В. И. Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения. В. И. Арнольд Обыкновенные дифференциальные уравнения
 Скачать 4.58 Mb.
|
|
. Обоснование. Дадим теперь точное определение числа оборотов векторного поля. Пусть v –– гладкое векторное поле, заданное в области U плоскости с координатами (x 1 , x 2 ) своими компонентами v 1 ( x 1 , x 2 ), v 2 ( x 1 , x 2 ). Система координат (x 1 , x 2 ) задает на плоскости ориентацию и евклидову структуру. Выкинем из области U особые точки поля и обозначим оставшуюся область через U ′ . Зададим отображение области на окружность формулой f : U ′ → S 1 , f (x) Это отображение гладкое (так как мы исключили особые точки поля. Рассмотрим какую-нибудь точку x области U ′ . На окружности в окрестности образа f (x) точки x можно ввести угловую координату. Мы получаем тогда определенную в окрестности точки гладкую вещественную функцию ϕ(x 1 , x 2 ). Сосчитаем ее полный дифференциал. Имеем при v 1 6= 0 dϕ = d arctg v 2 v 1 = v 1 dv 2 − v 2 dv 1 v 2 1 + v 2 Левая часть равна правой и при v 1 = 0, v 2 6= 0. Итак, хотя сама функция определена только локально и только с точностью допри- бавления кратного 2 π, ее дифференциал есть вполне определенная гладкая дифференциальная форма во всей области U ′ . Мы будем обозначать эту форму через dϕ. Оïðåäåëåíèå. Индексом ориентированной замкнутой кривой : S 1 → называется интеграл формы () по кривой, поделенный на 2 π: ind γ = 1 Теперь мы можем аккуратно доказывать приведенные выше теоремы. Докажем, например, теорему о сумме индексов (см. п. ). § . Индексы особых точек векторного поля Дîêàçàòåëüñòâî. Пусть D –– область с границей S, внутри которой данное поле v имеет конечное число особых точек. Обозначим через область, полученную из D выкидыванием малых круговых Рис. . Область, к которой применяется формула Грина окрестностей особых точек. Тогда граница D ′ с учетом ориентации есть где S i –– окружность, обходящая вокруг й особой точки в положительную сторону (рис. ). Применим к области и интегралу) формулу Грина. Получим Слева стоит 0, так как форма () локально является полным дифференциалом. Ввиду определения () получаем ind S = P ind S i , что и требовалось доказать. Зàäà÷à *. Докажите, что индекс замкнутой кривой –– целое число. Зàäà÷à *. Провести полностью доказательство утверждений пп. Рис. . Отображение степени 2 . Многомерный случай. Многомерное обобщение понятия число оборотов называется степенью отображения. Степень отображения –– это число прообразов точки с учетом знаков, определяемых ориентациями. Например, степень отображения ориентированной окружности на ориентированную окружность, нарисованного на рис. равна 2, так как число прообразов точки y, учитывая знаки, равно 1 + 1 − 1 + 1 = Чтобы дать общее определение, поступаем следующим образом. Пусть f : M n 1 → M 2 2 –– гладкое отображение одного мерного ориентированного многообразия на другое такое же. Точка x ∈ M n 1 многооб- разия-прообраза называется регулярной точкой, если производная отображения f в точке x есть невырожденный линейный оператор T f Например, точка x на рис. регулярна, а точка x ′ нет. Оïðåäåëåíèå. Степенью отображения f в регулярной точке называется число deg x f , равное +1 или в зависимости оттого Глава . Дифференциальные уравнения на многообразиях переводит ли заданную ориентацию пространства в заданную ориентацию пространства T f или в противоположную. Зàäà÷à . Докажите, что степень линейного автоморфизма A : R n → во всех точках одинакова и равна deg x A = sgn det A = ( −1) m − , где m − –– количество собственных чисел оператора A с отрицательной вещественной частью. Зàäà÷à . Пусть A : R n → R n –– линейный автоморфизм в евклидовом пространстве. Определим отображение единичной сферы на себя формулой. Найти степень отображения f в точке О = deg З. Пусть f : S n −1 → S n −1 –– отображение, переводящее каждую точку сферы в диаметрально противоположную. Какова его степень в точке О = (З. Пусть A : C n → C n –– линейный автоморфизм. Найти степень его овеществления, R A. Оòâåò. +Рассмотрим теперь какую-нибудь точку y многообразия-образа M n 2 . Точка y ∈ называется регулярным значением отображения f если все точки ее полного прообраза