В. И. Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения. В. И. Арнольд Обыкновенные дифференциальные уравнения
 Скачать 4.58 Mb.
|
|
. Примеры прямых произведений. Рассмотрим систему двух уравнений ˙ x 1 = x 1 , ˙ x 2 = kx 2 Зàäà÷à . Нарисовать соответствующие векторные поляна плоскости при k = 0, ±1, 1/2, Мы уже решили каждое из двух уравнений в отдельности. Итак, решение ϕ с начальным условием ϕ(t 0 ) имеет вид ϕ 1 = x 01 e ( t −t 0 ) , ϕ 2 = x 02 e k(t −t 0 ) () Следовательно, вдоль каждой фазовой кривой x = ϕ(t) имеем либо = где C –– постоянная, независящая от t, либо x 1 ≡ З . Является ли кривая на фазовой плоскости ( x 1 , x 2 ), заданная уравнением (), фазовой кривой? Оòâåò. Нет. Семейство кривых (), где C ∈ R, имеет разный вид в зависимости от значения параметра k. Если k > 0, то это –– семейство парабол с показателем k». Такие параболы касаются оси x 1 , если k > или оси x 2 , если k < 1 (рис. ; при k = 1 получается семейство прямых, проходящих через начало координат. Расположение фазовых ∗) Настоящие параболы получаются лишь при k = 2 и k = 1/2. Глава . Основные понятия > 1 k = 1 0 < k < Рис. . Узлы фазовые кривые систем ˙ x 1 = x 1 , кривых, изображенное на рис. , называется узлом. При k < 0 кривые) имеют вид гипербол (рис. и образуют в окрестности начала координат седло. При k = 0 кривые () превращаются в прямые (рис. Рис. . Седло фазовые кривые системы ˙ x 1 = x 1 , ˙ x 2 = kx 2 , k < Рис. . Фазовые кривые системы ˙ x 1 = x 1 , Из формул () видно, что каждая фазовая кривая лежит целиком водном квадранте (или на координатной полуоси, или совпадает с началом координат, которое при всех k является фазовой кривой). Стрелки на рисунках указывают направление движения точки ϕ(t) при возрастании З . Докажите, что каждая из парабол 1 (k = 2) состоит из трех фазовых кривых. Опишите все фазовые кривые при других значениях Интересно проследить, как один рисунок переходит в другой при непрерывном изменении З . Нарисуйте узел, соответствующий = 0,01, и седло, соответствующее Настоящие гиперболы получаются лишь при k = −1. § . Векторные поляна прямой Рис. . Фазовые кривые перевернутого маятника Зàäà÷à . Решить уравнение перевернутого маятника ˙ x 1 = x 2 , и нарисовать фазовые кривые. Рåøåíèå. Введем на фазовой плоскости новые координаты X = x 1 + x 2 , Y = x 1 − x 2 . Система распадается в прямое произведение ˙ X = X , ˙ Y = −Y . На плоскости (X , Y ) фазовые кривые образуют седло, как на рис. . Следовательно, на плоскости (x 1 , x 2 ) также получаем седло (рис. Отсюда, в частности, следует, что приданном отклонении маятника от вертикали существует одна и только одна начальная скорость, при которой он асимптотически приближается к верхнему положению равновесия при t → +∞ (соответствующая фазовая кривая –– прямолинейный луч, входящий в 0). При меньшей или большей начальной скорости маятник падает либо не дойдя до верхнего положения равновесия, либо перевалившись через него (соответствующие фазовые кривые –– половины гипербол). Решения имеют вид X = X 0 e t , Y =Y 0 e −t , откуда x 1 = Ae t + Be −t = a ch t+b sh t, x 2 = Ae t − Be −t = a sh t + b ch t. . Уравнения с разделяющимися переменными. Оïðåäåëåíèå. Уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение ( Мы будем предполагать, что f и g –– гладкие функции, не обращающиеся в 0 в рассматриваемой области. Рассмотрим наряду с этим уравнением систему = g(x), ˙ y = f ( y). () Тåîðåìà. Фазовые кривые системы () являются интегральными кривыми уравнения (), и, обратно, интегральные кривые уравнения () являются фазовыми кривыми системы. Дîêàçàòåëüñòâî. Тангенс угла наклона вектора фазовой скорости коси есть f ( y)/g(x). Значит, фазовая кривая системы в каждой своей точке касается поля направлений уравнения. Обратно, пусть дана интегральная кривая уравнения (). Тогда на ней можно выбрать параметр t так, что параметрическое уравнение кривой будет x = ϕ(t), y = ψ(t), причем функция ϕ –– решение уравнения ˙ x = g(x) (здесь используется условие g 6= 0). Вторая координата точки с параметром t удовлетворяет тогда соотношению Глава . Основные понятия) = f (ψ(t))/g(ϕ(t)), те. является решением