В. И. Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения. В. И. Арнольд Обыкновенные дифференциальные уравнения
 Скачать 4.58 Mb.
|
|
x = v( t, x) с гладкой правой частью v локально эквивалентно простейшему уравнению y/dτ = Иными словами В окрестности каждой точки расширенного фазового пространства (t, x) существует допустимая система координат (τ, y) (переход к которой –– диффеоморфная замена переменных, в которой уравнение записывается в простейшем виде y/dτ = 0. 1 ⇒ 3: сначала выпрямим поле направлений v, а затем рассмотрим декартовы координаты, в которых ось времени параллельна прямым выпрямленного поля направлений. 3 ⇒ 1: всякое полена- правлений локально записывается как поле направлений подходящего дифференциального уравнения. Переход к локальной системе координат, в которой уравнение имеет вид d y/dτ = 0, выпрямляет заданное поле. Зàäà÷à *. Можно ли выпрямить во всем расширенном фазовом пространстве поле направлений уравнения ˙ x = v( t, x) с гладкой правой частью, заданной во всем этом пространстве § . Теоремы о выпрямлении Зàäà÷à . Докажите, что систему координат теоремы можно выбрать так, чтобы время не преобразовывалось ( τ ≡ З . Выпрямить поле направлений уравнения ˙ x = x + t на всей плоскости сохраняющим время диффеоморфизмом (t, x) 7→ (t, y(t, З . Можно ли выпрямить поле направлений уравнения ˙ x = на всей плоскости сохраняющим время диффеоморфизмом? Оòâåò. Нет. Основная теорема о выпрямлении открыта, в сущности, Ньютоном. В знаменитом втором письме Ньютона к секретарю Королевского общества Ольденбургу (от октября года) он зашифровал метод ее доказательства в виде второй (длинной) анаграммы (переписку с Лейбницем, жившим в Германии, Ньютон предпочитал вести через Ольденбурга. В современных терминах метод Ньютона состоит в следующем. Пусть дано уравнение ˙ x = v(t, x). Будем искать выпрямляющий диффеоморфизм y = h(t, x), для которого y = x при t = 0 (время не преобразовываем. Из условия ˙ y = 0 получаем для h уравнение + (∂h/∂x)v ≡ 0. Разложим v ив ряды по степеням t: h = h 0 + th 1 + …, v = Тогда h 0 ( x) ≡ x, поэтому ∂h/∂x = E + th 1 ∗ + … Подставим ряды для и для v в уравнение для h. Развернем левую часть вряд по t. Приравняем нулю коэффициенты при t 0 , t 1 , … в этом ряду (на основании единственности коэффициентов ряда Тейлора. Мы получим последовательно, В уравнение для входят, кроме него, лишь производные от с меньшими номерами. Поэтому мы можем последовательно (ре- куррентно») найти сначала h 1 , потоми так все члены искомого ряда. В этом состоит метод Ньютона интегрирования дифференциальных уравнений с помощью рядов. Чтобы применять этот метод, нужно было уметь разлагать данные функции в ряды. Для этого Ньютону пришлось открыть свою формулу бинома (1 + t) a = 1 + at + З . Решить методом Ньютона уравнение ˙ x = x с начальным условием Р = 1 + tϕ 1 + t 2 ϕ 2 + … ⇒ ϕ 1 + 2 ϕ 2 t + 3ϕ 3 t 2 + … = 1 + ϕ 1 t + + ϕ 2 t 2 + …, следовательно, ϕ 3 = ϕ 2 /3, …, откуда Таки был впервые выведен ряд для экспоненты Глава . Основные теоремы Все дальнейшее развитие анализа даже и сегодня следует по намеченному Ньютоном пути. Доказательством сходимости построенных Ньютоном рядов много занимались в XIX веке. Сходимость рядов для h в аналитическом случае была доказана Коши. Теорема Коши была перенесена на случай конечной гладкости Пикаром, его доказательство и изложено в § Основная теорема –– утверждение такого же характера, как теоремы линейной алгебры о приведении квадратичных форм или матриц линейных операторов к нормальному виду. Она дает исчерпывающее описание локального поведения поля направлений, сводя все вопросы к тривиальному случаю параллельного поля. В анализе родственной теоремой является теорема о неявной функции. Гладкое отображение f : R m → называется невырожденным