В. И. Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения. В. И. Арнольд Обыкновенные дифференциальные уравнения
 Скачать 4.58 Mb.
|
|
x ∈ R n , t ∈ соответствующее однородному уравнению Предположим, что мы умеем решать однородное уравнение () и x=ϕ(t) –– его решение. Выберем начальные условия c = ϕ(t 0 ) в качестве выпрямляющих интегральные кривые уравнения () координат (c, t) в расширенном фазовом пространстве (рис. ). В новых координатах уравнение () примет простейший вид (). Переход к выпрямляющим координатам осуществляется линейным по x преобразованием. Поэтому в новых координатах неоднородное уравнение () примет простейший видимы его сможем решить § . Вариация постоянных. Вычисления. Будем искать решение неоднородного уравнения) в виде) = g t c( t), c : I → где g t : R n → R n –– линейный оператор преобразования за время от до t для однородного уравнения (Дифференцируя по t, находим = ˙ g t c + g t ˙ c = Ag t c + g t ˙ c = Aϕ + Подставляя в уравнение (), находим g t ˙ c = h( t). Итак, доказана Тåîðåìà. Формула () дает решение уравнения (), если и только если c удовлетворяет уравнению ˙ c = f ( t), где f (t) = (Последнее уравнение имеет простейший вид (). Применяя формулу, получаем Сëåäñòâèå. Решение неоднородного уравнения () с начальным условием ϕ(t 0 ) = имеет вид) = g t c + t R t 0 ( g τ ) −1 h( τ) dτ Зàìå÷àíèå. В координатной форме доказанную теорему можно сформулировать так: Чтобы решить линейное неоднородное уравнение (), зная фундаментальную систему решений однородного уравнения (), достаточно подставить в неоднородное уравнение линейную комбинацию решений фундаментальной системы, считая коэффициенты неизвестными функциями времени. Для определения этих коэффициентов получится тогда простейшее уравнение З . Решить уравнение ¨ x + x = f Р. Составим однородную систему двух уравнений: ˙ x 1 = x 2 , ˙ x 2 = −x 1 Ее фундаментальная система решений известна, x 2 = −sin t); ( x 1 = sin t, По общему правилу ищем решение в виде) cos t + c 2 ( t) sin t, x 2 = −c 1 ( t) sin t + c 2 ( t) cos Для определения и получаем систему + ˙ c 2 sin t = 0, −˙c 1 sin t + ˙ c 2 cos t = f Следовательно f (t) sin t, ˙ c 2 = f (t) cos О (τ) sin τ dτ cos t+ ˙ x(0)+ t R 0 f (τ) cos τ dτ sin t. Глава Доказательства основных теорем В этой главе доказываются теоремы о существовании, единственности, непрерывности и дифференцируемости решений обыкновенных дифференциальных уравнений, а также теоремы о выпрямлении векторного поля и поля направлений. Доказательства содержат также способ приближенного построения решений . Сжатые отображения Рассмотренный ниже метод отыскания неподвижной точки отображения метрического пространства в себя применяется далее для построения решений дифференциальных уравнений. Определение. Пусть A : M → M –– отображение метрического пространства M с метрикой ρ) в себя. Отображение M называется Рис. . Неподвижная точка сжатого отображения сжатым, если существует такая постоянная, что, Ay) ¶ λρ(x, y) ∀x, y ∈ П . Пусть : R → R –– вещественная функция вещественного переменного (рис. ). Если производная A по модулю всюду меньше 1, то отображение A может и не быть сжатым. Но оно будет сжатым, если ¶ ¶ λ < П . Пусть : R n → R n –– линейный оператор. Если все собственные числа A лежат строго внутри единичного круга, тов существует такая евклидова метрика (функция Ляпунова, см. § ), что A –– сжатое отоб- ражение. Зàäà÷à . Какие из следующих отображении прямой (с обычной метрикой) в себя сжаты) y = sin x; ) y = p x 2 + 1; ) y = arctg З . Можно ли заменить знак ¶ в неравенстве () на § . Сжатые отображения. Теорема о сжатых отображениях. Точка x ∈ M называется неподвижной точкой отображения A : M → M, если Ax = Пусть A : M → M –– сжатое отображение полного метрического пространства M в себя. Тогда A имеет неподвижную точку, и при- Рис. . Последовательность образов точки x при повторении сжатого отображения Рис. . Оценка точности приближения к неподвижной точке том только одну. Для любой точки x из последовательность образов точки при применении A