уравнения. Следовательно, наша кривая –– фазовая кривая систе- мы. Тåîðåìà. Решение уравнения () с начальным условием существует, единственно ∗) и дается формулой Д. Это следует из предыдущей теоремы и формул для решения уравнений ˙ x = g(x) и ˙ y = f ( y) с начальными условиями) и ( t 0 , y 0 ) соответственно. Зàìå÷àíèå. Мнемоническое правило решения уравнения с разделяющимися переменными состоит в том, чтобы рассматривать и левую, и правую части уравнения как дроби и перенести все члены св одну сторону, а все члены св другую ( После этого приравнивание интегралов дает искомое соотношение между x ив виде равенства ( y) + C для первообразных или в указанном в теореме виде –– для определенных интегралов. Разумеется, это мнемоническое правило является, при его правильном понимании, вполне строгим выводом формулы для решения. Действительно, соотношение () означает равенство значений двух дифференциальных форм на любом векторе, касающемся интегральной кривой уравнения () (и обратно, кривая, все касательные векторы которой удовлетворяют соотношению (), является интегральной для уравнения (Интегралы форм в левой ив правой частях уравнения () по одному отрезку интегральной кривой уравнения () равны (так как в определении интеграла вдоль кривой участвуют лишь значения формы на касательных векторах кривой, а на этих векторах значения форм совпадают. Наконец, интеграл формы dx/g(x) вдоль отрезка кривой равен обычному интегралу функции 1 /g вдоль проекции этого отрезка на ось x, и аналогично для формы Формула () называется иногда симметричной формой записи уравнения (В том смысле, что всякие два такие решения совпадают там, где оба определены § . Векторные поляна прямой Зàäà÷à . Нарисовать интегральные кривые уравнений = y/x, x/ y, − y/x, −x/ З . Нарисовать интегральные кривые уравнений = kx α y β , sin y/ sin x, sin x/ sin З . Нарисовать фазовые кривые уравнения маятника ˙ x = y, ˙ y = = − sin У. Рассмотреть уравнение с разделяющимися переменными = −(sin x)/ Рис. . Фазовые кривые модели Лотки––Вольтерра . Пример модель Лотки––Вольтерра. В п. § мы рассматривали простейшую модель взаимодействия y хищников (щуки жертв (карасей = kx − axy, ˙ y = −ly + Номы не смогли нарисовать фазовые кри- вые. Тåîðåìà. Фазовые кривые системы замкнутые рис. Д. Фазовые кривые системы () совпадают с интегральными кривыми уравнения с разделяющимися переменными l) x(k − или с фазовыми кривыми уравнения-произведения dx dτ = x bx − l , dy dτ = y k − в области, где x, y, bx − l и k − ay отличны от Следовательно ay y dy = R bx − l x dx + C, или p(x) + q( y) = где p = bx − l ln x, q = ay − k ln y. Графики функций p и q имеют вид ям. Поэтому и график функции p + q имеет вид ямы (рис. Следовательно, линии уровня функции p + q –– замкнутые кривые. Рис. . Построение фазовых кривых модели Лотки––Вольтерра Глава . Основные понятия Легко проверить, что фазовые кривые уравнения () не только принадлежат линиям уровня p + q, но и совпадают сними теорема доказана. Из замкнутости фазовых кривых следует, что количества карасей и щук в модели Лотки––Вольтерра меняются со временем периодически. Период колебаний зависит от начального условия. Зàäà÷à . Докажите, что период колебаний в модели Лотки––Вольтер- ра () стремится к бесконечности, когда начальное условие приближается к точке (0, З. Математическое стремление к бесконечности нужно отличать от физического. Например, 1 /ǫ при ǫ → 0 действительно стремится к ∞ (например, при = величина 1 /ǫ действительно велика. В тоже время ǫ| при ǫ → 0 практически остается ограниченным (например, при = это величина порядка 10). Практически с логарифмами в асимптотиках часто можно обращаться как с константами. Зàäà÷à . Как стремится к бесконечности период колебаний в модели Лотки––Вольтерра (), когда начальное условие имеет вид (x 0 , ǫ), ǫ → О. Логарифмически. Рассмотрим некоторые выводы из наших вычислений. Для системы Лотки––Вольтерра (): ) существует (и единственно при x > 0, y > 0) положение равновесия) количества карасей и щук при неравновесных начальных условиях меняются со временем периодически) фазовые кривые системы () замкнуты. Заметим, что наша модель вряд