всевозможных функций в степенные ряды (смысл второй, длинной анаграммы Ньютона в том, что для решения любого уравнения нужно подставить в уравнение ряди приравнять члены одинаковой степени. Особенное значение имела здесь открытая им формула бинома Ньютона (разумеется, не только с целыми показателями, для которых формулу знал, например, Виет (––), но и, что особенно важно, с дробными и отрицательными показателями. Ньютон разложил в ряды Тейлора все основные элементарные функ- Предисловие к третьему изданию ции (рациональные, радикалы, тригонометрические, экспоненту и логарифм. Это, вместе с составленной им таблицей первообразных (которая перешла в почти неизменном виде в современные учебники анализа, позволяло ему, по его словам, сравнивать площади любых фигур за половину четверти часа». Ньютон указывал, что коэффициенты его рядов пропорциональны последовательным производным функции, ноне останавливался на этом подробно, так как он справедливо считал, что все вычисления в анализе удобнее производить не при помощи кратных дифференцирований, а путем вычисления первых членов ряда. Для Ньютона связь между коэффициентами ряда и производными была скорее средством вычисления производных, чем средством составления ряда. Одним из важнейших достижений Ньютона является его теория Солнечной системы, изложенная в Математических началах натуральной философии («Principia») без помощи математического анализа. Обычно полагают, что Ньютон открыл при помощи своего анализа закон всемирного тяготения. В действительности Ньютону) принадлежит лишь доказательство эллиптичности орбит в поле притяжения по закону обратных квадратов сам этот закон был указан Ньютону Гуком (––) (см. § ) и, по-видимому, угадывался еще несколькими учеными. С «Principia» Ньютона начинается современная физика. Завершение формирования анализа как самостоятельной научной дисциплины связано с именем Лейбница (––). Огромной заслугой Лейбница является также широкая пропаганда анализа (первая публикация –– статья г) и доведение его алгоритмов ∗) до полного автоматизма он изобрел таким образом способ научить пользоваться анализом (и преподавать его) людей, вовсе его непонимающих тенденция, с которой приходится бороться еще и се- годня. Из огромного числа работ XVIII века по дифференциальным уравнениям выделяются работы Эйлера (––) и Лагранжа (–– ). В этих работах была прежде всего развита теория малых колебаний, а следовательно –– теория линейных систем дифференциальных уравнений попутно возникли основные понятия линейной ∗) Между прочим, Лейбницу принадлежат понятие матрицы, обозначение a ij , атак- же начала теории определителей и теории систем линейных уравнений, одна из первых вычислительных машин Предисловие к третьему изданию алгебры (собственные числа и векторы в мерном случае. Характеристическое уравнение линейного оператора долго называли секулярным, так как именно из такого уравнения определяются секулярные (вековые, те. медленные по сравнению с годовым движением) возмущения планетных орбит согласно теории малых колебаний Лагранжа. Вслед за Ньютоном Лаплас и Лагранжа позже Гаусс) развивают также методы теории возмущений. Когда была доказана неразрешимость алгебраических уравнений в радикалах, Лиувилль (––) построил аналогичную теорию для дифференциальных уравнений, установив невозможность решения ряда уравнений (в том числе таких классических, как линейные уравнения второго порядка) в элементарных функциях и квадратурах. Позже С. Ли (––), анализируя вопрос об интегрировании уравнений в квадратурах, пришел к необходимости подробно исследовать группы диффеоморфизмов (получившие впоследствии имя групп Ли) –– так из теории дифференциальных уравнений возникла одна из наиболее плодотворных областей современной математики, дальнейшее развитие которой было тесно связано совсем с другими вопросами (алгебры Ли еще раньше рассматривали Пуассон (––) и, особенно, Якоби (Новый этап развития теории дифференциальных уравнений начинается с работ Пуанкаре (––), созданная им качественная теория дифференциальных уравнений вместе с теорией функций комплексных переменных привела к основанию современной топологии. Качественная теория дифференциальных уравнений, или, как теперь ее чаще называют, теория динамических систем, является сейчас наиболее активно развивающейся и имеющей наиболее важные приложения в естествознании областью теории дифференциальных уравнений. Начиная