В. И. Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения. В. И. Арнольд Обыкновенные дифференциальные уравнения
 Скачать 4.58 Mb.
|
|
§ . Фазовые потоки Математическая формализация понятия детерминированного процесса приводит к понятию однопараметрической группы пре- образований. Здесь определяются и исследуются однопараметрические группы диффеоморфизмов и их связи с векторными полями. Нам потребуется некоторая алгебраическая терминология. Все теоремы этого параграфа в сущности очевидны § . Фазовые потоки. Действие группы на множестве. Преобразованием множества называется его взаимно однозначное отображение на себя. Зàäà÷à . Какие из трех следующих отображений –– преобразования) R → R, x 7→ e x ; 2) R → R, x 7→ x 3 ; 3) C → C, z 7→ О. Только второе. Произведением fg преобразований f и g одного множества называется преобразование, получающееся последовательным применением сначала g, потом f , те З . Приведите пример, когда не совпадает с g f Обратное к f преобразование определяется условием если переводит x в y, то переводит y в Набор преобразований множества называется группой преобразований, если вместе с каждым преобразованием в него входит обратное преобразование и с каждыми двумя преобразованиями –– их произведение. Зàäà÷à . Является ли группой преобразований равностороннего треугольника набор из трех отражений в его высотах? Зàäà÷à . Сколько элементов в группе изометрий ∗) равностороннего треугольника в группе вращений тетраэдра? Оòâåò. 6, Понятие группы преобразований –– одно из самых фундаментальных для всей математики и одновременно одно из самых простых: человеческому мозгу свойственно мышление в терминах инвариантов групп преобразований (это связано как с устройством зрения, так и с нашей способностью к абстракции). Пусть A –– группа преобразований множества X . Умножение и обращение определяют отображения A × A → A и A → A пара ( f , переходит в fg, элемент g в g −1 ). Множество A, снабженное этими двумя отображениями, называется абстрактной группой или, короче, просто группой. Таким образом группа получается из группы преобразований просто забыванием преобразуемого множества. Зàäà÷à . Докажите, что множество R всех вещественных чисел становится группой, если снабдить его операциями обычного сложения чисел и изменения знака. ∗) Изометрия –– это преобразование, сохраняющее расстояния (так что расстояние между образами любых двух точек равно расстоянию между точками Глава . Основные понятия Алгебраисты обычно определяют группу как множество с двумя операциями, удовлетворяющими набору аксиом вроде f (gh) = ( fg)h. Эти аксиомы автоматически выполняются для групп преобразований. В действительности эти аксиомы означают просто, что группа образована из некоторой группы преобразований забыванием преобразуемого множества. Такие аксиомы, наряду с другими немотивированными определениями, служат математикам главным образом для того, чтобы затруднить непосвященным овладение своей наукой и тем повысить ее авторитет. Пусть G –– группа, M –– множество. Говорят, что задано действие группы G на множестве M, если каждому элементу g группы G сопоставлено преобразование T g : M → M множества M, причем произведению любых двух элементов группы сопоставлено произведение соответствующих этим элементам преобразований, а взаимно обратным элементам сопоставлены взаимно обратные преобразования, Каждая группа преобразований множества, естественно, действует на этом множестве (T g ≡ g), но может действовать и на других множествах. Например, рассмотрим равносторонний треугольник. Группа из шести его изометрий действует на множестве из двух его ориентаций вращения не переставляют, а отражения переставляют ориентации. Зàäà÷à . Какие перестановки трех осей координат осуществляются при действии на их множество группы изометрий куба max( |x|, | y|, |z|) ¶ О. Все З . Как действует группа линейных замен координат на множестве матриц линейных операторов из пространства в себя? Оòâåò. T g m = Преобразование называется также действием элемента g группы на M. Действие группы G на M определяет еще отображение : G × M → M, сопоставляющее паре g ∈ G, m ∈ M точку Если действие T фиксировано, то результат T g m действия элемента группы G на точку m множества M короче обозначают просто через gm. Таким образом, ( fg)m = f (gm), поэтому скобок обычно не пишут вовсе. Зафиксируем точку m множества M и будем действовать на нее всеми элементами группы G. Мы получим подмножество {gm, g ∈ множества M. Это подмножество называется орбитой точки приданном действии группы) и обозначается Gm. § . Фазовые потоки Зàäà÷à . Найти орбиты группы вращений плоскости вокруг нуля. Зàäà÷à . Докажите, что любые две орбиты одного действия либо не пересекаются, либо совпадают. Зàäà÷à . Сколько орбит имeeт действие группы изометрий тетраэдра на множестве неупорядоченных пар его ребер? Зàäà÷à . Сколько раскрасок шести граней куба шестью красками, …, 6 существенно различны (не переводятся друг в друга вращениями куба)? Оòâåò. 