В. И. Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения. В. И. Арнольд Обыкновенные дифференциальные уравнения
 Скачать 4.58 Mb.
|
|
. Многомерный случай. Пусть собственные числа уравнения) в просты и имеют вид = Рассуждая, как в примере п. , мы покажем, что фазовые кривые лежат на мерном торе … × S 1 = { ( ϕ 1 , …, ϕ m ) mod 2 π} ∼ = и удовлетворяют уравнениям ˙ ϕ 1 = ω 1 , ˙ ϕ 2 = ω 2 , …, ˙ ϕ m = ω m . Числа Рис. . Фазовая кривая системы ˙ ϕ 1 = 1, ˙ ϕ 2 = p 2, ˙ ϕ 3 = p 3 всюду плотна на трехмерном торе ω 1 , …, ω m рационально независимы, если при целых k ( k 1 ω 1 + … + k m ω m = 0) ⇒ (k 1 = … = З *. Доказать, что если частоты ω 1 , …, ω m рационально независимы, то каждая фазовая кривая уравнения (), лежащая на торе, всюду плотна на нем. Сëåäñòâèå. Пусть конь прыгает скачками ( p 2, p 3) по полю рис. ), где квадратно-гнез- довым способом посеяна кукуруза. Тогда он обязательно сшибет хоть один росток § . Случай кратных собственных чисел. Равномерное распределение. Всюду плотные кривые, рассмотренные выше, обладают замечательным свойством равномерно распределиться по поверхности торов. Сформулируем соответствующую теорему в простейшем случае. Рассмотрим последовательность точек на окружности S 1 = { ϕ mod 2π}. Последовательность называется равномерно распределенной, если для любой дуги ∆ ⊂ число N(∆, k) точек длинного отрезка последовательности) в ∆ асимптотически пропорционально длине ∆: lim k →∞ N(∆, З *. Доказать, что последовательность, ϕ + α, ϕ + 2α, …, где –– угол, несоизмеримый с 2π, равномерно распределена на S 1 Сëåäñòâèå. Числа чаще начинаются с 7, чем с 8. Если N 7 ( k) и N 8 ( k) количества чисел (1, 2, 4, …, 2 k ) , начинающихся си соответственно, то существует З . Найти этот предел и убедиться, что он больше З. Начальный отрезок последовательности (см. п. ) указывает, кажется, на то, что семерок меньше. Это связано стем, что иррациональное число lg 2 = 0,3010… очень близко к рациональному числу . Случай кратных собственных чисел Решение линейного уравнения с постоянными коэффициентами сводится к вычислению матрицы e At . Если собственные числа матрицы попарно различны, то явный вид матрицы указан в § пи, п. . Чтобы найти явный вид матрицы в случае кратных собственных чисел, мы воспользуемся жордановой нормальной формой. Вычисление e At , где A –– жорданова клетка. Один из способов вычисления e At , где A –– жорданова клетка 1 λ . . . . 1 λ : R n → указан весть матрица оператора дифференцирования в базисе Первые цифры степеней тройки и населений стран мира распределены потому же закону Глава . Линейные системы пространства квазимногочленов степени меньше n с показателем По формуле Тейлора есть матрица оператора сдвига f ( ·)7→ f в том же базисе. Другой способ основан наследующей лемме: Лåììà. Пусть A и B –– линейные операторы изв. Если они коммутируют, то e A+B = e A e B . Дîêàçàòåëüñòâî. Сравним формальные ряды + A + A 2 2 + … E + B + B 2 2 + … = = E + (A + B) + 1 2 ( A 2 + 2 AB + B 2 ) + …, e A+B = E + (A + B) + 1 2 ( A + B) 2 + … = = E + (A + B) + 1 2 ( A 2 + AB + BA + B 2 ) + Если AB = BA, то ряды совпадают (так как e x+ для чисел). Поскольку ряды абсолютно сходятся, e A+B = e A e B , что и требова- лось. Представим A в виде A = λE + ∆, где ∆ –– нильпотентная жорда- нова клетка = 0 1 0 . . . . 1 Так как коммутирует с любым оператором, e At = e t(λE+∆) = = e λt e ∆ t . Вычислим матрицу + ∆t + ∆ 2 t 2 2 + … + ∆ n −1 t n −1 ( n − Заметим, что ∆ действует на базис e 1 , …, как сдвиг 0 7→ e 1 7→ 7→ e 2 7→ … 7→ e n . Поэтому действует как сдвиг намести имеет матрицу … 1 1 0 § . Случай кратных собственных чисел Итак, доказана Тåîðåìà. e ∆ t = 1 t t 2 /2 … t n −1 /(n − 1)! 1 t . . . .. . 1 . . . . . . t 2 /2 t 1 , e At = e λt te λt … t n −1 e λt /(n − 1)! e λt . . . .. . . Наши вычисления проходят без изменений в комплексном случае. Приложения. Из формулы () непосредственно вытекают: Сëåäñòâèå . Пусть A : C n → C n –– линейный оператор, λ 1 , … …, λ k –– собственные числа, ν 1 , …, ν k –– их кратности, t ∈ R. Тогда каждый элемент матрицы в любом фиксированном базисе) является суммой квазимногочленов от t с показателями λ l степеней меньше соответственно (l = 1, …, k). Дîêàçàòåëüñòâî. Рассмотрим матрицу оператора в базисе, в котором матрица A имеет жорданову форму. Наше утверждение тогда следует из (). Элементы матрицы оператора в любом другом базисе являются линейными комбинациями (с постоянными коэффициентами) элементов матрицы оператора в