с классических работ А. М. Ляпунова) по теории устойчивости движения в развитии этой области большое участие принимают русские математики (упомяну работы А. А. Андронова (––) по теории бифуркаций, А. А. Андронова и Л. С. Понтрягина по структурной устойчивости, Н. М. Крылова (––) и Н. Н. Боголюбова по теории усреднения, АН. Колмогорова по теории возмущений условно-периодиче- ских движений. Разбор современных достижений, конечно, выходит за рамки настоящей книги (с некоторыми из них можно познакомиться, например, по книгам автора Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, М, ; Математические методы классической механики, М, ; Теория катастроф, М, Автор благодарен всем читателям предыдущих изданий, сообщившим свои замечания, которые автор постарался учесть при переработке книги, а также Д. В. Аносову, многочисленные замечания которого способствовали улучшению настоящего издания г. В. И. Арнольд Предисловие к первому изданию При отборе материала для этой книги автор стремился ограничиться строго необходимым минимумом. Центральное место в курсе занимают два круга вопросов теорема о выпрямлении векторного поля (эквивалентная обычным теоремам существования, единственности и дифференцируемости решений) и теория одно- параметрических групп линейных преобразований (те. теория линейных автономных систем. Автор позволил себе не касаться ряда более специальных вопросов, обычно включаемых в курсы обыкновенных дифференциальных уравнений (элементарные приемы интегрирования уравнения, неразрешенные относительно производной особые решения теория Штурма––Лиувилля; уравнения с частными производными первого порядка. Часть из этих вопросов удобнее разобрать на упражнениях последние же две темы естественнее относить к курсам уравнений с частными производными или вариационного исчисления. Более подробно, чем это обычно принято, разбираются приложения обыкновенных дифференциальных уравнений к механике. Уравнение маятника появляется на одной из первых страниц вдаль- нейшем эффективность вводимых понятий и методов каждый раз проверяется на этом примере. Так, в параграфе о первых интегралах появляется закон сохранения энергии, из теоремы о дифференцировании по параметру извлекается метод малого параметра», а теория линейных уравнений с периодическими коэффициентами естественно приводит к исследованию качелей (параметрический резонанс»). Изложение многих вопросов в курсе сильно отличается от традиционного. Автор стремился всюду выявить геометрическую, качественную сторону изучаемых явлений. В соответствии с этим в кни- Предисловие к первому изданию ге много чертежей и нет ни одной сколько-нибудь сложной формулы. Зато появляется целый ряд фундаментальных понятий, которые при традиционном, координатном изложении остаются в тени (фазовое пространство и фазовые потоки, гладкие многообразия и расслоения, векторные поля и однопараметрические группы диффео- морфизмов). Курс значительно сократился бы, если бы можно было предполагать эти понятия известными. К сожалению, в настоящее время указанные вопросы не включаются нив курсы анализа, ни в курсы геометрии. Поэтому автору пришлось излагать их достаточно подробно, не предполагая у читателя никаких предварительных знаний, выходящих за рамки стандартных элементарных курсов анализа и линейной алгебры. Основу настоящей книги составил годовой курс лекций, которые автор читал студентам-математикам второго курса Московского университета в –– гг. При подготовке лекций к печати большую помощь оказал Р. И. Богданов. Автор благодарен ему и всем слушателями коллегам, сообщившим свои замечания о ротапринтном тексте лекций (МГУ. Автор благодарен рецензентам Д. В. Аносову и С. Г. Крейну за внимательное рецензирование рукописи г. В. И. Арнольд Некоторые постоянно употребляемые обозначения множество (группа, поле) вещественных чисел множество (группа, поле) комплексных чисел множество (группа, кольцо) целых чисел X ⊂ Y –– элемент x подмножества X множества Y . X ∩ Y , X ∪ Y –– пересечение и объединение множеств X и Y . f : X → Y –– отображение f множества X во множество Y . x 7→ y –– отображение переводит точку x в точку y. f ◦ g –– произведение отображений (применяется сначала g). ∃; ∀ –– существует для всякого –– необязательная (более трудная) задача или теорема линейное пространство размерности n над полем Во множестве могут рассматриваться и другие структуры (например, аффинная, евклидова