В. И. Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения. В. И. Арнольд Обыкновенные дифференциальные уравнения
 Скачать 4.58 Mb.
|
|
ϕ уравнения () с начальным условием ϕ(t 0 ) = x мы будем искать в виде ϕ(t) = x + h(t, x) (рис. Соответствующая интегральная кривая лежит внутри конуса K x . Метрическое пространство M. Рассмотрим всевозможные непрерывные отображения h цилиндра − x 0 | ¶ b ′ , |t − t 0 | ¶ в евклидово пространство R n . Через M мы обозначаем множество таких отображений, удовлетворяющих еще условию, x)| ¶ C|t − в частности, h(t, x 0 ) = Звездочкой здесь и далее обозначается производная (по x) при фиксированном Глава . Доказательства основных теорем Введем в M метрику ρ, полагая) = kh 1 − h 2 k = max |x−x 0 |¶b ′ |t−t 0 |¶a ′ |h 1 ( t, x) − h 2 ( t, x) |. Тåîðåìà. Множество M, снабженное метрикой ρ, является полным метрическим пространством. Дîêàçàòåëüñòâî. Равномерно сходящаяся последовательность непрерывных функций сходится к непрерывной функции. Если до- предельные функции удовлетворяли неравенству (), то и предельная функция удовлетворяет неравенству () стой же постоянной Заметим, что пространство M зависит от трех положительных чисел a ′ , b ′ , C. . Сжатое отображение A : M → M. Определим отображение : M → M, полагая, x) = t R t 0 v( τ, x + h(τ, x)) Благодаря неравенству () точка ( τ, x + h(τ, x)) принадлежит конусу и, следовательно, области определения поля v. Тåîðåìà. Если значение достаточно мало, то формула () задает сжатое отображение пространства M в себя. Дîêàçàòåëüñòâî. . Покажем, что A переводит M в себя. Функция непрерывна, так как интеграл непрерывно зависящей от па- Рис. . Сравнение v 1 и v 2 раметра непрерывной функции непрерывно зависит от параметра и от верхнего предела. Функция Ah удовлетворяет неравенству (так как, x)| ¶ t R t 0 v(…) dτ ¶ t R t 0 C dt ¶ C |t − Итак, AM ⊂ M. . Покажем, что отображение A сжато Ah 2 k ¶ λkh 1 − h 2 k, 0 < λ < Для этого оценим значение в точке (t, x). Имеем (рис. ) ( Ah 1 − Ah 2 )( t, x) = t R t 0 (v 1 − где v i ( τ) = v(τ, x + h i ( τ, x)), i = 1, При сравнении с отображением Пикара п. следует иметь ввиду, что мы теперь ищем решение в виде x + h. § . Доказательство теорем существования Согласно теореме п. функция v( τ, x) при фиксированном τ удовлетворяет условию Липшица с постоянной L по второму аргументу. Поэтому) − v 2 ( τ)| ¶ L|h 1 ( τ, x) − h 2 ( τ, x)| ¶ Lkh 1 − Согласно лемме п. |(Ah 1 − Ah 2 )( t, x) | ¶ t R t 0 L kh 1 − h 2 k dτ ¶ La ′ kh 1 − При La ′ < 1 отображение сжато. Теорема доказана. Теорема существования и единственности. Сëåäñòâèå. Пусть правая часть v дифференциального уравнения () непрерывно дифференцируема в окрестности точки расширенного фазового пространства. Тогда уточки есть такая окрестность, что в этой окрестности определено решение уравнения () с начальным условием ϕ(t 0 ) = x , где x –– любая достаточно близкая к точка, причем это решение непрерывно зависит от начальной точки x. Дîêàçàòåëüñòâî. Сжатое отображение A, по теореме § , имеет неподвижную точку h ∈ M. Положим g(t, x) = x + h(t, x). Тогда, x) = x + t R t 0 v( τ, g(τ, x)) dτ, ∂g(t, x) ∂t = v( t, g(t, Мы видим, что g при фиксированном x удовлетворяет уравнению, а при t = t 0 –– начальному условию g(t, x 0 ) = x. Функция g непрерывна, так как h ∈ Следствие доказано. Итак, мы доказали теорему существования для уравнения (и предъявили решение, непрерывно зависящее от начальных усло- вий. Зàäà÷à . Доказать теорему единственности. Рåøåíèå . Положим в определении. Из единственности неподвижной точки сжатого отображения A : M → M следует единственность решения (с начальным условием ϕ(t 0 ) = Р . Пусть ϕ 1 и ϕ 2 –– два решения с общим начальным условием) = ϕ 2 ( t 0 ), определенные при − t 0 | < α. Пусть 0 < α ′ < α. Положим Глава . Доказательства основных теорем kϕk = max |t−t 0 |<α ′ |ϕ(t)|. Имеем ϕ 2 ( t) = t R t 0 (v( τ, ϕ 1 ( τ)) − v(τ, ϕ 2 ( τ))) При достаточно малом α ′ точки ( τ, ϕ 1 ( τ)) и (τ, ϕ 2 ( τ)) лежат в цилиндре, где v ∈ Lip L. Поэтому kϕ 1 − ϕ 2 k ¶ Lα ′ kϕ 1 − ϕ 2 k, откуда при Lα ′ < 1 вытекает. Итак, решения ϕ 1 , в некоторой окрестности точки t 0 совпадают. Локальная теорема единственности доказана. Другие применения сжатых отображений. Зàäà÷à . Доказать теорему об обратной функции. Уêàçàíèå. Достаточно обратить C 1 -отображение с единичной линейной частью, y = x + ϕ(x), где ϕ ′ (0) = 0, в окрестности точки 0 ∈ общий случай сводится к этому линейной заменой координат). Ищем решение в виде x = y + ψ(y). Тогда получаем для ψ уравнение) = −ϕ(y + Следовательно, искомая функция ψ является неподвижной точкой отображения, определенного формулой) = −ϕ(y + Отображение A в подходящей метрике) сжато, потому что производная Рис. . Ломаная Эйлера функции ϕ в окрестности точки 0 мала (ввиду условия ϕ ′ (0) = З . Доказать, что ломаная Эйлера стремится к решению, когда ее шаг стремится к нулю. Рåøåíèå. Пусть g ∆ = x + h ∆ –– ломаная Эйлера с шагом ∆ и началом g ∆ ( t, x 0 ) = рис. ). Иными словами, при t 6= t 0 + k∆ ∂g ∆ ( t, x)/∂t = v(s(t), g ∆ ( s(t), где s(t) = t 0 + k∆, k –– целая часть (t − t 0 ) /∆. Отличие ломаной Эйлера отрешения можно оценить по формуле п. § : kg ∆ − gk = kh ∆ − hk ¶ (1 − λ) −1 kAh ∆ − Но, x) = t R t 0 v( τ, g ∆ ( τ, x)) dτ, h ∆ ( t, x) = t R t 0 v( s(τ), g ∆ ( s(τ), x)) При ∆ → 0 разность подынтегральных выражений равномерно по τ, |τ| ¶ стремится к 0 (вследствие равностепенной непрерывности v). Поэтому kAh ∆ − h ∆ k → 0 при ∆ → 0 и ломаная Эйлера стремится к решению § . Теорема о дифференцируемости Зàäà÷à *. Рассмотрим диффеоморфизм A окрестности точки 0 в на окрестность точки 0 в R n , переводящий 0 в 0. Предположим, что линейная часть A в 0 (те. линейный оператор A ∗0 : R n → R n ) не имеет собственных чисел с модулем 1. Пусть число собственных чисел с < 1 равно m − , ас Рис. . Усы отображения и его линейной части равно m + . Тогда имеет инвариантное подпространство входящий ус) и инвариантное подпространство выходящий ус, точки которых стремятся к 0 при применении A N ∗0 , где +∞ (для R m − ) или N → −∞ (для) (рис. Доказать, что исходное нелинейное отображение A тоже имеет в окрестности точки 0 инвариантные подмногооб- разия и входящий и выходящий усы, касающиеся в 0 подпространств и R m + (A N x → 0 при N → +∞ на M m − , при N → −∞ для У. Взять какое-либо подмногообразие размерности скажем, касающееся в 0) и применять к нему степени A. Методом сжатых отображений доказать сходимость полученных приближений Γ N = A N Γ 0 , N → +∞, к З *. Доказать существование входящего и выходящего усов у нелинейного седла ˙ x = v(x), v(0) = 0 (предполагается, что ни одно из собственных чисел оператора A = v ∗ (0) не лежит на мнимой оси . Теорема о дифференцируемости В этом параграфе доказывается теорема о выпрямлении. Уравнение в вариациях. С дифференцируемым отображением связано линейное отображение касательных пространств в каждой точке T f (x) V Точно также с дифференциальным уравнением = v( t, x), x ∈ U ⊂ связана система дифференциальных уравнений = v( t, x), x ∈ U ⊂ R n , ˙ y = v ∗ ( t, x)y, y ∈ T x U , () Глава . Доказательства основных теорем называемая системой уравнений в вариациях для уравнения () и линейная относительно касательного вектора y рис. Рис. . Решение уравнения в вариациях с начальным условием (x, Звездочка в формуле () (ив дальнейших формулах) означает производную по x при фиксированном t. Так, v ∗ ( t, есть линейный оператор изв Наряду с системой () удобно рассматривать систему = v( t, x), x ∈ U ⊂ R n , ˙ z = v ∗ ( t, x)z, z : R n → Система () получена из системы () заменой неизвестного вектора y неизвестным линейным преобразованием z. Мы будем употреблять название уравнение в вариациях также и применительно к системе (). Зàìå÷àíèå. Вообще, если дано линейное уравнение = A(t)y, y ∈ то полезно рассмотреть ассоциированное уравнение = A(t)z, z : R n → относительно линейного оператора Зная решения одного из уравнений ( ′ ), ( ′ ), легко найти решения другого (как. Теорема о дифференцируемости. Пусть правая часть v уравнения () дважды непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки (t 0 , x 0 ) . Тогда решение g(t, x) уравнения () с начальным условием g(t 0 , x) = зависит от начального условия x непрерывно дифференцируемо, когда x и t меняются в некоторой (быть может, меньшей) окрестности точки (t 0 , x 0 ): v ∈ C 2 ⇒ g ∈ класса по Д C 2 ⇒ v ∗ ∈ C 1 . Поэтому система уравнений в вариациях () удовлетворяет условиям из § и последовательность пикаровских приближений равномерно сходится к ее решению в достаточно малой окрестности точки t 0 . Выберем начальные условия ϕ 0 = x достаточно близко к x 0 ), ψ 0 = E. Обозначим пика § . Теорема о дифференцируемости ровские приближения через для x) и ψ n (для z), те. положим, x) = x + t R t 0 v( τ, ϕ n ( τ, x)) dτ, () ψ n+1 ( t, x) = E + t R t 0 v ∗ ( τ, ϕ n ( τ, x))ψ n ( τ, x) Заметим, что ϕ 0 ∗ = ψ 0 . Из определений () и () индукцией по заключаем, что ϕ n+1 ∗ = ψ n+1 . Поэтому последовательность это последовательность производных последовательности {ϕ n } . Обе последовательности (), () равномерно сходятся (как последовательности пикаровских приближений системы ()) при достаточно малом − t 0 |. Итак, последовательность сходится равномерно вместе с производными по x. Поэтому предельная функция, x) = lim n →∞ ϕ n ( t, x) непрерывно дифференцируема по x, что и требовалось доказать. Зàìå÷àíèå. Одновременно доказана Тåîðåìà. Производная решения уравнения () по начальному условию x удовлетворяет