Курс высшей математики. Том 1 (Смирнов В.И.). В. И. Смирнов Допущено Научнометодическим советом по математике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебника для студентов механикоматематических и физикоматематических факультетов у
 Скачать 3.3 Mb.
|
|
1 — их массы, то формула (определяет координаты центра тяжести системы точек M i 165. Дополнительные замечания о нахождении максимумов и минимумов. Предыдущие рассуждения распространяются и на случай большего числа независимых переменных. Пусть, например, дана функция трех независимых переменных f (x, y, z). Для нахождения тех значений независимых переменных, при которых эта функция достигает максимума или минимума, надо решить систему трех уравнений стремя неизвестными [162] f ′ x (x, y, z) = 0, f ′ y (x, y, z) = 0, f ′ z (x, y, z) = 0. (13) Гл. V. Функции нескольких переменных [165 Пусть x = a, y = b, z = c — одно из решений этой системы. Наметим кратко путь для исследования этих значений. Формула Тейлора дает нам приращение функции в виде суммы однородных полиномов, расположенных по степеням приращений независимых переменных = h ∂f (a, b, c) ∂a + k ∂f (a, b, c) ∂b + l ∂f (a, b, c) ∂c + + 1 2! h ∂ ∂a + k ∂ ∂b + l ∂ ∂c (2) f (a, b, c) + . . . + + 1 (n + 1)! h ∂ ∂a +k ∂ ∂b +l ∂ ∂c (n+1) f (a+θh, b+θk, c+θl)(0 < θ < Значения x = a, y = b, z = c удовлетворяют уравнениям (13). Поэтому h ∂f (a, b, c) ∂a + k ∂f (a, b, c) ∂b + l ∂f (a, b, c) ∂c = Если совокупность членов второй степени относительно h, k, l 1 2! h ∂ ∂a + k ∂ ∂b + l ∂ ∂c (2) f (a, b, обращается в нуль только при h = k = l = 0, то знак правой части (при h, k, l, достаточно малых по абсолютному значению, совпадает со знаком выражения (15), и если этот знак (+), то f (a, b, c) является минимумом функции f (x, y, z), если же (—), то мы имеем дело с максимумом. Если выражение (15) может иметь разные знаки, тоне является ни максимумом, ни минимумом функции. Если же, наконец, выражение, не меняя знака, обращается в нуль при некоторых значениях h, k, отличных от h = k = l = 0, то этот случай остается сомнительными требуется исследование тех членов правой части (14), которые содержат h, k ив степени выше второй. Приведем полное исследование этого сомнительного случая в частном примере функции двух независимых переменных u = x 2 − 2xy + y 2 + x 3 + Значения x = y = 0 обращают в нуль частные производные и ∂u ∂y Кроме того, имеем = ∂ 2 u ∂x x=0 y=0 = 2, B = ∂ 2 u ∂x∂y x=0 y=0 = −2, C = ∂ 2 u ∂y 2 x=0 y=0 = 2, 165] § 16. Формула Тейлора − B 2 = темы имеем дело с сомнительным случаем. Характерная особенность этого случая состоит в том, что совокупность членов второго измерения в выражении функции u представляет собою полный квадрат, и мы можем в рассматриваемом примере написать u = (x − y) 2 + (x 3 + При x = y = 0 и u обращается в нуль. Для исследования знака u при x и y, близких к нулю, введем полярные координаты x = r cos α, y = r sin Подставляя эти значения x и y, получим u = r 2 [(cos α − sin α) 2 + r(cos 3 α + При любом значении α в промежутке (0, 2π), отличном от π 4 и 5π 4 , cos α − sin α 6= и, следовательно, для всякого такого значения α можно выбрать такое положительное число r 0 , что признак выражения, стоящего в квадратных скобках, будет (+). При α этот знак также будет (но примы получим знаки, следовательно, при x = y = функция u не будет иметь ни максимума, ни минимума. Рассмотрим еще одну функцию u = (y − x 2 ) 2 − Нетрудно проверить, что причастные производные и обращаются в нуль, и что мы имеем дело с сомнительным случаем. Выбирая для x сколь угодно малое значение и полагая y = x 2 , мы видим, что функция u приведется к (−x 5 ) и ее знак будет зависеть от знака те. при x = y = 0 функция u не будет достигать ни максимума, ни минимума. Вводя полярные координаты, мы получили бы u = r 2 (sin 2 α − 2r cos 2 α sin α + r 2 cos 4 α − r 3 cos 5 α), Гл. V. Функции нескольких переменных [166 Рис. и из этого выражения видно, что при всяком значении α, не исключая и значений = 0 и π, можно найти такое положительное число r 0 , чтобы было u > 0 прите. на всякой полупрямой, выходящей изначала координат, функция u имеет знак) вблизи начала координат. Однако, как мы видим, это не влечет за собой минимума вначале координат, где u = 0, ибо нельзя найти упомянутое число так, чтобы оно было одно и тоже для всех значений В [76] мы построили кривую (y − x 2 ) 2 − x 5 = 0 и видели, что она вначале координат имеет точку возврата второго рода, а левая часть этого уравнения имеет знак (—) вблизи начала координат, если рассматривать ее значения в точках, заключающихся в заштрихованной области между двумя ветвями кривой (рис. 165). 