или структура прямого произведения прямых. Обычно это будет специально оговариваться (аффинное пространство R n », евклидово пространство R n », координатное пространство R n » и т. п.). Векторами мы называем элементы линейного пространства. Векторы обычно обозначаются буквами полужирного шрифта (v, и т. п. Векторы координатного пространства отождествляются с наборами n чисел. Мы будем писать, например, v = (v 1 , …, v n ) = = v 1 e 1 + … + v n e n ; набор n векторов называется координатным базисом в Нам часто будут встречаться функции вещественного переменного, называемого временем. Производная по t называется скоростью и обозначается чаще всего точкой наверху ˙ x = dx/dt. Глава Основные понятия . Фазовые пространства Теория обыкновенных дифференциальных уравнений –– одно из основных орудий математического естествознания. Эта теория позволяет изучать всевозможные эволюционные процессы, обладающие свойствами детерминированности, конечномерности и диффе- ренцируемости. Прежде чем дать точные математические определения, рассмотрим несколько примеров. Примеры эволюционных процессов. Процесс называется детерминированным, если весь его будущий ходи все его прошлое однозначно определяются состоянием в настоящее время. Множество всевозможных состояний процесса называется фазовым простран- ством. Так, например, классическая механика рассматривает движение систем, будущее и прошлое которых однозначно определяются начальными положениями и начальными скоростями всех точек системы. Фазовое пространство механической системы –– это множество, элементом которого является набор положений и скоростей всех точек данной системы. Движение частиц в квантовой механике не описывается детерминированным процессом. Распространение тепла –– полудетерми- нированный процесс будущее определяется настоящим, апрош- лое –– нет. Процесс называется конечномерным, если его фазовое пространство конечномерно, те. если число параметров, нужных для описания его состояния, конечно. Так, например, ньютоновская механика систем из конечного числа материальных точек или твердых тел относится к этому классу. Размерность фазового пространства системы из n материальных точек равна 6n, а системы из n твердых тел –– 12n. Движения жидкости, изучаемые в гидродинамике, процессы колебаний струны и мембраны, распространение волн в оп Глава . Основные понятия тике и акустике –– примеры процессов, которые нельзя описать с помощью конечномерного фазового пространства. Процесс называется дифференцируемым, если его фазовое пространство имеет структуру дифференцируемого многообразия, а изменение состояния со временем описывается дифференцируемыми функциями. Так, например, координаты и скорости точек механической системы меняются со временем дифференцируемым образом. Движения, изучаемые в теории удара, свойством дифференциру- емости не обладают. Таким образом, движение системы в классической механике может быть описано при помощи обыкновенных дифференциальных уравнений, тогда как квантовая механика, теория теплопроводности, гидродинамика, теория упругости, оптика, акустика и теория удара требуют иных средств. Еще два примера детерминированных конечномерных и дифференцируемых процессов процесс радиоактивного распада и процесс размножения бактерий при достаточном количестве питательного вещества. В обоих случаях фазовое пространство одномерно: состояние процесса определяется количеством вещества или количеством бактерий. В обоих случаях процесс описывается обыкновенным дифференциальным уравнением. Заметим, что вид дифференциального уравнения процесса, атак- же самый факт детерминированности, конечномерности и диффе- ренцируемости того или иного процесса можно установить лишь экспериментально, следовательно –– только с некоторой степенью точности. В дальнейшем мы не будем всякий раз подчеркивать это обстоятельство и будем говорить о реальных процессах так, как если бы они точно совпадали с нашими идеализированными математическими моделями. Фазовые потоки. Точная формулировка изложенных выше общих принципов требует довольно абстрактных понятий фазового пространства и фазового потока. Чтобы освоиться с этими понятиями, рассмотрим пример, где уже одно введение фазового пространства позволяет решить трудную задачу. Зàäà÷à (Н. Н. К. Из города A в город B рис. ведут две не пересекающиеся дороги. Известно, что две машины, выезжающие по разным дорогам изв и связанные