уравнению в вариациях () с начальным условием z(t 0 ) = E: ∂ ∂t g( t, x) = v(t, g(t, x)), ∂ ∂t g ∗ ( t, x) = v ∗ ( t, g(t, x))g ∗ ( t, x), g( t 0 , x) = x, g ∗ ( t 0 , x) Эта теорема объясняет смысл уравнений в вариациях они описывают действие преобразований за время от дона касательные векторы к фазовому пространству (рис. Рис. . Действие преобразования за время от дона кривую в фазовом пространстве и на ее касательный вектор. Высшие производные по x. Пусть r ¾ 2 –– целое число. Тåîðåìà T r Пусть правая часть v уравнения () r раз непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки (t 0 , x 0 ) . Тогда Глава . Доказательства основных теорем решение g(t, x) уравнения () с начальным условием g(t 0 , x) = зависит от начального условия x r − 1 раз непрерывно дифференцируемо, когда x и t меняются в некоторой быть может, меньшей) окрестности точки (t 0 , x 0 ): v ∈ C r ⇒ g ∈ Д C r ⇒ v ∗ ∈ C r −1 . Значит, система уравнений в вариациях () удовлетворяет условиям теоремы T r −1 . Поэтому теорема, вытекает из теоремы T r −1 : v ∈ C r ⇒ v ∗ ∈ C r −1 ⇒ g ∗ ∈ C r −2 x ⇒ g ∈ Но теорема доказана в п. . Итак, теорема доказана. Производные пои. Пусть r ¾ 2 –– целое число. Тåîðåìà T ′ r В условиях теоремы решение g(t, x) является дифференцируемой функцией класса попеременными вместе v ∈ C r ⇒ g ∈ Эта теорема –– очевидное следствие предыдущей. Вот формальное доказательство. Лåììà. Пусть f –– функция со значениями в R n ) , определенная на прямом произведении отрезка I на оси t и области G евклидова пространства R m : f : I × G → Составим интеграл, x) = t R t 0 f ( τ, x) dτ, [ t 0 , t] ⊂ I, x ∈ Если f ∈ и f ∈ C r −1 , то F ∈ Действительно, любая я частная производная функции F попеременными, содержащая дифференцирование по t, выражается через f и частные производные функции f порядка меньше r, а потому непрерывна всякая же я частная производная попеременным непрерывна по условию. Дîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû. Имеем, x) = x + t R t 0 v( τ, g(τ, x)) Обозначим f ( τ, x) = v(τ, g(τ, x)) и будем применять лемму. Находим при 1 ¶ ρ ¶ r g ∈ C ρ−1 ∩ C ρ x ⇒ g ∈ Согласно теореме T r , имеем g ∈ при < r. Последовательно получаем C 0 ⇒ g ∈ C 1 ⇒ … ⇒ g ∈ Но, согласно § , g ∈ решение непрерывно зависит от (t, x)). § . Теорема о дифференцируемости Теорема T ′ r доказана. Зàäà÷à . Докажите, что если правая часть дифференциального уравнения () бесконечно дифференцируема, то и решение зависит от начальных условий бесконечно дифференцируемо C ∞ ⇒ g ∈ C ∞ Зàìå÷àíèå. Можно также доказать, что если правая часть v аналитична (разлагается в сходящийся к v ряд Тейлора в окрестности каждой точки, то и решение g аналитически зависит от t и Дифференциальные уравнения с аналитическими правыми частями естественно рассматривать как при комплексных значениях неизвестных, таки (что особенно важно) при комплексных значениях времени. Об этой теории см, например, книгу В. В. Голубева «Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений» (М.: Гостехиздат, ). . Теорема о выпрямлении. Эта теорема –– очевидное следствие теоремы T ′ r . Перед доказательством вспомним два простых геомет- Рис. . Прямая транс- версальна плоскости L 2 в пространстве R 3 рических предложения. Пусть и L 2 –– два линейных подпространства третьего линейного пространства L рис. ). Подпространства и называются трансверсаль- ными, если их сумма есть все пространство. Например, прямая в R 3 трансверсальна плоскости, если пересекает ее под ненулевым углом. Пðåäëîæåíèå . Для каждого мерного подпространства в R n найдется трансверсальное ему (n − мерное притом даже среди координатных плоскостей пространства Доказательство см. в курсах линейной алгебры (теорема о ранге матрицы). Пðåäëîæåíèå . Если линейное отображение A : L → M отображает какие-либо два трансверсальных подпространства на транс- версальные, то оно –– на все пространство Д = Д òåîðåìû î âûïðÿìëåíèè: см. § , п. ). Рассмотрим отображение G области прямого произведения R × в расширенное фазовое пространство уравне- Глава . Доказательства основных теорем ния ˙ x = v( t, заданное формулой G(t, x) = (t, g(t, x)), где g(t, x) –– решение уравнения) с начальным условием g(t 0 , x) = Покажем, что G в окрестности точки (t 0 , x 0 ) –– выпрямляющий диффеоморфизм. а) Отображение G дифференцируемо класса C r −1 , если v ∈ C r ) по теореме б) Отображение G оставляет t на месте G(t, x) = (t, g(t, в) Отображение переводит стандартное векторное поле e ( ˙ x = 0 , t = 1) в данное поле G ∗ e = (1, v) (так как g( t, x) –– решение уравнения (г) Отображение G в окрестности точки (t 0 , x 0 ) –– диффеомор- физм. В самом деле, сосчитаем сужения линейного оператора на трансверсальные плоскости ирис. Находим x=x 0 e = v + Плоскость