В. И. Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения. В. И. Арнольд Обыкновенные дифференциальные уравнения
 Скачать 4.58 Mb.
|
|
§ . Комплексификация и овеществление Прежде чем изучать комплексные дифференциальные уравнения, вспомним, что такое комплексификация вещественного пространства и овеществление комплексного. Овеществление. Через мы будем обозначать мерное линейное пространство над полем комплексных чисел Овеществлением пространства называется вещественное линейное пространство, которое совпадает с как группа ив котором умножение на вещественные числа определено как в C n , а умножение на комплексные числа не определено. (Иными словами, овеществить это значит забыть о структуре модуля, сохраняя структуру R-модуля.) Легко видеть, что овеществление пространства будет мерным вещественным линейным пространством R 2 n . Мы будем обозначать овеществление знаком R сверху слева, например = Если (e 1 , …, e n ) –– базис в C n , то (e 1 , …, e n , ie 1 , …, ie n ) –– базис в R C n = R 2 n Пусть A : C m → C n –– линейный оператор. Овеществление оператора A –– это линейный оператор : R C m → R C n , совпадающий с A поточечно. ∗) Тот факт, что для определения рекуррентной последовательности го порядка надо знать k ее первых членов, тесно связан стем, что фазовое пространство дифференциального уравнения порядка k имеет размерность k. Эта связь становится понятной, если записать дифференциальное уравнение в виде предела разностных § . Комплексификация и овеществление Зàäà÷à . Пусть (e 1 , …, e m ) –– базис пространства C m , ( f 1 , …, f n ) –– базис пространства C n , (A) –– матрица оператора A. Найти матрицу овеществленного оператора R A. Оòâåò. α −β β α , где (A) = (α) + i(β З . Докажите, что + B) = R A + R B, R ( AB) = R A R B. . Комплексификация. Пусть R n –– вещественное линейное пространство. Комплексификация пространства R n –– это мерное комплексное линейное пространство, обозначаемое через, которое строится следующим образом. Точки пространства это пары (ξ, η), где ξ ∈ R n , η ∈ R n . Такая пара обозначается ξ + iη. Операции сложения и умножения на комплексные числа определяются обычным образом + iv)(ξ+ iη) = (uξ − vη) + i(vξ+ uη), ( ξ 1 + iη 1 ) + ( ξ 2 + iη 2 ) = ( ξ 1 + ξ 2 ) +Легко проверить, что полученный модуль является мерным комплексным линейным пространством. Если (e 1 , …, e n ) базис в R n , то векторы e k + i0 образуют базис в Векторы ξ + i0 обозначаются короче через Пусть A : R m → есть линейный оператор. Комплексифика- ция оператора A –– это линейный оператор : C R m → C R n , определенный соотношением + iη) = Aξ + З . Пусть (e 1 , …, e m ) –– базис R m , ( f 1 , …, f n ) –– базис в R n . Пусть) –– матрица оператора A. Найти матрицу комплексифицированного оператора (О. ( C A) = (З . Докажите, что + B) = C A + C B, C ( AB) Т Операции овеществления и комплексификации определены как для пространств, таки для отображений. Алгебраисты называют такого рода операции функторами. . Комплексное сопряжение. Рассмотрим вещественное мерное линейное пространство R 2 n = RC R n , полученное из R n комплек- сификацией, а затем овеществлением. В этом пространстве лежит n-мерное подпространство векторов вида ξ + i0, ξ ∈ R n . Оно называется вещественной плоскостью R n ⊂ Подпространство векторов вида 0 + iξ, ξ ∈ R n , называется мнимой плоскостью iR n ⊂ R 2 n . Все пространство есть прямая сумма этих двухмерных подпространств Глава . Линейные системы Рис. . Оператор умножения на Рис. . Комплексное сопряжение Оператор iE умножения на i в после овеществления превращается в R -линейный оператор) = I : рис. ). Оператор I изоморфно отображает вещественную плоскость в мнимую, а мнимую –– в вещественную. Квадрат оператора равен минус единичному. Зàäà÷à . Пусть (e 1 , …, e n ) –– базис в R n , (e 1 , …, e n , ie 1 , …, ie n ) –– базис R 2 n = RC R n . Найти матрицу оператора I в этом базисе. Оòâåò. ( I) Обозначим через : R 2 n → рис) оператор комплексного сопряжения + iη) = ξ − iη. Действие σ обозначается часто чертой сверху. Оператор σ совпадает с единичным на вещественной плоскости и с минус единичным на мнимой. Он инволютивен: σ 2 = E. Пусть A : C R m → C R n –– линейный оператор. Комплексно сопряженным к A оператором ¯¯ A называется оператор ¯¯ A : C R m → C R n , определенный соотношением = для всякого З . Докажите, что ¯¯ A является линейным оператором. Зàäà÷à . Докажите, что матрица оператора ¯¯ A в вещественном базисе комплексно сопряжена матрице A в том же базисе. Зàäà÷à . Докажите, что + B = ¯¯ A + ¯¯ B, AB = ¯¯ A¯¯ B, λ A = ¯¯ λ З . Докажите, что комплексный линейный оператор является комплексификацией вещественного тогда и только тогда, когда ¯¯ A = A. . Экспонента, определитель и след комплексного оператора. Экспонента, определитель и след комплексного оператора определяются в точности также, как в вещественном случае. Они обладают такими же свойствами, что ив вещественном случае, разница состоит лишь в том, что определитель, будучи комплексным числом, неравен объему. Зàäà÷à . Докажите свойства экспоненты) = e R A , e A = e ¯¯ A , C ( e A ) = e C A § . Комплексификация и овеществление Зàäà÷à . Докажите свойства определителя = |det A| 2 , det ¯¯ A = det A, det C A = det З. Докажите свойства следа = tr A + tr ¯¯ A, tr ¯¯ A = tr A, tr C A = tr З. Докажите, что ив комплексном случае det e A = e tr A . Производная кривой с комплексными значениями. Пусть : I → C n –– отображение интервала I вещественной оси t в комплексное линейное пространство C n . Мы будем называть ϕ кривой. Производная кривой ϕ в точке t 0 ∈ I определяется обычным образом. Это вектор пространства Рис. . Производная отображения t 7→ в точке 0 равна П. Пусть n = 1, ϕ(t) = рис. ). Тогда dϕ dt t=0 = i. Рассмотрим случай n = 1 подробнее. Поскольку в C определено умножение, кривые со значениями в C можно не только складывать, но и умножать) = ϕ 1 ( t) + ϕ 2 ( t), ( ϕ 1 ϕ 2 )( t) = ϕ 1 ( t)ϕ 2 ( t), t ∈ З. Докажите свойства производной) В частности, производная многочлена с комплексными коэффициентами дается той же формулой, что для случая вещественных ко- эффициентов. Если n > 1, то перемножить две кривые со значениями в нельзя. Однако, поскольку есть модуль, можно умножить кривую : I → на функцию f : I → C: ( f ϕ)(t) = f З. Докажите свойства производной f ϕ) dt = df dt ϕ + Разумеется, здесь предполагается, что производные существуют Глава . Линейные системы Тåîðåìà. Пусть A : C n → C n –– линейный оператор. Тогда существует при любом t ∈ R линейный оператор изв C n d dt e tA = Ae tA Дîêàçàòåëüñòâî. Это можно доказать в точности также, как в вещественном случае, но можно и сослаться на него. Ибо, овеществив, получим) = d dt e t( R A) = ( R A)e t( R A) = R ( Ae tA ). § . Линейное уравнение с комплексным фазовым пространством Комплексный случай, как это часто бывает, проще вещественного. Он важен сам по себе кроме того, изучение комплексного случая поможет нам исследовать вещественный. Определения. Пусть A : C n → C n –– линейный оператор. Линейным уравнением ∗) с фазовым пространством мы будем называть уравнение = Az, z ∈ Решением ϕ уравнения () с начальным условием ϕ(t 0 )=z 0 , t 0 ∈R, z 0 ∈ C n , называется отображение ϕ : I → интервала I вещественной оси t в C n , если) для всякого ∈ I dϕ dt t=τ = Aϕ(τ); ) t 0 ∈ I и ϕ(t 0 ) = Иными словами, отображение ϕ : I → называется решением уравнения (), если после овеществления пространства и оператора отображение ϕ будет решением уравнения с мерным вещественным фазовым пространством ˙z = R Az, z ∈ R 2 n = R C n . Основная теорема. Следующие теоремы доказываются точно также, как в вещественном случае (см. § , пп. , ): Тåîðåìà. Решение ϕ уравнения () с начальным условием ϕ(0) дается формулой ϕ(t) = Полный титул система n линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка с комплексными постоянными коэффициентами § . Уравнение с комплексным фазовым пространством Тåîðåìà. Всякая однопараметрическая группа {g t } (t ∈ R) линейных преобразований пространства имеет вид g t = e At , где : C n → C n –– некоторый линейный оператор. Наша цель теперь –– исследовать и явно вычислить e At . Диагональный случай. Пусть A : C n → есть линейный оператор. Рассмотрим характеристическое уравнение det( A − λE) = 0. () Тåîðåìà. Если n корней λ 1 , …, характеристического уравнения попарно различны, то разлагается впрямую сумму инвариантных относительно A и одномерных подпространств C n = = C 1 1 ⊕ … ⊕ C 1 n , причем в каждом одномерном инвариантном подпространстве, скажем в C 1 k , сводится к умножению на комплексное