В. И. Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения. В. И. Арнольд Обыкновенные дифференциальные уравнения
 Скачать 4.58 Mb.
|
|
v –– векторное поле фазовой скорости однопараметриче- ской группы {g t } , а w –– группы {h t } , в которую ее переводит диф- феоморфизм f . Очевидна Тåîðåìà. Диффеоморфизм f переводит поле v в поле w; обратно, если диффеоморфизм переводит v в w, то он переводит в З . Переводятся ли друг в друга диффеоморфизмами векторные поляна прямой, задающие следующие пять дифференциальных уравнений = sin x, 2 sin x, sin 2 x, sin 2x, 2 sin x + О. Второе переводится в четвертое ив пятое . Симметрии Здесь решаются однородные и квазиоднородные дифференциальные уравнения. Их решение основано на использовании однопа- раметрических групп симметрий векторных полей и полей направлений, которые мы прежде всего и изучим. Рис. . Эйлерово поле. Группы симметрий. Оïðåäåëåíèå. Диффеоморфизм g : M → называется симметрией векторного поля v в если он переводит поле в себя g ∗ v = v. Говорят также, что поле v инвариантно относительно симметрии П. Поворот плоскости вокруг нуля является симметрией эйлерова поля вектор которого в точке x есть) = x, рис. Фазовые кривые поля переходят под действием симметрии поля друг в друга. Зàäà÷à . Пусть диффеоморфизм переводит фазовые кривые векторного поля друг в друга. Является ли он симметрией поля? Оòâåò. Не обязательно. Оïðåäåëåíèå. Диффеоморфизм g : M → M называется симметрией поля направлений в M, если он переводит это поле направле- § . Симметрии ний в себя поле тогда называется инвариантным относительно симметрии. Интегральные кривые поля переходят под действием симметрии друг в друга. Пðèìåð. Поле направлений уравнения ˙ x = v(t) в расширенном фазовом пространстве инвариантно относительно сдвигов вдоль оси x рис. нас, а уравнения ˙ x = v(x) –– вдоль оси t рис. нас. З . Пусть диффеоморфизм переводит интегральные кривые поля направлений друг в друга. Является ли он симметрией поля направлений О. Да. Поле называется инвариантным относительно группы диффео- морфизмов, если оно инвариантно относительно каждого преобразования группы. В таком случае говорят, что поле допускает данную группу симметрий. Пðèìåð. Эйлерово полена плоскости допускает, среди других, следующие четыре группы симметрий однопараметрическая группа растяжений (x 7→ e t x), однопараметрическая группа вращений на угол t, однопараметрическая группа гиперболических поворотов, группа всех линейных преобразований плоскости, GL(2, Все симметрии данного поля образуют группу (докажите!). Зàäà÷à . Найти группу всех симметрий эйлерова поляна плоскости. Оòâåò. GL(2, R). . Применение однопараметрической группы симметрий для интегрирования уравнения. Тåîðåìà. Пусть известна однопараметрическая группа симметрий поля направлений на плоскости. Тогда можно явно проинтегрировать уравнение, заданное этим полем направлений, в окрестности каждой нестационарной точки группы симметрий. Точка называется нестационарной для группы преобразований, если не все преобразования группы оставляют ее на месте. Если группа состоит из сдвигов вдоль прямой, то уравнение ста- кой группой симметрий решено в § , с. (формула Барроу). Мы покажем, что общий случай сводится к этому подходящим диффео- морфизмом (те. разумным выбором локальных координат на плос- кости). Лåììà. В окрестности любой нестационарной точки действия однопараметрической группы диффеоморфизмов на плоскости мож- Глава . Основные понятия но выбрать координаты (u, v) так, что данная однопараметриче- ская группа диффеоморфизмов запишется в виде группы сдвигов, v) = (u + s, при достаточно малых, |v|, Эта формула означает, что координата v нумерует орбиты данной группы, а координата u на каждой орбите есть просто время