и прямая с направляющим вектором v + e транс- версальны. Итак, есть линейное отображение на R n+1 , следовательно, изоморфизм (якобиан в точке (t 0 , x 0 ) отличен от По теореме об обратной функции G –– локальный диффеоморфизм. Теорема доказана. Рис. . Производная отображения в точке (Рис. . Построение диффеоморфиз- ма, выпрямляющего векторное поле Дîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû î âûïðÿìëåíèè: àâòîíîìíûé ñëó÷àé (§ , п. ). Рассмотрим автономное уравнение = v(x), x ∈ U ⊂ Пусть вектор фазовой скорости в точке отличен от 0 (рис. Тогда существует (n − мерная гиперплоскость R n −1 ⊂ R n , § . Теорема о дифференцируемости проходящая через и трансверсальная точнее, соответствующая плоскость в касательном пространстве T x 0 U трансверсальна прямой направления Определим отображение G области R × R n −1 , где R n −1 = { ξ}, R = = { t}, в область формулой G(t, ξ) = g(t, ξ), где ξ лежит на вблизи x 0 , а g(t, ξ) есть значение решения уравнения () с начальным условием ϕ(0) = ξ в момент t. Покажем, что в достаточно малой окрестности точки (ξ = x 0 , t = 0) отображение G −1 –– выпрямляющий диффеоморфизм. а) Отображение G дифференцируемо (G ∈ C r −1 , если v ∈ C r ) по теореме б) Отображение выпрямляющее, так как переводит стандартное векторное поле e ( ˙ ξ = 0, ˙t = 1) в G ∗ e = v, поскольку g( t, удовлетворяет уравнению (в) Отображение G есть локальный диффеоморфизм. Действительно, сосчитаем линейный оператор на трансверсальных плоскостях и R 1 . Находим G ∗ | R n −1 = E, G ∗ | R 1 e = Итак, оператор переводит пару трансверсальных подпространств ив пару трансверсальных подпространств. Поэтому G ∗ | t 0 , x 0 –– линейное отображение на R n , следовательно, изоморфизм. По теореме об обратной функции G –– локальный диф- феоморфизм. Теорема доказана. Зàìå÷àíèå. Поскольку теорема о дифференцируемости доказана с потерей одной производной (v ∈ C r ⇒ g ∈ C r −1 ), то и у выпрямляющих диффеоморфизмов мы также гарантируем лишь класс гладкости. В действительности построенный выпрямляющий диф- феоморфизм имеет класс C r ; доказательство приведено ниже. Последняя производная. В теореме о дифференцируемости (п. ) мы предполагали поле v дважды непрерывно дифференцируемым. В действительности достаточно однократной непрерывной дифференцируемости. Тåîðåìà. Если правая часть v(t, x) дифференциального уравнения ˙ x = v( t, x) непрерывно дифференцируема, то решение g(t, x) с начальным условием g(t 0 , x) = зависит от начальных условий непрерывно дифференцируемо C 1 ⇒ g ∈ С) v ∈ C r ⇒ g ∈ при r ¾ 1. Глава . Доказательства основных теорем) Построенные в п. выпрямляющие диффеоморфизмы r раз непрерывно дифференцируемы, если v ∈ Следствия выводятся из соотношения () дословным повторением рассуждений пп. , , . Доказательство же самой теоремы (требует некоторых ухищрений. Дîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû. Начнем со следующих замечаний. Лåììà Решение линейного уравнения ˙ y = A(t)y с непрерывно зависящей от t правой частью существует, непрерывно, определяется начальными условиями ϕ(t 0 ) = однозначно и зависит от и t непрерывно. Действительно, доказательство теорем существования, единственности и непрерывности (§ ) использовало только дифференцируемость по x при фиксированном t фактически даже только условие Липшица по x). Поэтому доказательство сохраняет силу, если зависимость от t предполагать лишь непрерывной. Лемма доказана. Заметим, что отрешение зависит линейно, а от t –– непрерывно дифференцируемо, поэтому принадлежит классу пои вместе. Лåììà Если линейный оператор A в лемме зависит еще от параметра α так, что функция A(t, α) непрерывна, то и решение будет непрерывной функцией от y 0 , t и Действительно, решение можно построить как предел последовательности пикаровских приближений. Каждое приближение непрерывно зависит от y 0 , t и α. Последовательность приближений сходится равномерно относительно и α, меняющихся в достаточно малой окрестности любой точки, 0 , t 0 , α 0 ). Поэтому предел –– непрерывная функция от y 0 , t и Лемма доказана. Применим лемму к уравнению в вариациях. Лåììà Система уравнений в вариациях = v( t, x), ˙ y = v ∗ ( t, имеет решение, которое определяется своими начальными данными однозначно и зависит от них непрерывно, если только поле v класса Действительно, первое уравнение системы имеет решение по теореме существования § . Это решение определено своими начальными условиями) однозначно и зависит от них непрерывно. Подставим это решение во второе уравнение. Получим линейное уравнение относительно Его правая часть непрерывно зависит от t и –– как от параметра –– от начального условия рассматриваемого решения первого уравнения. По лемме это линейное уравнение имеет решение, которое