6! /24 = Отображение : G → H группы G в группу H называется гомоморфизмом, если оно переводит произведение в произведение и взаимно обратные элементы во взаимно обратные fg) = ϕ( f )ϕ(g), ϕ(g −1 ) = (Действие группы G на множестве M –– это гомоморфизм группы в группу всех преобразований множества M. . Однопараметрические группы преобразований. Группа называется коммутативной или абелевой, если произведение не зависит от порядка сомножителей fg = g f для любых двух элементов группы. Пðèìåð . Группа всех изометрий равностороннего треугольника неабелева. Пðèìåð . Группа всех сдвигов вещественной оси абелева. Операция в абелевой группе обычно обозначается знаком +Например, последовательное выполнение сдвигов на a и на в любом порядке есть сдвиг на a + b. Поэтому множество всех вещественных чисел с операцией сложения является абелевой группой; естественное действие этой группы на прямой сопоставляет числу сдвиг на a. Оïðåäåëåíèå. Однопараметрической группой преобразований множества называется действие на нем группы всех вещественных чисел. Зàìå÷àíèå. Действия группы всех целых чисел Z иногда называют «однопараметрическими группами с дискретным временем». Для такого действия T n = ( T 1 ) n , поэтому вся группа состоит из степеней одного преобразования. Однопараметрическая группа преобразований множества M обычно обозначается знаком {g t } . Здесь g t : M → M –– преобразование, соответствующее точке t из R. Глава . Основные понятия Таким образом, однопараметрическая группа преобразований множества M –– это набор преобразований g t , запараметризован- ных вещественным параметром t, такой, что для любых вещественных чисел s и Параметр t обычно называется временем, преобразование называется преобразованием за время П . M = R, g t –– сдвиг нате. Свойства и ) очевидны. Пðèìåð . M = R, g t –– растяжение враз те. Свойства) и ) очевидны. Обозначение g t –– в память об этом примере. Пðèìåð . M = R, g t x = x + sin t. Свойство ) выполнено, а ) нет {g t } –– не однопараметрическая группа. Зàìå÷àíèå. Из свойства ) очевидно следует, что тождественное преобразование, оставляющее каждую точку на месте. Поэтому свойство ) вытекает из ). Свойство ) называется групповым свойством. Однопараметрическая группа преобразований множества –– это математический эквивалент физического понятия «двусторонне детерминированный процесс. Пусть M –– фазовое пространство процесса. Точка этого пространства –– это определенное состояние процесса. Предположим, что в момент t = 0 процесс был в состоянии Тогда в другой момент t состояние процесса будет иным. Обозначим это новое состояние процесса через g t x. Мы определили для каждого t отображение g t : M → M фазового пространства процесса в себя. Отображение переводит состояние в момент 0 в состояние в момент t. Оно называется преобразованием за время Отображение действительно является преобразованием (взаимно однозначным отображением на. Это следует из того, что, по определению детерминированности, каждое состояние однозначно определяет как будущее, таки прошлое процесса. Групповое свойство также выполнено. Действительно, пусть процесс в начальный момент находился в состоянии x. Переход к состоянию в момент + s можно осуществить либо сразу (x 7→ g t+s x), либо сначала рассмотреть промежуточное состояние g t x, в которое процесс придет за время t, а потом посмотреть, куда это промежуточное состояние сдвинется за время s. Совпадение результатов (g t+s x = g s g t x) означает, что переход изначального состояния в конечное зафиксирован. Фазовые потоки ное время происходит всегда одинаково, независимо оттого, в какой момент времени мы выходим изначального состояния. Однопараметрическая группа преобразований множества M называется также фазовым потоком с фазовым пространством M можно представлять себе фазовое пространство заполненным жидкостью, частица x через время t переходит в точку Орбиты фазового потока называются его фазовыми кривыми (или траекториями). Пðèìåð. Пусть поворот плоскости на угол t вокруг 0. Очевидно, групповое