В. И. Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения. В. И. Арнольд Обыкновенные дифференциальные уравнения
 Скачать 4.58 Mb.
|
|
v( t, x), v( t, x) = A(t)x, t ∈ R, x ∈ В самом деле, будем рассматривать как аффинную часть проективного пространства RP n . Пространство получается из своей аффинной части добавлением бесконечно удаленной плоскости Пусть v –– линейное векторное поле в R n (v(x) = Ax). Легко проверяется Л.iВекторное полена можно единственным образом продолжить до гладкого поляна. Полена бесконечно удаленной плоскости касается В частности, продолжим (при каждом t) поле v(t), задающее уравнение (), до поляна. Рассмотрим уравнение = v ′ ( t, x), x ∈ RP n , t ∈ Проективное пространство компактно. Следовательно, каждое решение уравнения () можно продолжать неограниченно (рис. ). § . Фазовый поток, заданный векторным полем Рис. . Продолжение линейного векторного поляна проективное пространство Рис. . Поведение продолженного поля вблизи бесконечно удаленной плоскости Решение с начальным условием в всегда остается в так как поле касается По теореме единственности решения уравнения с начальными условиями в остаются в пределах при всех t. Нов пределах уравнение () имеет вид (). Итак, каждое решение уравнения (продолжается неограниченно. Зàäà÷à . Доказать лемму. Рåøåíèå . Пусть (x 1 , …, x n ) –– аффинные координаты в RP n , ( y 1 , … …, y n ) –– другие аффинные координаты 1 , y k = x k x −1 1 ( k = 2, …, Уравнение в новых координатах Дифференциальное уравнение () dx dt = n P j=1 a ij x j , i = 1, …, в новых координатах записывается в виде (рис. ) dy 1 /dt = − y 1 ( a 11 + P a 1 k y k ), k > 1; dy k /dt = a k1 + P a kl y l − y k ( a 11 + P a 1 l y l ), k > 1, l > Из этих формул, верных при y 1 6= 0, видно, как доопределить поле при При y 1 = 0 находим = 0, что и доказывает лемму. Рåøåíèå . Аффинное преобразование можно рассматривать как проективное, оставляющее на месте бесконечно удаленную плоскость, ноне ее точки. В частности, линейные преобразования продолжаются до диф- феоморфизмов проективного пространства, оставляющих на месте бесконечно удаленную плоскость. Эти диффеоморфизмы образуют однопарамет- рическую группу ее поле фазовой скорости и есть v ′ Глава . Дифференциальные уравнения на многообразиях . Индексы особых точек векторного поля Здесь рассмотрены простые применения топологии к исследованию дифференциальных уравнений. Индекс кривой. Начнем с наглядных рассуждений ниже они будут подкреплены точными определениями и доказательствами (см. п. Рассмотрим векторное поле, заданное на ориентированной евклидовой плоскости. Пусть на плоскости дана замкнутая ориентированная кривая, не проходящая через особые точки поля (рис. Пусть точка обходит кривую в положительном направлении. Вектор Рис. . Кривая индекса поля в рассматриваемой точке при движении точки будет непрерывно поворачиваться. Когда точка, обойдя кривую, вернется на место, вектор тоже вернется к исходному положению. Но при этом он может делать несколько оборотов в ту или другую сторону. Число оборотов вектора поля при обходе кривой называется индексом кривой. При этом число оборотов берется со знаком плюс, если вектор вращается в сторону, заданную ориентацией плоскости (от первого орта ко второму, и со знаком минус в противном случае. Пðèìåð . Индексы кривых, β, γ, δ на рис. равны 1, 0, 2, и −1 со- ответственно. Рис. . Кривые с разными индексами Пðèìåð . Пусть O –– неособая точка поля. Тогда индекс всякой кривой, лежащей в достаточно малой окрестности точки O, равен Чтобы следить за поворотом вектора, удобно снести все векторы в одну точку следуя естественной параллелизации плоскости § . Индексы особых точек векторного поля Действительно, направление поля в точке O непрерывно ив достаточно малой ее окрестности меняется меньше чем, скажем, на π/2. Зàäà÷à . Зададим векторное полена плоскости без точки формулой v(z) = z n (n –– целое число, необязательно положительное. Сосчитать индекс окружности z = e iϕ , ориентированной в сторону возрастания плоскость ориентирована репером 1, О. Свойства индекса. Сâîéñòâî . При непрерывной деформации замкнутой кривой ее индекс не меняется, пока кривая не проходит через особые точки. Действительно, направление вектора поля вне особых точек меняется непрерывно поэтому число оборотов