ли может претендовать на вполне точное описание действительности, даже если оставаться в рамках двумерного фазового пространства. Например, даже в отсутствие щук при большом числе карасей скорость размножения должна уменьшаться, иначе карасям не хватит пруда, и т. д. Мы можем думать поэтому, что более точная модель имеет вид = x(k − ay + ǫ f (x, y)), ˙ y = y( −l + bx + ǫg(x, где xǫ f и yǫg –– отброшенные при идеализации малые поправки к нашей модели (поправка в ˙ x делится на x, так как скорость размножения карасей равна 0, если их число равно 0; по этой же причине поправка в ˙ y делится на y). Мы будем считать f и g гладкими функциями (строго говоря, здесь и далее рассматривается ограниченная § . Векторные поляна прямой часть фазовой плоскости, так как для малости поправок при очень больших значениях координат нет оснований). Мы будем называть свойство модели () грубым, если оно (или аналогичное ему близкое свойство) имеет место и для всякой системы) при достаточно малых ǫ. Рассмотрим с этой точки зрения сделанные выше выводы ТУ системы ( ǫ ) имеется такое гладко зависящее от малого ǫ положение равновесия x(ǫ), y(ǫ), что x(0) = x 0 , y(0) = положение равновесия системы Д. По теореме о неявной функции система уравнений относительно x, y F(x, y, ǫ) = 0, G(x, y, ǫ) = имеет гладко зависящее от малого решение (x(ǫ), y(ǫ)), обращающееся в (x 0 , y 0 ) при = 0, если отличен от нуля якобиан = D(F, G)/D(x, В нашем случае F = k − ay + ǫ f , G = −l + bx + ǫg, следовательно = 0 −a b 0 6 = 0, что и требовалось доказать. Итак, вывод ) груб положение равновесия имеется не только у системы (), но и у всякой близкой системы (Напротив, выводы ) и ) негрубы. Действительно, функция последования для системы () имеет вид Φ(A) ≡ A. Для близкой системы) график функции последования будет близким к диагонали, но необязательно будет совпадать с ней. В зависимости от вида возмущений f и g диаграмма Ламерея может быть расположена выше или ниже диагонали или пересекать ее водной или нескольких точках, соответствующих устойчивыми неустойчивым циклам. Следовательно, выводы о замкнутости фазовых кривых и периодичности колебания численности карасей и щук с амплитудой, зависящей от начальных условий, не грубы, хотя у близкой системы (каждый виток фазовой кривой и близок к замкнутому циклу, он не замыкается в точности, и через большое время (порядка устанавливается, например, автоколебательный режим (фазовая кривая наматывается на предельный цикл). Свойство системы иметь предельный цикл уже является устойчивым относительно малых возмущений системы уравнений. Точнее, предположим, что цикл соответствует неподвижной точке A = Φ(A) функции последования и что Φ ′ ( A) 6= 1. В таком случае цикл называется невырожденным Глава . Основные понятия Если система, заданная векторным полем v 0 , имеет невырожденный предельный цикл, проходящий через A 0 , то всякая близкая система (заданная полем v ǫ , ǫ мало) имеет близкий цикл проходящий через близкую к точку Для доказательства нужно применить теорему о неявной функции к уравнению Φ(A, ǫ) = A, A(0) = Следовательно, вывод о наличии в системе автоколебаний, описываемых невырожденным предельным циклом, груб во всякой близкой системе будут близкие автоколебания. Заметим, что вырожденные предельные циклы могут исчезать прима- лом шевелении системы. Однако они появляются неустранимым малым шевелением образом в том случае, когда рассматривается не отдельная система, а семейство систем, зависящих от параметра. В этом случае при отдельных значениях параметра могут сливаться между собой различные циклы, причем аналогичное слияние будет иметь место при некотором близком значении параметра ив любом близком семействе. В момент слияния двух невырожденных циклов и возникает вырожденный цикл. При этом, вообще говоря, из двух сливающихся циклов один устойчивый, а другой неустойчивый. Вырожденные циклы, возникающие при слиянии двух невырожденных, представляют интерес потому, что они всегда встречаются на границе Рис. . Перестройка диаграмм Ламерея области существования колебательного режима в пространстве параметров. Например, на рис. изображены диаграммы Ла- мерея