указанном ба- зисе. Сëåäñòâèå . Пусть ϕ –– решение дифференциального уравнения = Ax, x ∈ C n , A : C n → C n . Тогда каждая компонента вектора в любом фиксированном базисе) является суммой квазимногочле- нов от t с показателями степеней меньше соответственно) = k P l=1 e λ l t p jl ( t), где p jl –– многочлен степени < Действительно, ϕ(t) = С. Пусть A : R n → R n –– линейный оператор, λ l (1 ¶ ¶ l < k) –– его вещественные собственные числа, ν l –– их кратности iω l (1 ¶ l ¶ m) –– комплексные собственные числа, µ l –– их кратности. Тогда каждый элемент матрицы и каждая компонента решения уравнения ˙ x = Ax, x ∈ R n , является суммой комплекс Глава . Линейные системы ных квазимногочленов с показателями λ l , α l ± степеней меньше, µ l соответственно. Такую сумму можно записать также в менее удобном виде) = k P l=1 e λ l t p jl + m P l=1 e α l t [ q jl ( t) cos ω l t + r jl ( t) sin где p, q, r –– многочлены с вещественными коэффициентами степеней меньше ν l , µ l , µ l соответственно. Действительно, если z = x + iy, λ = α + iω, то + iy)(cos ωt + i sin ωt) = e αt ( x cos ωt − y sin Между прочим, из этих формул видно, что если вещественные части всех собственных чисел отрицательны, то все решения стремятся к 0 при t → +∞ (как это и должно быть согласно § , ). . Применения к системам уравнений выше первого порядка. Записав систему в виде системы уравнений первого порядка, мы сведем задачу к рассмотренной выше и можем ее решить, приведя матрицу к жордановой форме. Практически часто удобнее поступать иначе. Прежде всего, собственные числа эквивалентной системы первого порядка можно найти, не выписывая ее матрицы. Действительно, собственному числу отвечает собственный вектор и, значит, решение ϕ(t) = e λt ϕ(0) эквивалентной системы первого порядка. Но тогда и исходная система имеет решение вида) = e λt ψ(0). Подставим в исходную систему ψ = e λt ξ. Система допускает такое решение (ненулевое, если и только если удовлетворяет алгебраическому уравнению, из которого мы и можем найти собственные числа λ l Сами решения можно затем искать в виде сумм квазимногочле- нов с показателями λ l и с неопределенными коэффициентами. Пðèìåð Подставляем x = e λt ξ. Находим λ 4 e λt ξ = e λt ξ, λ 4 = 1, λ 1, 2, 3, 4 = 1, −1, i, Всякое решение нашего уравнения имеет вид = C 1 e t + C 2 e −t + C 3 cos t + П . ¨ x 1 = x 2 , Подставляем x = e λt ξ. Находим λ 2 ξ 1 = ξ 2 , λ 2 ξ 2 = ξ 1 . Эта система линейных уравнений относительно ξ 1 , ξ 2 имеет нетривиальное решение, если и только если. Всякое решение нашей системы имеет вид + C 4 sin t, x 2 = D 1 e t + D 2 e −t + D 3 cos t + Подстановка в систему дает D 1 = C 1 , D 2 = C 2 , D 3 = −C 3 , D 4 = −C 4 § . Случай кратных собственных чисел Пðèìåð . x − 2¨x+ x = Подставляем x = e λt ξ. Находим 2λ 2 + 1 = 0, λ 2 = 1, λ 1, 2, 3, 4 = 1, 1, −1, Всякое решение исходного уравнения имеет вид + C 2 ) e λt + ( C 3 t + З . Найти жорданову нормальную форму матрицы четвертого порядка, соответствующей нашему уравнению. Случай одного уравнения го порядка. Заметим, что кратности собственных чисел, вообще говоря, не определяют размеров жордановых клеток. Положение упрощается, если речь идет о линейном операторе A, соответствующем одному дифференциальному уравнению го порядка + a n x, a k ∈ Из следствия п. вытекает Сëåäñòâèå . Всякое решение уравнения () имеет вид) где λ 1 , …, λ k –– корни характеристического уравнения + а p l –– многочлен степени меньше где ν l –– кратность корня Действительно, уравнение () имеет решение вида e λt ( ξ), если и только если –– корень уравнения (). Следствие () доказано. Перейдем к эквивалентной системе уравнений первого порядка = Ax, A = 0 1 0 1 0 1 a n a 2 a 1 () Получаем Сëåäñòâèå . Если оператор A : C n → имеет матрицу вида, то каждому его собственному числу λ отвечает ровно одна жор- данова клетка, размер которой равен кратности Действительно, согласно формуле () каждому собственному числу отвечает одно собственное направление. В самом деле, пусть Глава . Линейные системы –– собственный вектор оператора A. Тогда среди решений вида (имеется первая компонента вектора e λt ξ. Но тогда остальные компоненты –– это производные. Поэтому число определяет направление вектора ξ однозначно. Поскольку каждой жордановой клетке соответствует свое собственное направление, следствие доказано. Зàäà÷à . Всякая ли линейная комбинация квазимногочленов () является решением уравнения ()? . О возвратных последовательностях. Наше исследование экспоненты