166. Наибольшее и наименьшее значения функции. Положим, что требуется найти наибольшее значение некоторой функции f (x, y), заданной в определенной области. Указанный в [163] прием позволяет нам найти все максимумы функции внутри этой области, тете точки внутри области, в которых значения функции не меньше, чем в соседних сними точках. Для нахождения наибольшего значениях функции надо принять во внимание значения функции на границе (контуре) данной области и сравнить ее максимумы внутри области со значениями на контуре. Наибольшее из всех этих значений и будет наибольшим значением функции в данной области. Аналогично находится и наименьшее значение функции в данной области. Для разъяснения сказанного рассмотрим пример. Рис. На плоскости дан треугольник рис. 166), образованный осями OX и и прямой x + y − 1 = Требуется найти такую точку этого треугольника, для которой сумма квадратов ее расстояний до вершин треугольника была бы наименьшей. Принимая во внимание, что вершины и B имеют координаты (1, 0) и (0, 1), мы 167] § 16. Формула Тейлора 511 можем написать выражение для вышеупомянутой суммы квадратов расстояний переменой точки (x, y) до вершин треугольника = 2x 2 + 2y 2 + (x − 1) 2 + (y − Приравнивая нулю частные производные первого порядка, получим x = y = 1 / 3 , и нетрудно показать, что этим значениям соответствует минимум z = 4 / 3 . Исследует теперь значения z на контуре треугольника. Для исследования z на стороне OA надо в выражении для z положить y = 0: z = 2x 2 + (x − 1) 2 + причем x может меняться в промежутке (0, Поступая согласно убедимся, что z на стороне OA принимает наименьшее значение z в точке C, для которой x = 1 / 3 . Точно также и на стороне OB наименьшее значение z будет равно 5 / 3 и будет достигаться в точке D, для которой y = 1 / 3 . Для исследования значений z на стороне AB надо, согласно уравнению (16), в выражении z положить y = 1 − x: z = 3x 2 + 3(x − причем x может меняться в промежутке (0, 1). В данном случае наименьшее значение z будет z и будет достигаться в точке E, для которой x = y = 1 / 2 . Мы получаем, таким образом, следующую таблицу возможных наименьших значений функции, y 1 3 , 1 3 1 3 , 0 0, 1 3 1 2 , 1 2 z 4 3 5 3 5 3 3 Из этой таблицы мы видим, что наименьшее значение z будет достигаться в точке ( 1 / 3 , 1 / 3 ). Рассматриваемая задача может быть также решена и для любого треугольника, и искомая точка является центром тяжести треугольника. Относительные максимумы и минимумы. До сих пор мы рассматривали максимумы и минимумы функции, предполагая, ∗ Функция двух переменных, суженая на отрезок, оказывается функцией одной переменной Гл. V. Функции нескольких переменных [167 что те переменные, от которых функция зависит, суть независимые переменные. В подобных случаях максимумы и минимумы называются абсолютными. Перейдем теперь к рассмотрению того случая, когда переменные, от которых зависит функция, связаны некоторыми соотношениями. В подобных случаях максимумы и минимумы называются относительными. ∗ Пусть требуется найти максимумы и минимумы функции f (x 1 , x 2 , . . . , x m , x m+1 , . . . , x от (m + n) переменных x i , которые связаны n соотношениями, x 2 , . . . , x m , x m+1 , x m+n ) = 0 (17) (i = 1, 2, . . . , В дальнейшем для сокращения письма мы не будем писать аргументов у функций. Разрешая n соотношений (17) относительно n переменных, например m+1 , x m+2 , . . . , x мы выразим их через остальные m независимых переменных x 1 , x 2 , . . . , x подставляя эти выражения в функцию f , получим функцию от m независимых переменных, те. придем к задаче отыскания абсолютных