определяется своими начальными данными и является непрерывной функцией от t, и параметра Лемма доказана § . Теорема о дифференцируемости Таким образом, уравнения в вариациях разрешимы ив случае v ∈ C 1 . Заметим, что в случае v ∈ мы доказали, что производная решения по начальным данным удовлетворяет уравнению в вариациях (). Теперь же мы не можем этого утверждать ведьмы еще не знаем, существует ли такая производная. Чтобы доказать дифференцируемость решения по начальным условиям, рассмотрим сперва частный случай. Лåììà Если векторное поле v(t, x) класса равно 0 в точке x = при всех t вместе со своей производной v ∗ , то решение уравнения ˙ x = v( t, дифференцируемо по начальным условиям в точке x = Действительно, по условию, x)| = o(|x|) в окрестности точки x = Оценим погрешность приближения x = к решению x = ϕ(t) с начальным условием ϕ(t 0 ) = по формуле п. § . При достаточно малых и |t − находим − x 0 | ¶ (1 − λ) −1 t R t 0 v( τ, x 0 ) dτ ¶ K max t 0 ¶ τ¶t v( τ, где константане зависит от Итак − x 0 | = o(|x 0 |), откуда следует, что ϕ дифференцируемо по в нуле, что и требовалось доказать. А теперь мы сведем общий случай к специальной ситуации леммы для этого достаточно выбрать в расширенном фазовом пространстве подходящую систему координат. Прежде всего, мы всегда можем считать рассматриваемое решение нулевым: Лåììà Пусть x = ϕ(t) –– решение уравнения ˙ x = v( t, x) с правой частью класса C 1 , заданной в области расширенного фазового пространства R n . Тогда существует C 1 -диффеоморфизм расширенного фазового пространства, сохраняющий время ((t, x) 7→ (t, x 1 ( t, x))) и переводящий решение ϕ в x 1 ≡ Действительно, достаточно сделать сдвиг x 1 = x −ϕ(t), поскольку ϕ Лемма доказана. В системе координат (t, x 1 ) правая часть нашего уравнения равна в точке x 1 = 0. Покажем, что производную правой части по можно также обратить в нуль при помощи подходящей линейной по x замены координат. Лåììà В предположениях леммы координаты (t, можно выбрать так, что уравнение ˙ x = v( t, x) будет эквивалентно уравнению ˙ x 1 = = v 1 ( t, x 1 ) , где поле равно 0 в точке вместе со своей производной. Притом функцию x 1 ( t, x) можно выбрать линейной необязательно однородной) относительно Согласно лемме можно считать, что v 1 ( t, 0) = Чтобы доказать лемму , рассмотрим сперва ее частный случай: Лåììà Утверждение леммы справедливо для линейного уравнения = A(t)x. Глава . Доказательства основных теорем Действительно, достаточно принять за значение решения с начальным условием ϕ(t) = x в фиксированный момент t 0 . Согласно лемме x 1 = B(t)x, где B(t): R n → R n –– линейный оператор класса по t. В координатах) наше линейное уравнение принимает вид Лемма доказана. Дîêàçàòåëüñòâî ëåììû . Линеаризуем уравнение ˙ x = v( t, x) в нуле, т. е. составим уравнение в вариациях ˙ x = A(t)x, где A(t) = v ∗ ( t, По условию, v ∈ C 1 , поэтому A ∈ C 0 . По лемме можно выбрать координаты так, что в новых координатах линеаризованное уравнение примет вид ˙ x 1 = 0. Легко проверить, что в этой системе координат правая часть исходного нелинейного уравнения будет иметь нулевую линейную часть. Действительно, введем обозначения V = Ax + R тогда R = o( |x|)) и x = = C тогда C = B −1 ). Дифференциальное уравнение для получается из = v подстановкой x = C x 1 . Получаем x 1 + C ˙ x 1 = AC Но, по определению C, первые (линейные по x 1 ) слагаемые слева и справа равны. Итак, C x 1 ) Лемма доказана. Соединяя леммы и , приходим к следующему заключению: Лåììà . Решение дифференциального уравнения ˙ x = v( t, x) с правой частью класса дифференцируемо зависит от начального условия. Производная z решения по начальному условию удовлетворяет системе уравнений в вариациях = v( t, x), ˙z = v ∗ ( t, x)z, z(t 0 ) = E : R n → Для доказательства леммы достаточно записать уравнение в системе координат леммы и применить лемму Для доказательства теоремы осталось убедиться в непрерывности производной решения по начальному условию. Согласно лемме это производная существует и удовлетворяет системе уравнений в вариациях. Из леммы следует непрерывная зависимость решений этой системы от и Итак, теорема доказана Глава Дифференциальные уравнения на многообразиях В этой главе определяются дифференцируемые многообразия и доказывается теорема о существовании фазового потока, заданного векторным полем на многообразии. В теории дифференциальных уравнений на многообразиях получено много интересных и глубоких результатов, о которых нельзя было успеть рассказать в настоящей главе, являющейся лишь кратким введением в эту область на стыке анализа и топологии . Дифференцируемые многообразия Понятие дифференцируемого, или гладкого, многообразия играет в геометрии ив анализе столь же фундаментальную