В. И. Купцов детерминизм вероятность издательство политической литературы Москва 1976 L. M
 Скачать 1.32 Mb.
|
|
169 оказывает газ на стенки сосуда, является некоторой средней величиной, зависящей от микроскопических характеристик системы. Такого рода величины могли бы быть вычислены через усреднение соответствующих функций вдоль траекторий эволюции системы во времени. Однако такое временное усреднение предполагает знание реальных фазовых траекторий, что оказывается возможным лишь при условии преодоления тех трудностей решения систем уравнений, око- торых говорилось выше. В статистической механике временное усреднение заменяется усреднением по всему фазовому пространству, которое оказывается гораздо более простой процедурой. Этого достаточно, чтобы на основании знания общих свойств микропове- дения системы вывести ее макроскопические свойства и закономерности, которым они подчиняются. Какие же сложности появляются здесь для концепции лапласовского детерминизма На первый взгляд таковых просто не существует или уж, во всяком случае, они незначительны и легко преодолимы. В самом деле, ведь исходная теоретическая модель рассматриваемых явлений целиком базируется на представлении об однозначной детерминированности любых их изменений. Вероятно- стно-статистические методы применяются здесь как практически разумные средства, решающие оптимальным образом задачи, ответ на которые в принципе можно было бы получить и иным путем — без апелляции к вероятностными статистическим соображениям. Значит, и здесь, на уровне теории, ве- 170 роятНость относится к методу получения знания, а не к самому объективному миру. Эта точка зрения на гносеологическую роль вероятности в статистической механике и вообще во всей классической физике имела большое распространение в прошлом веке. Немало сторонников она имеет ив наши дни. Например, Л. Д. Ландау и ЕМ. Лиф ш и цв своем известном курсе по теоретической физике пишут следующее Составляя уравнения движения механической системы в числе, равном числу степеней свободы, и интегрируя их, мы принципиально можем получить исчерпывающие сведения о движении системы. Однако если нам приходится иметь дело с системой, хотя и подчиняющейся законам классической механики, но обладающей колоссальным числом степеней свободы, то при практическом применении методов механики мы сталкиваемся с необходимостью составить и решить такое же число дифференциальных уравнений, что представляется, вообще говоря, практически неосуществимым. Следует подчеркнуть, что если бы даже и можно было проинтегрировать в общем виде эти уравнения, то совершенно невозможно было бы подставить в общее решение начальные условия для скоростей и координат частиц, хотя бы из-за времени и количества бумаги, необходимых для этого Применяя статистические методы, отмечают авторы, удается обойти эти 1 Л. Д. Ландау и ЕМ. Лифшиц. Статистическая физика. М, 1964, стр. 13. 171 трудности. Однако выводы, получаемые таким путем, в отличие от выводов, делаемых на основании классической механики, носят лишь вероятностный характер. Следует, однако, подчеркнуть пишут они что вероятностный характер результатов классической статистики сам по себе отнюдь не лежит в самой природе рассматриваемых ею объектов, ас вяза н лишь стем, что эти результаты получаются на основании гораздо меньшего количества данных, чем это нужно было бы для полного механического описания (не требуются начальные значения всех координат и импульсов Ч Не вызывает сомнений, что вероятность может успешно применяться в тех ситуациях, где заведомо объективно действуют строго однозначные законы, где все определенно. Мы уже обсуждали этот вопрос в отношении эффективного использования вероятностно-статистических методов для решения задач, возникающих на эмпирическом уровне научного познания. Такие методы оказываются полезными и для анализа и расчета задач теоретического характера, когда, в принципе, никакой неопределенности в самом объекте не существует. Эта ситуация особенно наглядно проявляет себя при применении метода Монте-Карло, который позволяет с успехом рассчитывать довольно сложные задачи посредством ве- роятностно-случайного моделирования. Вероятность, которая из метода естественно переходит на результат, здесь очевидным 1 Л. Д. Ландау и ЕМ. Лифшиц. Статистическая физика, стр. 17. 