движения (отсчитываемое от некоторой линии на плоскости). Дîêàçàòåëüñòâî. Проведем через данную точку линию Γ, пересекающую трансверсально (под ненулевым углом) проходящую Рис. . Выпрямление од- нопараметрической группы диффеоморфизмов через нее фазовую кривую {g s O} (рис. Пусть v –– координата точки γ(v) на этой линии, отсчитываемая от точки O. Рассмотрим отображение Φ плоскости (u, v) на нашу плоскость, переводящее точку с координатами) в g u γ(v). Это отображение диффеоморфизм окрестности точки, 0) на окрестность точки. Поэтому, v) –– локальные координаты. В координатах) действие принимает нужный вид, поскольку Теорема следует из леммы, так как в системе координат (u, наклон данного поля направлений не зависит от З. Приведенное доказательство дает также метод явного интегрирования уравнения в координатах леммы оно принимает вид dv/du = w(v) (линию Γ нужно взять не касательной направлению данного поля в O). Практически не всегда удобно пользоваться именно этими координатами. Достаточно, чтобы линии v = const были орбитами данной однопараметрической группы диффеомор- физмов; в качестве другой координаты вместо u можно взять любую функцию от u, скажем z. Важно лишь, чтобы преобразования переводили линии z = const друг в друга. В системе координат (z, исходное поле направлений определит уравнение с разделяющимися переменными dv/dz = w(v) f (z), где f (z) = З . Пусть известна однопараметрическая группа симметрий поля направлений в мерной области. Свести задачу интегрирования соответствующего дифференциального уравнения к нахождению интегральных кривых поля направлений в области размерности n − У. Пространство орбит группы симметрий имеет размерность 1. § . Симметрии. Однородные уравнения. Оïðåäåëåíèå. Уравнение называется однородным, если его поле направлений на плоскости однородно, те. инвариантно относительно однопараметрической группы растяжений, g s ( x, y) = e s ( x, рис. Область определения такого поляне обязательно вся плоскость достаточно, чтобы это поле было задано в какой-либо области, инвариантной относительно растяжений (например, в угле). Рис. . Поле направлений однородного уравнения Рис. . Координаты для решения однородного уравнения Рис. . Интегральные кривые однородного уравнения Зàäà÷à . Какие из уравнений = y/x, x/ y, ln x − ln y (x > 0, y > 0) однородны? Оòâåò. Все три. Тåîðåìà. Однородное уравнение dy/dx = F(x, y) приводится к уравнению с разделяющимися переменными подстановкой y = те. переходом к координатам (x, v)) в области x > Д. Орбиты группы растяжений –– это лучи проходящих через 0 прямых (рис. ). В качестве линии Γ возьмем прямую с обычным параметром y на ней. Указанные в лемме координаты и v –– это u = ln x и v = По замечанию п. в координатах (x, v) переменные разделя- ются. Зàäà÷à . Решить уравнение = y/x + y 2 /x 2 , x > Р = v dx + x dv, dy/dx = v + x dv/dx, x dv/dx = v 2 , −1/v =ln x + + C, y = −x/(ln x + Если K –– интегральная кривая однородного уравнения, то гомо- тетичная ей кривая e s K тоже интегральная (рис. ). Таким обра- Глава . Основные понятия зом, для исследования всех интегральных кривых однородного уравнения достаточно нарисовать одну кривую в каждом секторе плос- кости. Зàäà÷à . Нарисовать интегральные кривые уравнения = 2 y/x О. См. рис. О. Функция называется однородной степени r, если она удовлетворяет тождественному соотношению (e s x) ≡ e rs f Иными словами, однородная функция степени r –– это общий собственный вектор всех линейных операторов (e s ) ∗ , с собственными числами Оператор действие диффеоморфизма g на функции) определен в § , с. П. Нарисуем на плоскости, q прямую p + q = r. Многочлен однородный степени r, если и только если показатели всех входящих в него с ненулевыми коэффициентами одночленов лежат