роль, как в алгебре понятия группы и линейного пространства. Примеры многообразий. Когда ниже будет дано определение многообразия, то многообразиями окажутся, например, следующие Рис. . Примеры многообразий объекты (рис. Линейное пространство или любая его область (открытое подмножество. Сфера S n , заданная в евклидовом пространстве уравнением 1 + … + В частности, окружность S 1 . Тор T 2 = S 1 × S 1 (cp. § ). . Проективное пространство RP n = { (x 0 : x 1 : … : x n )}. Вспомним, что точками этого пространства являются прямые, проходящие через начало координат в R n+1 . Такая прямая задается любой своей (отличной от 0) точкой. Координаты этой точки (x 0 , …, x n ) в R n+1 Глава . Дифференциальные уравнения на многообразиях Рис. . Карта Рис. . Согласованные карты называются однородными координатами соответствующей точки проективного пространства. Последний пример особенно поучителен. При рассмотрении следующих определений полезно иметь ввиду аффинные координаты в проективном пространстве (см. пример п. ниже. Определения. Дифференцируемое многообразие M –– это множество M вместе со структурой дифференцируемого многообразия в нем. Говорят, что на множестве введена структура многообразия, если задан атлас, состоящий из карт, которые согласо- ваны. Оïðåäåëåíèå . Картой называется область U ⊂ вместе с взаимно однозначным отображением : W → U подмножества W множества на U рис. ). Мы назовем ϕ(x) изображением точки W ⊂ M на карте Рассмотрим карты (рис. ) ϕ i : W i → и Если множества и пересекаются, то их пересечение W i ∩ имеет изображения на обеих картах W j ), U ji = ϕ j ( W j ∩ Переход с одной карты на другую задается отображением подмножеств линейных пространств U ji , ϕ ij ( x) = О. Две карты U i , ϕ j : W j → U j называются согласованными, если) множества U ij , открыты (быть может, пусты) отображения ϕ ij и ϕ ji (определенные, если W i ∩ W j непусто) являются диффеоморфизмами областей R n § . Дифференцируемые многообразия Зàìå÷àíèå. В зависимости от класса гладкости отображений ϕ ij получаются разные классы многообразий. Если под диффеоморфизмом понимать диффеоморфизм класса, то многообразие (которое мы определим ниже) будет называться дифференцируемым многообразием класса C r . Если положить r = 0, те. требовать лишь, чтобы были гомеоморфизмами, получится определение топологического многообразия. Если требовать, чтобы ϕ ij были аналитическими, то получим аналитические многообразия. Есть и другие возможности. Например, если фиксировать в ориентацию и требовать, чтобы диффеоморфизмы ϕ ij ее сохраняли (якобиан ϕ ij в каждой точке положителен, то получится определение ориентированного многообразия. Оïðåäåëåíèå . Атласом на M называется совокупность карт U i , если) любые две карты согласованы) любая точка x ∈ M имеет изображение хоть на одной карте. Оïðåäåëåíèå . Два атласа на M эквивалентны, если их объединение есть снова атлас (те. если любая карта первого атласа согласована с любой картой второго). Легко видеть, что определение действительно задает отношение эквивалентности. Рис. . Отделимость Оïðåäåëåíèå . Структурой диффе- ренцируемого многообразия на M называется класс эквивалентных атласов. Отметим здесь же два условия, часто накладываемые на многообразия, чтобы избежать патологий. Отделимость у любых двух точек, y ∈ M есть непересекающиеся окрестности (рис. ). То есть либо существуют две карты U i , ϕ j : W j → с непересе- кающимися W i , W j , содержащими x и y соответственно, либо существует карта, на которой изображены обе точки x, Если не требовать отделимости, то многообразием будет множество, полученное из двух прямых R = {x}, R = { y} отождествлением точек с равны- ∗) Функция аналитична, если ее ряд Тейлора сходится к ней в окрестности каждой точки Глава . Дифференциальные уравнения на многообразиях ми отрицательными координатами x, y. На таком многообразии неверна теорема единственности продолжения решений дифференциального уравнения, хотя локальная теорема единственности и верна. Счетность: существует атлас M из не более чем счетного числа карт. Далее слово многообразие означает дифференцируемое многообразие, удовлетворяющее условиям отделимости и счетности. . Примеры атласов. Сферу S 2 , заданную уравнением x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 = 1 в R 3 , можно снабдить атласом из двух карт, например –– в стереографической проекции (рис. ). Здесь N, U 1 = R 2 1 ; W 2 = S 2 \ S, U 2 = R 2 З. Написать формулы для отображений, и проверить, что наши две карты согласованы. Аналогичным образом, дифференцируемую структуру можно задать атласом из двух карт. Рис. . Атлас сферы. Семейство касающихся в точке N окружностей, лежащих на сфере, изображается на нижней карте семейством параллельных прямых, а