В. И. Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения. В. И. Арнольд Обыкновенные дифференциальные уравнения
 Скачать 4.58 Mb.
|
|
. Некритические линии уровня энергии. Предположим, что потенциальная энергия U определена на всей оси x. Пусть E –– некритическое значение энергии, те неравно значению функции U нив одной из ее критических точек. Рассмотрим множество точек, где значение U меньше E, {x : U (x) < Это множество (рис. ) состоит из конечного или счетного числа интервалов, так как функция U непрерывна (два из этих интервалов могут простираться в бесконечность. На концах интервалов U (x) = E, следовательно, U ′ ( x) 6= так как E –– некритическое значение Глава . Основные теоремы Каждая точка множества {x : U (x) ¶ E} является по этой причине концом ровно одного интервала меньших значений. Поэтому все множество {x : U (x) ¶ E} есть объединение не более чем счетного числа попарно непересекающихся отрезков и, быть может, одного или двух уходящих в бесконечность лучей, или же совпадает со всей осью Рассмотрим (рис. ) один из таких отрезков, a ¶ x ¶ b, U (a) = U (b) = E, U (x) < при < x < b. Тåîðåìà. Уравнение x 2 2 2 + U (x 1 ) = E, a ¶ x 1 ¶ b, задает на плоскости гладкую кривую, диффеоморфную окружности. Эта кривая является фазовой кривой системы Рис. . Фазовая кривая, диф- феоморфная окружности Рис. . Фазовая кривая, диффеоморфная прямой Аналогичным образом, лучили, где является проекцией фазовой кривой, диффеоморфной прямой линии, на ось рис. ). Наконец, в случае если U (x) < E на всей прямой, множество уровня E состоит из двух фазовых кривых Итак, множество некритического уровня энергии состоит из конечного или счетного числа гладких фазовых кривых. Доказательство теоремы п. . Закон сохранения энергии позволяет явно решить уравнение Ньютона. Действительно, при фикси- § . Консервативная система с одной степенью свободы рованном значении полной энергии E величина (ноне знак) скорости определяется положением x: x = ± p 2( E − а это –– уравнение с одномерным фазовым пространством, которое мы уже умеем решать. Пусть (x 1 , x 2 ) –– точка нашего множества уровня, причем рис. ). Решение уравнения () с начальным условием ϕ(t 0 )= x 1 , ˙ ϕ(t 0 ) ищем из соотношения (): t − t 0 = ϕ(t) R x 1 dξ p 2( E − для t, близких к Рис. . Половину фазовой кривой (от a до b) фазовая точка проходит за конечное время T /2 = t 2 − Рис. . Продолжение решения уравнения Ньютона с помощью отражений Заметим теперь, что интеграл сходится, так как U ′ ( a) 6= 0, U ′ ( b) 6= 0. Отсюда следует, что формула () задает непрерывную на некотором отрезке t 1 ¶ t ¶ функцию, причем) = a, ϕ(t 2 ) = b. Эта функция везде удовлетворяет уравнению Ньютона (рис. Интервал (t 1 , t 2 ) имеет длину /2. Продолжим ϕ наследующий интервал длины T/2 из соображений симметрии ϕ(t 2 + τ)=ϕ(t 2 −τ), 0 ¶ τ ¶ T/2, и далее периодически ϕ(t + T) = ϕ(t). Функция ϕ, построенная теперь на всей прямой, всюду удовлетворяет уравнению Ньютона. Кроме того) = x 1 , ˙ ϕ(t 0 ) Итак, мы построили решение системы () с начальным условием. Оно оказалось периодическим, с периодом . Соответствующая замкнутая фазовая кривая есть в точности часть множества уровня E над отрезком a ¶ x ¶ b. Эта кривая диффеоморфна окружности, как всякая замкнутая фазовая кривая (см. § ). Глава . Основные теоремы Случай, когда интервал простирается до бесконечности (в одну сторону или в обе, проще рассмотренного и предоставляется читателю. Критические линии уровня. Критические линии уровня могут