на этой прямой (называемой диаграммой Ньютона). Тåîðåìà (Эéëåðà). Чтобы функция f была однородной степени r, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла соотношению Эйлера x i ∂ f /∂x i = rf Соотношение Эйлера означает, что f –– собственный вектор оператора дифференцирования вдоль изображенного на рис. эйлеро- ва поля (поля фазовой скорости группы растяжений, e s ) с собственным числом Д. Соотношение Эйлера получается дифференцированием определения () однородной функции по s при s = Соотношение () получается из соотношения Эйлера интегрированием дифференциального уравнения с разделяющимися переменными, задаваемого соотношением Эйлера на каждой орбите группы растяжений df /dx = rf Для того чтобы поле направлений уравнения dy/dx = F(x, y) было однородным, необходимо и достаточно, чтобы правая часть была однородной функцией степени 0. Например, годится отношение любых двух однородных многочленов одинаковой степени. Зàìå÷àíèå. Переход от координат ( x, y) к координатам (x, v = в области x 6= 0 и к координатам (u = x/ y, y) в области y 6= 0 называется сигма-процессом или раздутием точки 0. § . Симметрии Эта конструкция имеет простой геометрический смысл она означает переход от плоскости к поверхности, получающейся из нее выкидыванием начала координат и вклеиванием вместо него целой проективной прямой. Вот как это делается. Рассмотрим отображение (расслоение (R 2 \ 0) → → RP 1 , определяющее проективную прямую ∗) Отображение α сопоставляет точке плоскости прямую, соединяющую ее с нулем. График отображения рис. ) представляет собой поверхность Рис. . Сигма-процесс в пространстве (R 2 \ 0) × RP 1 . Вложение 0 в вкладывает этот график в произведение RP 1 (диффеоморфное внутренности баранки). Зàäà÷à . Доказать, что замыкание графика в M представляет собой гладкую по- верхность. Уêàçàíèå. Уравнения = vx, x = определяют гладкие поверхности. Эта поверхность Σ (замыкание графика) состоит из самого графика и линии RP 1 (диффеоморфной окружности. Проектирование M на первый сомножитель, определяет гладкое отображение поверхности Σ на плоскость. Это отображение называется сдуванием. Оно переводит всю окружность в точку 0 и диффеоморфно отображает остальную часть те. график) на плоскость без точки. Зàäà÷à . Доказать, что поверхность Σ диффеоморфна листу Мёбиуса. Всевозможные геометрические объекты, имеющие особенность в точке, можно поднять с плоскости без точки на Σ, пользуясь указанным выше диффеоморфизмом. При этом оказывается, что при переходе наверх (на особенности упрощаются. Повторяя процедуру раздутия, можно, как говорят, разрешать особенности. Например, можно превратить любую алгебраическую кривую с осо- Рис. . Разрешение особенности бенностью в точке 0 в кривую, не имеющую особенностей, кроме точек обычного самопересечения. Зàäà÷à . Разрешить особенность полукубической параболы О. См. рис. При исследовании векторных полей и полей направлений также полезно раздутие с центром в особой точке. ∗) Проективной прямой называется множество всех проходящих через 0 прямых на плоскости. Вообще, проективное пространство есть множество прямых, проходящих через 0 в R m Глава . Основные понятия Выше мы видели, что в случае однородного поля направлений первое же раздутие приводит к уравнению с разделяющимися переменными. Зàäà÷à . Докажите, что гладкое векторное полена плоскости, равное вначале координат, поднимается на поверхность Σ в виде поля, гладко продолжающегося на вклеиваемую при сигма-процессе окружность. Квазиоднородные уравнения. Зафиксируем на плоскости систему линейных координат (x, y) и зафиксируем два вещественных числа и β. Оïðåäåëåíèå. Группой квазиоднородных растяжений плоскости называется однопараметрическая группа линейных преобразований Числа и β