В. И. Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения. В. И. Арнольд Обыкновенные дифференциальные уравнения

• Название: В. И. Арнольд Обыкновенные дифференциальные уравнения
• Дата: 29.10.2022
• Размер: 4.58 Mb.
• Имя файла: В. И. Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения.pdf
• Тип: Книга; #760481
• страница: 18 из 28

§ . Классификация особых точек линейных систем
Выше мы видели, что в общем случае (когда у характеристического уравнения нет кратных корней) вещественная линейная система распадается в прямое произведение одномерных и двумерных. Поскольку одномерные и двумерные системы мы уже изучили,
мы можем теперь исследовать многомерные системы. Пример особые точки в трехмерном пространстве. Характеристическое уравнение –– вещественное кубическое. Вещественное кубическое уравнение может иметь три вещественных корня либо один вещественный и два комплексных. В зависимости от расположения этих корней
λ
1
,
λ
2
,
λ
3
на плоскости комплексного переменного возможно много разных случаев.
Обратим внимание на порядок и знаки вещественных частей.
Возможны 10 грубых случаев (рис. ) и ряд «вырожденных»
случаев (см, например, рис. ), когда вещественная часть одного

§ . Классификация особых точек линейных систем

Рис. . Собственные числа вещественного оператора A : R
3
→ R
3
. Грубые случаи
Рис. . Некоторые вырожденные случаи из корней равна нулю или вещественной части не сопряженного с ним корня (мы не рассматриваем сейчас случаи кратных корней).
Исследование поведения фазовых кривых в каждом из этих случаев не представляет труда.
Учитывая, что e
λt
(Re
λ<0) при t →+∞ стремится к 0, и тем быстрее, чем меньше Re
λ, мы получаем изображенные на рис. фазовые кривые) = Рис. . Фазовое пространство линейного уравнения в случае λ
2
< λ
3
< 0. Фазовый поток –– сжатие потрем направлениям
Рис. . Случай λ
2
< 0 < Сжатие по двум направлениям,
растяжение –– по третьему

Глава . Линейные системы
Рис. . Случай Re
λ
1, 2
< λ
3
< 0. Сжатие по направлению ξ
3
, вращение с более быстрым сжатием в плоскости (Рис. . Случай Re λ
1, 2
< 0. Сжатие по направлению ξ
3
, вращение с более медленным сжатием в плоскости (Рис. . Случай Re
λ
1, 2
< 0 < λ
3
. Растяжение по направлению вращение со сжатием в плоскости (Случаи 
′
)––
′
) получаются из случаев )––) изменением направления оси t, так что на рис. –– надо лишь заменить все стрелки противоположными.
Зàäà÷à . Нарисовать фазовые кривые в случаях ), ) ), ) рис. .
. Линейная, дифференцируемая и топологическая эквивалентность. Всякая классификация основывается на каком-нибудь отношении эквивалентности. Существуют по крайней мере три разумных отношения эквивалентности для линейных систем они соответствуют алгебраическому, дифференцируемому и топологическому подходам.
Пусть { f
t
}
, {g
t
}
: R
n
→ R
n
–– фазовые потоки

§ . Классификация особых точек линейных систем

Оïðåäåëåíèå.
Потоки { и эквивалентны, если существует взаимно однозначное отображение h : R
n
→ R
n
, переводящее
Рис. . Эквивалентные потоки поток { в поток {g
t
}
, так что h
◦ f
t
=
g
t
◦ для любого t
∈ R (рис. ). Мы можем сказать,
что поток { превращается в при замене координат При этом потоки называются) линейно эквивалентными, если существует такое отображение h : R
n
→ R
n
, являющееся
линейным изоморфизмом, h
∈ GL(R
n
);
) дифференцируемо эквивалентными, если существует такое отображение h : R
n
→ R
n
, являющееся диффеоморфизмом;
) топологически эквивалентными, если существует такое отображение h : R
n
→ R
n
, являющееся гомеоморфизмом, те. взаимно однозначными взаимно непрерывным отображе- нием.
Зàäà÷à
. Докажите, что из линейной эквивалентности вытекает дифференцируемая, а из дифференцируемой –– топологическая.
Заметим, что отображение h переводит фазовые кривые потока
{
f
t
}
в фазовые кривые потока З. Всякий ли линейный автоморфизм h
∈ GL(R
n
), переводящий фазовые кривые потока { в фазовые кривые потока осуществляет линейную эквивалентность потоков?
Оòâåò.
Нет.
Уêàçàíèå.
Рассмотреть n = 1, f
t
x = e
t
x, g
t
x = З. Доказать, что отношения линейной, дифференцируемой и топологической эквивалентности являются настоящими отношениями эквивалентности, те В частности, все сказанное применимо к фазовым потокам линейных систем. Для краткости мы будем говорить об эквивалентности самих систем.
Итак, все линейные системы мы тремя способами разбили на классы эквивалентности (линейной, дифференцируемой, топологической. Изучим эти классы подробнее.
∗)
Введенное здесь отношение эквивалентности называют также сопряженностью
и подобием