с непрерывным показателем легко перенести на экспоненту с дискретным показателем A n . Мы можем, в частности, исследовать теперь любую возвратную (= рекуррентную) последовательность, определенную соотношением + например, последовательность 0, 1, 2, 5, 12, 29, …, заданную соотношением и начальным условием С. й член возвратной последовательности зависит от n как сумма квазимногочленов от где λ l –– собственные числа матрицы A, соответствующей последовательности, а p l –– многочлен степени меньше где ν l –– кратность Вспомним, что матрица A –– это матрица оператора A : R k → переводящего отрезок длины k из нашей последовательности, ξ n −1 = = ( x n −k , …, x n −1 ), в следующий отрезок длины, ξ n = ( x n −k+1 , …, x n ): Aξ n −1 = 0 1 0 1 Важно заметить, что оператор A не зависит от n. Поэтому есть одна из компонент вектора A n ξ, где ξ –– постоянный вектор. Матрица имеет вид (). Пользуясь следствием и приводя A к жордано- вой форме, получаем следствие . § . Случай кратных собственных чисел При вычислениях нет нужды ни выписывать матрицу, ни приводить ее к нормальной форме. Собственный вектор оператора A соответствует решению уравнения () вида x = λ n . Подставляя в уравнение, находим для уравнение + Легко убедиться, что это и есть характеристическое уравнение оператора П . Для последовательности 0, 1, 2, 5, 12, 29, … (находим + 1, λ 1, 2 = 1 ± p 2. Поэтому соотношению x n = 2 x n −1 + x n −2 удовлетворяют последовательности x n = (1 + p 2) n , x n = (1 − p 2) n , а также любые их линейные комбинации (и только они +Среди этих комбинаций легко подобрать такую, для которой x 0 = 0, x 1 = 1: c 1 + c 2 = 0, p 2( c 1 − c 2 ) = О + p 2) n − (1 З. При +∞ первое слагаемое экспоненциально растет, а второе экспоненциально убывает. Поэтому при больших n x n ≈ (1 +ив частности, x n+1 /x n ≈ 1 + p 2. Отсюда мы находим для p 2 очень хорошие приближения (x n+1 − x n ) /x n . Подставляя x n = 0, 1, 2, 5, 12, 29, …, находим Это те самые приближения, с помощью которых вычисляли p 2 в древности их можно получить также разложением p 2 в цепную дробь. Далее является наилучшим среди всех рациональных приближений к со знаменателями, не превосходящими. Малые колебания. Мы рассмотрели выше случай, когда каждому корню характеристического уравнения, какова бы ни была его кратность, соответствует один собственный вектор случай одного уравнения го порядка. Существует в некотором смысле противоположный случай, когда каждому корню соответствует столько собственных чисел, какова кратность корня. Это –– случай малых колебаний консервативной механической системы. Рассмотрим в евклидовом пространстве квадратичную форму, заданную симметрическим оператором A: U (x) = 1 2 ( Ax, x), x ∈ R n , A : R n → R n , A ′ = A. Глава . Линейные системы Рассмотрим дифференциальное уравнение = − grad U () (U –– потенциальная энергия). При исследовании уравнения () полезно представлять себе шарик, катающийся по графику потенциальной энергии (ср. § Уравнение () можно записать в виде ¨ x = −Ax или в координатной записи в виде системы n линейных уравнений второго порядка. По общему правилу ищем решение ϕ = e λt ξ и находим = −Ae λt ξ, ( A + λ 2 E)ξ = 0, det( A + λ 2 E) = Отсюда находим n вещественных (почему) значений и 2n значений Если все они различны, то всякое решение уравнения () есть линейная комбинация экспонент. Если же имеются кратные корни, возникает вопрос о жордановых клетках. Тåîðåìà. Если квадратичная форма U невырождена, то каждому собственному значению λ соответствует столько линейно независимых собственных векторов, какова его кратность, так что каждое решение уравнения () можно записать в виде суммы экспонент ∗∗) : ϕ(t) = 2 n P k=1 e λ k t ξ k , ξ k ∈ C n . Дîêàçàòåëüñòâî. Ортогональным преобразованием можно привести форму U к главным осям существует ортонормированный базис e 1 , …, e n , в котором U записывается в виде (x) = 1 2 n P k=1 a k x 2 k , x = x 1 e 1 + … + x n e n Невырожденность формы U означает, что ни одно из чисел неравно. В выбранных координатах уравнение () принимает вид ¨ x 1 = −a 1 x 1 , ¨ x 2 = −a 2 x 2 , …, ¨ x n = −a n x n ∗) Векторное поле grad U определяется условием «dU(ξ) = (grad U, ξ) для всякого вектора ξ ∈ TR n x ». Здесь круглые скобки означают евклидово скалярное произведение. В декартовых координатах (ортонормированных) векторное поле grad U задастся компонентами ∂U ∂x 1 , …, ∂U ∂x n ∗∗) Интересно отметить, что Лагранж, впервые исследовавший уравнение малых колебаний (), вначале ошибся. Он думал, что в случае кратных корней потребуются «вековые» слагаемые видав вещественном случае t sin ωt), как в пп. , , выше § . Случай кратных собственных чисел независимо оттого, есть ли кратные корни. Наша система распалась в прямое произведение n уравнений маятника. Каждое из них ( ¨ x = −ax) мгновенно решается. Если a > 0, то a = и = C 1 cos ωt + Если a < 0, то a и = C 1 ch αt + C 2 sh αt = Эти формулы содержат, в частности, утверждение теоремы. Если форма U положительно определенная, то все положительны и точка x совершает n независимых колебаний по n взаимно перпендикулярным направлениям e 1 , …, рис. ). Эти колебания называются главными или собственными, а числа ω k –– собственными частотами. Они удовлетворяют уравнению det(A − ω 2 E) = Рис. . Направления собственных колебаний и линии уровня потенциальной энергии Рис. . Одна из кривых Лиссажу с ω 2 = 2 ω 1 Траектория точки x = ϕ(t) в где ϕ –– решение уравнения (лежит в параллелепипеде ¶ X k , где X k –– амплитуда го собственного колебания. В частности при n = 2 –– в прямоугольнике. Если частоты ω 1 и ω 2 соизмеримы, то траектория –– замкнутая кривая. Она называется в этом случае кривой Лиссажу рис. Если же ω 1 и ω 2 несоизмеримы, то траектория заполняет прямоугольник всюду плотно. Это вытекает из теоремы § З . Нарисовать кривые Лиссажу для и ω 1 = 2, ω 2 = 3. Зàäà÷à . Доказать, что среди кривых Лиссажу сесть график многочлена степени n. Этот многочлен называется многочленом Чебышева) = cos(n arccos Заметим, что мы существенно используем ортонормированность базиса e k : если бы базис не был ортонормированным, то компоненты вектора grad 1 2 P небыли бы равны a k x k Глава . Линейные системы Зàäà÷à . Как выглядят траектории x = ϕ(t) в случае U = x 2 1 − x 2 З . При каких положение равновесия x = ˙ x = 0 уравнения (устойчиво а) по Ляпунову б) асимптотически . О квазимногочленах При решении линейных уравнений с постоянными коэффициентами нам все время встречались квазимногочлены. Мы выясним теперь причину этого явления и дадим ему некоторые новые приложения. Линейное пространство функций. Рассмотрим множество всех бесконечно дифференцируемых функций на вещественной оси R с комплексными значениями. Множество F имеет естественную структуру комплексного линейного пространства если и f 2 –– функции из F, то функция константы из C) также принадлежит F. Оïðåäåëåíèå. Функции f 1 , …, f n ∈ F называются линейно независимыми, если они линейно независимы как векторы линейного пространства F, те. если + c n f n ≡ 0) ⇒ (c 1 = … = где c 1 , …, c n ∈ З . При каких, β функции sin αt и sin β t линейно зависимы? Зàäà÷à . Доказать, что функции, линейно независимы, если все λ k попарно различны. Уêàçàíèå. Это вытекает из существования линейного уравнения n-го порядка с решениями e λ 1 t , …, см. п. Среди элементов пространства F имеются квазимногочлены с показателем и, более общим образом, конечные суммы квазимногочленов с разными показателями (t) = k P l=1 e λ l t ν l −1 P m=0 c lm t m , λ i 6= З . Докажите, что каждая функция вида () записывается в виде суммы () единственным образом. Иначе говоря: Если сумма () равна 0, то каждый коэффициент равен У. Одно из возможных решений см. в п. (следствие нас. О квазимногочленах . Линейное пространство решений линейного уравнения. Тåîðåìà. Множество X всех решений линейного уравнения + a n x = составляет в F линейное подпространство конечной размерности n. Дîêàçàòåëüñòâî. Рассмотрим оператор D : F → F, переводящий каждую функцию в ее производную. Оператор D линеен) Рассмотрим многочлен от оператора D: A = a(D) = D n + a 1 D n −1 + … + Оператор A есть линейный оператор A : F → F. Решения ∗) уравне- ния () –– это элементы ядра оператора A. Итак, X = Ker Но ядро Ker A линейного оператора является линейным пространством. Поэтому X –– линейное пространство. Покажем, что X изоморфно Пусть ∈ X. Сопоставим функции ϕ набор n чисел набор значений в точке t=0 функции ϕ и ее производных ϕ 0 = ( ϕ(0), (Dϕ)(0), … …, (D n −1 ϕ)(0)). Получаем отображение : X → C n , B(ϕ) = Это отображение линейно. Образ отображения B –– это все пространство. Ибо по теореме существования существует решение ∈ с любыми данными начальными условиями Ядро отображения B нулевое. Ибо по теореме единственности начальные условия ϕ 0 = 0 определяют решение ( ϕ ≡ 0) однозначно. Итак, B –– изоморфизм. Теорема доказана. Сëåäñòâèå. Пусть λ 1 , …, λ k –– корни характеристического уравнения a(λ) = 0 дифференциального