быть устроены более сложно. Заметим, что такая линия содержит неподвижные точки (x 1 , x 2 ) (где) = 0, x 2 = 0), каждая из которых уже является фазовой кривой. Если на отрезке a ¶ x ¶ всюду U (x) < E, кроме U (a) = U (b) = E, и оба конца –– критические точки (U ′ ( a) = U ′ ( b) = 0), то две открытые дуги x 2 = ± p 2( E − U(x 1 )), a < x 1 < b, являются фазовыми кривыми (рис. ). Время, затрачиваемое фазовой точкой на прохождение такой дуги, бесконечно (теорема продолжения из п. + единственность). Если U ′ ( a) = 0, U ′ ( b) 6= 0 (рис. ), то уравнение 2 2 + U (x 1 ) = E, a < определяет незамкнутую фазовую кривую. Наконец, если U ′ ( a) 6= 0, U ′ ( b) 6= 0 (рис. ), то часть множества критического уровня над отрезком a ¶ x ¶ b –– замкнутая фазовая кривая, как в случае некритического уровня Рис. . Разбиение критической линии уровня энергии на фазовые кривые. Пример. Применим все сказанное к уравнению маятника = − sin Потенциальная энергия равна U(x) = − cos x рис. ). Критические точки, k = 0, ±1, Замкнутые фазовые кривые вблизи x 1 = 0, x 2 = 0 похожи на эллипсы. Этим фазовым кривым соответствуют малые качания маятника. Их период мало зависит от амплитуды, пока она мала. При больших значениях постоянной энергии получаются большие замкнутые кривые, пока энергия не достигнет критического значения, равного потенциальной энергии ма- § . Консервативная система с одной степенью свободы Рис. . Фазовые кривые уравнения маятника Рис. . Цилиндрическое фазовое пространство маятника ятника, перевернутого вверх ногами. Период колебаний при этом растет (так как время движения по сепаратрисам, из которых состоит критическое множество уровня, бесконечное). Б´ ольшим значениям энергии соответствуют незамкнутые кривые, на которых не меняет знака, те. маятник не качается, а вращается. Его скорость достигает наибольшего значения в нижнем, а наименьшего –– вверх- нем положении. Заметим, что значения x 1 , отличающиеся на 2kπ, соответствуют одинаковым положениям маятника. Поэтому фазовым пространством маятника естественно считать не плоскость, а цилиндр [x 1 mod 2 π, x 2 ] (рис. Наворачивая на цилиндр нарисованную уже на плоскости картину, получим фазовые кривые маятника на поверхности цилиндра. Все они Рис. . Угол отклонения маятника и скорость его изменения при амплитуде, близкой к π замкнутые гладкие кривые, исключая две стационарные точки A, B нижнее и верхнее положения равновесия) и две сепаратрисы C, З . Нарисовать графики функций) и x 2 ( t) для решения с энергией, близкой к критической энергии в верхнем положении, но немного мень- шей. Оòâåò. См. рис. . Функции) выражаются через эллиптический синус sn и эллиптический косинус cn. Когда E стремится к меньшему критическому значению, колебания маятника приближаются к гармоническим, а sn и cn переходят в sin и cos. Глава . Основные теоремы Зàäà÷à . С какой скоростью стремится к бесконечности период колебаний маятника, когда энергия E стремится к верхнему критическому значению ОС логарифмической ( ∼ C ln(E 1 − У. См. формулу (З . Нарисовать фазовые кривые систем с потенциальной энергией З . Нарисовать фазовые кривые уравнения Ньютона с силовым полем F(x) = ±x sin x, ± sin x x , ± sin x 2 . Малые возмущения консервативной системы. Исследовав движения консервативной системы, мы можем изучать близкие системы общего вида при помощи теоремы о дифференцируемости по параметру (ср. § , п. ). При этом мы встретим качественно новые и весьма важные в приложениях явления –– так называемые