В. И. Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения. В. И. Арнольд Обыкновенные дифференциальные уравнения
 Скачать 4.58 Mb.
|
|
§ . Линейные уравнения с периодическими коэффициентами Теория линейных уравнений с периодическими коэффициентами объясняет, как надо раскачиваться на качелях и почему верхнее, обычно неустойчивое, положение равновесия маятника становит- Рис. . Расширенное фазовое пространство уравнения с периодическими коэффициентами ся устойчивым, если точка подвеса маятника совершает достаточно быстрые колебания по вертикали. Отображение за период. Рассмотрим дифференциальное уравнение с периодически зависящей от времени правой частью (рис. П. Движение маятника с периодически меняющимися параметрами (например, движение качелей) описывается системой уравнении вида (): ˙ x 1 = x 2 , ˙ x 2 = −ω 2 ( t)x 1 ; ω(t + T) = Мы будем предполагать, что все решения уравнения () продолжаются неограниченно это заведомо так для линейных уравнений, которые нас особенно интересуют § . Уравнения с периодическими коэффициентами Периодичность правой части уравнения проявляется в специальных свойствах фазового потока уравнения (Л. Преобразование фазового пространства g t 2 t 1 : R n → за время от доне меняется при одновременном увеличении t 1 и на величину периода T правой части уравнения (). Дîêàçàòåëüñòâî. Нужно доказать, что сдвиг ψ(t) = ϕ(t + T) решения) на время T является решением. Но сдвиг расширенного Рис. . Отображение монодромии фазового пространства на T вдоль оси времени переводит поле направлений уравнения) в себя (рис. ). Поэтому сдвинутая на T интегральная кривая уравнения () везде касается поля направлений и, следовательно, остается интегральной кривой. Итак, g t 2 + T t 1 + T = g t 2 t 1 , что и требовалось дока- зать. Рассмотрим, в частности, преобразование, осуществляемое фазовым потоком за время одного периода T . Это преобразование будет играть важную роль в дальнейшем мы будем называть его отображением за время T и обозначать (рис. ) A = g T 0 : R n → П. Для систем ˙ x 1 = x 2 , ˙ x 2 = −x 1 ; ˙ x 1 = x 1 , ˙ x 2 = −x 2 , которые можно считать периодическими с любым периодом T , отображение есть повороти гиперболический поворот соответственно. Лåììà . Преобразования образуют группу g nT 0 = A n . Кроме того, g nT+s 0 = g s 0 g nT 0 . Дîêàçàòåëüñòâî. Согласно лемме g nT+s nT = g s 0 . Поэтому g nT+s 0 = = g nT+s nT g nT 0 = g s 0 g nT 0 . Полагая s = T, находим g ( n+1)T 0 = Ag nT 0 , откуда по индукции Лемма доказана. Всевозможным свойствам решений уравнения () соответствуют аналогичные свойства отображения A за период. Тåîðåìà. ) Точка есть неподвижная точка отображения A (Ax 0 = x 0 ) тогда и только тогда, когда решение с начальным условием x(0) = есть периодическое, с периодом T . ) Периодическое решение x(t) устойчиво по Ляпунову асимптотически устойчиво) тогда и только тогда, когда неподвижная Глава . Линейные системы точка отображения A устойчива по Ляпунову (асимптотически устойчива) ∗) . ) Если система () линейна, те линейная функция x, то отображение A линейно) Если, кроме того, след линейного оператора V(t) равен нулю, то отображение A сохраняет объем det A = 1. Дîêàçàòåëüñòâî. Утверждения ) и ) вытекают из соотношения и из непрерывной зависимости решения от начальных условий на отрезке [0, T Утверждение ) вытекает из того, что сумма решений линейной системы есть снова решение. Утверждение ) вытекает из теоремы