наверх- ней –– семейством касающихся окружностей. Атлас тора строится с помощью угловых координат широты и долготы ψ рис. ). Например, можно рассмотреть 4 карты, соответствующие изменению ив интервалах ϕ < 2π, −π < ϕ < π, 0 < ψ < 2π, −π < ψ < π. § . Дифференцируемые многообразия Рис. . Атлас тора Рис. . Аффинные карты проективной плоскости. Атлас проективной плоскости можно составить из трех «аффинных карт (рис. ): y 1 = x 1 x 0 , y 2 = x 2 x 0 , если x 0 6= 0, x 0 : x 1 : x 2 ϕ 2 $$H H H H H H H H H H H ϕ 0 ::v v v v v v v v v v v ϕ 1 // z 1 = x 0 x 1 , z 2 = x 2 x 1 , если x 1 6= 0, u 1 = x 0 x 2 , u 2 = x 1 x 2 , если x 2 6= Эти карты согласованы. Например, согласованность ϕ 0 и ϕ 1 озна- чает, что отображение, области U 0, 1 = { y 1 , y 2 : y 1 6= 0} плоскости) на область, 0 : z 1 6= 0 плоскости (z 1 , z 2 ), заданное формулами, является диффеоморфизмом (рис. Рис. . Согласованность карт проективной плоскости Глава . Дифференциальные уравнения на многообразиях Дîêàçàòåëüñòâî : y 1 = z −1 1 , y 2 = z 2 z −1 Аналогичным образом, дифференцируемая структура в проективном пространстве задается атласом из n + 1 аффинной карты. Компактность. Оïðåäåëåíèå . Подмножество G многообразия M называется открытым, если его изображение ϕ(W ∩ G) на каждой карте : W → U является открытым подмножеством области U линейного пространства (рис. Рис. . Открытое подмножество Рис. . Компактное подмножество Зàäà÷à . Докажите, что пересечение двух и объединение любого числа открытых подмножеств многообразия открыто. Оïðåäåëåíèå. Подмножество K многообразия M называется компактным, если из всякого покрытия множества K открытыми множествами можно выбрать конечное подпокрытие. Зàäà÷à . Докажите, что сфера компактна. Компактно ли проективное пространство RP n ? Уêàçàíèå. Для решения можно воспользоваться следующей теоремой. Тåîðåìà. Пусть подмножество F многообразия M рис. ) является объединением конечного числа подмножеств F i , каждое из которых имеет компактное изображение на одной из карт F i ⊂ W i , ϕ i : W i → U i , ϕ i ( F i ) –– компакт в Тогда F компактно. Дîêàçàòåëüñòâî. Пусть {G j } –– открытое покрытие множества Тогда { ϕ i ( G j ∩ W i )} при каждом есть открытое покрытие компакта. Выбираем из него конечное подпокрытие. Заставляя пробегать полученное конечное множество значений, получаем конечное число G j , покрывающих F. § . Дифференцируемые многообразия. Связность и размерность. Оïðåäåëåíèå. Многообразие M называется связным рис. если для любых двух его точек x, y существует конечная цепочка Рис. . Связное многообразие и несвязное M 1 ∪ таких карт U i , что содержит содержит y и W i ∩ W i+1 ∀i непусто, а U i связно ∗) Если многообразие M несвязно, то оно естественным образом распадается на компоненты связности З. Связны ли многообразия, заданные уравнениями в в RP 3 ) x 2 + y 2 − z 2 = C, C 6= З. Множество всех матриц порядка с отличным от 0 определителем имеет естественную структуру дифференцируемого многообразия (область в R n 2 ). Сколько компонент связности имеет это многообразие? Тåîðåìà. Пусть M –– связное многообразие, ϕ i : W i → U i –– его карты. Тогда размерности всех линейных пространств R n , областями в которых являются U i , одинаковы. Дîêàçàòåëüñòâî. Это следует из того, что диффеоморфизм между областями линейных пространств возможен лишь при равных размерностях пространств, и из того, что всякие две области и связного многообразия M можно соединить конечной цепочкой попарно пересекающихся областей. Определенное в теореме число n называется размерностью многообразия и обозначается dim M от англ. Например, dim R n = dim S n = dim T n = dim Несвязное многообразие называется мерным, если все его компоненты связности имеют одинаковую размерность З. Снабдить множество O(n) всех ортогональных матриц порядка структурой дифференцируемого многообразия. Найти его компоненты связности и их размерность. Оòâåò. O(n) = SO(n) × Z 2 , dim O(n) = n(n − 1)/2. . Дифференцируемые отображения. Оïðåäåëåíèå. Отображение f : M 1 → одного многообразия в другое называется дифференцируемым класса C r ), если в ло- ∗) То есть любые две точки можно соединить ломаной в U i ⊂ R n Глава . Дифференциальные уравнения на многообразиях Рис. . Дифференцируемое отображение Рис. . При проектировании сферы на плоскость получается замкнутый круг Рис. . Кривая на многообразии M кальных координатах на и оно задается дифференцируемыми функциями (класса Иными словами, пусть U 1 –– карта M 1 , изображающая точку W 1 , ϕ 2 : W 2 → U 2 –– карта M 2 , изображающая точку f (x) ∈ рис. Тогда заданное в окрестности точки) отображение областей евклидовых пространств f ◦ ϕ −1 должно быть дифференцируемым класса П. Проекция сферы на плоскость (рис. ) есть дифференцируемое