рис. ) x, Ax, A 2 x; A 3 x, сходится к неподвижной точке. Дîêàçàòåëüñòâî. Пусть ρ(x, Ax) = Тогда, A n+1 x) ¶ λ n d. Ряд ∞ P n=0 λ n сходится. Поэтому последовательность, является последовательностью Коши. Пространство полно. Поэтому существует предел X = Покажем, что X –– неподвижная точка. Заметим, что всякое сжатое отображение непрерывно (можно взять = Поэтому = A lim n →∞ A n x = lim n →∞ A n+1 x = X Покажем, что всякая неподвижная точка Y совпадает с X . Действительно 0. . Замечание. Точки x, Ax, A 2 x, … называются последовательными приближениями к X . Пусть x –– приближение к неподвижной точке X сжатого отображения A. Точность этого приближения легко оценить через расстояние d между точками x и Ax: ρ( X , Y ) ¶ d 1 − ибо d + λd + λ 2 d + … = d 1 − рис. ). Глава . Доказательства основных теорем . Доказательство теорем существования и непрерывной зависимости от начальных условий Здесь строится такое сжатое отображение полного метрического пространства, что его неподвижная точка определяет решение данного дифференциального уравнения. Последовательные приближения Пикара. Рассмотрим дифференциальное уравнение ˙ x = v( t, x), заданное векторным полем в некоторой области расширенного фазового пространства рис. Рис. . Интегральная кривая уравнения ˙ x = v( t, Рис. . Отображение Пикара Назовем отображением Пикара отображение A, переводящее функцию ϕ : t 7→ x в функцию Aϕ : t 7→ x, где) = x 0 + t R t 0 v( τ, ϕ(τ)) Геометрически переход от ϕ к Aϕ рис. ) означает построение по кривой (ϕ) новой кривой (Aϕ), касательная которой при каждом t параллельна данному полю направлений, ноне на самой кривой (Aϕ) –– тогда Aϕ было бы решением, –– а в соответствующей точке кривой (ϕ). Имеем –– решение с начальным условием) = x 0 ⇔ (ϕ = Вдохновляясь теоремой о сжатых отображениях, рассмотрим последовательность приближений Пикара ϕ, Aϕ, A 2 ϕ, … (начав, скажем, с ϕ = x 0 ). § . Доказательство теорем существования Пðèìåð . ˙ x = f ( t) (рис. ). (Aϕ)(t) = x 0 + t R t 0 f ( τ) dτ. В этом случае уже первый шаг приводит к точному решению. Рис. . Приближения Пикара для уравнения ˙ x = f Рис. . Приближения Пикара для уравнения ˙ x = П . ˙ x = x, t 0 = 0 (рис. ). Сходимость приближений в этом случае можно усмотреть непосредственно в точке t ϕ = 1, Aϕ = 1 + t R 0 dτ = 1 + t, A 2 ϕ = 1 + t R 0 (1 + τ) dτ = 1 + t + t 2 /2, A n ϕ = 1 + t + t 2 /2 + … + t n /n!, lim n →∞ A n ϕ = З. Таким образом, два определения экспоненты + t n n , 2) e t = 1 + t + t 2 соответствуют двум способам приближенного решения простейшего дифференциального уравнения ˙ x = x: способу ломаных Эйлера и последовательным приближениям Пикара. Исторически исходное определение экспоненты было просто) есть решение уравнения ˙ x = x с начальным условием x(0) З. Аналогично можно доказать сходимость приближений для уравнения ˙ x = kx. Причина сходимости последовательных приближений в общем случае заключается в том, что уравне- Глава . Доказательства основных теорем ние ˙ x = kx самое плохое последовательные приближения для любого уравнения сходятся не медленнее, чем для некоторого уравнения вида ˙ x = Для доказательства сходимости последовательных приближений мы построим полное метрическое пространство, в котором отображение Пикара сжато. Вначале напомню некоторые факты из курса анализа. Предварительные оценки) Норма. Будем обозначать норму вектора x евклидова пространства через kxk = |x| = p (x, x). Пространство с метрикой, y) = |x − y| –– полное метрическое пространство. Отметим два важных неравенства неравенство треугольника + y| ¶ |x| + и неравенство Шварца |(x, y)| ¶ |x||y|. ) Векторный интеграл. Пусть f : [a, b] → R n –– вектор-функция со значениями в R n , непрерывная на [a, b]. Вектор-интеграл I = b R a f ( t) dt ∈ определяется обычным образом (с помощью интегральных сумм). Лåììà. b R a f ( t) dt ¶ b R a | f (t)| dt () Дîêàçàòåëüñòâî. Сравним интегральные суммы с помощью неравенства треугольника f(t i )∆ i ¶ P | f(t i ) ||∆ i |, что и требовалось доказать) Норма оператора. Пусть A : R m → R n –– линейный