В. И. Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения. В. И. Арнольд Обыкновенные дифференциальные уравнения
 Скачать 4.58 Mb.
|
|
§ . Устойчивость положений равновесия Вопрос об устойчивости положения равновесия нелинейной системы решается также, как для линеаризованной системы, если у последней нет собственных чисел на мнимой оси. Устойчивость по Ляпунову. Рассмотрим уравнение = v(x), x ∈ U ⊂ где v –– дифференцируемое r > 2 разв области U векторное поле. Предположим, что уравнение () имеет положение равновесия (см. рис. ). Выберем координаты так, чтобы положение равновесия было началом координат v(0) = Решение с начальным условием ϕ(t 0 ) = 0 есть = 0. Нас интересует поведение решений с близкими начальными условиями. Оïðåäåëåíèå. Положение равновесия x = 0 уравнения () называется устойчивым или устойчивым по Ляпунову, если для любого > 0 существует такое δ > 0 (зависящее только от ǫ и независящее ото котором идет речь ниже, что для всякого x 0 , для которого, решение ϕ уравнения () с начальным условием) = продолжается на всю полуось t > 0 и удовлетворяет неравенству для всех x > 0 (рис. Иными словами, устойчивость положения равновесия по Ляпунову –– это равномерная на интервале [0, +∞) сходимость к постоянному решению) решений, начальные значения которых стремятся к рассматриваемому положению равновесия. Сходимость значений решений при любом фиксированном t гарантируется теоремой о непрерывной зависимости решения от начального условия важна именно равномерная сходимость, те. независимость от З . Исследовать устойчивость положений равновесия) ˙ x = 0; 2) ˙ x = x; 3) ¨ ˙ x 1 = x 2 , ˙ x 2 = −x 1 ; 4) ¨ ˙ x 1 = x 1 , ˙ x 2 = −x 2 ; 5) ¨ ˙ x 1 = x 2 , ˙ x 2 = − sin Если x = (x 1 , …, x n ), то 1 + … + x 2 n § . Устойчивость положений равновесия Рис. . Останутся ли вблизи положения равновесия фазовые кривые, начинающееся в его достаточно малой окрестности? Рис. . Устойчивое и неустойчивое положения равновесия различие в поведении интегральных кривых Зàäà÷à . Докажите, что приведенное определение корректно, те. что устойчивость положения равновесия не зависит от системы координат, участвовавшей в определении. Зàäà÷à . Пусть известно, что для любого > 0, ǫ > 0 существует такое решение ϕ уравнения (), что для некоторого t > 0 |ϕ(t)| > N|ϕ(0)|, причем. Вытекает ли отсюда неустойчивость положения равновесия = 0? . Асимптотическая устойчивость. Оïðåäåëåíèå. Положение равновесия x = 0 уравнения () называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво (по Ляпунову) и lim t →+∞ ϕ(t) = для всякого решения ϕ с начальным условием ϕ(0), лежащим в достаточно малой окрестности нуля (рис. Рис. . Асимптотически устойчивое положение равновесия интегральные кривые Зàäà÷à . Решить задачи ), ), ) п. , заменив везде устойчивость асимптотической устойчивостью. Зàäà÷à . Вытекает ли устойчивость положения равновесия по Ляпунову из того, что каждое решение стремится к этому положению равновесия при t → +∞? Глава . Линейные системы. Теорема об устойчивости по первому приближению. Наряду с () рассмотрим линеаризованное уравнение (рис. ) ˙ x = Ax, A : R n → Тогда v(x) = v 1 + v 2 , v 1 (x) = Ax, v 2 (x) Рис. . Фазовые кривые уравнений () и (Рис. . Собственные числа оператора A Тåîðåìà. Пусть все собственные числа λ оператора A лежат в левой полуплоскости Re λ < 0 (рис. ). Тогда положение равновесия x = 0 уравнения () асимптотически устойчиво. Зàäà÷à . Приведите пример неустойчивого (по Ляпунову) положения равновесия уравнения (), для которого все Re λ ¶ З. Можно доказать, что если вещественная часть хотя бы одного собственного числа положительна, то положение равновесия Рис. . Поверхность уровня функции Ляпунова неустойчиво. В