также непрерывно зависит от кривой. Будучи целым числом, оно постоянно. Сâîéñòâî . Индекс кривой не меняется при непрерывной деформации векторного поля, если только при этом на кривой вовсе время деформации нет особых точек поля. Из этих двух свойств, интуитивно достаточно очевидных, вытекает множество глубоких теорем. Примеры. Пðèìåð . Рассмотрим векторное полена плоскости. Пусть D круга его окружность ∗∗) Тåîðåìà. Если индекс кривой S отличен от 0, то внутри ограниченной ею области D есть хоть одна особая точка. В самом деле, если особых точек нетто можно внутри D деформировать непрерывно и не проходя через особые точки, так что после деформации получится сколь угодно близкая к одной точке кривая (можно даже просто деформировать S в точку O). Индекс полученной маленькой кривой равен 0. Но при деформации индекс не меняется значит, и вначале он был равен З. Докажите, что система дифференциальных уравнений = x + P(x, y), ˙ y = y + Q(x, где P и Q –– ограниченные на всей плоскости функции, имеет по меньшей мере одно положение равновесия. ∗) Аккуратная формулировка и доказательство сформулированных утверждений требуют некоторой топологической техники гомотопий, гомологии или чего-нибудь в этом роде (далее мы воспользуемся с этой целью формулой Грина. См, например, книгу Н. Стинрода и У. Чина Первые понятия топологии (М Мир, Можно также рассмотреть более общий случай, когда D –– любая плоская область, ограниченная простой замкнутой кривой S. Глава . Дифференциальные уравнения на многообразиях Пðèìåð . Докажем основную теорему алгебры: Всякое уравнение z n + a 1 z n −1 + … + имеет по меньшей мере один комплексный корень. Рассмотрим векторное полена плоскости комплексного переменного, заданное формулой v(z) = z n + a 1 z n −1 + … + a n . Особые точки поля v –– это корни нашего уравнения. Лåììà. Индекс окружности достаточно большого радиуса в построенном поле равен n ориентации –– как в задаче п. В самом деле, формула) = z n + t(a 1 z n −1 + … + a n ), 0 ¶ t ¶ определяет непрерывную деформацию исходного поля в поле Пусть r > 1 + |a 1 | + … + |a n |. Тогда r n > |a 1 |r n −1 + … + |a n |. Поэтому на окружности радиуса r вовсе время деформации нет особых точек. По свойству индекс этой окружности в исходном поле ив поле одинаков. Нов поле он равен Лемма доказана. По предыдущей теореме внутри круга радиуса r есть особые точки векторного поля, те. корни нашего уравнения. Рис. . Отображение круга в себя Теорема доказана. Пðèìåð . Докажем следующую теорему о неподвижной точке: Тåîðåìà. Всякое гладкое ∗) отображение f : D → D замкнутого круга в себя имеет хоть одну неподвижную точку. Будем считать, что на плоскости круга введена структура линейного пространства с началом в центре круга (рис. ). Неподвижные точки отображения f –– это особые точки векторного поля v(x) = f (x) − Предположим, что особых точек в D нет. Тогда их нет и на окружности. Лåììà. Индекс окружности круга D в поле v равен Действительно, существует такая непрерывная деформация поля в поле, что вовсе время деформации на окружности нет особых точек (например, достаточно положить v t (x)= tf (x) −x, Эта теорема справедлива для любого непрерывного отображения, номы здесь считаем все отображения гладкими и докажем теорему (см. п. ) только в этом предположении § . Индексы особых точек векторного поля Поэтому индексы окружности в полях v 0 = −x и v 1 = v одинаковы. Но индекс окружности = r в поле −x легко сосчитать непосредственно он равен Лемма доказана. По теореме примера внутри круга есть особая точка поля те. неподвижная точка отображения f . . Индекс особой точки векторного поля. Пусть O –– изолированная особая точка векторного поляна плоскости, те. пусть в некоторой окрестности точки O нет других особых точек. Рассмотрим окружность достаточно малого радиуса с центром в точке O; предположим, что плоскость ориентирована и что ориентация на окружности выбрана положительной (как в п. ). Тåîðåìà. Индекс окружности достаточно малого радиуса с центром в изолированной особой точке O не зависит от радиуса окружности, лишь бы он был достаточно мал. В самом деле, две такие окружности можно непрерывно проде- формировать одну в другую, не проходя через особые точки. Заметим также, что вместо окружности можно было бы взять любую другую кривую, обходящую