в точке 0, если ранг производной в этой точке имеет максимальное возможное значение (те. равен меньшему из чисел m и n). Пусть f (0) = Два таких отображения f , g называются локально эквивалентными в точке 0, если одно из них переходит в другое под действием диффеоморфиз- мов пространств прообраза и образа, оставляющих 0 на месте h : R m → R m , k : R n → R n , f ◦ h = k ◦ Иными словами, два отображения локально эквивалентны, если при подходящих выборах допустимых систем локальных координат в прообразе ив образе с началом вони записываются одинаковыми форму- лами. Тåîðåìà î íåÿâíîé В окрестности невырожденных точек всякие два гладких отображения (пространств фиксированных размерностей m и n) эквивалентны друг другу. В частности, всякое отображение эквивалентно своей линейной части в невырожденной точке. Поэтому сформулированная теорема является одной из многочисленных теорем о линеаризации. В качестве локальной нормальной формы, к которой приводится отображение диффеоморфизмами h и k, естественно выбрать следующую про- стейшую: y i = x i при i ¶ r, y i = 0 при > где r = min(m, n) –– ранг производной f в нуле, x i –– координаты точки в про- странстве-прообразе, y i –– в пространстве образе. Иными словами, f –– вло- ∗) На необходимость доказательства сходимости обратил внимание еще Эйлер, заметивший, что ряды, получаемые аналогичным путем в других задачах, иногда расходятся. Эйлер искал в виде ряда по t решение уравнения dx/dt = (x − t)/t 2 , равное при t = 0. Получился всюду расходящийся ряд x = P(k −1)! t k § . Теоремы о выпрямлении жение, если размерность прообраза меньше, чем образа, и расслоение в противном случае. Читатель, привыкший к более сложным формулировкам теоремы о неявной функции, легко проверит их эквивалентность приведенной простой геометрической формулировке. Все перечисленные теоремы о нормальных формах описывают орбиты действий различных групп (замен переменных) на множествах (матриц, форм, полей, отображений, соответственно. Теоремы существования и единственности. Из основной теоремы о выпрямлении вытекает Сëåäñòâèå Через каждую точку области, в которой задано гладкое поле направлений, проходит интегральная кривая. Дîêàçàòåëüñòâî. Рассмотрим выпрямляющий данное поле диф- феоморфизм. Выпрямленное поле состоит из параллельных направлений. В нем через каждую точку проходит интегральная кривая (а именно прямая. Диффеоморфизм, обратный к выпрямляющему, переводит эту прямую в искомую интегральную кривую. Сëåäñòâèå Две интегральные кривые гладкого поля направлений, имеющие общую точку, совпадают в окрестности этой точки. Дîêàçàòåëüñòâî. Для выпрямленного поля это очевидно, а выпрямляющий диффеоморфизм переводит интегральные кривые исходного поля в интегральные кривые выпрямленного. Сëåäñòâèå Решение дифференциального уравнения ˙ x = v( t, с начальным условием из области гладкости правой части существует и единственно в том смысле, что всякие два решения с общим начальным условием совпадают в некоторой окрестности точки Д. Применим следствия и к полю направлений данного уравнения в расширенном фазовом пространстве. Получаем следствие З. В следствии ив дальнейшем x –– точка фазового пространства любой (конечной) размерности m. Это следствие называется теоремой существования и единственности решений системы m уравнений первого порядка. Теоремы о непрерывной и дифференцируемой зависимости решений от начального условия. Рассмотрим значение решения дифференциального уравнения ˙ x = v( t, x) с начальным условием в момент времени t как функцию Φ от (t 0 , x 0 ; t) со значениями в фазовом пространстве Глава . Основные теоремы Из основной теоремы о выпрямлении вытекает Сëåäñòâèå Решение уравнения с гладкой правой частью гладко зависит от начальных условий. Это означает, что