Глава . Линейные системы. Линейная классификация.
Тåîðåìà.
Пусть A, B : R
n
→ R
n
–– линейные операторы, все собственные числа которых просты. Тогда системы =
Ax, x
∈ и =
By, y
∈ линейно эквивалентны тогда и только тогда, когда собственные
числа операторов A и B совпадают.
Дîêàçàòåëüñòâî.
Для линейной эквивалентности линейных систем необходимо и достаточно, чтобы B = при некотором GL(R
n
) (рис. ) (ибо ˙
y =
h ˙
x =
hAx = hAh
−1
y). Собственные числа операторов A и совпадают. (Здесь простота собственных чисел несущественна.)
Рис. . Линейно эквивалентные системы
Обратно, пусть собственные числа A простые и совпадают с собственными числами B. Тогда A и B разлагаются в прямые произведения одинаковых (линейно эквивалентных) одномерных и двумерных систем согласно § ; поэтому они линейно эквивалентны.
Зàäà÷à . Покажите, что системы ˙
x
1
=
x
1
, и ˙
x
1
=
x
1
+
x
2
, неэквивалентны, хотя их собственные числа и одинаковы. Дифференцируемая классификация. Очевидна
Тåîðåìà.
Две линейные системы =
Ax,
˙
x =
Bx,
x
∈ дифференцируемо эквивалентны тогда и только тогда, когда они
линейно эквивалентны
∗)
.
Дîêàçàòåëüñòâî. Пусть : R
n
→ R
n
–– диффеоморфизм, переводящий фазовый поток системы A в фазовый поток системы B. Точка x = 0 неподвижна для фазового потока системы A. Поэтому h переводит 0 в одну из
∗)
Не следует думать, однако, что всякий диффеоморфизм, устанавливающий их эквивалентность, линеен. Пример A = B = 0.

§ . Топологическая классификация особых точек

неподвижных точек c потока системы B, так что Bc = 0. Диффеоморфизм
d : R
n
→ сдвига на c (dx = x
− c) переводит фазовый поток B в себя c)˙= ˙x= Bx = B(x − c)). Диффеоморфизм h
1
=
d
◦ h: R
n
→ переводит поток A в потоки оставляет 0 на месте h
1
(0) = Обозначим через H : R
n
→ производную диффеоморфизма в 0.
Диффеоморфизмы h
1
◦ e
At
=
e
Bt
◦ совпадают при любых t. Поэтому при любом t совпадают и их производные при x = что и требовалось доказать . Топологическая классификация особых точек
Рассмотрим две линейные системы =
Ax,
˙
x =
Bx,
x
∈ и предположим, что вещественные части всех их собственных чисел отличны от 0. Обозначим через число собственных чисел сот- рицательной вещественной частью и через число собственных чисел с положительной вещественной частью, так что m
−
+
m
+
=
n.
. Теорема. Для топологической эквивалентности двух линейных систем, не имеющих собственных чисел с нулевой вещественной
частью, необходимо и достаточно, чтобы количество собственных
чисел с отрицательной положительной) вещественной частью в
той ив другой системе было одинаково) = m
−
(
B),
m
+
(
A) = Эта теорема утверждает, например, что устойчивые узлы и фокусы (рис. ) топологически эквивалентны друг другу (m
−
=
2), ноне эквивалентны седлу (Рис. . Топологические эквивалентные и неэквивалентные системы
Подобно индексу инерции невырожденной квадратичной формы, число является единственным топологическим инвариантом системы