Лиувилля. . Условия устойчивости. Применим доказанную теорему к отображению фазовой плоскости на себя, соответствующему системе (). Так как система () линейна и след матрицы правой части равен 0, получаем Сëåäñòâèå. Отображение A линейно. Оно сохраняет площади A = 1). Для устойчивости нулевого решения системы уравнений () необходима и достаточна устойчивость отображения З . Доказать, что поворот плоскости –– устойчивое отображение, а гиперболический поворот –– неустойчивое. Изучим теперь подробнее линейные отображения плоскости на себя, сохраняющие площадь. Тåîðåìà. Пусть A –– матрица сохраняющего площадь линейного отображения плоскости на себя (det A = 1). Тогда отображение устойчиво, если A| < 2, и неустойчиво, если |tr A| > 2. Дîêàçàòåëüñòâî. Пусть λ 1 , λ 2 –– собственные числа A. Они удовлетворяют характеристическому уравнению tr A · λ + 1 = с вещественными коэффициентами = 1. Корни λ 1 , λ 2 этого вещественного квадратного уравнения вещественны при A| > 2 и комплексно сопряжены при |tr A| < 2 (рис. В первом случае одно из собственных чисел больше, а другое ∗) Неподвижная точка отображения A называется устойчивой по Ляпунову (соответственно асимптотически устойчивой, если > 0 ∃δ > 0, такое что из − x 0 | < δ вытекает |A n x − A n x 0 | < ǫ для всех 0 < n < ∞ сразу (соответственно еще A n x 0 → 0 при n → ∞). § . Уравнения с периодическими коэффициентами Рис. . Собственные числа монодромии меньше 1 по модулю отображение есть гиперболический повороти неустойчиво. Во втором случае собственные числа лежат на единичной окружности Отображение A эквивалентно повороту на угол где λ 1, 2 = e ±iα ), те. становится поворотом при соответствующем выборе евклидовой структуры на плоскости (почему?). Итак, оно устойчиво. Теорема доказана. Таким образом, весь вопрос об устойчивости нулевого решения системы (свелся к вычислению следа матрицы К сожалению, вычислить этот след явно удается лишь в специальных случаях. Его всегда можно найти приближенно, численно интегрируя уравнение на отрезке 0 ¶ t ¶ T В важном случае, когда) близка к постоянной, помогают простые общие соображения. Сильно устойчивые системы. Рассмотрим линейную систему) с двумерным фазовым пространством тес. Такая система называется гамильтоновой, если дивергенция v равна нулю. Для гамильтоновых систем, как указано выше, фазовый поток сохраняет площади det A = 1. Оïðåäåëåíèå. Нулевое решение линейной гамильтоновой системы сильно устойчиво, если оно устойчиво и у всякой близкой линейной гамильтоновой системы нулевое решение тоже устойчиво. Из предыдущих двух теорем вытекает Сëåäñòâèå. Если |tr A|<2, то нулевое решение сильно устойчиво. Ибо если A| < 2, то для отображения A ′ , соответствующего достаточно близкой системе, тоже выполнено условие A ′ | < Применим это к системе с почти постоянными коэффициентами. Рассмотрим, например, уравнение = −ω 2 (1 + ǫa(t))x, ǫ ≪ где a(t + 2π) = a(t), например, a(t) = cos t маятник, частота которого колеблется около с малой амплитудой и с периодом В случае a(t) = cos t уравнение () называется уравнением Матье. Глава . Линейные системы Рис. . Область неустойчивости при параметрическом резонансе Каждую систему) будем изображать точкой на плоскости параметров, ω рис. Очевидно, устойчивые системы с A| < 2 образуют на плоскости, ǫ) открытое множество, также как и неустойчивые системы с A| > Граница устойчивости дается уравнением A| = 2. Тåîðåìà. Все точки оси ω, исключая целые и