веревкой некоторой длины, меньшей 2l, смогли проехать извне порвав веревки. Могут ли разминуться, не коснувшись, два круглых воза ра- § . Фазовые пространства Рис. . Начальное положение возов Рис. . Фазовое пространство пары экипажей диуса l, центры которых движутся по этим дорогам навстречу друг другу? Рåøåíèå. Рассмотрим квадрат (рис. ) M = {x 1 , x 2 : 0 Положение двух экипажей (один на первой дороге, другой –– на второй) можно характеризовать точкой квадрата M: достаточно обозначить через долю расстояния от A допой дороге, заключенную между A и находящимся на этой дороге экипажем. Всевозможным положениям экипажей соответствуют всевозможные точки квадрата M. Этот квадрат называется фазовым пространством, а его точки –– фазовыми точками. Таким образом, каждая фазовая точка соответствует определенному положению пары экипажей, а всякое движение экипажей изображается движением фазовой точки в фазовом пространстве. Например, начальное положение машин (в городе A) соответствует левому нижнему углу квадрата (x 1 = x 2 = 0), а движение машин изв изображается кривой, ведущей в противоположный угол. Точно также начальное положение возов соответствует правому нижнему углу квадрата (x 1 = 0, x 2 = 1), а движение возов изображается кривой, ведущей в противоположный угол квадрата. Но всякие две кривые в квадрате, соединяющие разные пары противоположных вершин, пересекаются. Поэтому, как бы ни двигались возы, наступит момент, когда пара возов займет положение, в котором была в некоторый момент времени пара машин. В этот момент расстояние между центрами возов будет меньше 2l. Итак, разминуться не удается. В рассмотренном примере не участвовали дифференциальные уравнения, но ход рассуждений близок к тому, чем мы будем за Глава . Основные понятия ниматься дальше описание состояний процесса как точек подходящего фазового пространства часто оказывается чрезвычайно полез- ным. Например, состояние процесса движения системы n материальных точек в классической механике описывается значениями координат и скоростей всех материальных точек. Следовательно, фазовое пространство такой системы имеет размерность 6n потри координаты и три компоненты скорости на каждую материальную точку. Фазовое пространство системы трех точек (Солнце, Юпитер, Сатурн) мерно. Фазовое пространство системы n твердых тел имеет размерность 12n (почему?). Движение всей системы описывается движением точки по кривой в фазовом пространстве. Скорость движения фазовой точки по этой кривой определяется самой точкой. Таким образом, в каждой точке фазового пространства задан вектор –– он называется вектором фазовой скорости. Все векторы фазовой скорости образуют векторное поле фазовой скорости в фазовом пространстве. Это векторное поле определяет дифференциальное уравнение процесса (зависимость скорости движения фазовой точки от ее положения). Основная задача теории дифференциальных уравнений состоит в определении или исследовании движения системы по векторному полю фазовой скорости. Сюда относятся, например, вопросы о виде фазовых кривых (траекторий движения фазовой точки уходят ли, скажем, фазовые кривые данного векторного поля в фазовом пространстве на бесконечность или остаются в ограниченной области В общем виде эта задача не поддается средствам современной математики и, видимо, в некотором смысле неразрешима (в частности это относится к упоминавшейся проблеме трех тел. В простейших частных случаях, с которых мы и начнем, задача решается явно при помощи операции интегрирования. Вычислительные машины позволяют приближенно находить решения дифференциальных уравнений наконечном отрезке времени, ноне дают ответа на качественные вопросы о поведении фазовых кривых в целом. Вдаль- нейшем, наряду с методами явного решения специальных дифференциальных уравнений, мы приведем также некоторые методы качественного исследования. Понятие фазового пространства сводит изучение эволюционных процессов к геометрическим задачам о кривых, определяемых век § . Фазовые пространства Рис. . Поле направлений и его интегральная кривая торными полями. Мы начнем исследование дифференциальных уравнений со следующей геометрической задачи. Интегральные кривые поля направлений. Предположим, что в каждой точке некоторой области на плоскости выбрана проходящая через эту точку прямая. В таком случае говорят, что в области задано поле направлений (рис. З . Две гладкие кривые, проходящие