вокруг O один разв положительном направлении. Оïðåäåëåíèå. Индекс какой-нибудь (и тогда любой) достаточно малой положительно ориентированной окружности с центром в изолированной особой точке векторного поля называется индексом особой точки. Пðèìåðû. Индексы особых точек типа узел, седло и фокус (или центр) равны +1, −1, +1 соответственно (рис. Рис. . Индексы простых особых точек равны ±1 Особая точка векторного поля называется простой, если оператор линейной части поля в этой точке невырожден. Простые особые точки на плоскости –– это узлы, седла, фокусы и центры. Таким образом, индекс простой особой точки равен всегда Глава . Дифференциальные уравнения на многообразиях Зàäà÷à . Построить векторное поле с особой точкой индекса n. Уêàçàíèå. См., например, задачу п. З. Докажите, что индекс особой точки не зависит от выбора ориентации плоскости. Уêàçàíèå. При изменении ориентации одновременно изменяются и положительное направление обхода окружности, и положительное направление счета числа оборотов. Теорема о сумме индексов. Пусть D –– компактная область на ориентированной плоскости, ограниченная простой кривой Ориентируем кривую S, как полагается ориентировать границу те. так, чтобы область D оставалась при обходе слева. Это значит, что репер, образованный вектором скорости обхода и вектором нормали, направленным внутрь D, должен задавать положительную ориентацию плоскости. Пусть на плоскости задано векторное полене имеющее особых точек на кривой S и имеющее лишь конечное число особых точек в области D. Тåîðåìà. Индекс кривой S равен сумме индексов особых точек поля, лежащих внутри Для доказательства заметим, что индекс кривой обладает следующим свойством аддитивности. Рассмотрим две ориентированные кривые, проходящие через одну точку. Можно образовать новую ориентированную кривую Рис. . Индекс кривой S равен сумме индексов кривых γ 1 и γ 2 γ 1 + γ 2 пройдя сначала, а потом γ 2 Лåììà. Индекс кривой γ 1 + γ 2 равен сумме индексов кривых и Действительно, вектор поля сделает оборотов при обходе кривой γ 1 и еще оборотов при обходе кривой, итого оборотов. Лемма доказана. Теперь разобьем D на части D i , так, чтобы внутри каждой из них было не больше одной особой точки поля (рис. ), а на границах чтобы особых точек не было. Ориентируем кривые, ограничивающие эти части, как полагается ориентировать границы (рис. ); тогда по лемме ind P i γ i = ind S + P j ind δ j , § . Индексы особых точек векторного поля где δ j –– замкнутая кривая, представляющая часть границы области, находящуюся внутри D и пройденную два раза в разные стороны. Индекс каждой кривой δ j равен 0, так как эта кривая стягивается в точку, минуя особые точки поля (см. п. ). Индекс кривой γ i равен индексу той особой точки, которую эта кривая охватывает (или 0, если в области D i , охватываемой этой кривой, особых точек нет. Теорема доказана. Зàäà÷à . Пусть p –– многочлен степени n от комплексного переменного область на плоскости переменного z, ограниченная кривой Предположим, что на кривой S нет корней многочлена. Докажите, что число корней многочлена внутри D с учетом кратностей) равно индексу кривой S в полете. числу оборотов вокруг 0 кривой p(S). Зàìå÷àíèå. Мы получаем тем самым способ решения проблемы Рау- са––Гурвица (см. § Найти число корней данного многочлена в левой полуплоскости. С этой целью рассмотрим полукруг достаточно большого радиуса в левой полуплоскости с центром в точке z = 0 и с диаметром на мнимой оси. Число корней в левой полуплоскости равно индексу границы этого полукруга (если его радиус достаточно велики у многочлена нет чисто мнимых корней. Для вычисления индекса кривой S достаточно сосчитать число оборотов образа мнимой оси, ориентированной от к +i вокруг начала координат. Действительно, легко проверить, что = ν + так как образ полуокружности достаточно большого радиуса при отображении делает приблизительно n/2 оборотов вокруг начала координат (тем точнее n/2, чем больше радиус). В частности, все корни многочлена степени n лежат в левой полуплоскости, если и только если точка p(it) при изменении t от до +∞ обходит начало координат n/2 разв сторону от 1 к i). . Сумма индексов особых точек на сфере. Зàäà÷à *. Докажите, что индекс особой точки векторного поляна плоскости сохраняется при диффеоморфизме. Таким