отображение f : S 2 → Мы видим, что образ дифференцируемого отображения –– необязательно дифференцируемое многообразие. Пðèìåð . Кривой ∗) на многообразии M, выходящей в момент из точки x ∈ M, называется дифференцируемое отображение : I → M содержащего интервала I вещественной оси t в многообразие, причем f (t 0 ) Или параметризованной кривой, так как кривыми на M иногда называют также одномерные подмногообразия многообразия M определение см. ниже, в п. ). У параметризованной кривой могут быть точки самопересечения, точки возврата и т. п. (рис. ). § . Дифференцируемые многообразия Пðèìåð . Диффеоморфизмом f : M 1 → многообразия на многообразие называется дифференцируемое отображение f обратное к которому f −1 : M 2 → существует и дифференцируемо. Многообразия и M 2 диффеоморфны, если существует диффео- морфизм одного на другое. Например, сфера и эллипсоид диффео- морфны. . Замечание. Легко видеть, что всякое связное одномерное многообразие диффеоморфно окружности (если оно компактно) или прямой (если оно не компактно). Примерами двумерных многообразий являются сфера, тор (диф- феоморфный сфере с одной ручкой) и сфера с n ручками (рис. ). Рис. . Недиффеоморфные двумерные многообразия В курсах топологии доказывается, что всякое двумерное компактное связное ориентируемое многообразие диффеоморфно сфере с n ¾ 0 ручками. О трехмерных многообразиях известно мало. Например, неизвестно, всякое ли компактное односвязное ∗) трехмерное многообразие диффео- морфно сфере гипотеза Пуанкаре) или хотя бы гомеоморфно ей. ∗∗) В больших размерностях дифференцируемая и топологическая классификация многообразий не совпадают. Например, существует ровно 28 гладких многообразий, гомеоморфных сфере S 7 , ноне диффеоморфных друг другу. Они называются сферами Милнора. Сферу Милнора можно задать в с координатами z 1 , …, следующими двумя уравнениями 1 + z 3 2 + z 2 3 + z 2 4 + z 2 5 = 0, |z 1 | 2 + … +При k = 1, 2, …, 28 получаем 28 сфер Милнора ∗∗∗) . Одно из этих 28 многообразий диффеоморфно сфере S 7 . Подмногообразия. Сфера в R 3 , заданная уравнением x 2 + y 2 + + z 2 = 1, доставляет пример подмножества евклидова пространства, ∗) Многообразие односвязно, если всякий замкнутый путь в нем можно непрерывно стянуть в точку. ∗∗) Эта гипотеза была доказана Г. Я. Перельманом в году. –– Прим. ред. ∗∗∗) См. Е. Брискорн. Примеры из дифференциальной топологии особенностей. –– Сб. пер. Математика, . –– Т. , № . –– С. ––. Глава . Дифференциальные уравнения на многообразиях наследующего от него естественную структуру дифференцируемого многообразия –– структуру подмногообразия R 3 . Общее определение подмногообразия следующее: Оïðåäåëåíèå. Подмножество V многообразия M рис. ) называется подмногообразием, если каждая точка x ∈ V имеет такую Рис. . Подмногообразие окрестность W в M и такую карту ϕ : что ∩ V) является областью некоторого аффинного подпространства того аффинного пространства R n , в котором лежит U . Подмногообразие V само имеет естественную структуру многообразия (W ′ = = W ∩ V, Следующий фундаментальный факт приводится без доказательства и не будет использоваться в дальнейшем. Тåîðåìà. Всякое многообразие M n диф- феоморфно подмногообразию евклидова пространства достаточно большой размерности например, достаточно N > 2n, где n = dim Таким образом, абстрактное понятие многообразия в действительности охватывает не больший круг объектов, чем мерные поверхности в мерном пространстве. Преимущество абстрактного подхода состоит в том, что он сразу охватывает и те случаи, когда заранее не дано никакого вложения в евклидово пространство, а его привлечение привело бы лишь к ненужным усложнениям (пример: проективное пространство RP n ). Положение здесь такое же, как с конечномерными линейными пространствами (они все изоморфны координатному пространству {(x 1 , …, x n )}, но привлечение координат часто лишь усложняет дело. Пример. Рассмотрим в заключение пять интересных многообразий (рис. ). M 1 = SO(3) есть группа ортогональных матриц третьего порядка с определителем. Поскольку матрица имеет 9 элементов, есть подмножество пространства R 9 . Легко видеть, что это подмножество является в действительности подмногообразием. M 2 = T 1 S 2 есть множество всех касательных векторов длины 1 к сфере в трехмерном евклидовом пространстве. Ввести структуру дифференцируемого многообразия в этом множестве предоставляется читателю (ср. § ). § . Касательное расслоение Рис. . Примеры трехмерных многообразий это трехмерное проективное пространство конфигурационное пространство твердого тела, закрепленного в неподвижной точке O. M 5 –– подмногообразие пространства R 6 = R C 3 , заданное уравнениями 1 + z 2 2 + z 2 З. Какие из многообразий M 1 , …, M 5 диффеоморфны? |