f −1 y регулярны. Например, на рис. точка y является регулярным значением, а точка y ′ нет. Предположим теперь дополнительно, что наши многообразия M n 1 и компактны и связны. Тогда имеет место Тåîðåìà. . Регулярные значения существуют. Число точек прообраза регулярного значения конечно. Сумма степеней отображения во всех точках прообраза регулярного значения не зависит оттого, какое именно регулярное значение мы рассматриваем. Доказательство этой теоремы довольно сложно и не будет здесь приводиться оно имеется в учебниках топологии ∗) Зàìå÷àíèå . В действительности регулярными значениями являются почти все точки многообразия M n 2 : нерегулярные значения образуют множество меры З. Условие компактности существенно не только для второго, но и для третьего утверждения теоремы. (Рассмотрите, например, вложение отрицательной полуоси в числовую прямую.) ∗) См., например, Особенности дифференцируемых отображений. –– М Мир. –– С. ––. § . Индексы особых точек векторного поля Зàìå÷àíèå . Число точек прообраза (без учета знаков) для разных регулярных значений может быть разным (например, на рису значения y их четыре, ау значения всего два). Оïðåäåëåíèå. Сумма степеней отображения f во всех точках прообраза регулярного значения называется степенью отображения = P x ∈ f −1 y deg x f З. Найти степень отображения окружности = 1 на себя, заданного формулой f (z) = z n , n = 0, ±1, ±2, … Оòâåò. n. Зàäà÷à . Найти степень отображения единичной сферы в евклидовом пространстве на себя, заданного формулой f (z) = Az/ |Az|, где A: R n → → R n –– невырожденный линейный оператор. Оòâåò. deg f = sgn det З. Найти степень отображения комплексной проективной прямой на себя, заданного формулой a) f (z) = z n ; б) f (z) = ¯¯ z n Оòâåò. а) n; б) −n. Зàäà÷à . Найти степень отображения комплексной прямой на себя, заданного многочленом степени n. Оòâåò. n. Зàäà÷à *. Докажите, что индекс замкнутой кривой S 1 → U ′ , определенный в п. , совпадает со степенью следующего отображения h окружности на окружность. Пусть f : U ′ → S 1 –– построенное в пс помощью векторного поля в области отображение. Положим h = f ◦ γ: S 1 → S 1 . Тогда ind γ = deg h. Оïðåäåëåíèå. Индексом изолированной особой точки 0 векторного поля v, заданного в содержащей 0 области евклидова пространства, называется степень соответствующего полю отображения сферы малого радиуса r с центром в точке 0 на себя. Отображение : S n −1 → S n −1 , S n −1 = { x ∈ R n : |x| = r} задается формулой h(x) З. Пусть оператор линейной части поля v в точке 0 невы- рожден. Тогда индекс особой точки 0 равен степени этого оператора. Зàäà÷à . Найти индекс особой точки 0 поля в R n , соответствующего уравнению ˙ x О Глава . Дифференциальные уравнения на многообразиях Понятие степени позволяет сформулировать многомерные аналоги рассмотренных выше двумерных теорем. Доказательства можно найти в учебниках по топологии. В частности, сумма индексов особых точек векторного поляна компактном многообразии любой размерности не зависит от выбора поля и определяется свойствами самого многообразия. Это число называется эйлеровой характеристикой многообразия. Чтобы вычислить эйлерову характеристику многообразия, достаточно исследовать особые точки какого-нибудь одного дифференциального уравнения, заданного на нем. Зàäà÷à . Найти эйлерову характеристику сферы S n , проективного пространства RP n , тора О) = 2 χ(RP n ) = 1 + ( −1) n , χ(T n ) = 0. Рåøåíèå. На торе любой размерности есть дифференциальное уравнение без особых точек (см, например, § , п. ), поэтому) = Ясно, что) = 2 χ(RP n ). Действительно, рассмотрим отображение : S n → RP n , переводящее каждую точку сферы S n ⊂ впрямую, соединяющую ее с началом координат. Отображение p локально диффеоморфно; при этом прообраз каждой точки проективного пространства –– это две диаметрально противоположные точки сферы. Следовательно, всякое век- Рис. . Линеаризация дифференциального уравнения на сфере вблизи его особых точек торное полена определит на поле с вдвое большим числом особых точек, причем индексы каждой из двух противоположных особых точек на сфере будут такие же, как индекс соответствующей им точки в проективном пространстве. Чтобы сосчитать, зададим