случае нулевых вещественных частей устойчивость зависит от членов ряда Тейлора выше первой степени. Зàäà÷à . Устойчиво ли (по Ляпунову и асимптотически) нулевое положение равновесия системы ˙ x 1 = x 2 , О. Если четно, неустойчиво (по Ляпунову если нечетно, то устойчиво (по Ляпунову), но не асимптотически. Доказательство теоремы. Согласно , п. существует функция Ляпунова положительно определенная квадратичная форма r 2 , производная которой по направлению линейного поля отрицательно опреде- лена: L v 1 r 2 ¶ −2γr 2 , где γ –– положительная постоянная (рис. ). Лåììà. В достаточно малой окрестности точки x = 0 производная функции Ляпунова по направлению нелинейного поля v удовле- § . Устойчивость положений равновесия творяет неравенству L v r 2 ¶ −γr 2 () Действительно, L v r 2 = L v 1 r 2 + L v 2 r 2 . Покажем, что при малых второе слагаемое гораздо меньше первого: L v 2 r 2 = O(r 3 ). () В самом деле, для любого поля u и любой функции f L u f = n P i=1 ∂ В нашем случае (u = v 2 , f = r 2 ) u i = O(r 2 ) и f ∂x i = O(r) (почему?), откуда и вытекает соотношение (Итак, существуют такие C > 0, σ > 0, что для всех x с < выполнено неравенство. Правая часть не больше при достаточно малых, так что в некоторой окрестности точки x = Лемма доказана. Пусть ϕ –– решение уравнения (), отличное от нулевого, сна- чальным условием в достаточно малой окрестности точки x = Определим функцию времени соотношением) = ln r 2 ( ϕ(t)), t ¾ По теореме единственности r 2 ( ϕ(t)) 6= 0, так что функция ρ определена и дифференцируема. Согласно неравенству () ˙ ρ = 1 r 2 ◦ ϕ d dt r 2 ◦ ϕ Отсюда вытекает, что r 2 ( ϕ(t)) монотонно убывает и стремится к при t → +∞: ρ(t) ¶ ρ(0) − γt, r 2 ( ϕ(t)) ¶ r 2 ( ϕ(0))e −γt → что и требовалось доказать. Зàäà÷à . Указать пробел в приведенном доказательстве. Рåøåíèå. Мы не доказали, что решение ϕ продолжается вперед неограниченно Глава . Линейные системы Рассмотрим такое > 0, что при |x| < σ выполнено неравенство (Рассмотрим компакт в расширенном фазовом пространстве (см. рис. ) F = {x, t : r 2 (x) ¶ σ, |t| ¶ Пусть ϕ –– решение с начальным условием ϕ(0), где r 2 ( ϕ(0)) < По теореме о продолжении ϕ можно продолжить вперед до границы Рис. . Неограниченная продолжаемость решения вперед цилиндра F. Но пока точка (t, ϕ(t)) принадлежит, производная функции отрицательна. Поэтому решение не может выйти на боковую поверхность цилиндра где r 2 = σ 2 ) и, значит, продолжается до торца Поскольку T произвольно (и не зависит отрешение продолжается вперед неограниченно, причем r 2 ( ϕ(t)) < и неравенство () имеет место при всех t ¾ З. Мы доказали больше, чем асимптотическую устойчивость положения равновесия. Из неравенства () видно, что сходимость ϕ(t) → 0 равномерная (относительно начальных условий, достаточно близких к Кроме того, неравенство () указывает скорость сходимости (экс- поненциальную). По существу, теорема утверждает, что равномерная экспоненциальная сходимость решений линейного уравнения () к нулю не нарушается при нелинейном возмущении v 2 (x) = O( |x| 2 ) правой части уравнения. Аналогичное утверждение справедливо для различных возмущений более общей природы. Например, можно было бы рассмотреть неавтономное возмущение v 2 (x, t), для которого ¶ ϕ(|x|), где ϕ(|x|) = o(|x|) при x → З . Докажите, что в условиях теоремы уравнения () и () топо- логически эквивалентны в окрестностях положения равновесия. Зàìå÷àíèå . В связи с доказанной выше теоремой мы приходим к следующей алгебраической задаче (так называемая проблема Рауса––Гурвица): Требуется узнать, лежат ли все корни данного многочлена в левой полуплоскости § . Случай чисто мнимых собственных чисел Этот вопрос решается конечным числом арифметических