свойство выполнено. Орбиты фазового потока точка 0 и окружности с центром Точки, являющиеся фазовыми кривыми, называются неподвижными точками потока. Однопараметрические группы диффеоморфизмов. Предположим теперь, что рассматриваемое множество M наделено структурой гладкого многообразия. Примерами гладких многообразий являются ) любая область в евклидовом пространстве ) сфера) тор. Общее определение дано в гл. . Пока можно считать, что речь идет об области евклидова пространства. Диффеоморфизмом называется отображение, гладкое вместе со своим обратным. (Отображение называется гладким, если координаты точки-образа –– гладкие функции координат точки прообраза, и обратно.) Зàäà÷à . Какие из функций, x 2 , x 3 , arctg x задают диффеомор- физм прямой на себя? Оòâåò. Только первые две. Оïðåäåëåíèå. Однопараметрической группой диффеоморфизмов называется однопараметрическая группа преобразований, являющихся диффеоморфизмами, удовлетворяющая еще следующему условию гладко зависит от обоих аргументов, t и П . M = R, g t –– умножение на П . M = R 2 , g t –– поворот вокруг 0 на угол З. Условие гладкой зависимости от времени необходимо для того, чтобы избавиться от патологических примеров, вроде следующего пусть { α} –– базис группы R, те. такой набор вещественных чисел, что каждое вещественное число однозначно представимо в виде конечной линейной комбинации чисел набора с целыми коэффициентами. Сопоставим каждому числу из базиса сдвиг прямой на какое-либо расстояние, совер- Глава . Основные понятия шенно не заботясь о других элементах базиса. Полагая мы получим однопараметрическую группу преобразований, каждое из которых сдвиг прямой и, следовательно, диффеоморфизм, однако в общем случае зависит от t негладко и даже разрывно. Вместо гладкости по t можно было бы требовать одной лишь непрерывности (из чего гладкость уже вытекает, нонам это не нужно. Оïðåäåëåíèå. Однопараметрической группой линейных преобразований называется однопараметрическая группа диффеоморфиз- мов, являющихся линейными преобразованиями. Пðèìåð. Рассмотрим на плоскости с координатами ( x, y) преобразование Ясно, что g t –– линейное преобразование (за время t ось x растягивается враз, а ось y –– в e β t раз). Групповое свойство, g t+s = g t g s , вытекает из свойства экспоненты, гладкая зависимость от t также очевидна. Итак, {g t } –– однопараметрическая группа линейных преобразований плоскости. Пусть, в частности = 1, β = 2 (рис. ). В этом случае фазовые кривые –– неподвижная точка нуль, половины координатных осей и половины парабол действие одного из преобразований фазового потока на область E изображено на рис. . Площади областей увеличиваются при действии в e 3 t раз. Рис. . Действие фазового потока на область Рис. . Гиперболический поворот Рассмотрим еще случай = 1, β = −1 (рис. ). В этом случае преобразование состоит из сжатия враз в направлении оси и растяжения враз в направлении оси x. Такое преобразование называется гиперболическим поворотом, так как фазовые кривые потока {g t } –– половины гипербол xy = const (конечно, положение равновесия 0 и половины осей координат –– также фазовые кривые § . Фазовые потоки Гиперболические повороты сохраняют площади, хотя и сильно искажают форму фигур (рис. Заметим, что наша однопараметрическая группа линейных преобразований плоскости распадается в прямое произведение двух однопараметрических групп линейных преобразований прямых (а именно растяжений осей). Зàäà÷à . Всякая ли однопараметрическая группа линейных преобразований плоскости распадается подобным образом? Уêàçàíèå. Рассмотрите повороты или сдвиги ( x, y) 7→ (x + ty, y). . Векторное поле фазовой скорости. Рассмотрим однопара- метрическую группу {g t } диффеоморфизмов области M. Оïðåäåëåíèå. Вектором фазовой скорости потока в точке x из M называется скорость выхода точки g t x из x, те) Векторы фазовой скорости потока во всех точках области M образуют гладкое векторное поле (так как g t x гладко зависит от t и Оно называется полем фазовой скорости. Зàäà÷à . Найти поля фазовых скоростей потоков на прямой = x + t, e t x, О) = 1, З . Неподвижные точки потока являются особыми точками поля фазовой скорости, те. вектор фазовой скорости обращается в них в нуль. Верно ли обратное? Оòâåò. Да, ср. п. § Зафиксируем точку и рассмотрим ее движение под действием фазового потока g t . Иными словами, рассмотрим отображение : R → M, определенное так ϕ(t) = g t x 0 Тåîðåìà. Отображение ϕ является решением уравнения ˙ x с начальным условием ϕ(0) = Иными словами