автоко- лебания. Зàäà÷à . Исследовать фазовые кривые системы, близкой к системе уравнений малых колебаний маятника f 1 ( x 1 , x 2 ), ˙ x 2 = −x 1 + ǫ f 2 ( x 1 , x 2 ), ǫ ≪ 1, x 2 1 + x 2 Р. При = 0 получаем уравнения малых колебаний маятника. По теореме о дифференцируемости по параметру при малых решение (наконечном интервале времени) отличается поправкой порядка от гармонических колебаний cos(t − t 0 ), x 2 = −A sin(t − Следовательно, при достаточно малом < ǫ 0 ( T ) фазовая точка остается вблизи окружности радиуса A в течение интервала времени T В отличие от консервативного случая ( ǫ = 0), при ǫ 6= 0 фазовая кривая необязательно замкнута она может иметь вид спирали (рису которой расстояние между соседними витками мало (порядка. Чтобы узнать, приближается ли фазовая кривая к началу координат или уходит от него, рассмотрим приращение энергии E = x 2 1 2 + x 2 за один оборот вокруг начала координат. Нас будет особенно интересовать знак этого приращения на раскручивающейся спирали приращение положительно, на сжимающейся отрицательно, а на цикле равно 0. Выведем приближенную формулу) для приращения энергии. Производную энергии по направлению нашего векторного поля легко вычислить она пропорциональна и равна ˙ E(x 1 , x 2 ) = ǫ(x 1 f 1 + x 2 f 2 ). § . Консервативная система с одной степенью свободы Рис. . Фазовые кривые уравнения ван дер Поля и приращение энергии за один оборот Для вычисления приращения энергии за оборот следовало бы проинтегрировать эту функцию вдоль витка фазовой траектории, которая, к сожалению, нам неизвестна. Номы уже выяснили, что этот виток близок к окружности. Поэтому интеграл можно с точностью добрать по окружности радиуса A: ∆ E = ǫ 2 π R 0 ˙ E(A cos t, −A sin t) dt + Подставляя вычисленное значение ˙ E, находим = ǫF(A) + где F(A) = H f 1 dx 2 − интеграл берется по окружности радиуса A против часовой стрелки»). Вычислив функцию F, мы сможем исследовать поведение фазовых кривых. Если функция F положительна, то приращение энергии ∆E за оборот также положительно (при малых положительных. В этом случае фазовая кривая –– раскручивающаяся спираль система совершает нарастающие колебания. Если F < 0, то ∆E < 0 и фазовая спираль закручивается. В этом случае колебания затухают. Может случиться, что функция F меняет знак (рис. ). Пусть A 0 –– простой корень функции F. Тогда при малых ǫ уравнению ∆E(x 1 , x 2 ) = 0 удовлетворяет замкнутая кривая Γ на фазовой плоскости, близкая к окружности радиуса это следует из теоремы о неявной функции). Очевидно, кривая Γ является замкнутой фазовой кривой –– предельным циклом нашей системы. Будут ли близкие фазовые кривые наматываться на цикл или сматываться с него, определяется знаком производной F ′ = dF dA A=A 0 . Если 0, то цикл неустойчива если 0 –– устойчив. Действительно, в первом случае ∗) Мы пользуемся тем, что dx 1 = x 2 dt и dx 2 = −x 1 dt вдоль S. Глава . Основные теоремы приращение энергии за оборот больше нуля, если фазовая кривая находится вне цикла, и меньше нуля, если внутри поэтому фазовая кривая всегда удаляется от цикла. Во втором же случае фазовые кривые приближаются к циклу и изнутри, и снаружи, как на рис. П. Рассмотрим уравнение ¨ x = −x + ǫ ˙x(1 − x 2 ) (называемое уравнением ван дер Поля. Вычисляя интеграл () при f 1 = 0, f 2 = x 2 (1 − x 2 1 ), получаем) = π A 2 − A 4 Эта функция имеет простой корень A 0 = 2 (рис. ), причем при меньших A она положительна, а при больших –– отрицательна. Поэтому уравнение ван дер Поля имеет при малых устойчивый