оператор из одного евклидова пространства в другое. Мы будем обозначать его ∗) Напомним доказательство этих неравенств. Проведем через векторы x и y евклидова пространства двумерную плоскость. Эта плоскость наследует из евклидову структуру. На евклидовой плоскости оба неравенства известны из элементарной геометрии. Тем самым эти неравенства доказаны ив любом евклидовом пространстве, например в R n . В частности, мы доказали без всяких вычислений, что dt 2 ¶ b R a f 2 dt b R a g 2 dt. § . Доказательство теорем существования норму через kAk = sup x ∈R n \0 |Ax| |x| . Тогда kA + Bk ¶ kAk + kBk, kABk ¶ kAk Множество линейных операторов изв становится полным метрическим пространством, если положить, B) = kA − Bk. . Условие Липшица. Пусть A : M 1 → M 2 –– отображение метрического пространства с метрикой) в метрическое пространство с метрикой) и L –– положительное вещественное число. Оïðåäåëåíèå. Отображение A удовлетворяет условию Липши- ца с постоянной L пишется A ∈ Lip L), если оно увеличивает расстояние между любыми двумя точками не более чем в L раз (рис. ): ρ 2 ( Ax, Ay) ¶ Lρ 1 ( x, y) ∀x, y ∈ Отображение A удовлетворяет условию Липшица, если существует такая постоянная L, что A ∈ Lip Рис. . Условие Липшица ρ 2 ¶ Lρ 1 Рис. . Производная отображения З . Удовлетворяют ли условию Липшица следующие отображения (метрика везде евклидова) y = x 2 , x ∈ R; ) y = p x, x > 0; ) y = p x 2 1 + x 2 2 , (x 1 , x 2 ) ∈ R 2 ; ) y = p x 2 1 − x 2 2 , x 2 1 ¾ x 2 2 ; ) y = ¨ x ln x, 0 < x ¶ 1, 0, x = 0; ) y = x 2 , x ∈ C, |x| ¶ З . Докажите, что сжатость ⇒ условие Липшица ⇒ непрерывность. Дифференцируемость и условие Липшица. Пусть f : U → → R n –– гладкое (класса C r , r ¾ 1) отображение области U евклидова пространства в евклидово пространство рис. ). Касательное пространство к евклидову пространству в каждой точке само имеет естественную евклидову структуру. Поэтому производная f Глава . Доказательства основных теорем Рис. . Из непрерывной дифферен- цируемости вытекает выполнение условия Липшица в точке x ∈ U ⊂ R m f ∗x : T x R m → T f есть линейный оператор из одного евклидова пространства в другое. Очевидна Тåîðåìà. Непрерывно диффе- ренцируемое отображение f на всяком выпуклом компактном подмножестве V области U удовлетворяет условию Липшица с постоянной L, равной верхней грани производной f на V: L = sup x ∈V | f ∗x |. Дîêàçàòåëüñòâî. Соединим точки x, y ∈ V отрезком (рис. ), z( t) = x + t(y − x), 0 ¶ t ¶ 1. По формуле Ньютона––Лейбница f (y) − f(x) = 1 R 0 d dt ( f (z( τ))) dτ = 1 R 0 f ∗z(τ) ˙ z( τ) Из формул (), () пи из того, что ˙ z = y − x, имеем) dτ ¶ 1 R 0 L |y − x| dτ = L|y − что и требовалось доказать. Зàìå÷àíèå. Верхняя грань нормы производной k f ∗ k на V достигается. Действительно, по предположению f ∈ C 1 , и, значит, производная непрерывна. Следовательно f ∗ k достигает на компакте максимума Приступая к доказательству сходимости пикаровских приближений, мы рассмотрим их в малой окрестности одной точки. Для описания этой окрестности мы используем следующие четыре числа. Величины C , L , a ′ , b ′ . Пусть правая часть v дифференциального уравнения = v( t, определена и дифференцируема (класса C r , r ¾ 1) в области U расширенного фазового пространства U ⊂ R 1 × R n . Мы фиксируем евклидову структуру в и тем самым в T x R n § . Доказательство теорем существования Рассмотрим любую точку (t 0 , x 0 ) ∈ U рис. ). Цилиндр Ц = {t, x : |t − t 0 | ¶ a, |x − x 0 | ¶ при достаточно малых a и b лежит в области U . Обозначим ∗) через C и L верхние грани величин и |v ∗ | на этом цилиндре. Они достигаются, так как цилиндр компактен ¶ C, |v ∗ | ¶ Рис. . Цилиндр Ц и конус Рис. . Определение h(t, Рассмотрим конус с вершиной (t 0 , x 0 ), раствором и высотой Если число достаточно мало, то этот конус лежит внутри цилиндра Ц. Если числа a ′ , b ′ > 0 достаточно малы, то внутри Ц лежит также всякий конус K x , полученный из параллельным перенесением вершины в точку (t 0 , x), где − x 0 | ¶ Мы будем считать, что и выбраны столь малыми, что K x ⊂ Ц. Решение |