172 1 образом связана с особенностями метода познания, но отнюдь нес природой самого объекта. Приближенное вычисление какого- либо определенного интеграла методом Монте-Карло совсем не означает, что у этого интеграла нет точного значения. Пусть нужно вычислить площадь некоторой фигуры. Мы, конечно, знаем, что она имеет вполне определенное значение. Однако величина этой площади не может быть найдена аналитически, поскольку очертания ее контуров слишком сложны. В этом случае удобно воспользоваться методом Монте-Кар- ло. Мы вписываем заданную фигуру вне- которую другую — с известной и легко вычислимой площадью скажем в квадрат. Вдоль сторон квадрата проводим оси координат и выбираем масштаб, в котором сторона квадрата была бы равна единице. Затем открываем таблицу случайных чисел и, считая, что каждое из них дает нам значение положительной правильной дроби, фиксируем соответствующие пары последовательно расположенных чисел в качестве значений координат некоторых случайных точек, принадлежащих нашему квадрату. Доля таких точек, приходящаяся на искомую площадь, будет пропорциональна с некоторой вероятностью, увеличивающейся в зависимости от общего их количества, величине этой площади. Полученное таким способом численное значение площади фигуры будет отражать ее действительное, вполне определенное значение лишь с вероятностью, а поэтому неточно. Но эта неточность всегда может быть ограничена необходимыми пределами, 17S хотя ее и нельзя устранить полностью. Очевидно, что такого рода вероятность связана с методом, ноне с объектом. Она в принципе может быть устранена в процессе познания, когда объект будет изучен с иных сторон и иными методами. Существует немало ситуаций, в которых человек вынужден обращаться к интуиции, всегда нагруженной некоторой неопределенностью, в то время как большая информированность могла бы привести его к обнаружению однозначно действующего в данных условиях алгоритма. Тривиальный пример тому шахматы. Сколько изобретательности проявляют соперники, встречающиеся за шахматной доской Эта игра требует от ее знатоков подлинного творчества, ив результате создаются партии, вызывающие высокие эстетические чувства. В принципе, так сказать, по природе вещей шахматы не содержат ничего неопределенного. Все варианты здесь, казалось бы, могут быть последовательно проанализированы. Однако, желая рассчитать, скажем, все варианты длиной входов, которые могут встретиться у шахматиста, начинающего партию, мы должны были бы просмотреть 10 120 различных партий. Такое фантастическое количество вариантов неспособны перебрать за обозримое время даже современные ЭВМ. Я имею ввиду время, обозримое не для отдельного человека, а для всего человечества. Если бы с вероятностью приходилось встречаться только в такого рода ситуациях, то обоснование ее использования в научном 174 познании и практике с позиций концепции лапласовского детерминизма не вызвало бы особых проблем. Но так ли обстоит дело Еще в прошлом веке, когда Максвелл и Больцман заложили основы статистической механики, в рамках которой получили свое истолкование термодинамические свойства макроскопических процессов, против их объяснения на механической основе были выдвинуты два довольно серьезных возражения. Первое из них принадлежало Лош- мидту (1876 га второе — Цермело (1896 г. Лошмидт рассматривал газ, находящийся в неравновесном состоянии. Эта система (она изолирована) через некоторое время приходит в состояние, характеризуемое распределением Масквелла. Изменим в определенный момент времени скорости всех частиц газа, находящегося в равновесном состоянии, на противоположные. Очевидно, состояние равновесия не нарушится, а новое микросостоя- ние будет характеризоваться той же вероятностью, что и исходное. Однако, поскольку скорости частиц имеют теперь противоположные направления, весь процесс, приведший систему к равновесному микросостоя- нию, будет обращен, и система должна возвратиться в первоначальное неравновесное состояние. Поскольку любому процессу, протекающему от маловероятного состояния к более вероятному состоянию, соответствует процесс, направленный противоположно, постольку, следует вывод, необратимые процессы не могут получить своего объяснения в рамках кинетической теории. 175 Возражение Цермело основано на применении к газу как механической системе теоремы возврата Пуанкаре. Согласно этой теореме, любая замкнутая консервативная система является квазипериодической, те. рано или поздно приходит в состояние, сколь угодно близкое к любому ранее пройденному ею состоянию. Применяя эту теорему к газу, можно прийти к заключению, что любое сколь угодно неравновесное состояние, в котором газ находился в начальный момент, должно с необходимостью повториться. Этот парадокс также был истолкован в плане невозможности объяснения необратимости, основываясь на кинетической теории газа. В тоже время Больдман доказал так называемую Н-теорему о монотонном изменении величины Н, связанной с энтропией, в процессе эволюции изолированной системы. Исследуя предпосылки Н-теоремы, ее автор нашел, что монотонное изменение Н-функ- ции является лишь наиболее вероятным ее изменением. Последнее обстоятельство привело его к вероятностной трактовке второго начала термодинамики. Изолированная система, находящаяся в начальный момент в неравновесном, а следовательно, маловероятном состоянии, стечением времени почти с достоверностью переходит в более вероятное состояние. Это не исключает противоположно направленного процесса. Однако вероятность последнего ничтожно мала. Соответственно, энтропия системы должна с