В. И. Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения. В. И. Арнольд Обыкновенные дифференциальные уравнения
 Скачать 4.58 Mb.
|
|
§ . Касательное расслоение. Векторные поляна многообразии С каждым гладким многообразием M связано другое многообразие (вдвое большей размерности, называемое касательным расслоением и обозначаемое TM. Касательное расслоение позволит нам сразу перенести на многообразия всю теорию обыкновенных дифференциальных уравнений. Рис. . Касательный вектор. Касательное пространство. Пусть M –– гладкое многообразие. Касательным кв точке x вектором ξ называется класс эквивалентности выходящих из x кривых две кривые (рис. ) γ 1 : I → M, γ 2 : I → Касательное расслоение –– частный случай векторного расслоения еще более общее понятие –– расслоенное пространство. Все эти понятия относятся к числу основных в топологии ив анализе, номы ограничимся лишь касательным расслоением, которое особенно важно для теории обыкновенных дифференциальных уравнений Глава . Дифференциальные уравнения на многообразиях эквивалентны, если их изображения на какой-либо карте U эквивалентны. Заметим, что понятие эквивалентности кривых не зависит от выбора карты атласа (см. § ): из эквивалентности на карте ϕ i следует эквивалентность на любой другой, так как переход с одной карты на другую, есть диффеоморфизм. Множество векторов, касательных кв, имеет структуру линейного пространства, независящую от выбора карты (см. § ). Это Рис. . Касательное пространство линейное пространство называется касательным пространством кв и обозначается. Его размерность равна размерности П. Пусть M n –– подмногообразие аффинного пространства рис. ). Тогда можно представить себе в виде n-мерной плоскости в R N , проходящей через. При этом, однако, следует помнить, что касательные пространства кв разных точках x, y не пересекаются T x M ∩ T y M = ∅. . Касательное расслоение. Рассмотрим объединение касательных пространств к многообразию M во всех его точках TM Множество TM имеет естественную структуру гладкого многооб- разия. Действительно, рассмотрим какую-нибудь карту на многообразии и пусть (x 1 , …, x n ): W → U ⊂ рис. ) –– локальные координаты в окрестности точки x, задающие эту карту. Всякий вектор ξ, касательный кв точке x ∈ W, задается набором своих компонент (ξ 1 , …, ξ n ) в указанной системе координат. Именно, если I → M –– кривая, выходящая из x по направлению ξ в момент t 0 , то. Таким образом, всякий Рис. . Координаты касательного вектора вектор ξ, касательный кв одной из точек области W , задается набором 2n чисел (x 1 , …, x n ), ( ξ 1 , …, ξ n ) –– n координат точки приложения x и n компонент. Мы получили карту части множества TM: ψ : TW → R 2 n , ψ(ξ) = (x 1 , …, x n , ξ 1 , …, ξ n ). § . Касательное расслоение Различные карты TM, соответствующие разным картам атласа M, согласованы (класса C r −1 , если M класса C r ). Действительно, пусть ( y 1 , …, y n ) другая локальная система координат на M и (η 1 , …, η n ) –– компоненты вектора в этой системе тогда, x n ), η i = n P j=1 ( ∂ y i /∂x j ) ξ j ( i = 1, …, n), –– гладкие функции от x j и ξ j Итак, множество TM всех касательных к M векторов получило структуру гладкого многообразия размерности 2n. Оïðåäåëåíèå. Многообразие TM называется касательным рас- слоением ∗) многообразия Существуют естественные отображения i : M → TM нулевое сечение) и p : TM → M проекция i(x) есть нулевой вектора Рис. . Касательное расслоение есть та точка x, в которой ξ касается рис. З. Докажите, что отображения, p дифференцируемы, что i является диф- феоморфизмом M на i(M) и что p ◦ i: M → → M –– тождественное отображение. Прообразы точек x ∈ M при отображении называются слоями расслоения TM. Каждый слой имеет структуру линейного пространства. Многообразие M называется базой расслоения TM. . Замечание о параллелизуемости. Касательное расслоение аффинного пространства или его области U имеет еще дополнительную структуру прямого произведения TU = U × Действительно, касательный вектор к U можно задать парой, ξ), где x ∈ U, а ξ –– вектор линейного пространства R n , для которого указан линейный изоморфизм с T x U рис. Рис. . Параллелизованное и непараллелизуемое многообразия ∗) Мы будем использовать это краткое название вместо более педантичного термина пространство касательного расслоения Глава . Дифференциальные уравнения на многообразиях Можно выразить это иначе, сказав, что аффинное пространство параллелизовано: для касательных векторов к области U пространства в разных точках x и y определено равенство. Касательное расслоение многообразия вовсе не обязано быть прямым произведением, и, вообще говоря, нельзя разумно определить равенство векторов, приложенных в