называются весами переменных x и y. (Наряду с «квази- однородный употребляются термины взвешенно-однородный, обоб- щенно-однородный.) Обозначение α = deg x, β = deg Если = β = 1, то {g s } –– обычная группа растяжений. Оïðåäåëåíèå. Уравнение называется квазиоднородным с весами α, β ), если задающее его поле направлений на плоскости инвариантно относительно группы квазиоднородных растяжений. Зàäà÷à . Подобрать веса так, чтобы поле направлений уравнения = −x/ было квазиоднородным. Оòâåò. α = 2, β = 1. Тåîðåìà. Квазиоднородное уравнение dy/dx = F(x, y) с весами = α, deg y = β приводится к уравнению с разделяющимися переменными переходом к координатам (x, в области x > Д. Орбитами группы квазиоднородных растяжений являются половины парабол рис. ). Выберем в качестве линии Γ (п. ) прямую x = 1 с параметром y на ней. Квазиод- нородные растяжения переводят параллельные Γ прямые в параллельные. Поэтому теорема вытекает из леммы пи замечания к ней. Выясним теперь, как узнать по правой части уравнения, квази- однородно ли оно. Оïðåäåëåíèå. Функция называется квазиоднородной степени r), если она удовлетворяет тождеству f (e αs x, e β s y) ≡ e rs f (x, Иными словами, f –– общий собственный вектор операторов ( g s ) ∗ (где g s –– квазиоднородное растяжение) с собственными числами. Симметрии Пðèìåð. Многочлен квазиоднороден степени привесах если и только если показатели входящих в него мономов x p y q лежат Рис. . Диаграмма Ньютона квазиоднородной функции на диаграмме Ньютона + β q = r рис. ). Квазиоднородная степень квазиоднород- ного многочлена называется также весом. Например, вес x равен α, вес y равен β , вес равен 2 α + 3β и т. д. Приписывание весов называется также градуированием. Зàäà÷à . Подобрать веса переменных так, чтобы многочлен x 2 y + был квазиоднородным степени О. deg y = 1/4, deg x = З . Докажите, что функция переменных x i весов α i квазиодно- родна степени r, если и только если она удовлетворяет соотношению Эйлера З. Векторное поле α i x i ∂ f называется квазиоднородным эйлеровым полем это –– поле фазовой скорости группы квазиоднородных растяжений. Соотношение Эйлера означает, что f –– собственный вектор оператора дифференцирования вдоль эйлерова поля, с собственным числом r. Тåîðåìà. Для того чтобы поле направлений уравнения dy/dx = = F(x, y) было квазиоднородным, необходимо и достаточно, чтобы правая часть была квазиоднородной и ее квазиоднородная степень была равна разности степеней y и x: deg F = deg y − deg x = β − Д. Под действием квазиоднородных растяжений g s величина y и, следовательно, dy увеличивается враз, а x (и, следовательно, dx) –– враз. Чтобы поле направлений перешло при таком растяжении в себя, нужно, чтобы значение F в новой точке было во столько же раз больше, чем в старой, во сколько раз увеличивается отношение dy/dx или y/x), те. враз, что и требовалось. Зàìå÷àíèå. Таким образом, при вычислении весов можно обращаться с dy/dx, как с дробью, считая d множителем веса нуль. Тогда вес dx есть α, вес dy есть β , вес dy/dx есть β − Условие квазиоднородности уравнения состоит в том, что веса левой и правой частей одинаковы Глава . Основные понятия Зàäà÷à . Подобрать веса переменных так, чтобы дифференциальное уравнение фазовых кривых уравнения Ньютона ¨ x = было квазиоднородным. Рåøåíèå. Уравнение фазовых кривых = Cx k / y. Следовательно = (k + 1)α. . Соображения подобия и размерностей. Квазиоднородные уравнения с фазовыми пространствами любой размерности определяются аналогично тому, как это сделано выше для двумерного случая. Квазиоднородные векторные поля определяются условием deg ∂/∂x i = − deg x i . Например, эйлерово поле имеет степень З . Доказать, что если –– квазиоднородная функция степени а v –– квазиоднородное поле степени s, то