действий над коэффициентами многочлена. Соответствующие алгоритмы описаны в курсах алгебры (критерий Гурвица, метод Штурма) и комплексного переменного (принцип аргумента, методы Вы- шеградского, Найквиста и Михайлова). См, например, А. Г. Курош. «Курс высшей алгебры. –– М Наука, . –– гл. ; МА. Лавренть- ев, Б. В. Шабат. Методы теории функций комплексного переменного М Физматгиз, . –– гл. V; см. также ММ. Постников. «Устойчивые многочлены. –– М Наука, . Мы вернемся к проблеме Рауса––Гурвица в § , п. . § . Случай чисто мнимых собственных чисел Линейные уравнения без чисто мнимых собственных чисел детально исследованы в § , . Их фазовые кривые ведут себя достаточно просто (седло, § , п. Линейные уравнения с чисто мнимыми собственными числами доставят нам примеры более сложного поведения фазовых кривых. Такие уравнения встречаются, например, в теории колебаний консервативных систем (см. § , п. ). . Топологическая классификация. Пусть все собственные числа линейного уравнения = Ax, x ∈ R n , A : R n → чисто мнимы. В каких случаях два уравнения вида () топологически эквивалентны З . Докажите, что в случае плоскости ( n = 2, λ 1, 2 = ±iω 6= 0) для топологической эквивалентности двух уравнений вида () необходима и достаточна алгебраическая эквивалентность, те. одинаковость собственных чисел. В настоящее время аналогичный результат доказан и при n > 2. . Пример. Рассмотрим уравнение в R 4 ˙ x 1 = ω 1 x 2 , ˙ x 2 = −ω 1 x 1 , λ 1, 2 = ±iω 1 , ˙ x 3 = ω 2 x 4 , ˙ x 4 = −ω 2 x 3 , λ 3, 4 = ±iω 2 () Глава . Линейные системы Рис. . Фазовое пространство системы (Пространство распадается впрямую сумму двух инвариантных плоскостей (рис. Система () распадается на две независимые R 12 , ˙ x 3 = ω 2 x 4 , ˙ x 4 = −ω 2 x 3 , ( x 3 , x 4 ) ∈ В каждой из плоскостей фазовые кривые –– окружности R 12 : x 2 1 + x 2 2 = C > или точки (C = 0), и фазовый поток состоит извращений (на угол и ω 2 t соответственно). Каждая фазовая кривая уравнения () принадлежит прямому произведению фазовых кривых на плоскостях и R 34 . Пусть эти две кривые –– окружности. Прямое произведение двух окружностей S 1 = { x ∈ R 4 : x 2 1 + x 2 2 = C, x 2 3 + x 2 называется двумерным тором. Чтобы лучше представить себе тор T 2 , можно поступить следующим образом. Рассмотрим в поверхность баранки (рис. полученную при вращении окружности вокруг лежащей в ее плоскости и не пересекающей ее оси. Точка такой поверхности задается § . Случай чисто мнимых собственных чисел Рис. . Тор Рис. . Карта тора двумя угловыми координатами 2 π. Координаты ϕ 1 и ϕ 2 задают диффеоморфизм поверхности баранки и прямого произведения двух окружностей. Координаты ϕ 1 и ϕ 2 можно назвать долготой и широтой. Карту тора см. рис. ) можно изобразить на квадрате 0 ¶ ϕ 1 ¶ 2 π, 0 ¶ ϕ 2 ¶ 2 π плоскости (ϕ 1 , ϕ 2 ), склеив точки ( ϕ 1 , 0) и (и (0, ϕ 2 ) и (2 π, ϕ 2 ). Можно также считать картой всю плоскость, но тогда каждая точка тора будет иметь бесконечное число изображений на карте (подобно двум изображениям Чукотки на карте полушарий). Фазовый поток уравнения () оставляет тор T 2 ⊂ на месте. Фазовые кривые уравнения () лежат на поверхности T 2 . Если полярный угол плоскости R 12 , отсчитываемый от орта корту, то согласно () ˙ ϕ 1 = ω 1 . Аналогично, отсчитывая ϕ 2 от к x 3 , получаем. Итак: Фазовые траектории потока () на поверхности удовлетворяют дифференциальному уравнению ˙ ϕ 1 = ω 1 , ˙ ϕ 2 = ω 2 () Широта и долгота фазовой точки меняются равномерно, и на карте тора движение изображается прямой линией, а на поверхности баранки получается обмотка (рис. Рис. . Обмотка тора Глава . Линейные системы. Фазовые кривые уравнения () на торе. Числа ω 1 , ω 2 на- зываются рационально