уравнения () и ν 1 , …, ν k –– их кратности. Тогда каждое решение уравнения () единственным образом записывается в виде () и каждая сумма квазимногочленов вида () удовлетворяет уравнению (). Дîêàçàòåëüñòâî. Формула () задает отображение Φ: C n → сопоставляющее набору n коэффициентов функцию f . Это отоб- ∗) Мы заранее знаем, что все решения уравнения () бесконечно дифференцируемы, те. принадлежат F см. § , п. ). Глава . Линейные системы ражение линейно. Его образ содержит пространство X решений уравнения (). Ибо согласно § каждое решение уравнения (записывается в виде (). По теореме размерность пространства равна Линейное отображение пространства на пространство X такой же размерности есть изоморфизм. Поэтому Φ осуществляет изоморфизм и X . Это и есть утверждение следствия. Инвариантность относительно сдвигов. Тåîðåìà. Пространство X решений дифференциального уравнения () инвариантно относительно сдвигов, переводящих функцию) в ϕ(t + Действительно, сдвиг решения будет решением, как и для всякого автономного уравнения (ср. § Примеры подпространств пространства F, инвариантных относительно сдвигов: Пðèìåð . Одномерное пространство П . Пространство квазимногочленов { e λt p ( t)} размерности П . Плоскость { c 1 cos ωt + П . Пространство { p ( t) cos ωt + q sin ωt} размерности Можно показать, что всякое конечномерное подпространство пространства F, инвариантное относительно сдвигов, есть пространство решений некоторого дифференциального уравнения (Иными словами, такое подпространство всегда распадается впрямую сумму пространств квазимногочленов. Этими объясняется значение квазимногочленов для теории линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Если какое-либо уравнение инвариантно относительно какой-ли- бо группы преобразований, то при решении этого уравнения важную роль будут играть пространства функций, инвариантные относительно этой группы. Таким путем в математике возникают различные специальные функции. Например, с группой вращений сферы связаны сферические функции –– конечномерные пространства функций на сфере, инвариантные относительно вращений. Зàäà÷à *. Найти все конечномерные подпространства пространства гладких функций на окружности, инвариантные относительно вращений окружности. Историческое замечание. Теория линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами была создана Эйле- § . О квазимногочленах ром и Лагранжем до того, как была построена жорданова нормальная форма матриц. Рассуждали они следующим образом. Пусть два корня характеристического уравнения. Им соответствуют решения e λ 1 t , e λ 2 t , на которые в пространстве F натягивается двумерная плоскость { c 1 e λ 1 t + c 2 e λ 2 t } (рис. ). Пусть теперь уравнение меняется так, что λ 2 приближается к. Тогда приближается к и при λ 2 = λ 1 плоскость вырождается в прямую. Рис. . Предельное положение плоскости, натянутой на две экспоненты Рис. . Ядро и образ оператора Возникает вопрос не существует ли предельного положения плоскости, когда Вместо ив качестве базиса можно взять (при 6= и и e λ 2 t − e λ 1 t . Но e λ 2 t − e λ 1 t ≈ (λ 2 − λ 1 ) te λ 1 t . Базис нашей плоскости) при переходит в базис) предельной плоскости. Поэтому естественно ожидать, что решения предельного уравнения (с кратным корнем λ 2 = λ 1 ) будут лежать в предельной плоскости {c 1 e λ 1 t + c 2 te λ 1 t } . Когда формула написана, ее можно проверять подстановкой в уравнение. Таким же образом объясняется возникновение решений t k e λt (k < ν) в случае кратного корня. Приведенные рассуждения можно сделать вполне строгими (например, сославшись на теорему о дифференцируемой зависимости решений от параметра. Неоднородные уравнения. Пусть A : L 1 → L 2 –– линейный оператор. Решением неоднородного уравнения Ax = f с правой частью называется всякий прообраз x ∈ элемента f ∈ рис. Всякое решение неоднородного уравнения есть сумма частного решения и общего решения однородного уравнения Ax = 0: A −1 f = Неоднородное уравнение разрешимо, если f принадлежит линейному пространству Im A = A(L 1 ) ⊆ L 2 Глава . Линейные системы Рассмотрим, в частности, дифференциальное уравнение + a n x = f линейное неоднородное уравнение го порядка с постоянными коэф- фициентами). Тåîðåìà. Пусть правая часть f (t) уравнения () есть сумма ква- зимногочленов. Тогда всякое решение уравнения () является суммой квазимногочленов. Рассмотрим пространство всех квазимногочленов C m = { e λt p ( t)} степени меньше m с показателем λ. Линейный