Курс высшей математики. Том 1 (Смирнов В.И.). В. И. Смирнов Допущено Научнометодическим советом по математике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебника для студентов механикоматематических и физикоматематических факультетов у
 Скачать 3.3 Mb.
|
|
2 + b 2 i и концу число a 1 +b 1 i. Этот вектор представляет собой, очевидно, разность векторов ирис) и, следовательно, ему соответствует комплексное число a 2 ) + (b 1 − равное разности комплексных чисел, соответствующих его концу и его началу. Установим теперь свойства модуля суммы и разности двух ком- Рис. 170. плексных чисел. Принимая во внимание, что модуль комплексного числа равен длине соответствующего этому числу вектора и что одна сторона треугольника короче суммы двух других, получим (рис. 170) |α 1 + α 2 | 6 |α 1 | + причем знак равенства будет иметь место лишь в том случае, когда векторы 172] § 17. Комплексные числа 529 соответствующие комплексным числами имеют одинаковое направление, те. когда аргументы этих чисел или равны, или отличаются на кратное 2π. Доказанное свойство имеет, очевидно, место ив случае любого числа слагаемых+ α 2 + . . . + α n | 6 |α 1 | + |α 2 | + . . . + те. модуль суммы меньше или равен сумме модулей слагаемых, причем знак равенства имеет место лишь в том случае, когда аргументы слагаемых равны или отличаются кратным Принимая во внимание, что сторона треугольника больше разности двух других сторон, можем, кроме того, написать+ α 2 | > |α 1 | − те. модуль суммы двух слагаемых больше или равен разности модулей этих слагаемых. Равенство будет иметь место лишь в том случае, когда направления соответствующих векторов противопо- ложны. Вычитание векторов и комплексных чисел приводится, как это мы видели вышек сложению, и для модуля разности двух комплексных чисел будем, как и для модуля суммы, иметь (рис. 170) |α 1 | − |α 2 | 6 |α 1 − α 2 | 6 |α 1 | + |α 2 |. 172. Умножение комплексных чисел. Произведение двух комплексных чисел мы определяем аналогично произведению вещественных чисел, а именно произведение рассматривается как число, составленное из множимого, как множитель составлен из единицы. Вектор, соответствующий комплексному числу с модулем и аргументом ϕ, может быть получен из единичного вектора, длина которого равна единице и направление которого совпадает с положительным направлением оси OX, путем его удлинения враз и поворота в положительном направлении на угол Произведением некоторого вектора на вектор назовем вектор, который получится, если к вектору применить вышеуказанные удлинения и поворот, при помощи которых вектор получается из единичного вектора, причем последнему соответствует, очевидно, вещественная единица Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . Если (r 1 , ϕ 1 ), (r 2 , ϕ 2 ) суть модули и аргументы комплексных чисел, соответствующих векторами, то произведению этих векторов будет, очевидно, соответствовать комплексное число с модулем и аргументом (ϕ 1 + ϕ 2 ). Мы приходим, таким образом, к следующему определению произведения комплексных чисел: Произведением двух комплексных чисел называется такое комплексное число, модуль которого равен произведению модулей сомножителей и аргумент — сумме аргументов сомножителей. Таким образом, в том случае, когда комплексные числа написаны в тригонометрической форме, будем иметь r 1 (cos ϕ 1 + i sin ϕ 1 ) · r 2 (cos ϕ 2 + isinϕ 2 ) = = r 1 r 2 [cos(ϕ 1 + ϕ 2 ) + i sin(ϕ 1 + ϕ 2 )]. (Выведем теперь правило составления произведения для того случая, когда комплексные числа даны не в тригонометрической форме+ b 1 i)(a 2 + b 2 i) = x + Пользуясь указанным выше обозначением модулей и аргументов сомножителей, можем написать a 1 = r 1 cos ϕ 1 , b 1 = r 1 sin ϕ 1 , a 2 = r 2 cos ϕ 2 , b 2 = r 2 sin согласно определению умножения (6): x = r 1 r 2 cos(ϕ 1 + ϕ 2 ), y = r 1 r 2 sin(ϕ 1 + откуда x = r 1 r 2 (cos ϕ 1 cos ϕ 2 − sin ϕ 1 sin ϕ 2 ) = = r 1 cos ϕ 1 · r 2 cos ϕ 2 − r 1 sin ϕ 1 · r 2 sin ϕ 2 = a 1 a 2 − b 1 b 2 , y = r 1 r 2 (sin ϕ 1 cos ϕ 2 + cos ϕ 1 sin ϕ 2 ) = r 1 sin ϕ 1 · r 2 cos ϕ 2 + + r 1 cos ϕ 1 · r 2 sin ϕ 2 = b 1 a 2 + и окончательно получим+ b 1 i)(a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 − b 1 b 2 ) + (b 1 a 2 + Можно было задать эту формулу как правило умножения комплексных чисел по определению 172] § 17. Комплексные числа 531 В случае b 1 = b 2 = 0 сомножители являются вещественными числами и и произведение приводится к произведению этих чисел. В случае a 1 = a 2 = 0 и b 1 = b 2 = 1 равенство (7) дает i · i = i 2 = те. квадрат мнимой единицы равен (Вычисляя последовательно целые положительные степени i, получим. и вообще, при всяком целом положительном k: i 4k = 1, i 4k+1 = i, i 4k+2 = −1, i 4k+3 = Правило умножения, выражаемое равенством (7), можно формулировать так комплексные числа надо перемножать, как буквенные