предельный цикл, близкий к окружности x 2 + ˙ x 2 = 4 на фазовой плос- кости. Сравним движения исходной консервативной системы ( ǫ = стем, что происходит при 6= 0. В консервативной системе возможны колебания с любой амплитудой (все фазовые кривые замкнуты). Амплитуда определяется здесь начальными условиями. В неконсервативной системе возможны качественно иные явления, например устойчивый предельный цикл. В этом случае при весьма разных начальных условиях устанавливается периодическое колебание одной и той же, вполне определенной амплитуды. Этот установившийся режим называется режимом автоколебаний. Зàäà÷à *. Исследовать автоколебательные режимы движения маятника с малым трением под действием постоянного вращающего момента M: ¨ x + sin x + ǫ ˙ x = У. Эта задача подробно разобрана для любых ив книге А. А. Андронова, А. А. Витта, С. Э. Хайкина Теория колебаний (М Физмат- гиз, ), гл. . Глава Линейные системы Линейные уравнения –– едва лине единственный большой класс дифференциальных уравнений, для которых имеется достаточно полная теория. Эта теория, являющаяся, в сущности, ветвью линейной алгебры, позволяет полностью решить все линейные автономные уравнения. Теория линейных уравнений полезна в качестве первого приближения и при исследовании нелинейных задач. Например, она позволяет исследовать устойчивость положений равновесия и топологический тип особых точек векторных полей в случаях общего положения. Линейные задачи Рассмотрим вначале два примера ситуаций, где возникают линейные уравнения. Пример линеаризация. Рассмотрим дифференциальное уравнение, заданное векторным полем v в фазовом пространстве. Мы уже знаем, что в окрестности неособой точки (v 6= 0) поле устроено просто оно выпрямляется диффеоморфизмом. Рассмотрим теперь устройство поля в окрестности особой точки, те. точки, где вектор поля обращается в 0. Такая точка является стационарным решением нашего уравнения. Если уравнение описывает какой-либо физический процесс, то x 0 –– стационарное состояние процесса, его «положение равновесия. Поэтому исследование окрестности особой точки –– это изучение того, как будет развиваться процесс при малом отклонении начальных условий от равновесных (пример: верхнее и нижнее положения равновесия маятника). При исследовании векторного поля в окрестности точки x 0 , где вектор поля равен 0, естественно разложить поле в окрестности этой точки вряд по формуле Тейлора. Первый член ряда Тейлора линейный. Отбрасывание остальных членов называется линеаризацией. Линеаризованное векторное поле можно рассматривать Глава . Линейные системы как пример векторного поля с особой точкой x 0 . С другой стороны, можно надеяться, что поведение решений исходного и линеаризованного уравнений близко (так как при линеаризации отбрасываются малые высшего порядка. Конечно, вопрос о связи решений исходного и линеаризованного уравнений требует специального исследования. Это исследование основывается на подробном анализе линейного уравнения, которым мы и будем вначале заниматься. Зàäà÷à . Покажите, что линеаризация –– инвариантная, те. независящая от системы координат, операция. Точнее, пусть поле v в области U задается в системе координат компонентами. Пусть особая точка имеет координаты (так что) = 0, i = 1, …, n). Тогда исходное уравнение записывается в виде системы = 1, …, n. Оïðåäåëåíèå. Линеаризованным уравнением называется уравнение = 1, …, Рассмотрим касательный вектор ∈ T 0 U с компонентами ξ i (i = 1, …, Линеаризованное уравнение