через одну точку, задают в ней одинаковое направление, если они касаются. Таким образом, прямые в определении поля направлений можно заменить произвольными гладкими кривыми: важна лишь касательная к кривой в точке. На рис. изображена лишь маленькая часть прямой около каждой точки. Зàìå÷àíèå . Здесь ив дальнейшем все встречающиеся объекты (функции, отображения, ...) предполагаются гладкими, те. непрерывно дифференцируемыми нужное число раз, если не оговорено противное. Поле направлений называется непрерывным (гладким), если прямые поля непрерывно (гладко) зависят от точки прило- жения. Зàìå÷àíèå . Аналогичным образом определяется поле направлений (прямых) в мерном пространстве (а также на любом гладком многообразии). Оïðåäåëåíèå. Линия, которая в каждой своей точке касается имеющегося в этой точке направления поля, называется интеграль- Рис. . Поле, инвариантное относительно вертикальных сдвигов ной кривой поля направлений. Название интегральные кривые объясняется тем, что в некоторых случаях эти кривые можно найти при помощи операции ин- тегрирования. Пðèìåð. Предположим, что непрерывное поле направлений на плоскости переходит в себя при всех сдвигах вдоль некоторой прямой и не содержит параллельных ей направлений (рис. ). Тåîðåìà. Задача отыскания интегральных кривых такого поля есть в точности задача интегрирования данной непрерывной функции Глава . Основные понятия Дîêàçàòåëüñòâî. Выберем систему координат, в которой данная прямая –– вертикальная ось ордината ось абсцисс горизонтальна. Интегральная кривая поля без вертикальных направлений является графиком функции. Производная этой функции равна тангенсу угла наклона графика коси абсцисс. График –– интегральная кривая тогда и только тогда, когда этот тангенс равен тангенсу угла наклона прямой данного поляк оси абсцисс. Но этот последний тангенс –– известная функция абсциссы (поскольку поле переходит в себя при сдвиг вдоль оси ординат. Следовательно, функция, графиком которой является интегральная кривая, имеет производной известную функцию и, значит, является ее первообразной, что и требовалось доказать. Обозначим абсциссу буквой t, ординату –– буквой x, тангенс угла наклона прямой поля –– известная функция v(t), интегральная кривая –– график неизвестной функции. Кривая x = ϕ(t) интегральная, если и только если v(t). По теореме Барроу ∗) ϕ = = R v dt + В общем случае задача отыскания интегральных кривых не сводится к операции интегрирования даже для очень просто задаваемых полей направлений на плоскости уравнения интегральных кри- Рис. . График решения дифференциального уравнения вых нельзя представить конечными комбинациями элементарных функций и интегралов его решения. Геометрическая задача отыскания интегральных кривых аналитически записывается как задача отыскания решений дифференциального уравнения. Предположим, что полена плоскости, x) не содержит вертикальных направлений (не параллельно оси ординат, рис. )). Тогда тангенс v(t, x) угла наклона приложенной в точке, x) прямой поляк оси абсцисс конечен и интегральные кривые являются графиками функций x = И. Барроу, ––, учитель Ньютона, посвятивший книгу взаимной обратно- сти задач о касательных и о площадях. ∗∗) Пример: таково поле, в котором тангенс угла наклона прямой, приложенной в точке (t, x), с осью x равен x 2 − t (Лиувилль). § . Фазовые пространства Мы будем предполагать, что областью определения функции ϕ является интервал I оси t. Очевидна Тåîðåìà. Для того чтобы график функции ϕ был интегральной кривой, необходимо и достаточно, чтобы при всех t из I выполнялось соотношение, О. Функция называется решением дифференциального уравнения = v(t, если она удовлетворяет соотношению () (те. если при подстановке ее в уравнение вместо x уравнение обращается в тождество»). Оïðåäåëåíèå. Решение удовлетворяет начальному условию, если) Таким образом, решение –– это заданная на интервале функция, график которой –– интегральная кривая решение удовлетворяет начальному условию (t 0 , x 0 ), если интегральная кривая проходит через данную точку (рис. П. Решение простейшего уравнения ˙ x = v(t) с начальным условием (t 0 , x 0 ) дается формулой Барроу: ϕ(t) = x 0 + t R t 0 v(τ) Всякое дифференциальное уравнение () определяет полена- правлений на плоскости приложенная в точке (t, x) прямая имеет тангенс угла наклона v(t, x). Это поле короче называется полем направлений v или полем направлений уравнения (). |