разных точках многообразия Положение здесь такое же, как с листом Мёбиуса (рис. ), который является расслоением с базой окружность и слоем прямая, ноне является прямым произведением окружности на прямую. Рис. . Расслоение, не являющееся прямым произведением Рис. . Теорема о еже Оïðåäåëåíèå. Многообразие M называется параллелизованным, если в его касательном расслоении введена структура прямого произведения, те. задан диффеоморфизм TM n ∼ = M n × R n , линейно переводящий в x × R n . Многообразие параллелизуемо, если оно может быть параллелизовано. Пðèìåð . Любая область в евклидовом пространстве естественно па- раллелизована. Зàäà÷à . Докажите, что тор T n параллелизуем, а лист Мёбиуса нет. Тåîðåìà*. Из сфер S n параллелизуемы только следующие три. В частности, двумерная сфера непараллелизуема: TS 2 6= S 2 × Отсюда вытекает, например, что ежа нельзя причесать хоть одна игла будет перпендикулярна поверхности (рис. Читатель, решивший задачу в конце § , легко докажет непарал- лелизуемость указание RP 3 ≇ S 2 × S 1 ). Параллелизация окружности очевидна. Параллелизовать S 3 –– поучительное упражнение (указание: S 3 –– это группа, а именно группа кватернионов с модулем. Полное доказательство сформулированной теоремы требует § . Касательное расслоение довольно глубокого проникновения в топологию оно было получено относительно недавно. Аналитики склонны считать все расслоения прямыми произведениями и все многообразия параллелизуемыми. Этой ошибки следует остерегаться. Касательное отображение. Пусть f : M → N –– гладкое отображение многообразия M в многообразие N рис. ). Обозначим через индуцированное отображение касательных пространств. Рис. . Производная отображения f в точке Оно определяется, как в § , и является линейным отображением одного линейного пространства в другое T f Пусть x пробегает M. Предыдущая формула определяет отображение касательного расслоения M в касательное расслоение N. Это отображение дифференцируемо (почему) и линейно отображает слои в слои TN рис. Рис. . Касательное отображение Отображение называется касательным отображением к f употребляется также обозначение Tf : TM → TN). Глава . Дифференциальные уравнения на многообразиях Зàäà÷à . Пусть f : M →N и g : N →K –– гладкие отображения, g◦ f : M → →K –– их суперпозиция. Доказать, что (g ◦ f ) ∗ = ( g ∗ ) ◦ ( f ∗ ), те. что f // K = ⇒ TN g ∗ !!D D D D D D D D TM f ∗ << z z z z z z z z ( g ◦ f Т В анализе эта формула называется правилом дифференцирования сложной функции, в алгебре –– функториаль- ностью (ковариантной) перехода к касательному отображению. Векторные поля. Пусть M –– гладкое (класса C r+1 ) многообразие его касательное расслоение (рис. Рис. . Векторное поле Оïðåäåëåíèå. Векторное поле ∗) (класса C r ) v наесть гладкое (класса C r ) отображение v : M → TM, такое что отображение v: M → M –– тождественное диаграмма TM p M v == { { { { { { { { E !!C C C C C C C C M коммутативна, те x. Зàìå÷àíèå. Если M –– область пространства с координатами, x n ), то это определение совпадает со старым (§ Однако в новом определении никакая специальная система координат не участвует. ∗) Употребляется также термин сечение касательного расслоения § . Фазовый поток, заданный векторным полем Рис. . Поле скоростей Пðèìåð. Рассмотрим семейство вращений сферы вокруг осина угол рис. ). Каждая точка сферы x ∈ описывает при вращении кривую (параллель) и имеет скорость) = d dt t=0 g t x ∈ Мы получаем отображение v : S 2 → TS 2 ; очевидно, те векторное полена Вообще, если g t : M → M –– однопараметрическая группа диффео- морфизмов многообразия M, то возникает векторное поле фазовой скорости на M, точь-в-точь как в § Вся локальная теория (нелинейных) обыкновенных дифференциальных уравнений немедленно переносится на многообразия, так как мы позаботились своевременно (во независимости основных понятий от системы координат. В частности, на многообразия переносится основная локальная теорема о выпрямлении векторного поля и локальные теоремы существования, единственности, непрерывности и дифференцируемо- сти по начальным условиям. Специфика многообразия проявляется лишь при рассмотрении нелокальных вопросов. Простейшими из них являются вопросы о продолжении решений и о существовании фазового потока сданным полем фазовой скорости . Фазовый поток, заданный векторным полем Доказанная ниже теорема является простейшей теоремой качественной теории дифференциальных уравнений она дает условия, при которых имеет смысл ставить вопрос о поведении решений дифференциального уравнения на бесконечном интервале вре- мени. Из этой теоремы вытекает, в частности, непрерывность и диф- ференцируемость решения по начальным данным в целом (те. на любом конечном