можно записать в виде = где A –– линейное отображение A : T 0 U → T 0 U, заданное матрицей (Утверждается, что отображение A не зависит от системы координат участвовавшей в его определении. Зàäà÷à . Линеаризовать уравнение маятника ¨ x = − sin x вблизи положений равновесия x 0 = kπ, ˙ x 0 = 0. . Пример однопараметрические группы линейных преобразований R n . Другая задача, сразу сводящаяся к линейным дифференциальным уравнениям, –– это задача описания однопарамет- рических групп линейных преобразований ∗) линейного пространства Заметим, что касательное пространство к линейному пространству в любой точке естественно отождествляется с самим линейным пространством. А именно, мы отождествляем элемент касательного пространства T x R n , представителем которого является кривая ϕ : I → R n , ϕ(0) = x, с вектором = lim t →0 ϕ(t) − x t ∈ Напомним, что мы включаем в определение однопараметрической группы {g t } дифференцируемость g t x пои. Линейные задачи самого пространства соответствие v ↔ ˙ ϕ взаимно однознач- ное). Это отождествление зависит от структуры линейного пространства и не сохраняется при диффеоморфизмах. Однако в линейных задачах, которыми мы будем теперь заниматься (например, в задаче об однопараметрических группах линейных преобразований, структура линейного пространства враз навсегда фиксирована. Поэтому мы теперь впредь до возвращения к нелинейным задачам отождествляем T x R n ≡ Пусть {g t , t ∈ R} –– однопараметрическая группа линейных преобразований. Рассмотрим движение ϕ : R → точки x 0 ∈ З . Докажите, что) –– решение уравнения с начальным условием ϕ(0) = x 0 , где A : R n → R n –– линейный оператор R-эндоморфизм), заданный соотношением = d dt t=0 ( g t x) ∀x ∈ У. См. § , п. Уравнение () называется линейным. Таким образом, для описания всех однопараметрических групп линейных преобразований достаточно исследовать решения линейных уравнений (Мы увидим далее, что соответствие между однопараметрически- ми группами линейных преобразований и линейными уравнениями) взаимно однозначно каждый оператор A : R n → задает однопараметрическую группу П . Пусть = 1, A –– умножение на число k. Тогда g t –– растяжение в e kt раз. Зàäà÷à . Найти поле скоростей точек твердого тела, вращающегося вокруг оси, проходящей через точку 0, с угловой скоростью О. v(x) = [ ω, x]. . Линейное уравнение. Пусть A : R n → R n –– линейный оператор в вещественном мерном пространстве R n Оïðåäåëåíèå. Линейным уравнением называется уравнение с фазовым пространством R n , заданное векторным полем v(x) = Ax: ˙ x Полный титул уравнения (): система n линейных однородных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами Глава . Линейные системы Если в фиксирована система (линейных) координат x i , i =1, … …, n, то уравнение () записывается в виде системы n уравнений, i = 1, …, n, где (a ij ) –– матрица оператора в рассматриваемой системе координат. Матрица эта называется матрицей системы. Решение уравнения () с начальным условием) = дается в случае n = 1 экспонентой ϕ(t) = Оказывается, ив общем случае решение дается той же формулой нужно только объяснить, что называется экспонентой линейного оператора. Этой задачей мы теперь и займемся . Показательная функция Функцию e A , A ∈ R, можно определить любым из двух эквивалентных способов + A + A 2 2! + A 3 3! + …, () e A = lim n →∞ E где E означает единицу). Пусть теперь A : R n → R n –– линейный оператор. Чтобы определить, прежде всего определим понятие предела последовательности линейных