указанная выше функция Φ определена, непрерывна и гладка в окрестности каждой точки (t 0 , x 0 ; t 0 ) (класса если v –– класса Д. Для простейшего уравнения (v ≡ 0) это очевидно. Общее уравнение сводится к нему диффеоморфиз- мом (подробности оставляются читателю). Зàìå÷àíèå. Теорема о дифференцируемости по начальному условию доставляет весьма эффективный метод исследования влияния малого возмущения начального условия на решение. Если при каком-либо начальном условии решение известно, то для определения отклонения решения с близким начальным условием отданного невозмущенного решения получается в первом приближении линейно однородное уравнение (уравнение в вариациях. Возникающая таким образом теория возмущений –– просто один из вариантов метода рядов Ньютона. Зàäà÷à . Найти производную решения уравнения ˙ x = x 2 + x sin t по начальному значению) = a при a = Р. Последствию решение разлагается по по формуле Тейлора (многоточие –– малая порядка выше первого относительно. Здесь ϕ 0 –– невозмущенное решение (с нулевым начальным условием искомая производная. Для нашего уравнения Подставляя ряд в уравнение и приравнивая в левой и правой части члены с одинаковыми степенями a на основании единственности ряда Тейлора), получаем для ϕ 1 уравнение в вариациях ˙ ϕ 1 = ϕ 1 sin t с начальным условием) = 1 (почему?). Оòâåò. e 1 −cos З . Найти близкий коси отрезок фазовой кривой обобщенной системы Лотки––Вольтерра ˙ x = x(1 − ya(x, y)), ˙y = y(x − 1), проходящей через точку x = 1, y = ǫ с погрешностью порядка Р. Уравнение фазовых кривых = y(x − 1)/(x(1 − Невозмущенное решение y ≡0. Уравнение в вариациях dy/dx = y(x О = ǫe x −1 /x, независимо от вида функции З . Найти производную решения уравнения маятника ¨ θ =− sin с начальным условием (0) = a, ˙ θ (0) = 0 по a при a = Р. Для применения следствия уравнение нужно записать в виде системы. Получающаяся система уравнений в вариациях может быть записана в виде одного уравнения второго порядка. Удобно выписывать не § . Теоремы о выпрямлении системы и их решения, а только эквивалентные им уравнения второго порядка и их решения. Невозмущенное решение = 0. Уравнение в вариациях это уравнение малых колебаний маятника, ¨ θ = −θ ОП. Пользуясь приближенными формулами для возмущенного решения, полученными при помощи уравнения в вариациях, не следует забывать, что они дают хорошее приближение при фиксированном t и малом отклонении ǫ начального условия от невозмущенного погрешность при фиксированном t есть O(ǫ 2 ), но неравномерно по t → ∞ (константа врастет вместе с Например, полученная в задаче формула дала бы неверное представление о виде фазовых кривых обычной модели Лотки–– Вольтерра, если бы мы стали применять ее для описания вида этих кривых в целом (как мы знаем из § , эти кривые замкнуты далекая от оси x часть кривой отнюдь не описывается ответом задачи Точно также решение полного уравнения маятника с начальным условием (a, 0) близко к решению уравнения малых колебаний (с тем же начальным условием) при фиксированном t: их разность порядка O(a 3 ) (почему. Однако при любом фиксированном погрешность растет с ростом t и при достаточно больших t приближенное решение теряет связь с возмущенным (из-за различия периодов малых и истинных колебаний. Переставлять между собой предельные переходы t → ∞ и a → 0 нельзя! Зàäà÷à . Найти первый (линейный по) член разложения вряд Тейлора решения уравнения мягкого маятника ¨ x с начальным условием) = 0, ˙ x(0) = Р. Невозмущенное решение. Уравнение в вариациях ¨ ϕ 1 = = 0. Начальное условие) = 0, ˙ ϕ 1 (0) = 1 (почему?). Оòâåò. x ≈ Из теоремы о дифференцируемости следует, что ошибка этой приближенной формулы не превосходит O(a 2 ) при каждом фиксированном. Однако при любом фиксированном a 6= 0 приближение становится совершенно