производная f вдоль v –– квазиод- нородная функция степени r + З . Пусть ˙ x = P, ˙ y = Q, где P и Q –– однородные многочлены степени. Докажите, что если какая-либо из фазовых кривых замкнута и проходится за время T, то при растяжении враз из нее получится замкнутая фазовая кривая с периодом обращения З . Пусть ˙ x = v(x), где v –– квазиоднородное поле степени r. Докажите, что если T –– период обращения по замкнутой кривой γ и g s –– квази- однородное растяжение, то g s γ –– тоже замкнутая фазовая кривая и период обращения –– З . Как зависит от амплитуды период колебаний мягкого маятника, ˙ x = y, ˙ y О. Обратно пропорционален амплитуде. При применении соображений подобия часто встречаются не только первые, но и вторые производные. Посмотрим, как они ведут себя при квазиоднородных растяжениях. Очевидна Тåîðåìà. При квазиоднородном растяжении (x, y) 7→(e αs x, e β график функции y = ϕ(x) преобразуется в график функции y = для которой d k Φ dx k ( в новой точке) = e ( β в старой точке). Иными словами, преобразуется как чем и объясняется удобство обозначения Лейбница. Следовательно, чтобы узнать, квазиоднородно ли уравнение, включающее высшие производные, достаточно приписать букве d вес нуль и потребовать одинаковости весов левой и правой частей. Зàäà÷à . Докажите, что если частица в силовом поле с однородной степени m силой проходит траекторию γ за время T, то та же частица пройдет гомотетичную траекторию за время T ′ = λ (1 −m)/2 T . § . Симметрии Рåøåíèå. Уравнение Ньютона, в котором F однородна степени m, переходит в себя при подходящих квазиоднородных растяжениях нужно взять веса для x) и β для t) так, чтобы α − 2β = mα. Берем = 2, β = 1 − m. Растяжению x ′ = λx соответствует T ′ = λ (1 −m)/2 T З . Докажите, что квадраты времени прохождения подобных траекторий в поле тяготения относятся как кубы линейных размеров ∗) Рåøåíèå. Из предыдущей задачи при = −2 (закон всемирного тяготения) получаем T ′ = λ 3 /2 T З . Выясните, как зависит от амплитуды период колебаний в случае возвращающей силы, пропорциональной отклонению (линейный осциллятор) и кубу отклонения (мягкая сила). Оòâåò. Для линейного маятника период не зависит от амплитуды, а для мягкого обратно пропорционален ей. Зàäà÷à . Уравнение теплопроводности имеет вид –– время расстояние, u –– температура. Известно, что вследствие годовых колебаний температуры земля в некоторой местности промерзает на метр. На какую глубину она промерзала бы вследствие суточных колебаний температуры такой же амплитуды? Рåøåíèå. Уравнение переходит в себя при квазиоднородных растяжениях. Следовательно, уменьшение периода враз влечет уменьшение глубины промерзания в p 365 раз. Оòâåò. На глубину 5 см. Использование соображений подобия восходит к Галилею, который объяснял ими ограничение роста земных животных. Вес растет пропорционально кубу линейного размера, а прочность костей квадрату. Для водных животных этого ограничения нет, и киты достигают гораздо больших размеров, чем, скажем, слоны. Многочисленные применения этих соображений в разных областях естествознания носят названия теория подобия, теория размерностей, скей- линг, автомодельность и др. Методы интегрирования дифференциальных уравнений. Есть еще несколько приемов, иногда позволяющих явно решить дифференциальное уравнение. Например, рассмотрим уравнение, y) Q(x, Это частный случай го закона Кеплера, в котором подобие траекторий не предполагается. Закон всемирного тяготения был найден из двух предыдущих задач, закон Кеплера был известен раньше Глава . Основные понятия Перепишем его в виде dy − P dx = форма равна 0 на векторах, касающихся интегральных кривых). Если форма является полным дифференциалом функции dy − P dx = то вдоль каждой интегральной кривой функция F постоянна. Зная линии уровня функции F, можно найти интегральные кривые. Достаточно даже, чтобы форма Q dy − P dx становилась полным дифференциалом после умножения на подходящую функцию (ведь одновременное умножение P и Q на одну и туже функцию не меняет исходного уравнения. Такая функция называется интегрирующим множителем. Интегрирующий множитель всегда существует (в окрестности точки, где Q отлично от нуля, но найти его не легче, чем решить исходное уравнение. Основной метод решения и изучения дифференциальных уравнений подбор диффеоморфизмов (замен переменных, приводящих к простейшему виду соответствующее поле направлений, векторное поле или фазовый поток. Например, для однородных и квазиодно- родных уравнений такие замены переменных указаны выше. Существует ряд приемов отыскания замен переменных для интегрирования дифференциальных уравнений специального вида. Списки таких уравнений и приемов имеются в задачниках (см, например, Сборник задач по дифференциальным уравнениям А. Ф. Филиппова, § , , , , , ) ив справочниках (см, например, книгу Э. Камке Справочник по дифференциальным уравнениям, содержащую около 1600 уравнений. Каждый может расширить эти списки следующим образом взять любое уже решенное уравнение и сделать в нем любую замену переменных. Мастера интегрирования дифференциальных уравнений (например, Якоби) достигали этим способом значительных успехов в решении конкретных прикладных задач. В последнее десятилетие мы являемся свидетелями неожиданного возрождения интереса к некоторым специальным точно интегрируемым уравнениям, которые оказались связанными с тонкими вопросами алгебраической геометрии с одной стороны и физики частицеобразных решений уравнений в частных производных (солитонов, инстантонов и т. пс другой. Однако все эти методы интегрирования имеют два принципиальных недостатка. Во-первых, уже такое простое уравнение, как § . Симметрии = x 2 − t, не решается в квадратурах, те. решение не выражается в виде конечной комбинации элементарных и алгебраических функций и интегралов от них. Во-вторых, громоздкая формула, дающая решение в явном виде, часто менее полезна, чем простая приближенная формула. Например, уравнение x 3 − 3x = 2a можно явно решить по формуле Кардано x = 3 Æ a + p a 2 − 1 + 3 Æ a − p a 2 − Однако если мы хотим решить уравнение при a = 0,01, то полезнее заметить, что оно имеет при малых a корень x ≈ −(2/3)a –– обстоятельство вовсе не очевидное сточки зрения формулы Кардано. Точно также уравнение маятника ¨ x + sin x = 0 решается в явном виде при помощи интегралов (эллиптических. Однако большинство вопросов о поведении маятника проще решить, исходя из приближенного уравнения малых колебаний ( ¨ x + x = 0) и из качественных соображений, не использующих явную формулу (см. § Точно решаемые уравнения бывают полезны в качестве примеров, так как на них можно иногда заметить явления, которые имеют место ив более сложных случаях. Например, исследование точного решения уравнения ˙ x = kx позволяет доказать теорему единственности для самого общего уравнения с гладкой правой частью (см. § п. ). Другие примеры доставляют так называемые автомодельные решения уравнений математической физики. Зàäà÷à . Найти решения уравнения Лапласа ∗∗) в ив, зависящие только от расстояния точки до начала координат. Оòâåò. C ln 1/r + const, C/r + const (ньютоновские потенциалы строго говоря, ∆(ln 1 /r) = −2πδ в R 2 , ∆(1 /r) = −4πδ в R 3 (почему?)). Всякий раз, когда найдена точно решаемая задача, открывается возможность приближенно исследовать близкие задачи методами теории возмущений. ∗) Доказательство этой теоремы Лиувилля близко к доказательству неразрешимости уравнений степени 5 в радикалах (Руффини––Абель––Галуа): оно выводится из неразрешимости