оператор D переводящий всякую функцию в ее производную) переводит в себя. Поэтому оператор = a(D) = D n + a 1 D n −1 + … + a n E : C m → также является линейным оператором изв себя. Мы можем теперь записать уравнение () в виде Ax = f . Для исследования его разрешимости нужно найти образ Im A = A(C m ) отображения A. Лåììà . Пусть λ –– не корень характеристического уравнения, т. е. a(λ) 6= 0. Тогда A: C m → C m –– изоморфизм. Дîêàçàòåëüñòâî. Матрица оператора D : в подходящем базисе –– жорданова клетка сна диагонали. В том же базисе оператор имеет треугольную матрицу сна диагонали. Итаки изоморфизм. Сëåäñòâèå. Если λ –– не корень характеристического уравнения, то уравнение () с правой частью в виде квазимногочлена степени меньше m с показателем λ имеет частное решение в виде квазимно- гочлена степени меньше m с показателем Л. Пусть λ –– корень характеристического уравнения кратности ν, те. Тогда Д = a(D) = (D − λE) ν b(D). Согласно лемме b(D) : C m →C m –– изоморфизм. Остается показать, что (D −λE) ν C m = = C m −ν . Но матрица оператора D − λE в базисе ¶ k < является нильпотентной жордановой клеткой, те. этот оператор действует на базис как сдвиг 0 7→ e 0 7→ e 1 7→ … 7→ e m −1 . Оператор действует как сдвиг намести отображает на C m −ν § . О квазимногочленах Сëåäñòâèå. Пусть λ –– корень кратности ν характеристического уравнения, a(λ) = 0. Пусть f ∈ C k –– квазимногочлен степени меньше k с показателем λ. Тогда уравнение () имеет решение ϕ ∈ в виде квазимногочлена с показателем λ степени меньше k + Для доказательства нужно положить m = k + ν в лемме Д Рассмотрим множество Σ всевозможных сумм квазимногочленов. Это –– линейное бесконечномерное подпространство пространства F. По предыдущему следствию образ A(Σ) оператора A = a(D) : Σ → Σ содержит все ква- зимногочлены. Будучи линейным пространством, A(Σ) совпадает с Σ. Поэтому уравнение () имеет частное решение, являющееся суммой квазимногочленов. Остается добавить общее решение однородного уравнения. Оно является суммой квазимногочленов согласно § Теорема доказана. Зàìå÷àíèå . Если f = e λt p ( t), то существует частное решение уравнения () вида Зàìå÷àíèå . Если уравнение () и вещественны, то решение можно искать в виде вещественного квазимногочлена. Если же = α ± iω, тов виде e αt ( p(t) cos ωt + q(t) sin ωt). При этом синус в решении может появиться даже ив том случае, когда в правой части был только косинус. Зàäà÷à . В каком виде можно записать частные решения следующих уравнений, ) ¨ x ± x = t 2 ; ), ) ¨ x ± x = e 2 t ; ), ) ¨ x ± x = te −t ; , ) ¨ x ± x = t 3 sin t; ), ) ¨ x ± x = te t cos t; ), ) ¨ x ± 2ix = t 2 e t sin t; ) x + 4 x = t 2 e t cos t? . Метод комплексных амплитуд. В случае комплексных корней обычно проще проводить вычисления следующим образом. Пусть уравнение () вещественно и функция f (t) представлена как вещественная часть комплексной функции, f (t) = Re F(t). Пусть комплексное решение уравнения a(D)Φ = F. Тогда, взяв вещественную часть, убеждаемся, что a(D)ϕ = f , где ϕ = Re Φ (поскольку = Re a). Глава . Линейные системы Итак, чтобы найти решения линейного неоднородного уравнения с правой частью f , достаточно рассмотреть f как вещественную часть комплексной функции F, решить уравнение с правой частью и взять вещественную часть решения. Пðèìåð . Пусть f (t) = cos ωt = Re e iωt . Степень квазимногочле- на F(t) = равна 0, поэтому решение Φ можно искать в виде, где C –– комплексная постоянная (которая и называется комплексной амплитудой, ν –– кратность корня iω. Окончательно) = Если C = re iθ , то) = rt ν cos( ωt + θ Таким образом, комплексная амплитуда C содержит информацию и об амплитуде (r), и о фазе (θ ) вещественного решения. Пðèìåð . Рассмотрим поведение маятника (рис. ) (или иной линейной колебательной системы, например груза на пружине или Рис. . Колебательная система под действием внешней силы f (t) = cos ν электрического колебательного контура) при воздействии внешней периодической силы + ω 2 x = f (t), f (t) = cos ν t = Re e iν Характеристическое уравнение имеет корни = Если 6= ω 2 , то частное решение следует искать в виде Φ = Ce iν Подставляя в уравнение, находим = 1 ω 2 − Найденную величину C можно записать в тригонометрическом виде Согласно формуле (), амплитуда r и фаза θ имеют указанные на рис. значения. Вещественная часть Φ равна r cos(ν t + θ ). Итак, ∗) Выбор θ = −π а не +π) при ν > ω оправдан примером ниже § . О квазимногочленах Рис. . Амплитуда и фаза маятника без трения как