Глава . Линейные системы
Зàìå÷àíèå.
Аналогичное предложение справедливо локально
в окрестности неподвижной точки) для нелинейных систем, линейные части которых не имеют чисто мнимых собственных чисел.
В частности, такая система в окрестности неподвижной точки то- пологически эквивалентна своей линейной части (рис. ). Мы не можем останавливаться на доказательстве этого предложения,
весьма важного для исследования нелинейных систем.
Рис. . Топологическая эквивалентность системы и ее линеаризации. Редукция к случаю m
−
= 0. Топологическая эквивалентность линейных систем с одинаковыми и вытекает из следующих трех лемм:
Лåììà
. Прямые произведения топологически эквивалентных
систем топологически эквивалентны.
Это означает, что если системы, заданные операторами A
1
,
B
1
: R
m
1
→R
m
1
;
A
2
,
B
2
: R
m
2
→R
m
2
, переводятся друг в друга гомеоморфизмами h
1
: R
m
1
→R
m
1
,
h
2
: R
m
2
→ R
m
2
, то существует гомеоморфизм h : R
m
1
+
R
m
2
→ R
m
1
+
R
m
2
, пе-
Рис. . Инварианты подпространства оператора, не имеющего чисто мнимых собственных чисел реводящий фазовый поток системы-произведе- ния ˙
x
1
=
A
1
x
1
, в фазовый поток систе- мы-произведения ˙
x
1
=
B
1
x
1
, Доказательство очевидно надо положить) = (Из курса линейной алгебры известна
Лåììà
. Если у оператора A : нет чисто мнимых собственных чисел, то
пространство распадается впрямую сумму двух инвариантных относительно A подпространств, так что все собственные числа сужения A на имеют отрицательные вещественные части, а на R
m
+
–– положительные
(рис. ).

§ . Топологическая классификация особых точек

Это следует, например, из теоремы о жордановой нормальной форме.
Леммы  и  сводят доказательство топологической эквивалентности к следующему частному случаю:
Лåììà
. Пусть A : R
n
→ R
n
–– линейный оператор, все собственные числа которого имеют положительную вещественную часть
(рис. ). Тогда система =
Ax,
x
∈ R
n
,
топологически эквивалентна стандартной рис. ):
˙
x = x,
x
∈ Рис. . Все неустойчивые узлы топологически эквивалентны
Эта лемма почти очевидна в одномерном случае ив случае фокуса на плоскости, а значит –– по лемме  –– ив любой системе без кратных корней.
Мы проведем далее доказательство леммы  в общем случае. Функция Ляпунова. Доказательство леммы  основано на построении специальной квадратичной формы –– так называемой функции Ляпунова.
Тåîðåìà.
Пусть A : R
n
→ R
n
–– линейный оператор, все собственные числа которого имеют положительную вещественную часть.
Тогда в существует такая евклидова структура, что вектор в каждой точке x
6= 0 образует с радиус-вектором x острый угол.
Иными словами:
Существует такая положительно определенная квадратичная
форма в R
n
, что ее производная по направлению векторного поля положительна при x
6= 0.
()

Глава . Линейные системы
Или еще:
Существует такой эллипсоид в с центром в 0, что в каждой
его точке x вектор Ax направлен наружу рис. Рис. . Поверхность уровня функции Ляпунова
Рис. . Поверхность уровня функции
Ляпунова в Легко проверить, что все три формулировки эквивалентны.
Мы докажем (и будем использовать в дальнейшем) эту теорему во второй формулировке. Доказывать ее удобнее в комплексном слу- чае:
Пусть все собственные числа оператора A : C
n
→ имеют положительные вещественные части. Тогда существует положительно определенная квадратичная форма r
2
:
R
C
n
→ R, производная которой по направлению векторного поля есть положительно
определенная квадратичная форма при z
6= Применяя неравенство () в случае, когда оператор A является комплексификацией вещественного оператора, а z принадлежит вещественному подпространству (рис. ), получаем вещественную теорему ().
. Построение функции Ляпунова. В качестве функции Ляпунова мы будем брать сумму квадратов модулей координат в подходящем комплексном базисе r
2
=
(z, ¯¯
z) =
n
P
k=1
z
k
¯¯
z
k
. При фиксированном базисе мы можем отождествить вектор z с набором чисел z
1
,
…, и оператор A : C
n
→ с матрицей (a
kl
). Вычисление показывает,
что производная является квадратичной формой, ¯¯
z) = (
Az, ¯¯
z) + (z,
Az) = 2 Re(Az, ¯¯
z).
()

