В. И. Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения. В. И. Арнольд Обыкновенные дифференциальные уравнения
 Скачать 4.58 Mb.
|
|
Дополнительные задачи. Имеет ли ограниченные на всей оси времени ненулевые решения уравнение в вариациях для уравнения ¨ x = − sin x вдоль решения с начальным условием x 0 = 0, ˙ x 0 = 2? . Имеет ли неограниченные решения уравнение в вариациях вдоль решения с начальным условием x 0 = 0, ˙ x 0 = 1 того же уравнения. Решить уравнение в вариациях задачи . . Найти собственные числа и векторы оператора монодромии для уравнения в вариациях задачи . . Найти производную периодического решения уравнения +sin x =ǫ cos t, обращающегося при ǫ = 0 в x ≡ π, по ǫ при ǫ = 0. . Найти наибольшее значение t, при котором решение задачи Коши u t + uu x = − sin продолжается на [0, t). Образцы экзаменационных задач. Найти все конечномерные подпространства пространства бес- конечно-дифференцируемых функций на прямой, инвариантные относительно всех сдвигов прямой. Пусть функция v имеет в нуле кратный корень. Докажите, что уравнение ˙ x = v(x) диффеоморфизмом окрестности нуля приводится к виду ˙ y = постоянная C определяется полем. Докажите, что нули линейной комбинации первых n собственных функций задачи Штурма––Лиувилля u xx + q(x)u = λu, u(0) = u(l) = 0, q > делят отрезок [0, l] не более чем на n частей. Уêàçàíèå (И. М. Гельфанд). Перейти к Ферми-частицам, тек кососимметрическим решениям уравнения u x i x i + P q(x i ) u = и воспользоваться тем, что его первая собственная функция не имеет нулей внутри фундаментального симплекса 0 < x 1 < … < x n < l. (Н. Н. Баутин). Докажите, что обобщенная система Лотки–– Вольтерра ˙ x = x(a + kx + ly), ˙ y = y(b + mx + не имеет предельных циклов ее замкнутые неточечные фазовые кривые, когда они есть, заполняют целиком кольцеобразные области. Рассмотрим движение материи по окружности под действием переноса полем скоростей и малой диффузии. Докажите, что если поле скоростей имеет стационарные точки и общего положения, то почти вся масса соберется в конце концов в окрестности одной из притягивающих точек. [Уравнение эволюции плотности ˙ u = ǫu xx − (uv) x , где v ∂/∂x поле скоростей. На накрывающей окружность прямой поле потенциально. Если поле скоростей потенциально, те. функция периодична, то стационарное решение дается распределением Гиббса) = При малых это распределение сосредоточено вблизи минимума потенциала. Если функция U стремится к на −∞, то стационарное решение имеет вид) = C x R −∞ e [ U(ξ) −U(x)]/ǫ dξ. Образцы экзаменационных задач Оно сосредоточено вблизи такого локального минимума потенциала, для которого превышение максимального значения потенциала на полуоси левее этого минимума над этим минимальным значением максимально (А. А. Давыдов). Инволюцией называется диффеоморфизм, квадрат которого –– тождественное преобразование. Инволюция плоскости называется допустимой относительно векторного поля, если неподвижные точки инволюции образуют кривую и под действием инволюции векторы поля в точках этой кривой меняют знак. Докажите, что в окрестности неособой точки поля все допустимые инволюции общего положения эквивалентны (переводятся друг в друга сохраняющими каждую фазовую кривую поля диффеомор- физмами). [Решение этой задачи доставляет нормальную форму уравнения, неразрешенного относительно производной, в окрестности нерегулярной точки общего положения (она найдена Л. Дара и Ю. Бродским). Уравнение F(x, y, p) = 0 определяет поверхность в трехмерном пространстве. В нерегулярной точке ее касательная плоскость вертикальна (касается оси p). В окрестности нерегулярной точки общего положения возникает инволюция (она переставляет близкие точки пересечения поверхности с вертикальной прямой. Эта инволюция допустима относительно векторного поля, касательного к интегральным кривым уравнения на поверхности. Приведение инволюции к нормальной форме эквивалентно нормализации уравнения локальным диффеоморфизмом плоскости, y).] (продолжение. Пусть неподвижная кривая инволюции, допустимой относительно векторного поля с особой точкой типа фокус, седло или узел, проходит через особую точку, причем модули собственных чисел седла или узла различны. Докажите, что любые две такие инволюции эквивалентны в окрестности особой точки, если касательные к их неподвижным кривым в особой точке не разделены собственными направлениями. [Эта теорема Давыдова доставляет нормальную форму (p −kx) 2 = = y уравнения общего положения, неразрешенного относительно производной, в окрестности нерегулярной точки, в которой плоскость касается поверхности F = 0; k –– единственный модуль (инвариант относительно диффеоморфизмов) возникающего Образцы экзаменационных задач «сложенного фокуса, седла или узла, образованного проекциями интегральных кривых на плоскость (x, Решения задач –– доставляют также нормальные формы семейств траекторий медленного движения в теории релаксационных колебаний общего положения при двух медленных переменных. В этой теории в трехмерном пространстве, расслоенном на вертикальные прямые над плоскостью медленных переменных», задано два векторных поля одно (быстрое) вертикально, а другое (возмущающее) произвольно. Нули быстрого поля образуют «медленную поверхность. Плоскости, натянутые на векторы обоих полей, высекают на медленной поверхности поле направлений медленного движения. Речь идет о семействе проекций интегральных кривых этого поля с медленной поверхности на плоскость медленных переменных. Критические значения проектирования медленной поверхности на плоскость медленных переменных образуют (в системе общего положения) дискриминантную кривую с отдельными точками возврата. В окрестности общей точки этой кривой семейство проекций диффеоморфно семейству полукубических парабол ( y − это следует из нормальной формы задачи ). В отдельных точках гладкости дискриминантной кривой семейство проекций диф- феоморфно сложенному фокусу, седлу или узлу (задача ). Кроме того, в системе общего положения встречаются отдельные точки гладкости дискриминантной кривой, в окрестности которых семейство можно описать следующим образом. Занумеруем интегральные кривые параметром c и рассмотрим семейство их проекций на плоскость (x, y) как поверхность в трехмерном пространстве с координатами, разбитую на линии c = const. Эта поверхность диффеоморфна (локально) поверхности сложенного зонтика u 2 = = v 3 w 2 , разбитой на линии u + v + w = const. Наконец, в окрестности точки возврата дискриминантной кривой семейство проекций описывается аналогичным образом при помощи разбиения поверхности ласточкиного хвоста (u, v, w : λ 4 + uλ 2 + vλ+w имеет кратный корень) на кривые u = const. Последнее семейство проекций, в отличие от описанных раньше, имеет бесконечное число модулей даже относительно гомеоморфизмов плоскости (x, y) (в случае сложенного зонтика модулей нет с точностью до бесконечно-дифференци- руемых диффеоморфизмов, нов аналитическом случае появляется бесконечное число независимых модулей Образцы экзаменационных задач Решения задачи описывают также особенности семейств асимптотических линий на поверхности трехмерного пространства (семейство полукубических парабол в общей точке параболической линии и сложенный фокус, узел или седло в отдельных точках касания асимптотического направления параболической линии Предметный указатель Автоколебания , Алгебра Ли Амплитуда комплексная Атласы эквивалентные Аттрактор Базис собственный Вариация постоянных Вектор касательный — фазовой скорости Веса переменных Возмущения малые , Выпрямление поля , Гиперповерхность Гипотеза Пуанкаре Гладкость Голономия Гомоморфизм Градуирование Граница множества график функции Группа абстрактная — диффеоморфизмов — квазиоднородных растяжений коммутативная (абелева) — контактная — однопараметрическая — преобразований — — линейных — симметрий — стационарная Действие группы на множестве Диаграмма Ламерея — Ньютона Дивергенция поля Диффеоморфизм — контактный — сопрягающий Диффеоморфность многообразий Единственность продолжения Естественность операции Зависимость от параметра Задача Кеплера — Коши — о влиянии малого возмущения об отклонении камня — Штурма––Лиувилля Закон сохранения момента количества движения — — энергии Значение критическое — регулярное отображения — собственное Зонтик сложенный Изометрия Инвариантность поля Инволюция Индекс изолированной особой точки — кривой — особой точки Интеграл векторный — первый Предметный указатель —, зависящий от времени Карта Карты согласованные Квазимногочлены , Колебание малое Колебания вынужденные , — главные (собственные) — слабо нелинейные — струны Коммутатор Компакт Компактность Комплексификация Координаты аффинные — однородные — тангенциальные Кривая двойственная — дискриминантная — интегральная , , — Лиссажу — логистическая — Михайлова — на многообразии — параметризованная — фазовая , — — максимальная — — на торе — — уравнения маятника Лемма Адамара — Морса Лестница Ламерея Линеаризация , Линия уровня энергии — — — критическая — — — некритическая Лист Мёбиуса Локальная эквивалентность отображений Матрица системы Маятник — без трения — двойной — математический , , , , — мягкий — перевернутый , , , — с малым трением — с постоянным крутящим моментом — с трением , Метод комплексных амплитуд — ломаных Эйлера — малого параметра — Ньютона Мираж Многообразие — ориентированное — параллелизуемое — связное — топологическое Множитель интегрирующий Модель Лотки––Вольтерра , , Монодромия , Мультипликатор , Направление характеристическое Неравенство треугольника — Шварца Норма оператора , Образ вектора — векторного поля — фазового потока Объем ориентированный Овеществление Оператор диагональный — дифференциальный — комплексно сопряженный — Лапласа Предметный указатель Оператор нильпотентный — производной Ли — производящий Определитель Вандермонда — Вронского — оператора Орбита точки Оси главные Отделимость Отображение дифференцируемое за время — невырожденное — Пикара — Пуанкаре — сжатое — Уитни (сборка) Оценка априорная Параллелизация Параметр спектральный Период полураспада Плоскость двойственная — контактная Поверхность интегральная Поворот гиперболический — эллиптический Подмногообразие Подпространство инвариантное Поле векторное , — — фазовой скорости — квазиоднородное — — эйлерово — контактных плоскостей — направлений , — — характеристическое — следов — центральное — эйлерово Положение равновесия Последовательность δ-образная — возвратная — Коши — Фибоначчи Постоянная Липшица Поток фазовый — — локальный — — уравнения Преобразование Лежандра — множества Приближения Пикара — последовательные Признак Вейерштрасса Принцип Дирихле — суперпозиции Проблема Рауса––Гурвица Продолжение решений , , , , — решения неограниченное Производная Ли — отображения — по направлению Пространство струй , — касательное , — метрическое — — полное — нормированное — проективное — фазовое — — расширенное Процессы эволюционные Прямая проективная Равновесие неустойчивое (безразличное) — устойчивое Размерность многообразия Разность первая Распределение Гиббса — равномерное Расслоение касательное , Режим автоколебательный , Резонанс параметрический Предметный указатель Решение линейного уравнения — сильно устойчивое — уравнения — — общее — — периодическое — — го порядка Свойство грубое Связность Сдвиг повремени Седло , Сепаратриса Симметрия векторного поля — поля направлений Система автономная — гамильтонова — консервативная — нормальная — решений фундаментальная — уравнений — — в вариациях — — Гамильтона , — — неавтономная — — Ньютона , Скобка Пуассона Скорость секториальная След матрицы — оператора Слой расслоения Сопряжение комплексное Спираль логарифмическая Степень отображения Структура дифференцируемая — контактная — многообразия Сфера Милнора Счетность Теорема Клеро — Лиувилля , — о выпрямлении , — о дифференцируемости , , , — о множестве решений линейного однородного уравнения — о неподвижной точке — о неявной функции — о продолжении , , , , — о сумме индексов — — — особых точек — сравнения — существования и единственности , , , , — Штурма — Эйлера , Теория бифуркаций — возмущений , — катастроф Тор двумерный Точка критическая — — невырожденная — неподвижная — нехарактеристическая — особая — — отталкивающая — — простая — регулярная — стационарная Траектория Трансверсальность Узел , Уравнение автономное , , — Бесселя — в вариациях , — ван дер Поля — вековое см. Уравнение характеристическое взрыва — Гамильтона––Якоби Предметный указатель Уравнение Гельмгольца — гипергеометрическое Гаусса — качелей — — с трением — квазилинейное — квазиоднородное — Клеро , — комплексифицированное — Лапласа — линеаризованное — линейное , — — неоднородное , , — — однородное , — — с периодическими коэффициентами , — — с фазовым пространством C n — логистическое — Лотки––Вольтерра , , — малых колебаний , , — Матье , — маятника , , , — — с трением — нелинейное с частными производными — Ньютона — — в полярных координатах — однородное — размножения нормального — — с конкуренцией — разностное — с разделяющимися переменными — характеристик , , , — характеристическое — эволюционное — го порядка Уравнения Гамильтона Ус седла Условие Липшица , — начальное , Устойчивость по Ляпунову , , Ферми-частица Фокус , Форма дифференциальная — уравнения нормальная Формула Барроу , — Кардано — Лиувилля — Тейлора — Эйлера Функторы Функции двойственные — линейно независимые Функция влияния — Гамильтона — гармоническая — Грина — Дирака (функция) — квазиоднородная — Ляпунова — однородная — последования — собственная Характеристика , — амплитудно-фазовая — эйлерова , Центр , Цикл — невырожденный — предельный — устойчивый Цунами Частота собственная Число оборотов Эквивалентность потоков , Предметный указатель — дифференцируемая — — линейная — — топологическая — уравнений Экспонента — жордановой клетки — комплексного числа — оператора Энергия Яма потенциальная Владимир Игоревич Арнольд Оáûêíîâåííûå äèôôåðåíöèàëüíûå Издательство Московского центра непрерывного математического образования, Москва, Большой Власьевский пер, . Тел. () Подписано в печать .. г. Формат 60 ×90 / . Бумага офсетная. Печать офсетная. Печ. л. ,. Тираж . Заказ Отпечатано с готовых диапозитивов в ППП «Типография ” Наука“». , Москва, Шубинский пер, Книги издательства МЦНМО можно приобрести в магазине Математическая книга, Большой Власьевский пер, д. Тел. () --. E-mail: biblio@mccme.ru |