при трех очень близких значениях параметра (кривые , и ). Диаграмма пересекает биссектрису в двух точках в этом случаев системе имеется два предельных цикла, устойчивый внутри неустойчивого (рис. ). Положение равновесия неустойчиво вся область внутри неустойчивого цикла является областью притяжения (бассейном) устойчивого цикла: при начальных условиях в этой области (исключая лишь положение равновесия) в системе устанавливаются автоколебания, изображаемые устойчивым циклом. Кривая соответствует критическому значению параметра устойчивый цикл сливается с неустойчивыми становится вырожденным. Фазовые кривые, начинающиеся в ограниченной циклом области, стремятся к циклу при возрастании времени. Однако устанавливающийся при этом колебательный режим неустойчив сколь угодно малое случайное изменение способно выбросить фазовую точку за пределы цикла. При дальнейшем изменении параметра (кривая ) цикл исчезает вовсе. Таким образом, слияние циклов приводит к скачкообразному изменению поведения системы устойчивый автоколебательный режим с конечной об § . Векторные поляна прямой Рис. . Перестройка фазового портрета и поведения решений ластью притяжения внезапно исчезает. Движения с начальным условием в бассейне исчезающего цикла уходят после его исчезновения в другие области фазового пространства (рис. ). В нашем примере после перехода параметра через критическое значение в популяциях хищников и жертв сколь угодно малое отклонение начальных условий от равновесных приводит к неограниченному нарастанию колебаний и, следовательно, к выми- ранию. Перестройки качественной картины движения при изменении параметров изучает теория бифуркаций бифуркация = раздвоение, а приложения теории бифуркаций к исследованию скачкообразных реакций механических, физических, химических, биологических, экономических и иных систем на плавное изменение внешних условий получили в последнее время название теории катастроф. Из рисунка видно, что когда значение параметра отличается от критического значения на малую величину ∆, расстояние между устойчивыми неустойчивым циклами порядка p ∆ . Следовательно, скорость сближения циклов при изменении параметра быстро растет по мере приближения параметра к критическому значению в самый момент катастрофы оба цикла движутся навстречу друг другу с бесконечной скоростью. Это объясняет, почему так трудно предотвратить грозящую катастрофу потери устойчивости системы, когда уже сделались заметными ее признаки. Зàäà÷à . Исследовать бифуркации циклов при изменении параметра в системе, заданной в полярных координатах уравнениями = cr − r 3 + r 5 , ˙ ϕ = О. При = 0 из положения равновесия r = 0 рождается устойчивый цикл радиуса порядка p c; при c = 1/4 он исчезает, слившись с неустойчивым Глава . Основные понятия Зàìå÷àíèå. Можно показать, что рождение или смерть цикла в положении равновесия, как и рождение или смерть пары циклов –– типичное явление, встречающееся при изменении параметра в общих однопарамет- рических семействах дифференциальных уравнений. Устойчивые предельные циклы описывают установившиеся периодические колебания системы, находящейся в стационарных внешних условиях. Колебания, описываемые устойчивыми циклами, называются автоколебаниями, в отличие от вынужденных колебаний, вызванных периодическими внешними воздействиями и от колебаний типа свободных колебаний маятника. Возникновение автоколебаний само по себе довольно удивительно, но они встречаются, например, в таких системах, как часы, паровая машина, электрический звонок, сердце, радиопередатчик, переменные звезды типа цефеид –– работа каждого из этих устройств описывается предельным циклом в соответствующем фазовом пространстве. Однако не следует думать, что все колебательные процессы описываются предельными циклами в многомерном фазовом пространстве возможно гораздо более сложное поведение фазовых кривых. Примерами могут служить прецессия гироскопа, движение планет и их спутников и их вращение вокруг своих осей (непериодичность этих движений ответственна за сложность календаря и трудность предвычисления приливов, а также движение заряженных частиц в магнитных полях (ответственное за