функция частоты внешней силы общее решение неоднородного уравнения имеет вид = r cos(ν t + θ ) + C 1 cos( ωt + где и произвольные постоянные. Следовательно, колебание маятника под воздействием внешней силы состоит из вынужденного колебания r cos(ν t + θ ) с частотой внешней силы и свободного колебания с собственной частотой Зависимость амплитуды r вынужденного колебания от частоты внешней силы имеет характерный резонансный вид чем ближе частота внешней силы к собственной частоте, тем сильнее она раскачивает систему. Это явление резонанса, наблюдаемого при совпадении частоты внешней силы с собственной частотой колебательной системы, имеет очень большое значение в приложениях. Например, при расчетах всякого рода сооружений приходится следить затем, чтобы собственные частоты сооружения небыли близки к частотам внешних сил, которые оно будет испытывать. В противном случае даже малая сила, действуя в течение длительного времени, сможет раскачать сооружение и разрушить его. Фаза вынужденных колебаний скачком изменяется на −π при переходе через резонансное значение ω. При ν, близких к ω, наблюдаются биения (рис. ): амплитуда колебаний маятника то растет (пока соотношение фаз маятника и внешней силы таково, Рис. . Сумма двух гармоник с близкими частотами (биения) и ее предел в случае резонанса (раскачка Глава . Линейные системы что внешняя сила раскачивает маятник, сообщая ему энергию, то убывает (когда соотношение фаз меняется так, что внешняя сила тормозит маятник). Чем ближе частоты и ω, тем медленнее меняется соотношение фаз и тем больше период биений. При → ω период биений стремится к бесконечности. При резонансе ( ν = ω) соотношение фаз постоянно и вынужденные колебания могут нарастать неограниченно (рис. Рис. . Собственные числа уравнения маятника с трением Действительно, по общему правилу причастное решение ищем в виде x = Re Подставляя в уравнение, находим C = откуда x = t 2 ω sin ωt рис. ). Вынужденные колебания неограниченно нарастают. Пðèìåð . Рассмотрим маятник с трением + k ˙ x + ω 2 x = f (t). Характеристическое уравнение имеет корни (рис. ) λ 1, 2 = −α ± iΩ, где α = k 2 , Ω = q ω 2 − k 2 4 . Предположим, что коэффициент трения k положителен и невелик (k 2 < 4ω 2 ). Рассмотрим гармоническую внешнюю силу f (t) = cos ν t = Re e iν Если коэффициент трения k отличен от 0, тоне может быть корнем характеристического уравнения (так как, имеют ненулевые вещественные части. Поэтому решение следует искать в виде = Re Ce iν t . Подставляя в уравнение, найдем = 1 ω 2 − Запишем C в тригонометрической форме C = re iθ . Графики зависимости амплитуды r и фазы θ вынужденного колебания от частоты внешней силы имеют, согласно (), вид, изображенный на рис. Рис. . Амплитуда и фаза вынужденного колебания маятника с трением как функции частоты внешней силы § . О квазимногочленах Рис. . Значения характеристического многочлена на мнимой оси Рис. . Зависимость комплексной амплитуды от частоты внешней силы Эти графики построены следующим образом. Рассмотрим знаменатель дробите. значение характеристического многочлена p на мнимой оси. Образ отображения 7→ p(iν) = ω 2 − называется кривой Михайлова. Из формулы) видно, что эта кривая (для нашего уравнения) является параболой. Она изображена на рис. . Если коэффициент трения k мал, парабола близка к дважды пройденному лучу вещественной оси. Теперь легко построить образ отображения) эта кривая называется амплитудно-фазовой характеристикой. Для ее построения достаточно проделать с кривой Михайлова инверсию и отражение в вещественной оси. Часть кривой Михайлова, близкая к 0, почти неотличима от пары отрезков прямых и соответствует окрестностям радиуса порядка k точек ω и −ω оси ν. При инверсии прямые переходят в окружности, поэтому амплитудно-фа- зовая характеристика содержит два участка, близких к большим окружностям (диаметра 1 /(kω)) (рис. На оси эти окружности отвечают малым (порядка k) окрестностям резонансных значений и −ω: вся остальная часть оси ν соответствует соединяющей окружности перемычке и концевым дугам. Изучив таким образом отображение 7→ C(ν), мы уже без труда исследуем зависимость от модуля и аргумента комплексной амплитуды их графики и приведены на рис. Общее решение неоднородного уравнения = r cos(ν t + θ ) + C 1 e −αt cos(Ω t + получается добавлением к частному решению общего решения однородного уравнения C 1 e −αt cos(Ω t + При t → +∞ это слагаемое стремится к 0, так что остается только одно вынужденное колебание x = r