§ . Топологическая классификация особых точек

Рис. . Положительная определенность формы) в случае n = Если базис собственный, то полученная
форма положительно определена рис. Действительно, в этом случае Re(
Az, ¯¯
z) = По условию все вещественные части собственных чисел
λ
k
положительны. Поэтому форма () положительно определена.
Если оператор A не имеет собственного базиса, то он имеет почти собственный базис, которым можно с таким же успехом воспользоваться для построения функции Ляпунова.
Точнее, справедлива
Лåììà
. Пусть A : C
n
→ C
n
–– линейный оператор и ǫ > 0. Тогда в можно так выбрать базис ξ
1
,
…, ξ
n
, что матрица A будет
верхнетреугольной и все элементы выше диагонали будут по модулю
меньше ǫ:
(
A) =




λ
1
< ǫ
. .
.
0
λ
n




Дîêàçàòåëüñòâî.
Существование базиса, в котором матрица верхнетреугольная, следует, например, из теоремы о жордановой нормальной форме.
Рис. . Построение базиса, в котором матрица оператора треугольная
Такой базис легко построить индукцией по пользуясь лишь существованием у всякого линейного оператора A : C
n
→ собственного вектора. Пусть ξ
1
–– этот вектор (рис. ). Рассмотрим факторпространство C
n
/Cξ
1
∼
= C
n
−1
. Оператор задает на факторпространстве оператор : C
n
−1
→ C
n
−1
. Пусть η
2
,
…, η
n
–– базис в в котором матрица оператора ˜
A верхнетреуголь- ная. Обозначим через ξ
2
,
…, ξ
n
каких-нибудь представителей классов η
2
,
…, в C
n
. Тогда базис искомый.
Пусть матрица оператора A в базисе, ξ
n
верхнетреугольная. Покажем, что наддиагональные члены
можно сделать сколь угодно малыми, заменяя векторы базиса на
пропорциональные им векторы. Действительно, пусть a
kl
–– элементы матрицы оператора A в базисе ξ
k
, так что a
kl
=
0 при > l. В ба-

Глава . Линейные системы зисе элементы матрицы оператора A будут При достаточно малом N для всех l > k будет < Лемма  доказана.
Сумму квадратов модулей координат в выбранном почти собственном базисе мы и возьмем в качестве функции Ляпунова (при достаточно малом. Оценка производной. Рассмотрим множество всех квадратичных форм в R
m
. Это множество имеет естественную структуру линейного пространства R
m(m+1)
2
Очевидна
Лåììà
. Множество положительно определенных квадратичных форм в открыто в То есть если форма a =
m
P
k, положительно определена, то существует такое > 0, что всякая форма a + b, где |b
kl
| < ǫ для всех, l, 1 ¶ k, l ¶ m), тоже положительно определена.
Дîêàçàòåëüñòâî.
Форма a положительна во всех точках единичной сферы. Сфера компактна, а форма непрерывна. Поэтому нижняя грань достигается и, значит, всюду на сфере a(x) ¾ α > Если < ǫ, тона сфере |b(x)| ¶
P |b
kl
| ¶ Поэтому при < форма a + b положительна на сфере и, значит, положительно определена. Лемма доказана.
Рис. . Пространство квадратичных форм
Зàìå÷àíèå.
Из нашего рассуждения вытекает также, что любая положительно определенная квадратичная форма удовлетворяет везде неравенству) ¶ β
|x|
2
,
0
< α < З . Докажите, что множество невырожденных квадратичных форм сданной сигнатурой открыто.
Пðèìåð . Пространство квадратичных форм от двух переменных ax
2
+
2
bxy + это трехмерное пространство с координатами, b, c рис. ). Конус b
2
=
ac делит это пространство натри открытые части соответственно сигнатурам.
Мы используем лемму , чтобы доказать следующее при достаточно малом производная по направлению векторного поля