интервале времени. Эта теорема полезна также как технический метод для конструирования диффеоморфизмов. Например, с ее помощью можно доказать, что всякое замкнутое многообразие, имеющее гладкую функцию лишь с двумя критическими точками, гомеоморфно сфере Глава . Дифференциальные уравнения на многообразиях Рис. . Векторное поле, равное 0 вне компакта K . Теорема. Пусть M –– гладкое класса C r , r ¾ 2) многообразие (рис. ), v : M → TM –– векторное поле. Пусть вектор v(x) отличен от нулевого вектора T x M только лишь в компактной части K многообразия M. Тогда существует однопараметрическая группа диф- феоморфизмов g t : M → M, для которой поле v является полем фазовой скорости = С. Всякое векторное полена компактном многообразии M является полем фазовой скорости некоторой однопарамет- рической группы диффеоморфизмов. В частности, в условиях теоремы или в условиях следствия имеет место Сëåäñòâèå . Всякое решение дифференциального уравнения = v(x), x ∈ можно продолжать впереди назад неограниченно. При этом значение решения g t x в момент t зависит от t и от начального условия x гладко. Зàìå÷àíèå. Условие компактности нельзя отбросить. Пðèìåð . M = R, ˙ x = см. § , п. ); решения нельзя продолжать неограниченно. Пðèìåð . M = {x : 0 < x < 1}, ˙ x = Приступаем к доказательству теоремы. Построение диффеоморфизмов при малых t. Для каждой точки x ∈ M существует такая открытая окрестность U ⊂ и такое число ǫ > 0, что для любой точки y из U и для любого с < ǫ решение g t y уравнения () с начальным условием y при t = существует, единственно, дифференцируемо зависит от t и от y § . Фазовый поток, заданный векторным полем и удовлетворяет условию = если < ǫ, |t| < ǫ, |s + t| < Действительно, точка x изображается на некоторой карте, а для уравнений в области аффинного пространства наше утверждение доказано (см. гл. игл. Итак, компактное множество K покрыто окрестностями U . Мы можем выбрать конечное покрытие Пусть соответствующие числа возьмем ǫ 0 = min ǫ i > Тогда при < определены в целом диффеоморфизмы g t : M → → M, g t+s = g t g s , если, |t|, |s + t| < ǫ, g t x = x при x вне Действительно, хотя определенные с помощью разных карт решения уравнения () с начальным условием x при t = 0) a priori различны, они совпадают при < ввиду выбора ǫ 0 и локальной теоремы единственности. Далее, по локальной теореме дифференцируемости точка g t x зависит дифференцируемо от t и x, а поскольку g t g −t = E, то отображение диффеоморфизм. Заметим, что = v(x). . Построение при любых t. Представим t в виде nǫ 0 /2 + где n –– целое и 0 ¶ r < ǫ 0 /2. Такое представление существует и единственно. Диффеоморфизмы и уже определены. Положим g t = ( g ǫ 0 /2 ) n g r . Это диффеоморфизм M на M. При < < ǫ 0 /2 новое определение согласуется с предыдущим (см. п. ) определением. Поэтому = Легко видеть, что при любых s, Действительно, пусть = (mǫ 0 /2) + p, t = (nǫ 0 /2) + q, s + t = (kǫ 0 /2) + Доказательство единственности требует небольшого дополнительного рассуждения нужно проверить, что из единственности решения сданными начальными условиями на каждой фиксированной карте вытекает единственность на многообразии. На неотделимом многообразии единственности может и не быть (пример уравнение = 1, ˙ y = 1 на многообразии, полученном из двух прямых {x}, { y} отождествлением точек с равными отрицательными координатами. Если же многообразие M отделимо, то проходит доказательство единственности из § , п. . (Отделимость используется при доказательстве совпадения значений решений) ив первой точке T начиная с которой они не совпадают Глава . Дифференциальные уравнения на многообразиях Тогда левая и правая части равенства () принимают вид ( g ǫ 0 /2 ) k g r и ( g ǫ 0 /2 ) m g p ( g ǫ 0 /2 ) n g q Возможны два случая + n = k, p + q = r, 2) m + n = k − 1, p + q = r + (Заметим, что поскольку < ǫ 0 /2, |q| < ǫ 0 /2, то диффеоморфизмы g ǫ 0 /2 , и коммутируют. Отсюда вытекает формула () как в первом случае, таки во втором (g ǫ 0 /2 g r = g p g q , так как, |q|, |r| < ǫ 0 /2, p + q = ǫ 0 /2 + Остается проверить, что точка g t x зависит от t и x дифференцируемо. Это следует, например, из того, что g t = ( g t/N ) N , а g t/N x при достаточно больших N зависит дифференцируемо от t и x см. п. Итак, есть однопараметрическая группа диффеоморфизмов многообразия M; соответствующее поле фазовой скорости есть и теорема доказана. Замечание. Из доказанной теоремы легко вывести, что каждое решение неавтономного уравнения = v(t, x), x ∈ M, t ∈ заданного зависящим от времени t векторным полем v на компактном многообразии M, можно продолжать неограниченно. Этим объясняется, в частности, возможность неограниченного продолжения решений линейного уравнения = |