независимыми, если из k 1 ω 1 + k 2 ω 2 = 0 с целыми и следует k 1 = k 2 = 0. Например и p 8 рационально зависимы, аи нет. Тåîðåìà. Если и рационально зависимы, то всякая фазовая кривая уравнения () на торе замкнута. Если же и рационально независимы, то всякая фазовая кривая уравнения () всюду плотна ∗) на торе рис. Рис. . Всюду плотная кривая на торе Рис. . Образы точки окружности при повторении поворота на угол α Иными словами. Если в каждой клетке бесконечной шахматной доски сидит одинаковый (и одинаково расположенный) заяц, и охотник стреляет по направлению с иррациональным тангенсом угла наклона к линиям доски, то он попадет хоть водного зайца. (Ясно, что если тангенс угла наклона рационален, то достаточно малых зайцев можно расположить так, что охотник промахнется.) Лåììà. Рассмотрим поворот окружности на угол α, несоизмеримый с 2π рис. ). Тогда образы любой точки на окружности при повторении поворота, ϕ + α, ϕ + 2α, ϕ + 3α, … (mod образуют множество, всюду плотное на окружности. Доказательство можно извлечь из строения замкнутых подгрупп прямой (см. § ). Мы проведем его заново. Пðèíöèï ÿùèêîâ Дèðèõëå. Если в k ящиках лежит k + 1 предмет, то хотя бы водном ящике больше одного предмета. Разделим окружность на k равных полуинтервалов длины По принципу ящиков среди первых k + 1 точек нашей последова- ∗) Множество A всюду плотно в пространстве B, если в сколь угодно малой окрестности любой точки пространства B есть точка множества A. § . Случай чисто мнимых собственных чисел тельности есть 2 точки водном полуинтервале. Пусть это точки + pα и ϕ + qα, p > q. Рассмотрим s = p − q. Угол поворота sα отличается от кратного 2 π меньше чем на 2π/k. В последовательности точек, ϕ + sα, ϕ + 2sα, ϕ + 3sα, … (mod 2π) (рис. ) каждые две соседние точки отстоят на одинаковое расстояние, меньшее чем. Пусть дано ǫ > 0. Выбрав k достаточно большим, мы можем сделать 2 π/k < ǫ. В любой окрестности любой точки есть точки последовательности + Nsα (mod Лемма доказана. Рис. . Точки + Рис. . Редукция теоремы клемме З.Мы не использовали несоизмеримость с 2π. Между тем очевидно, что при, соизмеримом с 2π, лемма неверна. Зàäà÷à . Найти и восполнить пробел в доказательстве леммы. Дîêàçàòåëüñòâî Решение уравнения () имеет вид) = ϕ 1 (0) + ω 1 t, ϕ 2 ( t) = ϕ 2 (0) + ω 2 t. () Пусть ω 1 и ω 2 рационально зависимы k 1 ω 1 + k 2 ω 2 = 0, k 2 1 + k 2 2 6= Уравнения относительно T ω 1 T = 2πk 2 , ω 2 T = −2πk 1 совместны. Их решение T и является периодом замкнутой фазовой кривой (). Пусть ω 1 и ω 2 рационально независимы. Тогда иррациональное число. Рассмотрим последовательные точки пересечения фазовой кривой () с меридианом (mod 2 π) (рис. ). Широты этих точек будут, 0 + 2 π ω 2 ω 1 k (mod По лемме множество точек пересечения всюду плотно на меридиане. Заметим, что прямые, проведенные из точек множества, всюду Глава . Линейные системы плотного на прямой, лежащей в плоскости, по направлению, не совпадающему с направлением этой прямой, образуют всюду плотное множество на плоскости. Поэтому изображение) = ϕ 1 ( t) − 2π ϕ 1 ( t) 2 π , ˜ ϕ 2 ( t) = ϕ 2 ( t) − фазовой кривой () на квадрате 0 ¶ ˜ ϕ 1 < 2π, 0 ¶ ˜ ϕ 2 < 2π всюду плотно. Итак, фазовая кривая уравнения () (и, значит, уравнения (всюду плотна на торе. Следствия. Ряд простых следствий доказанной теоремы выходит за рамки теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Зàäà÷à . Рассмотрим последовательность первых цифр степени двойки, Встретится ли в этой последовательности 7? Вообще, с любой ли комбинации цифр начинается З . Докажите, что sup 0 cos t + sin p 2 t = З . Рассмотрим группу S 1 комплексных чисел, по модулю равных. Найти все ее замкнутые подгруппы. Оòâåò. 1, S 1 , { n p 1}. |