сферу уравнением x 2 0 + … + x 2 n = 1 в евклидовом пространстве и рассмотрим функцию Составим дифференциальное уравнение на сфере = grad и исследуем его особые точки (рис. Векторное поле grad обращается в 0 в двух точках в северном полюсе N (x 0 = 1) ив южном (x 0 = −1). Линеаризуя дифференциальное уравнение в окрестности северного и южного полюса соответственно, получим уравнения = −ξ, ξ ∈ R n = T N S n ; ˙ η = η, η ∈ R n = T S S n § . Индексы особых точек векторного поля Следовательно, индекс северного полюса равен ( −1) n , а южного равен, значит) = 1 + (В частности, отсюда вытекает, что всякое векторное полена четномер- ной сфере имеет хоть одну особую точку. Зàäà÷à . Построить на нечетномерной сфере векторное поле без особых точек. Уêàçàíèå. Рассмотреть дифференциальное уравнение второго порядка = −x, x ∈ R n Программа экзамена. Теорема о выпрямлении (§ , пп. , ) и ее доказательство (§ п. ). . Теоремы о существовании, единственности и дифференцируе- мости (§ , пп. –– и § , пп. ––; § , пп. ––). Сжатые отображения. Теорема о продолжении (§ , пи теорема о том, что векторное полена компактном многообразии задает фазовый поток (§ , пп. ––). . Фазовые кривые автономной системы. Теорема о замкнутых фазовых кривых (§ ). . Производная по направлению векторного поля и первые интегралы. Экспонента линейного оператора. Экспонента комплексного числа и экспонента жордановой клетки (§ ; § , пп. , ; § , п. ). . Теоремы о связи фазовых потоков, линейных уравнений, одно- параметрических групп линейных преобразований и экспонент (§ , пп. ––; § , пп. ––; § , пп. ––). . Связь определителя, экспоненты и следа. Теорема Лиувилля об определителе Вронского (§ ; § , п. ; § , п. ). . Классификация особых точек линейных систем на плоскости , пп. , ; § , п. ; § , п. ; § , пп. ––). . Решение линейных однородных автономных систем в комплексной и вещественной области в случае простых корней характеристического уравнения (§ , п. ; § , п. ; § ; § ). . Решение линейных однородных автономных уравнений и систем в случае кратных корней характеристического уравнения ). . Решение линейных неоднородных автономных уравнений с правой частью в виде суммы квазимногочленов (§ ). . Линейные однородные неавтономные уравнения и системы. Определитель Вронского. Случай периодических коэффициентов и § , п. ). . Решение линейных неоднородных уравнений с помощью вариации постоянных (§ ). Программа экзамена. Теорема об устойчивости по линейному приближению (§ , пп. ––; § ). . Фазовые кривые линейного уравнения с чисто мнимыми корнями характеристического уравнения. Малые колебания консервативных систем (§ и § , п. ). Образцы экзаменационных задач. Для остановки речных судов у пристани с них сбрасывают канат, который наматывают на столб, стоящий на пристани. Какая сила будет тормозить судно, если канат делает 3 витка вокруг столба, коэффициент трения каната о столб равен 1 /3 и рабочий на пристани тянет за свободный конец каната с силой 10 кгс? . Нарисовать на поверхности цилиндра фазовые кривые маятника, на который действует постоянный крутящий момент = 1 + 2 sin Какие движения маятника отвечают кривым разных типов. Вычислить матрицу e At , где A –– данная матрица второго или третьего порядка. Нарисовать образ квадрата < 1 при преобразовании фазового потока системы ˙ x 1 = 2 x 2 , ˙ x 2 = x 1 + x 2 за время t = 1. . Сколькими десятичными знаками записывается сотый член последовательности 1, 1, 6, 12, 29, 59, … (x n = x n −1 + 2 x n −2 + n, x 1 = = x 2 = 1)? . Нарисовать фазовую кривую системы = x − y − z, ˙ y = x + y, ˙ z = 3x + проходящую через точку (1, 0, 0). . Найти все, β, γ, при которых три функции sin αt, sin β t, sin линейно зависимы. Нарисовать на плоскости (x 1 , x 2 ) траекторию точки, совершающей малые колебания = (5x 2 1 − 8x 1 x 2 + 5 x 2 Начальные условия x 1 = 1, x 2 = 0, ˙ x 1 = ˙ x 2 = 0. . На первоначально покоившийся математический маятник длины ми весом 1 кгс в течение 1 с действовала горизонтальная ∗) Во всех числовых задачах допускается погрешность в 10––20 % ответа Образцы экзаменационных задач сила 100 г. Найти амплитуду колебаний, которые установятся после прекращения действия силы (в см. Исследовать, устойчиво