возникновение полярных сияний). Мы рассмотрим простейшие движения этого рода в § и § , п. . В системах с многомерным фазовым пространством фазовые кривые могут даже вместо цикла приближаться к множеству, на котором все близкие траектории быстро расходятся друг от друга (рис. ). Такие притягивающие множества получили в последнее время название странных аттракторов они связаны с явлениями типа турбулентности и ответственны, например, за невозможность долгосрочного прогноза погоды. Рис. . Аттрактор с разбеганием фазовых кривых на нем § . Линейные уравнения . Линейные уравнения Линейные уравнения описывают влияние малых изменений начальных условий или правых частей произвольных уравнений на их решения. Здесь явно решаются и исследуются линейные однородные и неоднородные уравнения с одним зависимым переменным: появляются оператор монодромии, δ-функция, функция Грина ивы- нужденные колебания. Линейные однородные уравнения. Оïðåäåëåíèå. Линейным однородным уравнением первого порядка называется уравнение = f (x) правая часть которого –– линейная (однородная) функция одномерного зависимого переменного Это частный случай уравнения с разделяющимися переменными. Решая его по общему правилу, находим dy/ y = f (x) dx, ln( y/ y 0 ) = = x R x 0 f (ξ) dξ. Из этого вытекает Тåîðåìà. Всякое решение уравнения () продолжается навесь интервал определения функции f ; решение с начальным условием ( x 0 , y 0 ) дается формулой y = y 0 exp x R x 0 f (ξ) Рис. . Интегральные кривые линейного уравнения Зàìå÷àíèå . Пусть = ϕ(x) –– решение уравнения. Тогда для любой константы c функция = cϕ(x) –– тоже решение. Сумма двух (определенных на всем интервале определения f ) решений уравнения () тоже является решением. Поэтому все такие решения линейного однородного уравнения () образуют линейное пространство. Размерность этого линейного пространства равна (почему?). Зàìå÷àíèå . Растяжения расширенного фазового пространства (x, y) вдоль оси y переводят поле направлений линейного однородного уравнения () в себя. Поэтому интегральные кривые под действием растяжений оси y переходят друг в друга все они могут быть получены из одной из них такими растяжениями (рис. ). Глава . Основные понятия Линейные уравнения занимают в теории дифференциальных уравнений особое место, потому что, согласно одной из основных идей анализа, всякая гладкая функция в окрестности каждой точ- Рис. . Система координат вблизи цикла ки хорошо аппроксимируется линейной функцией. Возникающая таким образом операция линеаризации и приводит к линейным уравнениям в качестве первого приближения при исследовании произвольного уравнения вблизи какого-либо решения. Рассмотрим, например, автономную систему с двумерной фазовой плоскостью (x, y), имеющую предельный цикл (рис. ). Введем в окрестности цикла координаты (X mod T, Y ) так, чтобы уравнение цикла приняло вида обход цикла в направлении фазовой скорости соответствовал бы увеличению X на T . Тогда фазовые кривые исходной системы при отображении (x, y) 7→ (X , Y ) перейдут в интегральные кривые уравнения вида /dX = a(X , Y где , 0) ≡ 0, a(X + T , Y ) ≡ a(X , Y Линеаризация этого уравнения по Y в точке Y = 0 приводит к линейному уравнению /dX = f (X )Y где (X ) = ∂a/∂Y | Y Заметим, что функция f имеет период Мы приходим таким образом к задаче об исследовании линейного уравнения с периодическим коэффициентом f . . Линейные однородные уравнения первого порядка с периодическими коэффициентами. Рис. . Оператор монодромии Оïðåäåëåíèå. Линейными однородными уравнениями первого порядка с -периодическими коэффициентами называются уравнения /dX = f ( X )Y где f ( X + T ) ≡ f Решения уравнения () определяют линейное отображение оси Y в себя, сопоставляющее значению) при X = значение) того же решения при X = T > 0. Это отображение : R → R называется монодромией рис. ). (Мы собираемся использовать аналогичный оператор ив многомерном случае § . Линейные уравнения Тåîðåìà. Оператор монодромии A : R → R линейного уравнения) линейный и является оператором умножения на положительное число λ. Если это число λ называемое мультипликатором) больше 1, то все ненулевые решения стремятся к