§ . Топологическая классификация особых точек

от суммы квадратов модулей координат в почти собственном»
базисе, выбранном по лемме , положительно определена.
Согласно формуле () эта производная является квадратичной формой вещественных и мнимых частей координат Выделим в формуле () слагаемые с диагональными и наддиаго- нальными элементами матрицы (A):
L
R
Az
r
2
=
P + где = 2 Re
P
k=l
a
kl
z
k
¯¯
z
l
,
Q = 2 Заметим, что диагональные члены треугольной матрицы (A) это собственные числа
λ
k
оператора A. Поэтому квадратичная форма P =
n
P
k=1 2 переменных положительно определена и не зависит от выбора базиса
∗)
По лемме  заключаем, что при достаточно малом форма P + близкая к P) также положительно определена. Ибо коэффициенты формы Q переменных при достаточно малом становятся сколь угодно малыми (поскольку < ǫ при k < Неравенство (), ас ними, доказано.
Зàìå÷àíèå.
Поскольку является положительно определенной квадратичной формой, имеет место неравенство вида ():
αr
2
¶
L
Ax
r
2
¶
β где > α > 0 –– некоторые постоянные.
Таким образом, сформулированная в п.  теорема о функции Ляпунова доказана.
Следующая серия задач приводит к другому доказательству этой теоремы.
Зàäà÷à . Докажите, что дифференцирование по направлению векторного поля Ax в задает линейный оператор L
A
: R
n(n+1)/2
→ из пространства квадратичных форм на в себя.
Зàäà÷à . Зная собственные числа
λ
i
оператора A, найти собственные числа оператора О, 1 ¶ i, j ¶ У. Пусть имеет собственный базис. Тогда собственными векторами будут квадратичные формы, равные попарным произведениям линейных форм, являющихся собственными векторами оператора, дуального к Следует отметить, что заданное формой P отображение R зависит от выбора базиса

Глава . Линейные системы
Зàäà÷à . Докажите, что оператор
L
A
является изоморфизмом, если не имеет противоположных собственных чисел. В частности, если вещественные части всех собственных чисел оператора A одного знака, то каждая квадратичная форма наесть производная некоторой квадратичной формы по направлению векторного поля З . Докажите, что если вещественные части всех собственных чисел оператора A положительны, то форма, производная которой по направлению поля Ax положительно определена, сама положительно определена и, следовательно, удовлетворяет всем требованиям доказываемой тео- ремы.
Уêàçàíèå. Представить форму в виде интеграла ее производной вдоль фазовых кривых. Построение гомеоморфизма h. Приступаем к доказательству леммы . Гомеоморфизм h : R
n
→ R
n
, переводящий фазовый поток { уравнения ˙
x =
Ax (Re λ
k
> 0) в фазовый поток уравнения, будем строить следующим образом. Рассмотрим сферу = {x
∈ R
n
:
r
2
(
x) = где r
2
–– функция Ляпунова из (Точки этой сферы гомеоморфизм h будет оставлять на месте.
Пусть x
0
–– точка сферы (рис. ). Точку фазовой траектории
Рис. . Построение гомеоморфизма уравнения ˙
x =
Ax отображение h будет переводить в точку фазовой траектории уравнения ˙
x = x:
h( f
t
x
0
) =
g
t
x
0
∀t ∈ R,
x
0
∈ S,
h(0) = Мы должны проверить) что формула () однозначно определяет значение h в любой точке x
∈ Если угодно, эллипсоид

