В. И. Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения. В. И. Арнольд Обыкновенные дифференциальные уравнения
 Скачать 4.58 Mb.
|
|
§ . Комплексификация вещественного линейного уравнения Воспользуемся результатами исследования комплексного уравнения для изучения вещественного случая. Комплексифицированное уравнение. Пусть A : R n → R n –– линейный оператор, задающий линейное уравнение = Ax, x ∈ R n () § . Комплексификация вещественного уравнения Комплексификация уравнения () –– это уравнение с комплексным фазовым пространством = C Az, z ∈ Л. Решения уравнения () с комплексно сопряженными начальными условиями комплексно сопряжены. Дîêàçàòåëüñòâî. Пусть ϕ –– решение с начальным условием) = рис. ). Тогда ¯¯ ϕ(t 0 ) = ¯¯ z 0 . Покажем, что ¯¯ ϕ –– решение. Рис. . Комплексно сопряженные решения Рис. . Решение с вещественным начальным условием не может принимать комплексных значений Тогда лемма будет доказана (ввиду единст- венности). При любом значении t имеем = C A¯¯ ϕ что и требовалось доказать. Зàìå÷àíèå. Вместо уравнения () мы могли бы взять более общее уравнение = F(z, правая часть которого принимает комплексно сопряженные значения в комплексно сопряженных точках F(¯¯ z, t) = F(z, Например, этому условию удовлетворяет любой многочлен от координат вектора в вещественном базисе, коэффициенты которого –– вещественные функции от t. Сëåäñòâèå. Решение уравнения () с вещественным начальным условием вещественно и удовлетворяет уравнению Ибо если бы ¯¯ ϕ 6= ϕ рис. ), то нарушалась бы теорема единственности. В следующей лемме линейность уравнения существенна. Лåììà . Функция z = ϕ(t) тогда и только тогда является решением комплексифицированного уравнения (), когда ее вещественная и мнимая части удовлетворяют исходному уравнению Действительно + i y) = Ax + iAy, поэтому овеществление уравнения () распадается в прямое произведение = Ax, x ∈ R n , ˙ y = Ay, y ∈ R n Глава . Линейные системы Из лемм и видно, как, зная комплексные решения уравнения, можно находить вещественные решения уравнения (), и обратно. В частности, формулы () п. § дают явный вид решения в случае некратных корней характеристического уравнения. Инвариантные подпространства вещественного оператора. Пусть A : R n → R n –– вещественный линейный оператор. Пусть –– один из корней характеристического уравнения det(A − λE) = вообще говоря комплексный. Очевидна Лåììà . Если ξ ∈ C n = C R n –– собственный вектор оператора с собственным значением λ, то ¯¯ ξ –– собственный вектор с собственным значением ¯¯ λ. Кратности собственных чисел λ и ¯¯ λ совпа- дают. Действительно, поскольку = C A, уравнение = λξ эквивалентно и характеристическое уравнение имеет вещественные коэффициенты. Предположим теперь, что собственные числа λ 1 , …, λ n ∈ C оператора A : R n → попарно различны рис. ). Среди них имеется Рис. . Собственные числа вещественного оператора некоторое число вещественных собственных чисел и некоторое число комплексно сопряженных пар (причем ν + 2µ = n, так что четность числа вещественных собственных чисел равна четности Легко доказывается Тåîðåìà. Пространство распадается впрямую сумму ν инвариантных относительно A одномерных и µ инвариантных относительно A двумерных подпространств. Действительно, вещественному собственному числу отвечает вещественный собственный вектор и, значит, одномерное инвариантное подпространство в Пусть, ¯¯ λ –– одна из пар комплексно сопряженных собственных чисел. Собственному числу отвечает собственный вектор ξ ∈ C n = = C R n комплексифицированного оператора § . Комплексификация вещественного уравнения Сопряженный вектор ¯¯ ξ по лемме также является собственным с собственным значением Комплексная плоскость C 2 , натянутая на собственные векторы, ¯¯ ξ, инвариантна относительно оператора. Вещественное подпространство также инвариантно. Поэтому их пересечение Рис. . Вещественная часть комплексного собственного вектора принадлежит инвариантной вещественной плоскости также инвариантно относительно C A. Покажем, что это пересечение является двумерной вещественной плоскостью рис. Действительно, рассмотрим вещественную и мнимую части собственного вектора ξ: x = 1 2 ( ξ+ ¯¯ ξ) ∈ R n , y = 1 2 i ( ξ − ¯¯ ξ) ∈ Будучи линейными комбинациями векторов ξ и ¯¯ ξ, векторы x и y принадлежат пересечению C 2 ∩ R n . Векторы x и y линейно независимы, так как через них линейно выражаются независимые векторы, ¯¯ ξ: ξ = x + i y, ¯¯ ξ = x − i Итак, каждый вектор плоскости однозначно записывается в виде комплексной линейной комбинации вещественных векторов и y: η = ax + by, a ∈ C, b ∈ Такой вектор веществен (η= ¯¯ η), если и только если ¯¯ ax +¯¯ by = ax + те и b вещественны. Итак, пересечение C 2 ∩ R n –– это двумерная вещественная