образом, индекс –– понятие геометрическое, независящее от системы координат. Это обстоятельство позволяет определить индекс особой точки не только на плоскости, но и на любом двумерном многообразии. Действительно, достаточно рассмотреть индекс особой точки на какой-нибудь карте на других картах он будет тем же самым Глава . Дифференциальные уравнения на многообразиях Пðèìåð . Рассмотрим сферу x 2 + y 2 + z 2 = 1 в евклидовом трехмерном пространстве. Векторное поле скорости вращения вокруг оси z ( ˙ x = y, ˙ y = −x, ˙z = 0) имеет две особые точки северный и южный полюсы (рис. ). Индекс каждой из них равен +Рис. . Векторное полена сфере, имеющее две особые точки индекса Рис. . Векторное поле, параллельное на одной карте сферы, но нарисованное на другой Предположим, что на сфере дано векторное поле, имеющее лишь изолированные особые точки. Тогда их конечное число, так как сфера компактна. Тåîðåìà*. Сумма индексов всех особых точек поляна сфере не зависит от выбора поля. Из предыдущего примера видно, что эта сумма равна И Рассмотрим карту сферы, покрывающую ее всю, кроме одной точки, которую мы назовем полюсом. В евклидовой плоскости этой карты рассмотрим координатное векторное поле e 1 . Перенесем это полена сферу. Тогда получим полена сфере (не определенное водном лишь полюсе, которое мы по-прежнему будем обозначать через Рассмотрим теперь карту окрестности полюса. На плоскости этой карты мы также можем нарисовать векторное полена сфере e 1 , неопределенное лишь водной точке O. Как оно будет выглядеть, показано на рис. . Лåììà. Индекс замкнутой кривой, обходящей один раз точку в построенном полена плоскости, равен Для доказательства леммы достаточно явно проделать описанные выше операции, взяв в качестве двух карт, например, карты сферы в стереографической проекции (рис. ). Параллельные пря- § . Индексы особых точек векторного поля мые первой карты перейдут на второй в окружности рис. , из которого ясно, что индекс равен Рассмотрим теперь векторное полена сфере. Выберем за полюс неособую точку поля. Тогда все особые точки поля изображаются на карте дополнения к полюсу. Сумма индексов всех особых точек поля равна индексу окружности достаточно большого радиуса на плоскости этой карты (по теореме п. ). Перенесем эту окружность на сферу, а со сферы на карту окрестности полюса. На этой карте индекс полученной окружности в исследуемом поле равен 0, так как полюс –– неособая точка поля. Оставаясь на этой новой карте, мы можем истолковать индекс окружности на первой карте как число оборотов поля v относительно поля e 1 » при обходе окружности. Это число равно +2, так как на новой карте при обходе по окружности вокруг точки O в положительную для первой карты сторону изображенное на новой карте поле совершает 2 оборота, а поле оборотов. Зàäà÷à . Пусть f : S 2 → R 1 –– гладкая функция на сфере, все критические точки которой просты (те. второй дифференциал в каждой критиче- Рис. . На каждом острове сумма числа вершин с числом котловин на 1 больше числа перевалов ской точке невырожден). Докажите, что m 1 + m 2 = 2, где число критических точек, у которых отрицательный индекс инерции второго дифференциала равен Иными словами, если от числа минимумов отнять число седели прибавить число максимумов, то всегда получится 2. Например, число всех горных вершин на Земле плюс число всех котловин на 2 больше, чем число перевалов. Если ограничиться одним островом или материком, т. е. рассматривать функции на круге без критических точек на краю, то (рис. ). Уêàçàíèå. Рассмотрите градиент функции f З. Докажите теорему Эйлера о многогранниках: Для всякого выпуклого ограниченного многогранника с α 0 вершинами, α 1 ребрами и гранями α 0 − α 1 + α 2 = 2 . Уêàçàíèå. Эту задачу можно свести к предыдущей. Зàäà÷à *. Докажите, что сумма индексов χ особых точек векторного поля на любом двумерном компактном многообразии не зависит от поля. Число χ называется эйлеровой характеристикой многообразия. Например, выше мы видели, что эйлерова характеристика сферы) равна 2. Глава . Дифференциальные уравнения на многообразиях Зàäà÷à . Найдите эйлерову характеристику тора, кренделя и сферы с n ручками (рис. О, 2 − З. Перенесите результаты задач , со сферы на любое двумерное компактное многообразие M: m 0 − m 1 + m 2 = α 0 − α 1 + α 2 = χ(M). |