cos(ν t + θ ). Глава . Линейные системы Сравним поведение маятника при нулевом (рис. ) и при положительном (рис. ) значениях коэффициента трения. Мы видим, что влияние малого трения на резонанс приводит к тому, что амплитуда колебаний при резонансе растет не бесконечно, а до определенной конечной величины, обратно пропорциональной коэффициенту трения. Действительно, функция r(ν), выражающая зависимость амплитуды установившихся колебаний от частоты внешней силы, имеет вблизи = ω резко выраженный максимум (рис. ). Из формулы) видно, что высота этого максимума растет приуменьшении как С физической точки зрения конечность амплитуды установившихся вынужденных колебаний при ненулевом значении коэффициента трения легко предвидеть, подсчитав баланс энергии. При больших амплитудах потеря энергии на трение больше, чем энергия, сообщаемая маятнику внешней силой. Поэтому амплитуда будет уменьшаться, пока не установится режим, в котором потери энергии на трение уравновешиваются работой внешней силы. Величина амплитуды установившихся колебаний растет обратно пропорционально коэффициенту трения, когда он стремится к нулю. Сдвиг фазы всегда отрицателен вынужденное колебание отстает от вынуждающей силы. Зàäà÷à . Доказать, что всякое решение линейной неоднородной системы уравнений с постоянными коэффициентами и правой частью в виде суммы квазимногочленов с векторными коэффициентами является суммой квазимногочленов с векторными коэффициентами. Зàäà÷à . Доказать, что всякое решение линейного неоднородного возвратного уравнения с правой частью в виде суммы квазимногочленов x n + a 1 x n −1 + … + a k x n −k = f является суммой квазимногочленов. Найти формулу для общего члена последовательности. Применение к расчету слабо нелинейных колебаний. При исследовании зависимости решения уравнения от параметров приходится решать линейные неоднородные уравнения –– уравнения в вариациях (см. § ). В частности, если невозмущенная система линейна, то задача часто сводится к решению линейных уравнений § . О квазимногочленах с правой частью в виде суммы экспонент (или тригонометрических функций) или квазимногочленов. Зàäà÷à . Исследовать зависимость периода колебаний маятника, описываемого уравнением ¨ x = − sin x, от амплитуды A, считая последнюю ма- лой. Оòâåò. T = 2π(1 + A 2 /16 + Например, при угле отклонения период больше периода малых колебаний на 2 Р. Рассмотрим решение уравнения маятника с начальным условием как функцию от По теореме о дифференцируемой зависимости от начальных условий эта функция гладкая. Разложим ее вряд Тейлора по A вблизи A = 0: x = Ax 1 ( t) + A 2 x 2 ( t) + A 3 x 3 ( t) + Тогда = A ˙ x 1 + A 2 ˙ x 2 + A 3 ˙ x 3 + O(A 4 ), ¨ x = A ¨ x 1 + A 2 ¨ x 2 + A 3 ¨ x 3 + O(A 4 ), sin x = Ax 1 + A 2 x 2 + A 3 ( x 3 − x 3 1 /6) + Уравнение ¨ x = − sin x выполнено при любом A. Отсюда находим уравнения для x 1 , x 2 , x 3 : ¨ x 1 = −x 1 , ¨ x 2 = −x 2 , ¨ x 3 = −x 3 + x 3 Начальное условие x(0) = A, ˙ x(0) = 0 выполнено при любом A. Отсюда находим начальные условия для уравнений (): x 1 (0) = 1, x 2 (0) = x 3 (0) = ˙ x 1 (0) = ˙ x 2 (0) = ˙ x 3 (0) = Решая уравнения () при условиях (), находим x 1 = cos t, x 2 = 0, а для x 3 получаем уравнение) = ˙ x 3 (0) = Решая это уравнение (хотя бы методом комплексных амплитуд, находим t − cos 3t) + βt sin где = 1/192, β = Итак, влияние нелинейности (sin x 6= x) на колебания маятника сводится к добавлению слагаемого A 3 x 3 + O(A 4 ): x = A cos t + A 3 [ α(cos t − cos 3t) + βt sin t] + Здесь полезно вспомнить о дырявом ведре (см. предостережение в § , п. из появления векового слагаемого t sin t в формуле для нельзя делать никаких выводов о поведении маятника при t → ∞. Наше приближение справедливо лишь наконечном интервале времени при больших t слагаемое O(A 4 ) становится большим. И действительно, настоящее решение уравнения колебаний маятника остается ограниченным (величиной A) при всех t, как это видно из закона сохранения энергии Глава . Линейные системы Период колебаний T находится как точка максимума x(t), близкая к при малых A. Эта точка находится из условия ˙ x(T ) = 0, те Решим это уравнение приближенно при малых A. Положим T = 2π + Для u получим уравнение sin u = A 2 [2 πβ + O(u)] + По теореме о неявной функции u = 2πβ A 2 + O(A 3 ), те. Ввиду четности по A, o(A 2 ) З . Исследовать зависимость периода колебаний от амплитуды для уравнения + ω 2 x + О = 2 π ω 1 + 5 a 2 З . Получить те же результаты из явной формулы для периода , п. ). |