подавляющей вероятностью возрастать. Такая трактовка второго закона термодинамики позволила Больцману последовала тельно ответить на возражения Лошмидта и Цермело. Больцман соглашается с Лош- мидтом и Цермело, утверждавшими необходимость появления маловероятных состояний, но обращает внимание на то обстоятельство, что такие состояния в эволюции системы будут крайне редкими явлениями. Подавляющую часть времени система будет находиться в состояниях, близких к равновесным. Периоды, отделяющие одно отклонение от состояния равновесия от другого такого отклонения, увеличиваются с ростом самих отклонений. Микроскопические отклонения будут повторяться за сравнительно малые времена, и их можно наблюдать макроскопические же отклонения смогут повторяться лишь в течение огромных, практически недостижимых промежутков времени. Поэтому система, первоначально находившаяся в макроскопически неравновесном состоянии, практически никогда не возвращается в него, хотя принципиально это вполне возможно. Следовательно пишет Л. Больцман то, что замкнутая система, состоящая из конечного числа молекул, первоначально находившаяся в упорядоченном состоянии и затем перешедшая к неупорядоченному, по прошествии невообразимо длительного при большом числе молекул времени должна снова принимать упорядоченные состояния, не только не опровергает нашу теорию, но даже является ее подтверждением. Легко понять, что это практически означает никогда, если учесть, что согласно законам вероятности в этом промежутке врет мени должно было бы содержаться много лет, в течение которых в результате одного лишь случая все жители большого города в один и тот же день совершили бы самоубийство или во всех зданиях возник бы пожар, тогда как страховые общества, в полном согласии с действительностью, не принимают во внимание такие случаи. Если даже много более слабую маловероятность не отождествить практически с невозможностью, то никто не может быть уверен в том, что за сегодняшним днем последует ночь, аза нею снова день Рассуждения Больцмана резко подчеркивают вероятностно-статистический характер закономерностей, с которыми приходится иметь дело, изучая макроявления. Но какова их суть В каком отношении они находятся к законам, описывающим однозначную детерминацию Сначала казалось, что эти закономерности никак не могут претендовать на роль подлинных законов науки. Их вхождение в физику непосредственно связывалось с применением вероятностно-статистических методов, которые, как уже отмечалось, многими рассматривались в качестве лишь практически необходимых средств познания. Так, Максвелл писал Данные статистического метода в приложении к молекулярной физике суть суммы большого числа молекулярных количеств. Изучая соотношения между количествами этого рода, мы встречаемся с закономерностью нового рода, с закономерностью средних значений, и мы можем на J1. Болъцман. Лекции о кинетической теорий газов. М, 1953, стр. 522. 178 деяться, что ее совершенно достаточно для всяких практических целей однако она не может иметь никаких притязаний на абсолютную точность, свойственную законам абстрактной динамики. Таким образом, молекулярная физика учит нас, что наши опыты никогда не могут нам дать чего-либо, что было бы больше статистического знания, и что ни один закон, выведенный этим путем, не может претендовать на абсолютную точность Такая позиция, несомненно, диктовалась прежде всего приверженностью к концепции лапласовского детерминизма, но вместе стем она поддерживалась и итогами содержательного анализа новых для физики, статистических, закономерностей. Посмотрим, как появляются в статистической механике типичные для нее утверждения. Для этого предварительно рассмотрим простой пример, который позволит понять существо более сложных, но тем не менее во многом схожих ситуаций, встречающихся в физике. Пусть у нас имеются три монеты. Обозначим положения монет следующим образом О — если монета лежит гербом вверх, 1 — в противном случае тогда всевозможные комбинации положений представляются в таком виде ООО 111; 001, 010, 100; 110, 101, 011. Всего имеется 8, или 2 3 , вариантов. Аналогично для четырех монет получим следующие вариантов 0000; 1111; 1000, 0100, 0010, 0001; 1001, 1010, 1100, ОНО, 0101, ООН 0111, 1011, 1101, 1110. Число комбина- Дж. К. Максвелл Статьи и речи, стр. 87. 