операторов. Норма оператора. Зафиксируем в скалярное произведение и будем обозначать через kxk = |x| = p (x, x) (x ∈ R n ) корень из скалярного квадрата Пусть A : R n → R n –– линейный оператор. Оïðåäåëåíèå. Нормой A называется число kAk = Геометрически kAk означает наибольший коэффициент растяжения преобразования З . Докажите, что 0 ¶ kAk < У = sup |x|=1 |Ax|, сфера компактна, а функция |Ax| непрерыв- на. Зàäà÷à . Докажите, что kλAk = |λ| kAk, kA + Bk ¶ kAk + kBk, kABk ¶ ¶ kAk kBk, где A и B: R n → R n –– линейные операторы ∈ R –– число § . Показательная функция Зàäà÷à . Пусть ( a ij ) –– матрица оператора в ортонормированном базисе. Покажите, что max j P i a 2 ij ¶ kAk 2 ¶ P i, У. См. Г. Е. Шилов. Введение в теорию линейных пространств. М ГИТТЛ, . –– § . . Метрическое пространство операторов. Множество L всех линейных операторов A : R n → само является линейным пространством над полем R (по определению, (A + λB)x = Ax + З . Найти размерность этого линейного пространства L. Оòâåò. n 2 Уêàçàíèå. Оператор задается своей матрицей. Определим расстояние между двумя операторами как норму их разности, B) = kA − Bk. Тåîðåìà. Пространство линейных операторов L с метрикой является полным метрическим пространством ∗) . Проверим, что –– метрика. По определению > 0, если A 6= B, ρ(A, A) = 0, ρ(B, A) = ρ(A, Неравенство треугольника, B) + ρ(B, C) ¾ ρ(A, C) вытекает из неравенства kX + Y k ¶ kXk + kY k задачи п. (X = A − B, Y = B − Итак, метрика превращает L в метрическое пространство. Его полнота тоже очевидна. Доказательство полноты. Пусть { A i } –– последовательность Коши, т. е. для всякого > 0 найдется такое N(ǫ), что ρ(A m , A k ) < ǫ при m, k > Пусть x ∈ R n . Составим последовательность точек x i ∈ R n , x i = A i x. Покажем, что {x i } –– последовательность Коши в пространстве R n , снабженном евклидовой метрикой, y) = |x − y|. Действительно, по определению нормы оператора при m, k > N |x m − x k | ¶ ρ(A m , A k ) |x| ¶ Метрическим пространством называется пара, состоящая из множества и функции : M × M → R, называемой метрикой, если, y) ¾ 0, (ρ(x, y) = 0) ⇔ (x = y); ) ρ(x, y) = ρ( y, x) ∀x, y ∈ M; ) ρ(x, y) ¶ ρ(x, z) + ρ(z, y) ∀x, y, z ∈ Последовательность точек метрического пространства M называется последовательностью Коши, если > 0 ∃N: ρ(x i , x j ) < ǫ ∀i, j > N. Последовательность сходится к точке x, если > 0 ∃N: ρ(x, x i ) < ǫ ∀i > N. Пространство называется полным, если всякая последовательность Коши сходится Глава . Линейные системы Поскольку |x| –– фиксированное (независящее от m, k) число, отсюда следует, что {x i } –– последовательность Коши. Пространство полно. Поэтому существует предел = lim i →∞ x i ∈ Заметим, что y| ¶ ǫ|x| при k > N(ǫ), причем N(ǫ) тоже, что и выше, независящее от x число. Точка y зависит от точки x линейно (предел суммы равен сумме пределов. Мы получаем линейный оператор A : R n → R n , Ax = y, A ∈ L. Мы видим, что при k > N(ǫ) ρ(A k , A) = kA k − Ak = sup x 6=0 |x k − Значит, A = и пространство L полно. Зàäà÷à . Докажите, что последовательность операторов A i сходится тогда и только тогда, когда сходится последовательность их матриц в фиксированном базисе. Выведите отсюда другое доказательство полноты. Ряды. Пусть дано вещественное линейное пространство превращенное в метрическое полное пространство такой метрикой, что расстояние между двумя точками M зависит лишь от их разности, причем, 0) = |λ|ρ(x, 0) (x ∈ M, λ ∈ R). Такое пространство называется нормированным, а функция ρ(x, 