число Действительно, оператор A имеет линейно независимых собственных прямых C n = C 1 1 ⊕ … ⊕ C 1 n . На прямой оператор A действует как умножение на, поэтому оператор действует как умножение на Рассмотрим теперь подробнее одномерный случай, n = 1. . Пример линейное уравнение, фазовое пространство которого –– комплексная прямая. Такое уравнение имеет вид C, λ ∈ C, t ∈ Мы уже знаем его решения ϕ(t) = e λt z 0 . Исследуем комплексную функцию вещественного переменного t: e λt : R → Если вещественно, то функция вещественна (рис. Рис. . Графики функций при вещественных λ ∗) Это –– единственное место, где комплексный случай отличается от вещественного. Причина большей сложности вещественного случая –– алгебраическая незамкну- тость поля R. Глава . Линейные системы В этом случае фазовый поток уравнения () состоит из растяжений враз. Если чисто мнимо, λ = iω, то по формуле Эйлера + i sin В этом случае фазовый поток уравнения () –– это семейство поворотов на угол рис. ). Наконец, в общем случае λ = α + и умножение наесть произведение умножения на и умножения на см. § , п. ): e λt = e ( α+iω)t = e αt · Таким образом, преобразование фазового потока уравнения) –– это растяжение враз с одновременным поворотом на угол ωt. Рис. . Фазовая и интегральная кривые уравнения ˙ z = при чисто мнимом λ Рис. . Фазовая и интегральная кривые уравнения ˙ z = λz при = α + iω, α < 0, ω > Рассмотрим теперь фазовые кривые. Пусть, например < 0, ω > > 0 (рис. ). В таком случае приросте фазовая точка будет приближаться к началу координат, обходя вокруг него в направлении против часовой стрелки (те. от 1 кВ полярных координатах, при соответствующем выборе начала отсчета углов, фазовая кривая задается уравнением = e kϕ k или = Такая кривая называется логарифмической спиралью. При других комбинациях знаков и ω фазовые кривые также будут логарифмическими спиралями (рис. , Во всех случаях (кроме = 0) точка z = 0 является единственной неподвижной точкой фазового потока (и единственной особой точкой соответствующего уравнению () векторного поля § . Уравнение с комплексным фазовым пространством Рис. . Устойчивые фокусы Рис. . Неустойчивые фокусы Эта особая точка называется фокусом мы предполагаем, что 6= 0, ω 6= 0). Если α < 0, то ϕ(t) → 0 при t → +∞ и фокус называется устойчивым, а если α > 0, то неустойчивым. Рис. . Центр При α = 0, ω 6= 0 фазовые кривые –– окружности, а особая точка –– их центр (рис. Выберем в координату z = x + iy. Исследуем изменение вещественной и мнимой частей, y(t) при движении фазовой точки. Из () находим+ где постоянные r и ϕ определяются начальным условием (рис. Таким образом, при > 0 координаты x(t) и y(t) испытывают гармонические колебания с частотой и с экспоненциально нарастающей амплитудой re αt », а при < 0 –– затухающие колебания. Рис. . Вещественная часть как функция времени Изменение x или y со временем можно записать также в виде + Be αt sin ωt, где постоянные A и B определяются начальными условиями Глава . Линейные системы Зàìå÷àíèå . Исследовав таким образом уравнение (), мы одновременно исследовали все однопараметрические группы линейных преобразований комплексной прямой. Зàìå÷àíèå . В тоже время мы изучили систему линейных уравнений на вещественной плоскости = αx − ω y, ˙ y = ωx + α в которую переходит уравнение () после овеществления. Из теорем пп. , и приведенных в это пункте вычислений непосредственно вытекает явная формула для решений уравнения (). . Следствие. Пусть n корней λ 1 , …, λ n характеристического уравнения () попарно различны. Тогда всякое решение ϕ уравнения () имеет вид) где ξ k –– независящие от начальных условий постоянные векторы зависящие от начальных условий комплексные постоянные. При любом выборе этих постоянных формула () дает решение уравнения Если z 1 , …, z n –– линейная система координат в C n , то вещественная (или мнимая) часть каждой координаты будет меняться со временем как линейная комбинация функций e α k t cos ω k t, e α k t sin ω k t: x l = n P k=1 r kl e α k t cos( ϕ kl + ω k t) = n P k=1 A kl e α k t cos ω k t + B kl e α k t sin ω k t, (где, а r, ϕ, A, B –– вещественные постоянные, зависящие от начальных условий. Для доказательства достаточно разложить начальное условие по собственному базису ϕ = c 1 ξ 1 + … + c n ξ n |