179 ций с m гербами при п монетах равно n ( n — 1) . . . (n — m + 1 ) m _ j . ото выражение обладает тем свойством, что его значение сначала возрастает с увеличением ша затем, после достижения максимума, начинает убывать. Если мы теперь рассмотрим всевозможные комбинации расположений п монет, то среди них по мере увеличения п все больше будет возрастать относительная доля вариантов, в которых m близко к п. Заметим, что это утверждение имеет вероятностный характер и чисто арифметическую природу. Оно не является законом естественных науки относится, скорее, к определенному разделу математики, а именно к комбинаторике. С какими же статистическими утверждениями имеет дело статистическая механика Состояние изолированной статистической системы изображается в статистической механике точкой на поверхности постоянной энергии в многомерном фазовом пространстве. Значение какой-либо макроскопической величины этой системы вычисляется как среднее соответствующей функции, зависящей от микросостояния системы, по всему фазовому пространству. При этом вычисление существенно опирается на тот факт, что для подавляющего множества состояний значение этой функции будет почти постоянно. Как пишет поэтому поводу М. Кац, то, что должно быть наблюдаемо, наверняка наблюдается на громадном большинстве исследуемых конфигураций Ч Такого рода ут- 1 М. Кац. Несколько вероятностных задач физики и математики. М, 1967, стр. 33. 180 верждение оказывается верным лишь для систем с большим числом степеней. Аналогично высказывание о том, что среди различных расположений п монет подавляющее большинство конфигураций будет содержать приблизительно п монет, выпавших гербом вверх, оказывается верным лишь при достаточно больших значениях п. Сравнение приемов рассуждений статистической физики и используемых в приведенном выше примере невольно наводит на мысль, что статистические закономерности являются прямым следствием изменения числа степеней свободы системы. Эта точка зрения кажется достаточно убедительной, и неслучайно она до сих пор пользуется значительной поддержкой. Таким образом пишут, например, Ландау и Лифшиц,— хотя движение систем с огромным числом степеней свободы подчиняется тем же законам механики, что и движение систем из небольшого числа частиц, наличие большого числа степеней свободы приводит к качественно новым закономерностям Ч Уже приведенные выше рассуждения показывают, что в статистической механике, хотя она и строится на основе однозначных законов, ситуация все же отлична от той, с которой мы столкнулись в примере с применением метода Монте-Карло. В последнем случае предмет исследования объективно совершенно определен. В первом же, благодаря большому числу степеней свободы си Л. Д. Ландау и ЕМ. Лифшиц. Статистическая физика, стр. 14. 181 стемы, на фоне полной однозначной детерминированности появляются объективные статистические закономерности, характеризующие свойства системы в целом, макроскопически. Дело обстоит так, как будто именно субъективная ограниченность человека приводит его к необходимости воспользоваться статистическими закономерностями, но вместе стем это все же закономерности существующие в самой природе. Эта позиция в отношениях статуса применения вероятностно-статистических методов и истолкования природы статистических законов отнюдь не является специфичной только для классической физики. Она широко распространена ив других областях науки. Довольно убедительно об этом свидетельствует книга А. А. Чупрова Очерки по теории статистики, в которой автор при рассмотрении аналогичных проблем в других областях науки дает им именно такое истолкование. Я проиллюстрирую ход его рассуждения соответствующей цитатой Желая прагматически объяснить картину ровной пелены снежного поля, мы можем идти к этой цели путем детального изучения процесса падения каждой отдельной снежинки если бы мы располагали достаточно подробными сведениями о состоянии атмосферы над полем и о характере поверхности самого поля, то могли бы на основании общих законов метеорологии и механики дать отчет о тех траекториях, которые описываются отдельными снежинками, и указать те места, в которых каждая из них соприкоснется с поверхностью земли и на которых они окончательно улягутся. Подводя затем общий итог для всей совокупности выпавших хлопьев снега, мы объяснили бы во всех деталях вид снежного покрова, расстилающегося перед нашими глазами. Но если нас интересует только общий вид поля, то для объяснения его пет надобности располагать всем тем, практически недостижимым, запасом сведений, который потребен для прослеживания судеб каждой отдельной снежинки достаточно иметь в распоряжении сравнительно небольшой объем данных касательно проходящих над полем тучи состояния воздуха вовремя метели, для того чтобы, привлекая на помощь закон больших чисел, объяснить, почему поле оказывается, в конце концов, покрытым ровной пеленой Здесь обращает на себя внимание прежде всего убежденность в принципиальной возможности получить всю информацию об объекте на основании однозначных законов. Совершенно определенно выражена мысль о том, что статистические закономерности дают такие сведения, которые в принципе могут быть получены на пути анализа однозначной детерминации, лежащей в их основе. Таким образом, утверждается сводимость этих закономерностей к динамическим законам. Несомненно, что такая точка зрения на статус статистических закономерностей оказывается вполне последовательным проведением доктрины лапласовского детерминизма. Признание объективности новых, статистических, закономерностей ставит, конечно, |