бесконечности при +∞, а если меньше 1, ток нулю если λ = 1, то все решения ограничены. Дîêàçàòåëüñòâî. Линейность вытекает из того, что растяжения по оси Y переводят интегральные кривые в интегральные кривые > 0, те. ось X –– интегральная кривая. Сдвиги на T вдоль оси X также переводят интегральные кривые в интегральные кривые (ввиду периодичности f ). Из этого следует, что значения решения с начальным условием) = Y при X = T, 2T , 3T, … равны поэтому ϕ(NT ) → ∞ при N → +∞, если λ > и ) → 0 при N → +∞, если λ < 1. Кроме того, сдвигая расширенное фазовое пространство на NT вдоль оси X , находим + S) = откуда следуют все доказываемые утверждения (почему?). Зàìå÷àíèå. Из теоремы п. следует формула для мультипликатора) Таким образом, мультипликатор больше единицы или меньше единицы, в зависимости оттого, положительно или отрицательно среднее значение функции f В первом случае нулевое решение линейного уравнения () неустойчиво, а во втором –– устойчиво (более того, решения с близкими к 0 начальными условиями стремятся кв случае = 1 решения с ненулевыми начальными условиями периодичны (рис. Возникает естественный вопрос, какое отношение наша теорема о решениях линеаризованного уравнения () имеет к исходной задаче о поведе- Рис. . Устойчивость нулевого решения Глава . Основные понятия нии решений нелинейного уравнения (), тек задаче о фазовых кривых, близких к циклу? Зàäà÷à . Доказать, что если > 1, то цикл неустойчив и фазовые кривые, начавшиеся вблизи цикла, являются разматывающимися спиралями, удаляющимися от него если < 1, то цикл устойчив и фазовые кривые, начавшиеся в его окрестности, являются наматывающимися на цикл спи- ралями. Иными словами, в случаях, когда мультипликатор отличен от 1, линеаризация приводит к правильному суждению об устойчивости цикла. С другой стороны, если = 1, то, хотя решения уравнения () и периодичны, было бы неверно распространять этот вывод с линеаризованного уравнения) на исходное уравнение (), для которого близкие к Y = 0 решения, вообще говоря, не периодичны, и об устойчивости цикла нельзя судить по линеаризованному уравнению. Уêàçàíèå. Рассмотреть функцию последования Φ, заданную решениями уравнения () и сопоставляющую начальному условию Y = ϕ(0) при = 0 значение Φ(Y ) = ϕ(T ). Доказать, что линеаризация Φ в точке Y = есть оператор монодромии. Зàäà÷à . Исследовать устойчивость предельного цикла = 1 для системы, заданной в полярных координатах уравнениями = (r 2 − 1)(2x − 1), ˙ ϕ = где = r cos ϕ). . Линейные неоднородные уравнения. Оïðåäåëåíèå. Линейным неоднородным уравнением первого порядка называется уравнение = f (x) y + Под решением понимается решение, определенное на всем интервале определения функций f и g. Тåîðåìà. Если известно одночастное решение линейного неоднородного уравнения, y = ϕ 1 ( x), то все остальные решения имеют вид y = ϕ 1 ( x) + ϕ 0 ( x), где ϕ 0 –– решение однородного уравнения всякая функция указанного вида удовлетворяет неоднородному уравнению Д. Пусть : L 1 → L 2 –– линейный оператор. Решения однородного уравнения Aϕ 0 = 0 образуют линейное пространство рис. ). Образ Im A = образует линейное подпространство в L 2 . Если g ∈ Im A, то решения неоднородного уравнения образуют в аффинное подпространство ϕ 1 + Ker A, параллельное Ker A. В нашем случае Aϕ = dϕ/dx − f ϕ. Это линей § . Линейные уравнения Рис. . Пространство решений линейного неоднородного уравнения ный оператор, поэтому утверждение нашей теоремы вытекает из алгебраической теоремы о решении линейного неоднородного урав- нения. Для нахождения частного решения можно воспользоваться методом вариации постоянных». Метод вариации постоянных часто употребляется при изучении влияния всевозможных возмущений. Рассмотрим, например, движение планет вокруг Солнца. В первом приближении, не учитывая притяжения планет друг другом, мы приходим к независимому движению планет по кеплеровым эллипсам. Это –– решение невозмущенных уравнений движения. Учет возмущающего влияния планет друг на друга можно провести так считать, что планеты совершают кеплерово движение, но параметры кеплеровых эллипсов слегка меняются со временем ∗∗) Таким образом, величины, бывшие