максимумов и минимумов. Но такое разрешение системы) часто бывает практически затруднительными даже невыполнимыми мы укажем другой способ решения задачи, способ множителей Лагранжа. Пусть в некоторой точке M (x 1 , x 2 , . . . , x m+n ) функция f достигает относительного максимума или минимума. Предполагая существование производных в точке M , можем утверждать, что полный дифференциал функции f должен обращаться в нуль в точке [162]: m+n X s=1 ∂f ∂x s dx s = В математической литратуре такие максимумы и минимумы часто называются условными 167] § 16. Формула Тейлора 513 С другой стороны, дифференцируя соотношения (17), получим в той же точке M следующие n равенств s dx = 0 (i = 1, 2, . . . Умножим эти последние уравнения на неопределенные пока множители и сложим их все почленно друг с другом и соотношением (18): m+n X s=1 ∂f ∂x s + λ 1 ∂ϕ 1 ∂x s + λ 2 ∂ϕ 2 ∂x s + . . . + λ n ∂ϕ n ∂x s dx s = Определим эти n множителей так, чтобы коэффициенты при n дифференциалах dx m+1 , dx m+2 , . . . , dx m+n зависимых переменных были равны нулю, те. определим λ 1 , λ 2 , . . . , λ n из n равенств s + λ 1 ∂ϕ 1 ∂x s + λ 2 ∂ϕ 2 ∂x s + . . . + λ n ∂ϕ n ∂x s = 0 (20) (s = m + 1, m + 2, . . . , m + Тогда в левой части соотношения (19) останутся лишь члены, содержащие дифференциалы независимых переменных dx 1 , dx 2 , . . . , dx то есть m X s=1 ∂f ∂x s + λ 1 ∂ϕ 1 ∂x s + λ 2 ∂ϕ 2 ∂x s + . . . + λ n ∂ϕ n ∂x s dx s = Но дифференциалы dx 1 , dx 2 , . . . , dx независимых переменных суть величины произвольные. Приравнивая один из них единице, а Гл. V. Функции нескольких переменных [168 остальные нулю, мы видим, что из равенства (21) вытекает, что все коэффициенты этого неравенства должны быть равны нулю то есть s + λ 1 ∂ϕ 1 ∂x s + λ 2 ∂ϕ 2 ∂x s + . . . + λ n ∂ϕ n ∂x s = 0 (s = 1, 2, . . . , m). (Надо считать, что во всех предыдущих формулах, начиная с, переменные x заменены координатами той точки M , в которой достигает, по предположению, относительного максимума или минимума. В частности, это относится и к уравнениям (20), из которых должны быть определены λ 1 , λ 2 , . . . , Таким образом, уравнения (22), (20) и (17) выражают необходимое условие того, что в точке (x 1 , x 2 , . . . , x m+n ) достигается относительный максимум или минимум. Уравнения (22), (20) и (17) дадут нам (m + 2n) уравнений для определения (m + n) переменных x и n множителей Из системы (22) и (20) видно, что для определения тех значений переменных x s , при которых функция f достигает относительного максимума или минимума, надо приравнять нулю частные производные по всем x от функции Φ, определяемой равенством+ считая λ 1 , λ 2 , . . . , λ n постоянными, и присоединить n уравнений связи (В следующем параграфе мы кратко изложим вопрос о достаточных условиях. Отметим, что при выводе указанного правила мы предположили не только существование производных у функций f и ϕ i , но и возможность определения множителей λ 1 , λ 2 , . . . , λ n из уравнения. В связи с этим указанное правило может не дать нам некоторых значений (x 1 , x 2 , . . . , x m+n ), для которых достигается относительный максимум или минимум. Мы выясним сейчас более подробно это обстоятельство в простейших случаях и уточним теорию. Дополнительные замечания. Пусть ищутся относительные максимумы и минимумы функции f (x, y) при одном дополнительном 168] § 16. Формула Тейлора 515 условии ϕ(x, y) = и предположим, что, например, относительный максимум достигается в точке (x 0 , y 0 ), так что ϕ(x 0 , y 0 ) = 0. Пусть ϕ(x, y) имеет непрерывные частные производные первого порядка в точке (x 0 , y 0 ) и ее некоторой окрестности, и предположим, кроме того, что, y 0 ) 6= При этом уравнение (23) определит единственным образом в окрестности функцию y = ω(x), непрерывную, с непрерывной производной и такую, что y 0 = ω(x 0 ) [157]. Подставляя y = ω(x) в функцию f (x, y), мы можем утверждать, что функция f [x, ω(x)] одного переменного должна достигать максимума при x = x 0 , и, следовательно, ее полная производная по x должна обращаться в нуль при x = x 0 , то есть f ′ x 0 (x 0 , y 0 ) + f ′ y 0 (x 0 , y 0 )ω ′ (x 0 ) = Подставляя y = ω(x) в (23) и дифференцируя по x, получим в точке, y 0 ) [69]: ϕ ′ x 0 (x 0 , y 0 ) + ϕ ′ y 0 (x 0 , y 0 )ω ′ (x 0 ) = Умножая второе уравнение на λ и складывая почленно с первым, получим Определяя λ из условия f ′ y 0 + λϕ ′ y 0 = 0, что возможно, в силу (24), будем иметь f ′ x 0 + λϕ ′ x 0 = 0, те. придем к двум уравнениям f ′ x 0 + λϕ ′ x 0 = 0; f ′ y 0 + λϕ ′ y 0 = к которым надо присоединить еще уравнение ϕ(x 0 , y 0 ) = 0, чем и оправдывается способ множителей. Если условие (24) не выполнено, те, но ϕ ′ x 0 (x 0 , y 0 ) 6= 0, то можно повторить все предыдущие рассуждения, меняя x и y ролями. Если в точке (x 0 , y 0 ) мы имеем, y 0 ) = и, y 0 ) = то мы не можем доказать, что точка (x 0 , y 0 ) получается при помощи правила множителей. Равенства (26) показывают, что точка (x 0 , y 0 ) является особой точкой кривой (23) [76]. Дадим сейчас пример такой задачи, для которой имеют место условия (26) в точке относительного минимума Гл. V. Функции нескольких переменных [168 Пусть требуется найти кратчайшее расстояние от точки (−1, 0) до точек, лежащих на полукубической параболе y 2 − x 3 = 0, изображенной на рис. 87 [76]. Таким образом, ищется минимум функции f = (при условии ϕ = y 2 − x 3 = 0. Геометрически очевидно, что минимум достигается в точке (0, 0), лежащей на полукубической параболе, причем эта точка является особой точкой параболы. Способ множителей приведет нас к следующим двум уравнениям + 1) − 3λx 2 = 0, 2y + 2λy = При подстановке x = 0, y = 0 первое уравнение приводит к нелепому равенству 2 = 0, а второе — удовлетворено при любом λ. В данном случае способ множителей не приведет нас к точке (0, 0), в которой достигается относительный минимум. Совершенно аналогично можно показать, что если в точке (x 0 , y 0 , функция достигает максимума или минимума, при одном дополнительном условии ϕ(x, y, z) = 0, ипритом по крайней мере одна из частных производных первого порядка функции ϕ отлична от нуля в точке, y 0 , z 0 ), то эта точка может быть получена по способу множителей. Аналогичны рассуждения ив более общих случаях, но при этом приходится ссылаться на теорему существования неявных функций для систем уравнений, о чем мы упоминали в [157]. Пусть, например, функция) достигает относительного максимума в точке (x 0 , y 0 , z 0 ) при двух дополнительных условиях, y, z) = 0, ψ(x, y, z) = и при обычных предположениях существования и непрерывности производных, и пусть мы имеем, y 0 , z 0 )ψ ′ z 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) − ϕ ′ z 0 (x 0 , y 0 , z 0 )ψ ′ y 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) 6= При этом уравнения (27) определяют единственным образом функции) такие, что y 0 = ω 1 (x 0 ), z 0 = ω 2 (x 0 ). Подставляя эти функции в функцию f , получим функцию одного x, которая имеет максимум при x = x 0 , откуда следует f ′ x 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) + f ′ y 0 (x 0 , y 0 , z 0 )ω ′ 1 (x 0 ) + f ′ z 0 (x 0 , y 0 , z 0 )ω ′ 2 (x 0 ) = Подставляя указанные функции в (27) и дифференцируя по x в точке, y 0 , z 0 ), получим+ ϕ ′ y 0 ω ′ 1 (x 0 ) + ϕ ′ z 0 ω ′ 2 (x 0 ) = 0, ψ ′ x 0 + ψ ′ y 0 ω ′ 1 (x 0 ) + ψ ′ z 0 ω ′ 2 (x 0 ) = 0. 168] § 16. Формула Тейлора 517 Умножаем эти равенства на λ 1 , и складываем с предыдущим) = 0. (Принимая во внимание (28), можем утверждать, что из двух уравнений f ′ y 0 + λ 1 ϕ ′ y 0 + λ 2 ψ ′ y 0 = 0, f ′ z 0 + λ 1 ϕ ′ z 0 + λ 2 ψ ′ z 0 = мы сможем определить и λ 2 , и уравнение (29) после этого приведет нас к равенству f ′ x 0 + λ 1 ϕ ′ x 0 + λ 2 ψ ′ x 0 = чем и оправдывается способ множителей для данного случая. К уравнениями) надо добавить еще, y 0 , z 0 ) = и, y 0 , z 0 ) = Вместо условия (28) мы могли бы поставить аналогичное условие, дифференцируя не пои, а пои или пои. Но если не только выражение, стоящее в левой части (28), но и два других аналогичных выражения, которые получаются при дифференцировании пои или пои равны нулю, то мы не сможем оправдать способ множителей для точки (x 0 , y 0 , z 0 ). Можно показать, что во всех рассмотренных в следующем номере примерах мы не можем иметь такого случая. Так, |