0) называется нормой x и обозначается П . Евклидово пространство = с метрикой, y) = kx − yk = |x − y| = p (x − y, x − П . Пространство линейных операторов R n → с метрикой, B) = kA − Мы будем обозначать расстояние между элементами A и B из через kA − Поскольку элементы M можно складывать и умножать на числа и последовательности Коши в M имеют пределы, теория рядов вида, A i ∈ M, буквально повторяет теорию числовых рядов. Теория функциональных рядов также непосредственно переносится на функции со значениями в З. Докажите следующие две теоремы: Пðèçíàê Вåéåðøòðàññà. Если ряд ∞ P i=1 f i функций f i : X → M ма- жорируется сходящимся числовым рядом f i k ¶ a i , ∞ P i=1 a i < ∞, a i ∈ то он сходится абсолютно и равномерно на X . § . Показательная функция Дèôôåðåíöèðîâàíèå Если ряд ∞ P i=1 f i функций f i : R → сходится и ряд из производных df i dt сходится равномерно, то он сходится к производной –– координата на прямой У. Доказательство для случая = R имеется в курсе анализа. На общий случай оно переносится дословно. Определение экспоненты e A . Пусть A : R n → R n –– линейный оператор. Оïðåäåëåíèå. Экспонентой оператора A называется линейный оператор изв где E –– тождественный оператор, E x = x). Тåîðåìà. Ряд сходится при любом A равномерно на каждом множестве X = {A : kAk ¶ a}, a ∈ R. Дîêàçàòåëüñòâî. Пусть kAk ¶ a. Тогда наш ряд мажорируется числовым рядом 1 + a + a 2 2! + …, сходящимся к e a . По признаку Вейерштрасса ряд равномерно сходится при kAk ¶ З . Вычислить матрицу, если матрица A имеет вид 0 0 2 , 2) 0 1 0 0 , 3) 0 1 −1 0 , 4) 0 1 0 0 0 1 0 О. ) e t 0 0 e 2 t , ) 1 t 0 1 , ) cos t sin t − sin t cos t , ) 1 t t 2 /2 0 1 t 0 0 1 . Пример. Рассмотрим множество многочленов степени меньше от одного переменного x с вещественными коэффициентами. Это множество имеет естественную структуру вещественного линейного пространства многочлены можно складывать и умножать на числа. Зàäà÷à . Найти размерность пространства многочленов степени меньше О базис, например, 1, x, x 2 , …, Будем обозначать пространство многочленов степени меньше через R n . (Таким образом, мы отождествляем пространство многочленов, в котором выбран указанный выше базис, с изоморфным Глава . Линейные системы ему координатным пространством R n .) Производная многочлена степени меньше n есть многочлен степени меньше n. Возникает отображение : R n → R n , Ap З . Доказать, что –– линейный оператор найти его ядро и об- раз. Оòâåò. Ker A = R 1 , Im A = С другой стороны, обозначим через H t (t ∈ R) оператор сдвига на t, переводящий многочлен p(x) в p(x + З . Доказать, что R n → R n –– линейный оператор. Найти его ядро и образ. Оòâåò. Ker H t = 0, Наконец, составим оператор e At Тåîðåìà. e At = H t . Дîêàçàòåëüñòâî. В курсе анализа эта теорема называется формулой Тейлора для многочленов + t) = p(x) + t 1! dp dx + t 2 2! d 2 p dx 2 + … . Экспонента диагонального оператора. Пусть матрица оператора диагональна, с диагональными элементами λ 1 , …, λ n . Легко видеть, что матрица оператора также диагональна, с диагональными элементами e λ 1 , …, e λ n Оïðåäåëåíèå. Оператор A : R n → называется диагональным, если его матрица в каком-нибудь базисе диагональна. Такой базис называется собственным. Зàäà÷à . Привести пример недиагонального оператора. Зàäà÷à . Докажите, что собственные числа диагонального оператора вещественны. Зàäà÷à . Если все собственных чисел оператора A : R n → вещественны и различны, то он диагонален. Пусть A –– диагональный оператор. Тогда вычисление