под действием фазового потока фазовая точка движется так, что вектор ее скорости в каждый момент времени равен вектору фазовой скорости в той точке фазового пространства, где движущаяся точка находится. Дîêàçàòåëüñòâî. Это вытекает из группового свойства = d dǫ ǫ=0 g τ+ǫ x = d dǫ ǫ=0 g ǫ ( g τ x) = v(g τ x). Глава . Основные понятия Таким образом, с каждой однопараметрической группой диффео- морфизмов связано дифференциальное уравнение заданное векторным полем фазовой скорости решениями этого уравнения являются движения фазовых точек под действием фазового потока. Зàäà÷à . Верно ли обратное, те. всякое ли решение дается формулой) = О. Да, по теореме единственности (§ , п. Если фазовый поток описывает ход какого-либо процесса при произвольных начальных условиях, то дифференциальное уравнение, заданное его векторным полем фазовой скорости, определяет локальный закон эволюции процесса теория дифференциальных уравнений должна, зная этот закон эволюции, восстановить прошлое и предсказать будущее. Формулировка какого-либо закона природы в виде дифференциального уравнения сводит любую задачу об эволюции процесса (физического, химического, экологического и т. д) к геометрической задаче о поведении фазовых кривых данного векторного поля в соответствующем фазовом пространстве. Оïðåäåëåíèå. Фазовым потоком дифференциального уравнения = v(x) называется однопараметрическая группа диффеоморфиз- мов, для которой v является векторным полем фазовой скорости. Чтобы найти фазовый поток уравнения, достаточно решить последнее есть значение в момент t решения ϕ с начальным условием П. Фазовый поток уравнения ˙ x = kx есть группа Фазовый поток уравнения малых колебаний маятника ( ˙ x 1 = x 2 , ˙ x 2 = = −x 1 ) состоит из поворотов плоскости на угол t. Фазовый поток уравнения малых колебаний перевернутого маятника ( ˙ x 1 = x 2 , ˙ x 2 = = x 1 ) состоит из гиперболических поворотов. Зàäà÷à . Найти фазовые потоки дифференциальных уравнений = 0, 1, x − 1; ˙ x = sin x, 0 < x < О = x, x + t, (x − 1)e t + 1; 2 З . Найти фазовые потоки систем = y, ˙ y = 0; ¨ ˙ x = y, ˙ y = 1; ¨ ˙ x = sin y, ˙ y = О. ( x + ty, y), (x + ty + t 2 /2, y + t), (x + t sin y, y). § . Фазовые потоки Возникает вопрос, всякое ли гладкое векторное поле является полем фазовой скорости потока? Ответ на этот вопрос –– отрицательный. Пðèìåð . Рассмотрим дифференциальное уравнение ˙ x = 1 с фазовым пространством 0 < x < 1. Ясно, что преобразование может быть только сдвигом на t, но при t 6= 0 такой сдвиг не переводит фазовое пространство в себя. Пðèìåð . Рассмотрим случай) = x 2 , x ∈ R. Решение уравнения) с начальным условием при t=0 нетрудно найти явно = t + C, C = −1/x 0 , x = x 0 /(1 − Итак, g t x = x/(1 − tx). Нетрудно проверить, что g t+s = g t g s , так что на первый взгляд мы нашли фазовый поток. К сожалению, отображение ни при каком t, кроме нуля, не является диффеоморфизмом прямой (оно даже не всюду определено. Поэтому полене является полем фазовой скорости никакой однопараметрической группы диффеоморфизмов прямой. Зàìå÷àíèå. Причина, по которой оба приведенных поляне имеют фазовых потоков, заключается в некомпактности фазового пространства. В дальнейшем мы увидим, что гладкое векторное полена компактном многообразии всегда определяет фазовый поток. В частности, полена аффинной прямой можно продолжить до гладкого на всей проективной прямой (включая бесконечно удаленную точку) векторного поля. Проективная прямая компактна (топологически это окружность, и гладкое векторное полена ней определяет фазовый поток. Найденные нами формулы для отображений как рази описывают этот поток есть диффеоморфизм проективной прямой, а не аффинной! Зàäà÷à . Докажите, что всякое гладкое векторное полена прямой, растущее на бесконечности не быстрее линейного ( |v(x)| ¶ a + b|x|) является полем фазовой скорости однопараметрической группы диффеоморфизмов прямой. Уêàçàíèå. Сравнив движение с более быстрым движением в подходящем линейном поле, доказать, что решение не может уйти на бесконечность за конечное время и, следовательно, продолжается на всю ось З . Определяет ли уравнение ˙ x = e x sin x фазовый поток на прямой О. Да. Зàäà÷à . Рассмотрим линейное пространство всех многочленов степени меньше n от переменной x. Определим преобразование за время t как Глава . Основные понятия сдвиг аргумента многочлена нате. Докажите, что однопараметрическая группа линейных преобразований, и найдите ее векторное поле фазовой скорости. Оòâåò. Вектор поля в точке есть многочлен dp/dx. |