§ . Топологическая классификация особых точек) что отображение h
t
: R
n
→ взаимно однозначно и взаимно непрерывно) что h
◦ f
t
=
g
t
◦ Доказательства всех этих утверждений очевидны. Доказательство леммы Л Пусть ϕ : R
→ R
n
–– какое-нибудь отличное отрешение уравнения ˙
x =
Ax. Составим вещественную функцию вещественного переменного t:
ρ(t) = ln Тогда отображение ρ : R
→ R является диффеоморфизмом, причем ¶ dρ/dt ¶ Д. По теореме единственности 0 ∀t ∈ R. Согласно, находим для dρ/dt = оценку ¶ dρ/dt ¶ β, что и требовалось доказать.
Из леммы  следует, что) Каждая точка x
6= 0 представляется в виде x = f
t
x
0
, где x
0
∈ S, t ∈ R,
{
f
t
}
–– фазовый поток уравнения ˙
x Действительно, рассмотрим решение ϕ с начальным условием ϕ(0) = По лемме  при некотором будет r
2
(
ϕ(τ)) = 1. Точка x
0
=
ϕ(τ) принадлежит. Полагая t =
−τ, получим x = f
t
x
0
) Такое представление единственно.
Действительно, фазовая кривая, выходящая из x рис. ), единственна и пересекает сферу водной точке по лемме ); единственность t также следует из монотонности лемма Итак, мы построили взаимно однозначное отображение прямого произведения прямой и сферы на евклидово пространство без одной точки : R
× S
n
−1
→ R
n
\ 0,
F(t, x
0
) Из теоремы о зависимости решения от начальных условий вытекает, что как отображение F, таки обратное отображение непрерывно (и даже является диффеоморфизмом).
Заметим теперь, что для стандартного уравнения ˙
x = x имеем = Поэтому отображение G : R
× S
n
−1
→ R
n
\ 0, G(t, x
0
) также взаимно однозначно и взаимно непрерывно. Отображение h по определению () совпадает с отображением G
◦ F
−1
: R
n
\ 0 → R
n
\ 0 всюду, кроме точки 0. Таким образом, мы доказали, что h : R
n
→ R
n
–– взаимно однозначное отображение Глава . Линейные системы
Непрерывность h и всюду, кроме точки 0, следует из непрерывности, ив действительности h –– диффеоморфизм всюду, кроме точки 0; рис. Рис. . Гомеоморфизм h является диффеоморфизмом всюду, кроме Непрерывность h ив точке 0 следует из леммы . Эта лемма позволяет получить даже явную оценку r
2
(
h(x)) через r
2
(x),
|x| ¶ 1:
(
r
2
(x))
2
/α
¶
r
2
(
h(x)) ¶ (Действительно, пусть x = F(t, x
0
),
t ¶ 0. Тогда β t ¶ ln r
2
(x) ¶
αt и ln r
2
(
h(x)) =
=
2
t. Наконец, при x
6= 0 имеем x = f
t
x
0
, поэтому f
t
)(x) =
h( f
t
(
f
s
(x
0
))) =
h( f
t+s
(x
0
)) =
=
g
t+s
(x
0
) =
g
t
(
g
s
(x
0
)) =
g
t
(
h(x)) = (g
t
◦ При x = 0 также (h
◦ f
t
)(x) = (
g
t
◦ h)(x). Итак, утверждения ), ), ) п. доказаны. Доказательство леммы  закончено. Доказательство теоремы о топологической классификации. Из лемм , ,  следует, что всякая линейная система ˙
x Рис. . Стандартное седло у которой оператор A : R
n
→ не имеет собственных чисел с нулевой вещественной частью, топологически эквивалентна стандартному многомерному седлу (рис. ):
˙
x
1
=
−x
1
,
˙
x
2
=
x
2
,
x
1
∈ R
m
−
,
x
2
∈ Следовательно, две такие системы с одинаковыми числами m
−
, m
+
топо- логически эквивалентны друг другу.
Заметим, что подпространства и инвариантны относительно фазового потока {g
t
}
. При увеличении t всякая точка приближается к З. Докажите, что g
t
x
→ 0 при t → +∞ тогда и только тогда, когда x
∈ R
m
−

§ . Топологическая классификация особых точек

Поэтому называется входящим усом седла. Точно также называется выходящим усом. Выходящий ус определяется условием 0 при t → Докажем теперь вторую часть теоремы о топологической классификации у топологически эквивалентных систем одинаково количество собственных чисел с отрицательной вещественной частью.
Это количество есть размерность входящего уса. Итак, достаточно доказать, что размерности входящих усов у топологически эквивалентных седел одинаковы.
Заметим, что всякий гомеоморфизм h, переводящий фазовый поток одного седла в фазовый поток другого, обязан переводить входящий ус одного во входящий ус другого (поскольку стремление к Рис. . Усы трехмерных седел при t
→ +∞ сохраняется при гомеоморфизме. Поэтому гомеоморфизм осуществляет также гомеоморфное отображение входящего уса одного седла на входящий ус другого.
Совпадение размерностей усов вытекает теперь из следующего топологического пред- ложения:
Размерность
простран-
ства R
n
–– топологический инвариант. Иными словами, гомеоморфизм h : R
m
→ существует только между пространствами одинаковой размерности.
Хотя это предложение и кажется очевидным, доказательство его непросто и не будет здесь проводиться.
Зàäà÷à . Докажите, что 4 седла с трехмерным фазовым пространством и с ((m
−
,
m
+
) = (3, 0), (2, 1), (1, 2), (0, 3) топологически неэквивалентны (не пользуясь недоказанным топологическим предложением).
Уêàçàíèå. Одномерный ус состоит из трех фазовых кривых, а более чем одномерный –– из бесконечного числа (рис. Таким образом, топологическая классификация линейных систем с ненулевыми вещественными частями собственных чисел
∗)
Существуют, однако, взаимно однозначные отображения R
m
→ R
n
, а также непрерывные отображения на при m < n например, R
1
→ R
2
).

Глава . Линейные системы в R
1
, и проведена полностью, тогда как в примы вынуждены ссылаться на недоказанное утверждение о топологической инвариантности размерности.
Зàäà÷à . Провести топологическую классификацию линейных операторов, не имеющих собственных чисел с модулем 1.