полуцелые точки ω = k/2, k = 0, 1, 2, …, соответствуют сильно устойчивым системам Таким образом, множество неустойчивых систем может подходить коси только в точках ω = k/2. Иными словами, раскачать качели малым периодическим изменением длины можно лишь в том случае, когда один период изменения длины близок к целому числу полупериодов собственных колебаний, –– результат, всем известный из эксперимента. Доказательство сформулированной теоремы основано на том, что при = 0 уравнение () имеет постоянные коэффициенты и явно решается. Зàäà÷à . Вычислить для системы () с = 0 матрицу преобразования за период T = 2π в базисе (x, Р. Общее решение = C 1 cos ωt + Частное решение с начальным условием x = 1, ˙ x = 0: x = cos ωt, ˙ x = −ω sin Частное решение с начальным условием x = 0, ˙ x = 1: x = (sin ωt)/ω, ˙ x = cos О = cos 2 πω (sin 2 πω)/ω −ω sin 2πω cos Поэтому A| = |2 cos 2ωπ| < 2, если ω 6= k/2, k = 0, 1, …, и теорема вытекает из предыдущего следствия § . Уравнения с периодическими коэффициентами Более внимательный анализ ∗) показывает, что, вообще говоря (ив частности, при a(t) = cos t), вблизи точек ω = k/2, k = 1, 2, …, область неустойчивости (заштрихованная на рис. ) действительно подходит коси Таким образом, при некоторых соотношениях между частотой изменения параметров и собственной частотой качелей ( ω ≈ k/2, k = 1, 2, …) нижнее положение равновесия идеализированных качелей) неустойчиво и они раскачиваются при сколь угодно малом периодическом изменении длины. Это явление называется параметрическим резонансом. Характерной особенностью параметрического резонанса является то, что он сильнее всего проявляется в случае, когда частота изменения параметров в уравнении () частота ν равна 1) вдвое больше собственной частоты ω. Зàìå÷àíèå. Теоретически параметрический резонанс наблюдается при бесконечном наборе соотношений ≈ k/2, k = 1, 2, Практически наблюдаемы обычно лишь случаи, когда k невелико = 1, 2, реже 3). Дело в том, что а) при больших k область неустойчивости подходит коси узким языком и для резонансной частоты получаются очень жест- Рис. . Влияние малого трения на область неустойчивости кие пределы ( ∼ для a(t) = cos t в (б) сама неустойчивость слабо выражена при больших k, так как величина A| − 2 невелика и собственные числа близки к 1 при больших в) сколь угодно малое трение приводит к тому, что для возникновения параметрического резонанса го порядка имеется минимальное значение амплитуды ǫ k : при меньших колебания затухают. С ростом быстро растет (рис. Заметим также, что для уравнения (в неустойчивом случае величина x растет неограниченно. В реальных системах колебания достигают лишь конечной амплитуды, так как при больших x само линеаризованное уравнение () теряет силу и нужно учитывать нелинейные эф- фекты. ∗) См., например, разобранную ниже задачу п. . Глава . Линейные системы. Вычисления. Зàäà÷à . Найти вид областей устойчивости на плоскости, ω для системы, описываемой уравнением = − f (t)x, f (t + 2π) = f (t), () f (t) = ¨ ( ω + при 0 ¶ t < π, ( ω − при ¶ t < 2π, ǫ ≪ Р. Из решения предыдущей задачи ( п. ) следует, что = где, 2 = ω ± Поэтому граница зоны устойчивости имеет уравнение A| = |2c 1 c 2 − (ω 1 /ω 2 + ω 2 /ω 1 ) s 1 s 2 | = Так как ≪ 1, имеем ω 1 /ω 2 = ( ω + ǫ)/(ω − ǫ) ≈ Введем обозначение + ∆). Тогда, как легко сосчитать. Пользуясь соотношениями 2c 1 c 2 = cos 2 πǫ + + cos 2 πω, 2s 1 s 2 = cos 2 πǫ − cos 2πω, перепишем уравнение () в виде cos 2πǫ + (2 + ∆) cos 2πω = или cos 2 πω = (2 + ∆ cos 2πǫ)/(2 + ∆), ( 1 ) cos 2 πω = (−2 + ∆ cos 2πǫ)/(2 + В первом случае cos 2 πω ≈ 1. Поэтому можно положить ω = k + a, |a| ≪ 1; cos 2 πω = cos 2πa = 1 − 2π 2 a 2 + O(a 4 ). Перепишем уравнение ( 1 ) в виде cos 2 πω = 1 − ∆ 2 + ∆ (1 − cos или) = Подставляя значение ∆ = 2 ǫ 2 /ω + O(ǫ 4 ), находим = ±ǫ 2 /ω 2 + o(ǫ 2 ), те) (рис. Аналогично решается уравнение ( 2 ); в результате получаем = κ ± ǫ/(πκ) + o(ǫ), κ = k + З . Может ли верхнее, обычно неустойчивое, положение равновесия маятника стать устойчивым, если точка подвеса колеблется вверти- кальном направлении? Рåøåíèå. Пусть длина маятника, амплитуда колебаний точки подвеса l, период колебаний точки подвеса 2τ, причем в течение каждого полупериода ускорение точки подвеса постоянно и равно тогда c = Оказывается, при достаточно быстрых колебаниях подвеса ( τ ≪ 1) верхнее положение равновесия становится устойчивым. Уравнение движения § . Уравнения с периодическими коэффициентами Рис. . Область неустойчивости для уравнения (можно записать в виде ¨ x = (ω 2 ± α 2 ) x знак меняется через время τ), где, α 2 = c/l. Если колебания подвеса достаточно быстры, то α 2 > Аналогично предыдущей задаче, A = A 2 A 1 , где sh kτ ch kτ , A 2 = cos Ω τ Ω −1 sin Ω τ −Ω sin Ωτ cos Ω τ , k 2 = α 2 + ω 2 , Ω 2 = α 2 − Условие устойчивости A| < 2 имеет поэтому вид ch kτ cos Ωτ + (k/Ω − Ω/k) sh kτ sin Ωτ| < Покажем, что условие это выполнено при достаточно быстрых колебаниях точки подвеса, те. когда c ¾ g. Введем безразмерные переменные ǫ, µ: a/l = ǫ 2 ≪ 1, g/c = µ 2 ≪ Тогда kτ = 2 p 2 ǫ p 1 + µ 2 , Ω τ = 2 p 2 ǫ p 1 − µ 2 , k/Ω − Ω/k = Поэтому при малых, µ справедливы разложения с точностью o(ǫ 4 + µ 4 ): ch kτ = 1 + 4ǫ 2 (1 + µ 2 ) + 8 ǫ 4 /3 + …, cos Ω τ = 1 − 4ǫ 2 (1 − µ 2 ) + 8 ǫ 4 /3 + …, ( k/Ω − Ω/k) sh kτ sin Ωτ = Итак, условие устойчивости () принимает вид 16ǫ 4 + 16 ǫ 4 /3 + 8ǫ 2 µ 2 + …) + 16 ǫ 2 µ 2 < Пренебрегая малыми высшего порядка, находим (или < ǫ p 2 /3, или еще g/c < 2a/(3l). Это условие можно переписать в виде > p 3 /8 · ωl/a ≈ 0,2ωl/a, где N = 1/(2τ) –– число колебаний точки подвеса в единицу времени. Например, если длина маятника l = 20 см, а амплитуда колебаний точки подвеса a = 1 см, то N > 0,22 p 980 /20 · 20 ≈ 30 (колебаний в секунду. В частности, верхнее положение равновесия устойчиво, если число колебаний подвеса в секунду больше 50. Глава . Линейные системы . Вариация постоянных При исследовании уравнений, близких к уже исследованным, «невозмущенным» уравнениям, часто полезен следующий прием. Пусть c –– первый интеграл невозмущенного уравнения. Тогда для близких возмущенных уравнений функция c уже не будет первым интегралом. Однако часто удается узнать (точно или приближенно), как меняются со временем значения c(ϕ(t)), где ϕ –– решение возмущенного уравнения. В частности, если исходное уравнение –– линейное однородное, а возмущенное –– неоднородное, то этот прием приводит к явной формуле для решения, причем в силу линейности уравнения никакой малости возмущения не требуется. Простейший случай. Рассмотрим простейшее линейное неоднородное уравнение = f ( t), x ∈ R n , t ∈ соответствующее простейшему однородному уравнению = Уравнение () решается квадратурой: Рис. . Координаты точки являются первыми интегралами однородного уравнения) = ϕ(t 0 ) + t R t 0 f ( τ) dτ. () . Общий случай. Рассмотрим линейное неоднородное уравнение = A(t)x + h(t), |