неудовлетворительным при достаточно больших t. Это видно, например, из того, что приближенное решение неограниченно растет, а настоящее описывает периодические колебания малой вместе с a амплитуды (величина амплитуды порядка p a, по соображениям подобия). Для оценки области применимости приближений формулы можно сосчитать следующие приближения x = at + a 2 ϕ 2 + a 3 ϕ 3 + … Подставляя в уравнение, получаем a 2 ¨ ϕ 2 + a 3 ¨ ϕ 3 + … = −a 3 t 3 + … Значит 0, ¨ ϕ 3 = −t 3 , ˙ ϕ 3 = −t 4 /4, ϕ 3 = −t 5 /20, x ≈ at − a 3 t 5 /20 + … Второй член мал по сравне- Глава . Основные теоремы нию с первым, если a 2 t 4 /20 ≪ 1, те. Иными словами, значение приближенного решения должно быть малым по сравнению с амплитудой истинного колебания, З . Доказать, что при указанном условии относительная погрешность приближенного решения действительно мала. Рåøåíèå. Это следует из соображений подобия. Квазиоднородные растяжения переводят уравнение ¨ x в себя. Решение с начальным условием (0, a) переходит в решение с начальным условием = e 2 s a). Приближенное решение x ≈ at переходит в X ≈ AT. Выберем так, чтобы A = 1. При A = 1 решение X ≈ T имеет малую относительную погрешность, пока T ≪ 1. Но растяжения не меняют относительных погрешностей. Значит, и относительная погрешность приближения x ≈ at мала при T ≪ 1. Но T = e −s t, a = e −2s . Значит, T ≪ 1 при t ≪ a −1/2 . Таким образом, при малых a приближение дает малую относительную погрешность, даже при очень больших t, лишь бы t было мало по сравнению с большим числом 1 / p a. В приложениях теории дифференциальных уравнений всегда приходится иметь дело с большим числом величин, некоторые из которых очень малы, а некоторые очень велики. Разобраться, что велико по сравнению с чем (те. в каком порядке делать предельные переходы, не всегда легко; исследование этого вопроса –– порой полдела. Преобразование за время от до t. Рассмотрим дифференциальное уравнение ˙ x = v(t, x) с правой частью, задающей гладкое поле направлений в области расширенного фазового пространства (любой конечной размерности 1 + Рис. . Преобразование за время от до О. Преобразованием за время от до t называется отображение области фазового пространства в фазовое пространство, сопоставляющее начальному условию в момент значение решения с этим начальным условием в момент t рис. Это преобразование обозначается В обозначениях следствия g t t 0 x 0 = Из основной теоремы о выпрямлении вытекает Сëåäñòâèå Преобразования за время от до t для уравнения с гладкой правой частью) определены в окрестности каждой фазовой точки для t, достаточно близких к t 0 ; § . Теоремы о выпрямлении) являются локальными диффеоморфизмами класса C r , если правая часть класса C r ) и гладко зависят от t и от t 0 ; ) для s и t, достаточно близких к t 0 , имеет место тождество = g t s g s t 0 x для всех x из достаточно малой окрестности точки x 0 ); ) при фиксированном ξ функция ϕ(t) = g t t 0 ξ есть решение уравнения ˙ x = v( t, x), удовлетворяющее начальному условию ϕ(t 0 ) Следствие с очевидностью вытекает из предыдущих следствий. Можно также воспользоваться выпрямлением, не меняющим времени. Для выпрямленного уравнения ( ˙ y = 0) все преобразования за время от до t тождественны, поэтому свойства )––) выпол- нены. Рассмотрим, в частности, случай автономного уравнения ˙ x = = v(x). В этом случае имеет место очевидная Тåîðåìà. Отображение за время от до t для автономного уравнения зависит только от интервала времени t − и не зависит от начального момента Д. Сдвиг расширенного фазового пространства автономного уравнения вдоль оси t переводит в себя поле направлений, а значит, переводит друг в друга интегральные кривые. При сдвиге на s решение ϕ с начальным условием ϕ(t 0 ) = переходит в решение с начальным условием ψ(t 0 + s) = |