плоскость R 2 , натянутая на векторы x и y вещественной и мнимой частей собственного вектора Собственные числа сужения оператора A на плоскость R 2 –– это и Действительно, комплексификация не меняет собственных чисел. После комплексификации сужения A на получится сужение на C 2 . Но плоскость натянута на собственные векторы оператора с собственными числами λ, ¯¯ λ. Итак, собственные числа суть и Остается показать, что построенные одномерные и двумерные инвариантные подпространства пространства линейно незави- Глава . Линейные системы симы. Это сразу следует из того, что n собственных векторов оператора линейно независимы и линейно выражаются через наши векторы ξ k (k = 1, …, ν) и x k , y k (k = 1, …, Теорема доказана. Таким образом, в случае когда все собственные числа оператора : R n → простые, линейное дифференциальное уравнение ˙ x = Ax, x ∈ R n , распадается в прямое произведение уравнений с одномерными и двумерными фазовыми пространствами. Заметим, что многочлен общего вида кратных корней не имеет. Итак, для исследования линейных дифференциальных уравнений необходимо прежде всего рассмотреть линейные уравнения на прямой (что мы уже и сделали) и на плоскости. Линейное уравнение на плоскости. Тåîðåìà. Пусть A : R 2 →R 2 –– линейный оператор с невещественными собственными числами λ, ¯¯ λ. Тогда A представляет собой овеществление оператора Λ: C 1 → умножения на комплексное число Точнее, плоскость можно снабдить структурой комплексной прямой C 1 , так что и A Д несколько таинственная выкладка. Пусть + i y ∈ C R 2 –– комплексный собственный вектор оператора с собственным значением = α + iω. Векторы x и y образуют базис в Имеем, с одной стороны + i y) = (α + iω)(x + i y) = αx − ωy + i(ωx + и, с другой + i y) = Ax + iAy, откуда Ax = αx − ωy, Ay = ωx + те. оператор A : R 2 → в базисе x, y имеет туже матрицу ω −ω что оператор R Λ умножения на = α + iω в базисе 1, −i. Итак, искомая комплексная структура на получится, если принять x за и y за −i. ∗) Выкладку можно заменить следующим рассуждением. Пусть = α + iω. Определим оператор I : R 2 → условием A = αE + ωI. Такой оператор I существует, так как 6= 0 по условию. Тогда I 2 = −E, так как оператор A удовлетворяет своему характеристическому уравнению. Принимая I за умножение на i, получаем в нужную комплексную структуру § . Комплексификация вещественного уравнения Сëåäñòâèå . Пусть A : R 2 → R 2 –– линейное преобразование евклидовой плоскости с невещественными собственными числами λ, Тогда преобразование A аффинно эквивалентно растяжению враз с поворотом на угол arg С. Фазовый поток линейного уравнения () на евклидовой плоскости с невещественными собственными числами, ¯¯ λ = α ± iω аффинно эквивалентен семейству растяжений враз с одновременным вращением на угол В частности, особая точка 0 является фокусом, а фазовые кривые аффинными образами логарифмических спиралей, приближающихся к началу координат при t → +∞ в случае, когда вещественная часть собственных чисел λ, ¯¯ λ отрицательна, и удаляющихся в случае, когда > 0 (рис. Рис. . Аффинный образ логарифмической спирали Рис. . Эллиптический поворот В случае = 0 (рис. ) фазовые кривые –– семейство концентрических эллипсов, а особая точка –– их центр. В этом случае преобразования фазового потока называются эллиптическими поворотами. Классификация особых точек на плоскости. Пусть теперь = Ax, x ∈ R 2 , A : R 2 → R 2 , –– произвольное линейное уравнение на плоскости. Пусть корни λ 1 , λ 2 характеристического уравнения различны. Если они вещественны и λ 2 , то уравнение распадается на два одномерных и мы получаем один из случаев, уже изученных в гл. (рис. , , Здесь пропущены пограничные случаи, когда λ 1 или λ 2 равно Они представляют гораздо меньший интерес, так как встречаются редко и не сохраняются при сколь угодно малом возмущении. Исследование их никаких трудностей не представляет Глава . Линейные системы Рис. . Устойчивые узлы Рис. . Седло Рис. . Неустойчивый узел Рис. . Устойчивые фокусы Рис. . Центры Рис. . Неустойчивые фокусы Если же корни комплексны, λ 1, 2 = α±iω, тов зависимости от знака может получиться один из случаев, представленных на рис. , , Случай центра является исключительным, но он встречается, например, в консервативных системах (см. § ). Случаи кратных корней также являются исключительными. Читателю предоставляется проверить, что жордановой клетке соответствует случай, изображенный на рис. ( λ 1 = λ 2 < 0; так называемый вырожденный узел § . Комплексификация вещественного уравнения. Пример маятник с трением. Применим все сказанное к уравнению малых колебаний маятника с трением ¨ x = −x − k ˙x (k –– коэффициент трения. Составим эквивалентную систему Исследуем характеристическое уравнение. Матрица