некоторой группы. В отличие от обычной теории Галуа, речь идет здесь не оконечной группе, а о неразрешимой группе Ли. Наука, занимающаяся этими вопросами, называется дифференциальной алгеброй. ∗∗) Оператором Лапласа в евклидовом пространстве называется оператор = div grad = P ∂ 2 /∂x 2 i (x i –– декартовы координаты. Уравнение Лапласа имеет вид = 0. Решения этого уравнения называются гармоническими функциями. Например, установившееся распределение температуры задается гармонической функцией. Оператор Лапласа измеряет отличие среднего значения функции в малом шаре от ее значения в центре шара. Среднее гармонической функции по любому шару точно равно ее значению в центре шара (докажите Глава . Основные понятия Однако опасно распространять результаты, полученные при изучении точно решаемой задачи, на близкие задачи общего вида: нередко точно интегрируемое уравнение потому и интегрируется, что его решения ведут себя проще, чему близких неинтегрируемых задач. Например, уравнение фазовых кривых модели Лотки––Воль- терра удается проинтегрировать (п. § ) лишь благодаря тому, что все эти кривые замкнуты (в то время как у большинства близких неинтегрируемых моделей большинство фазовых кривых –– незамкнутые спирали Глава Основные теоремы В этой главе формулируются теоремы о существовании и единственности решений и первых интегралов, о зависимости решений от начальных данных и от параметров. Доказательства изложены в гл. , здесь лишь обсуждается связь этих результатов друг с другом . Теоремы о выпрямлении Здесь формулируется основная теорема о выпрямлении поляна- правлений, и из нее выводятся теоремы существования, единственности и дифференцируемой зависимости решения от параметров Рис. . Выпрямление поляна- правлений и начальных условий, теоремы о продолжении и о локальных фазовых потоках. Выпрямление поля направлений. Рассмотрим гладкое поле направлений в области U мерного пространства. Оïðåäåëåíèå. Выпрямлением поля направлений называется диффеомор- физм, переводящий его в поле параллельных направлений (рис. ). Поле называется выпрямляемым, если существует его выпрямление. Тåîðåìà (Всякое гладкое поле направлений вы- прямляемо в окрестности каждой точки. Если поле r раз непрерывно дифференцируемо класса C r , 1 ¶ r ¶ ∞), то и выпрямляющий диффеоморфизм можно выбрать класса П. Поле направлений уравнения ˙ x = x рис. ) выпрямляется диффеоморфизмом (t, x) 7→ (t, y = xe −t ). Действительно, этот диффеоморфизм переводит интегральные кривые x = на плоскости) в параллельные прямые y = C на плоскости (t, З . Выпрямить поля направлений уравнений ˙ x = t ив окрестности начала координат Глава . Основные теоремы Зàäà÷à . Всякое ли гладкое поле направлений на плоскости выпрямля- емо в целом? Оòâåò. Нет, см. рис. З *. Пусть в дано (гладкое) поле двумерных плоскостей (в каждой точке приложена плоскость. Всегда ли можно выпрямить его (превратить в поле параллельных плоскостей подходящим диффеоморфизмом)? Уêàçàíèå. Выпрямляемое поле является полем плоскостей, касательных к семейству поверхностей. Оòâåò. Нет. Рассмотрим, например, поле плоскостей, заданное уравнением (вектор принадлежит плоскости поля, если на нем эта 1-форма обращается в нуль. Не существует ни одной поверхности, касающейся плоскостей этого поля. Доказательство основной теоремы будет дано в § . Вот две ее переформулировки. Тåîðåìà Все гладкие поля направлений в областях одинакового числа измерений локально диффеоморфны переводятся друг в друга диффеоморфизмом). 1 ⇒ 2: по основной теореме все поля локально диффеоморфны одному стандартному полю. 2 ⇒ 1: из локальной диффеоморфности любому полю вытекает, в частности, локальная диффеоморфность стандартному, те. локальная выпрямляемость. Тåîðåìà Дифференциальное уравнение ˙ |