e A проще всего проводить в собственном базисе. Пðèìåð . Пусть матрица оператора имеет вид 1 1 в базисе Поскольку собственные числа вещественны и различны, оператор диагонален. Собственный базис f 1 = e 1 + e 2 , f 2 = e 1 − e 2 . Матрица § . Показательная функция оператора A в собственном базисе есть 0 0 0 . Поэтому матрица оператора в собственном базисе имеет вид 0 0 Итак, в исходном базисе матрица оператора имеет вид 2 e 2 + 1 e 2 − 1 e 2 − 1 e 2 + 1 . Экспонента нильпотентного оператора. Оïðåäåëåíèå. Оператор A : R n → называется нильпотент- ным, если некоторая его степень равна З . Докажите, что оператор с матрицей 1 0 0 нильпотентный. Вообще, если все элементы матрицы оператора на диагонали и ниже равны, то оператор нильпотентный. Зàäà÷à . Докажите, что оператор дифференцирования d dx в пространстве многочленов степени меньше n нильпотентный. Если оператор A нильпотентный, то ряд для e A обрывается, т. е. сводится к конечной сумме. Зàäà÷à . Вычислить R), где A: R n → R n –– оператор с матрицей 1 0 0 1 0 . 1 0 (1 только над главной диагональю). Уêàçàíèå. Один из способов решения этой задачи –– формула Тейлора для многочленов. Оператор дифференцирования d dx имеет матрицу указанного видав некотором базисе (каком. Решение см. в § . . Квазимногочлены. Пусть –– вещественное число. Квазим- ногочленом с показателем λ называется произведение e λx p(x), где –– многочлен. Степень многочлена p называется степенью квазим- ногочлена. Зафиксируем значение показателя λ. Зàäà÷à . Докажите, что множество всех квазимногочленов степени меньше n –– линейное пространство. Найдите его размерность. Оòâåò. n. Базис, например, e λx , xe λx , …, x n −1 e λx Зàìå÷àíèå. В понятии квазимногочлена, как ив понятии многочлена, кроется некоторая двусмысленность. (Квази-)многочлен Глава . Линейные системы можно понимать как выражение, составленное из знаков и букв; в таком случае решение предыдущей задачи очевидно. С другой стороны, можно понимать под (квази-)многочленом функцию, те. отображение В действительности оба понимания равносильны (когда коэффициенты многочленов вещественные или комплексные числа мы сейчас рассматриваем (квази-)многочлены с вещественными коэф- фициентами). Зàäà÷à . Докажите, что каждая функция : R → R, которую можно записать в виде квазимногочлена, записывается в виде квазимногочлена единственным образом. Уêàçàíèå. Достаточно доказать, что соотношение 0 влечет равенство нулю всех коэффициентов многочлена Обозначим мерное линейное пространство квазимногочленов степени меньше n с показателем λ через R n Тåîðåìà. Оператор дифференцирования линейный оператор R n → R n , и при любом t ∈ где H t : R n → R n –– оператор сдвига нате+ t)). Дîêàçàòåëüñòâî. Мы должны доказать прежде всего, что производная и сдвиг квазимногочлена степени меньше n с показателем суть снова квазимногочлены степени меньше n с показателем Действительно) = λe λx p(x) + e λx p ′ ( x), e λ(x+t) p(x + t) = e λx ( e λt p(x + Линейность дифференцирования и сдвига сомнений не вызывает. Остается заметить, что ряд Тейлора для квазимногочлена абсолютно сходится на всей прямой (так как абсолютно сходятся ряды Тейлора для и для p(x)), –– это и выражает формула (З . Вычислить матрицу оператора, если матрица A имеет видна диагонали, над диагональю 1, остальные 0). Например, вычислить exp 1 1 0 1 § . Свойства экспоненты Уêàçàíèå. Именно такой вид имеет матрица оператора дифференцирования в пространстве квазимногочленов (в каком базисе. Решение см. в § . |