системы 1 −1 имеет определитель 1 и след. Корни характеристического уравнения комплексны прите. при не слишком большом трении ∗) Вещественная часть каждого из комплексных корней, равна. Иными словами, при положительном не слишком большом коэффициенте трения (0 < k < 2) нижнее положение равновесия маятника будет устойчивым фокусом. При k → 0 фокус превращается в центр чем меньше коэффициент трения, тем медленнее фазовая точка приближается к положению равновесия при t → +∞ (рис. ). Явные формулы для измене- Рис. . Фазовая плоскость маятника с малым трением ния x 1 = x со временем получаются из следствия пи формул п. § : x(t) = re αt cos( ϕ −ωt) = Ae αt cos ωt + где коэффициенты r и ϕ или A и B) определяются изначальных условий. Итак, колебания маятника будут затухающими, с переменной амплитудой и с периодом. Чем больше коэффициент трения, тем быстрее уменьшается амплитуда. Частота уменьшается с увеличением коэффициента трения k. При k → 2 частота стремится ка период –– к ∞ (рис. ). При малых k имеем ω ≈ 1 − k 2 8 (k → 0), так что трение увеличивает период очень незначительно, и его влиянием на частоту во многих расчетах можно пренебре- гать. ∗) Случай вещественных корней рассмотрен в § , п. И все же при любом значении k < 2 маятник делает бесконечное количество размахов. Если же k > 2, маятник меняет направление движения не более одного раза Глава . Линейные системы Рис. . Переход от затухающих колебаний к неколебательному движению маятника фазовые кривые и графики решений при трех значениях коэффициента трения Рис. . После нескольких оборотов маятник начинает качаться возле нижнего положения равновесия Зàäà÷à . Нарисовать фазовые кривые нелинеаризованного маятника с трением, ¨ x = − sin x − k ˙x рис. У. Сосчитайте производную полной энергии вдоль фазовой кривой. Общее решение линейного уравнения в случае простых корней характеристического уравнения. Мы уже знаем, что всякое решение ϕ комплексифицированного уравнения является линейной комбинацией экспонент (см. § , п. ): ϕ(t) = n P k=1 c k e λ k t ξ k , § . Комплексификация вещественного уравнения где ξ k –– какой-нибудь собственный вектор с собственным значением. Выберем собственные векторы с вещественными собственными значениями вещественными, ас комплексно сопряженными комплексно сопряженными. Мы уже знаем, что решения вещественного уравнения –– это решения его комплексификации с вещественными начальными условиями. Чтобы вектор ϕ(0) был вещественным, необходимо и достаточно, чтобы n P k=1 c k ξ k = n P k=1 ¯¯ c k ¯¯ ξ k Для этого коэффициенты при комплексно сопряженных векторах должны быть комплексно сопряженными, а при вещественных –– ве- щественными. Заметим, что n комплексных постоянных при фиксированном выборе собственных векторов) определяются решением комплексного уравнения однозначно. Итак, доказана Тåîðåìà. Каждое решение вещественного уравнения единственным образом при фиксированном выборе собственных векторов) записывается в виде) где a k –– вещественные, а c k –– комплексные постоянные. Формула () называется общим решением уравнения. Ее можно переписать в виде) = ν P k=1 a k e λ k t ξ k + 2 Заметим, что общее решение зависит от + 2µ = n вещественных постоянных a k , Re c k , Im c k . Эти постоянные однозначно определяются начальными условиями. Сëåäñòâèå . Пусть ϕ = (ϕ 1 , …, ϕ n ) –– решение системы n линейных вещественных дифференциальных уравнений первого порядка с матрицей A. Пусть все корни характеристического уравнения матрицы A простые. Тогда каждая из функций является линейной комбинацией функций и e α k t cos ω k t, e α k t sin ω k t, где λ k –– вещественные, а α k ± iω k –– комплексные корни характеристического уравнения. Глава . Линейные системы Дîêàçàòåëüñòâî. Разложим общее решение () по координатному базису ϕ = ϕ 1 e 1 + … + ϕ n e n . Учитывая, что i sin получим требуемое. При практическом решении линейных систем можно, найдя собственные числа, искать решения в виде линейной комбинации функций методом неопределенных коэффици- ентов. Сëåäñòâèå . Пусть A –– вещественная квадратная матрица, собственные числа которой просты. Тогда каждый из элементов матрицы есть линейная комбинация функций e λ k t , e α k t cos ω k t, e α k t sin ω k t, где λ k –– вещественные, а α k ± iω k –– комплексные корни характеристического уравнения. Дîêàçàòåëüñòâî. Каждый столбец матрицы составлен из координат образа базисного вектора под действием фазового потока системы дифференциальных уравнений с матрицей A. Зàìå÷àíèå. Все сказанное выше непосредственно переносится на уравнения и системы уравнений порядка выше 1, так как они сводятся к системам первого порядка (см. § З . Найти все вещественные решения уравнений = 0, x = x, x + x = 0. |