ли по Ляпунову нулевое решение системы) при 2kπ ¶ t < (2k + при (2k − 1)π ¶ t < 2kπ, k = 0, ±1, ±2, … . Найти все особые точки системы = xy + 12, ˙ y = x 2 + y 2 − Исследовать их устойчивость, определить типы особых точек и нарисовать фазовые кривые. Найти все особые точки системы на торе [(x, y) mod 2π]: ˙ x = − sin y, ˙ y = sin x + sin Исследовать их устойчивость, определить типы особых точек и нарисовать фазовые кривые. Из эксперимента известно, что при преломлении света на границе раздела двух сред синусы углов, образованных падающими преломленным лучами с нормалью к поверхности раздела, обратно пропорциональны показателям преломления сред Найти форму световых лучей на плоскости (x, y) с показателем преломления n( y). Рассмотреть случай n( y) = 1/ y в полуплоскости > 0 с таким показателем преломления реализуется геометрия Лобачевского. Нарисовать лучи, выходящие по различным направлениям изначала координат на плоскости с показателем преломления y 4 − − Решение этой задачи объясняет явление миража. Показатель преломления воздуха над пустыней имеет максимум на некоторой высоте, так как в более высоких ив более низких горячих слоях воздух более разрежена показатель преломления обратно пропорционален скорости. Колебания луча вблизи слоя с максимальным значением показателя преломления и воспринимаются как мираж. Другое явление, объясняемое теми же колебаниями луча, –– звуковой канал в океане, по которому звук распространяется на сотни километров. Причина этого явления –– игра температуры и дав Образцы экзаменационных задач ления, приводящая к образованию слоя с максимальным показателем преломления (те. минимальной скоростью звука) на глубине м. Звуковой канал можно использовать, например, для предупреждения о цунами. Нарисовать геодезические на торе, пользуясь теоремой Кле- ро произведение расстояния до оси вращения на синус угла геодезической с меридианом вдоль каждой геодезической на поверхности вращения постоянно. Выпрямить фазовые кривые уравнения ¨ x = x − в окрестности точки x = 0, ˙ x = 1. . Выпрямить интегральные кривые уравнения ˙ x = x + cos t. . Выпрямить поле направлений уравнения ˙ x = x + te t . Выпрямить поле фазовой скорости уравнения ˙ x = x вблизи точки x = 0. . В каких координатах разделяются переменные в уравнении = x 2 + y 2 /3 ? . Решить уравнение ˙ x = x + δ(t − 2). . Найти производную решения уравнения ¨ x = сна- чальным условием x(0) = 1, ˙ x(0) = 0 по A при A = 0. . Найти собственные числа и векторы оператора монодромии 2 π-периодического решения уравнения ¨ x − x = sin t. . Решить уравнение ˙ x = Atx + x, где A : R n → R n –– линейный оператор. Могут ли операторы A и B не коммутировать, если. Найти все независящие от времени непрерывные на всей фазовой плоскости первые интегралы системы ˙ x = y, ˙ y = x + y. . Числа 1 и i –– собственные для A : R 3 → R 3 . Имеет ли уравнение непрерывные в непостоянные первые интегралы. Числа 1 и –– собственные для A: R 3 → R 3 . Имеет ли уравнение непрерывные в непостоянные первые интегралы. Решить задачу Коши. Уравнение x ( n) = F(t, x, …, x ( n −1) ) имеет решения и sin Определить n. . Продолжаются ли решения уравнения ˙ x = x 3 sin x на всю ось времени Образцы экзаменационных задач. Продолжаются ли неограниченно все решения уравнения Ньютона ¨ x = − grad U, U = x 4 1 + x 1 x 2 + x 6 2 ? . Продолжаются ли неограниченно все решения уравнения = 1 + 2 sin x? . Может ли положение равновесия уравнения Ньютона быть устойчивым по Ляпунову, не будучи точкой локального минимума потенциальной энергии. Может ли периодическое решение автономной системы, изображаемое на фазовой плоскости предельным циклом, быть асимптотически устойчивым. Может ли периодическое решение автономной системы быть неустойчивым по Ляпунову, если на фазовой плоскости оно изображается предельным циклом, на который снаружи и изнутри наматываются спирально приближающиеся к циклу при движении в направлении возрастания времени фазовые кривые. Может ли неустойчивое по Ляпунову положение равновесия сделаться после линеаризации устойчивым асимптотически устойчивым. Может ли асимптотически устойчивое положение равновесия стать неустойчивым по Ляпунову после линеаризации? |