постоянными в невозмущенном движении, рассматриваются теперь как функции времени. Дифференциальные уравнения, описывающие изменения (вариации) этих постоянных, часто бывает проще решать или исследовать, чем исходные уравнения. В частности, в применении к линейным неоднородным уравнениям, где роль невозмущенной задачи играет однородное уравнение, а роль возмущения –– неоднородность, метод вариации постоянных приводит к явной формуле для решения. В этом случае никакой малости возмущения не требуется. Мы уже знаем, что всякое решение однородного уравнения (имеет вид y = cϕ(x), где c –– произвольная постоянная, а ϕ –– ка- кое-либо ненулевое решение. Постараемся подобрать функцию c = = c(x) так, чтобы y = c(x)ϕ(x) было решением неоднородного уравнения (Пространства и можно выбирать по-разному. Например, можно считать, что L 1 –– один раз непрерывно дифференцируемые, а L 2 –– непрерывные функции. ∗∗) Например, колебания эксцентриситета орбиты Земли –– одна из причин наступления ледников Глава . Основные понятия Тåîðåìà. Решение линейного неоднородного уравнения () с начальным условием y(x 0 ) = существует, единственно и дается формулой = y 0 y = x R x 0 exp x R ξ f (ζ) dζ g(ξ) Д. Подстановка = c(x)ϕ(x) в () дает + cϕ ′ = fcϕ + Но –– решение однородного уравнения (). Значит, ϕ ′ = f ϕ и) = x R x 0 g(ξ)/ϕ(ξ) Подставляя вместо известное решение однородного уравнения, получаем (после внесения) под интеграл) формулу (), что и требовалось доказать. Функция влияния и образные неоднородности. Формула) имеет простой физический смысл, который выясняется следующим образом. Очевиден Пðèíöèï Если и ϕ 2 –– решения линейных неоднородных уравнений и Aϕ 2 = g 2 , то ϕ 1 + ϕ 2 –– решение уравнения Aϕ = Этот принцип позволяет при расчете влияния всевозможных возмущений разделять разные возмущения, вычислять их влияние по одному и складывать эффекты возмущения (например, если бросить вводу два камня, то можно независимо рассчитать волны от каждого из них и сложить возмущения при полете снаряда можно независимо вносить поправки на ветер и на отклонение плотности воздуха от табличной, и т. д.). В применении к нашему неоднородному уравнению () роль возмущения играет функция g. Постараемся представить функцию в виде линейной комбинации элементарных возмущений тогда решение будет такой же линейной комбинацией решений уравнений с элементарными возмущениями в качестве неоднородности g. Оïðåäåëåíèå. δ-образной последовательностью называется последовательность неотрицательных гладких функций, равных вне стремящихся к 0 при N → ∞ окрестностей и обладающих каждая интегралом, равным единице § . Линейные уравнения Рис. образная последовательность Пример такой последовательности легко построить (рис. ). Физики говорят, что «предел последовательности h N есть δ-функ- ция Дирака, равная нулю всюду, кроме точки, и имеющая интеграл Конечно, функции с такими свойствами не существует. Тем не менее многие величины, в определение которых входят функции h N , при ∞ стремятся к определенным пределам, которые и называются соответствующими величинами, вычисленными для δ-функции. Например, для любой непрерывной функции g lim N →∞ + ∞ R −∞ h N ( x)g(x) dx = докажите. Поэтому по определению) dx = Точно также, сдвигая все на по оси x, находим − ξ)g(x) dx = те) есть функция, сосредоточенная в точке Последнюю формулу можно также воспринимать как представление любой гладкой функции g в виде континуальной линейной комбинации» δ-функций, сосредоточенных в разных точках x, с коэффициентами, равными значениям g в этих точках. Таким образом, произвольную неоднородность g в уравнении (можно разложить в континуальную линейную комбинацию сосредоточенных в точке неоднородностей вида сдвинутых δ-функций. Согласно принципу суперпозиции, для нахождения частного решения уравнения () с произвольной неоднородностью достаточно знать это решение для δ-образной неоднородности. Оïðåäåëåíèå. Решение уравнения = f (x) y + δ(x − ξ), ξ > 0, Глава . Основные понятия с начальным условием y(0) = 0 называется функцией влияния возмущения в момент ξ на решение в момент x или функцией Грина ∗) ) и обозначается так y = G ξ ( x). Тåîðåìà. Функция Грина дается формулой) при x < ξ, exp x R ξ f (ζ) при x > З. Как объяснено выше, речь идет о пределе последовательности решений уравнений = f (x) y + h N ( x − где {h N } есть δ-образная последовательность, при N → Э äîêàçàòåëüñòâî. При < ξ решение равно нулю, так как неоднородность исчезает. При x > ξ решение совпадает с некоторым решением однородного уравнения, так как неоднородность исчезает. При x, близких к ξ, второе слагаемое в правой части уравнения () велико по сравнению с первым, поэтому интеграл от по малой окрестности точки ξ почти равен числу ξ) dx = Переходя к пределу при N → ∞, видим, что скачок решения при переходе x через точку ξ равен 1, те. при x > ξ функция переменной x есть решение однородного уравнения с начальным условием y(ξ) = 1, что и требовалось доказать. Это рассуждение можно сделать вполне строгим, но проще провести следующее Мàòåìàòè÷åñêîå äîêàçàòåëüñòâî. Подставляя вместо сдвинутую на функцию в формулу () для решения уравнения (и переходя к пределу при N → ∞, получаем требуемое) = lim N →∞ x R x 0 exp x R ν f (ζ) dζ h N ( ν − ξ) dν = exp x R ξ f (ζ) если x 0 < ξ < Эта функция называется также запаздывающей функцией Грина, во избежание смешения с функциями Грина краевых задач для уравнений выше первого порядка, которых мы тут не касаемся § . Линейные уравнения Сëåäñòâèå. Решение неоднородного уравнения () с неоднородностью g и с нулевым начальным условием выражается через функцию влияния по формуле y(x) = x R 0 G ξ ( x)g(ξ) dξ при x > Конечно, эта формула эквивалентна формуле () (ввиду (З . Решить уравнение = y + h N , где h N ( x) = N при − 1| < < 1/(2N), 0 при |x − 1| ¾ 1/(2N), с начальным условием y(0) = 0, и найти предел решения при N → ∞. . Линейные неоднородные уравнения с периодическими ко- эффициентами. Тåîðåìà. Если в уравнении = f (x) y + с периодической периода T > 0 по x) правой частью среднее по периоду значение f отлично от нуля, то уравнение имеет T -периодическое решение, ипритом ровно одно ( устойчивое, если среднее значение отрицательно, и неустойчивое, если оно положительно, рис. Рис. . Установление вынужденного колебания Дîêàçàòåëüñòâî. Рассмотрим отображение за период, сопоставляющее начальному условию) решения ϕ значение ϕ(T) того же решения в момент T . Это отображение –– линейное неоднородное (почему?); оно имеет вид) = λϕ(0) + C, где λ –– мультипликатор однородного уравнения. Логарифм равен интегралу f по периоду. Следовательно, λ 6= 1, если среднее значение f неоткуда и вытекает доказываемое утверждение Глава . Основные понятия Таким образом, при λ < 1 в системе после некоторого переходного процесса устанавливается, независимо от начального условия, вполне определенный колебательный режим. Возникающие здесь колебания называются вынужденными, они вызваны периодическим внешним воздействием на систему, те. функцией З . Найти периодическое решение уравнения = − y + sin и исследовать его устойчивость. Зàìå÷àíèå. Линейные неоднородные уравнения естественно возникают в тех случаях, когда мы исследуем влияние малых возмущений начального условия и одновременно малых возмущений правой части дифференциального уравнения на решение (пренебрегая величинами выше первого порядка малости относительно возмущений. Неоднородность g в уравнении () отвечает именно за возмущение уравнения. Например, при малом возмущении векторного поля в окрестности предельного цикла с отличным от 1 мультипликатором цикл не исчезает, но лишь немного деформируется периодическое решение соответствующего линейного неоднородного уравнения дает первое приближение к этой деформации цикла. Зàäà÷à . Пусть функция, ǫ) –– решение уравнения ˙ x = v(t, x; зависящего от параметра, обращающееся в решение ϕ 0 ( t) уравнения = v(t, x; 0) при ǫ = 0. Докажите, что производная решения по параметру (функция ϕ предполагается гладкой, ψ(t) = ∂ϕ/∂ǫ| ǫ=0 , удовлетворяет линейному неоднородному уравнению ˙ ψ = f (t)ψ + g(t), где f и g –– значения и ∂v/∂ǫ при ǫ = 0, x = ϕ 0 ( t). Это уравнение называется (неоднородным) уравнением в вариациях, так как ψ описывает малую вариацию решения под действием малого изменения уравнения, отвечающего = 0. |