многочлены, считая i 2 = Если α есть комплексное число a+bi, то комплексное число a−bi называется сопряженным си его обозначают через α. Согласно формулам (3) имеем |α| 2 = a 2 + Но из равенства (7) вытекает + bi)(a − bi) = a 2 + а следовательно (a + bi)(a − bi) = те. произведение сопряженных комплексных чисел равно квадрату модуля каждого из них. Отметим еще очевидные формулы + α = 2a, α − α = Из формул (4) и (7) непосредственно следует, что сложение и умножение комплексных чисел подчиняются переместительному закону, т. е. сумма не зависит от порядка слагаемых, а произведение — от Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . порядка сомножителей. Нетрудно проверить и справедливость сочетательного и распределительного законов, выражающихся следующими тождествами+ α 2 ) + α 3 = α 1 + (α 2 + α 3 ), (α 1 α 2 )α 3 = α 1 (α 2 α 3 ), (α 1 + α 2 )β = α 1 β + Предоставляем сделать это читателю. Заметим, наконец, что произведение нескольких сомножителей будет иметь модуль, равный произведению модулей сомножителей, и аргумент, равный сумме аргументов сомножителей. Таким образом, произведение комплексных чисел будет равно нулю тогда и только тогда, когда по крайней мере один из сомножителей равен нулю. Деление комплексных чисел. Деление комплексных чисел определяется как действие, обратное умножению. Таким образом, если (r 1 , ϕ 1 ) — модуль и аргумент делимого, а (r 2 , ϕ 2 ) — модуль и аргумент делителя, то нетрудно видеть, что деление имеет один определенный результат, если делитель отличен от нуля, и что модуль частного будет r 1 r 2 , а аргумент его (ϕ 1 − ϕ 2 ). Обозначая частное в виде дроби, можем написать r 1 (cos ϕ 1 + i sin ϕ 1 ) r 2 (cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 ) = r 1 r 2 [cos(ϕ 1 − ϕ 2 ) + i sin(ϕ 1 − Итак, модуль частного равен частному модулей делимого и делителя, и аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя. Если r 2 = 0, то формула (9) теряет смысл. Если делимое и делитель даны не в тригонометрической форме, а в виде a 1 + b 1 i и a 2 + b 2 i, то, выражая в формуле (9) модули и аргументы через a 1 , a 2 , b 1 , b 2 , получим следующее выражение для частного+ b 1 i a 1 + b 2 i = a 1 a 2 + b 1 b 2 a 2 2 + b 2 2 + b 1 a 2 − a 1 b 2 a 2 2 + b 2 которое можно получить и непосредственно, рассматривая i как иррациональность и умножая числитель и знаменательна комплекс 174] § 17. Комплексные числа 533 ное число, сопряженное со знаменателем, для того чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе a 1 + b 1 i a 2 + b 2 i = (a 1 + b 1 i)(a 2 − b 2 i) a 2 2 + b 2 2 = (a 1 a 2 + b 1 b 2 ) + (b 1 a 2 − a 1 b 2 )i a 2 2 + b 2 и окончательно+ b 1 i a 2 + b 2 i = a 1 a 2 + b 1 b 2 a 2 2 + b 2 2 + b 1 a 2 − a 1 b 2 a 2 2 + b 2 Раньше [172] мы указали на то, что переместительный, сочетательный и распределительный законы сохраняют свою силу и при сложении и умножении комплексных чисел, а потому для выражений, содержащих комплексные числа, оказываются справедливыми все те преобразования, которые являются следствиями этих законов и которые хорошо известны в применении к вещественным числам. Сюда относятся, например правило вынесения за скобку, раскрытие скобок, простейшие формулы, формула бинома Ньютона в случае целого положительного показателя, формулы, относящиеся к прогрессиями т. д. Отметим еще одно важное свойство выражений, содержащих комплексные числа, связанные знаками первых четырех действий. Из формул (4), (5), (7) и (10) непосредственно вытекает следующее предложение если в сумме, разности, произведении и частном заменим все числа сопряженными, то и результаты действий заменятся сопряженными. Так, например, заменяя в формуле (7) и на (−b 1 ) и (получим b 1 i)(a 2 − b 2 i) = (a 1 a 2 − b 1 b 2 ) − (b 1 a 2 + Указанное свойство будет, очевидно, справедливыми для любого выражения, содержащего комплексные числа, связанные знаками первых четырех действий. Возвышение в степень. Применяя формулу (6) в случае n равных сомножителей, получаем правило возвышения комплексного числа в целую положительную степень ϕ + i sin ϕ)] n = r n (cos nϕ + i sin nϕ), (11) Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . те. для возвышения комплексного числа в целую положительную степень нужно его модуль возвысить в эту степень и аргумент умножить на показатель степени. Полагая в формуле (11) r = 1, получаем формулу Моавра (cos ϕ + i sin ϕ) n = cos nϕ + i sin Примеры. Разлагая левую часть равенства (12) по формуле бинома Ньютона и приравнивая вещественные и мнимые части согласно условию (2), получим выражения для cos nϕ и sin nϕ через степени cos и sin ϕ 17 : cos nϕ = cos n ϕ − ( n 2 ) cos n−2 ϕ sin 2 ϕ+ + ( n 4 ) cos n−4 ϕ sin 4 ϕ + . . . + (−1) k ( n 2k ) cos n−2k ϕ sin 2k ϕ+ + . . . + ր (−1) n 2 sin n ϕ (n − четное (−1) n−1 2 n cos ϕ sin n−1 ϕ (n − нечетное nϕ = ( n 1 ) cos n−1 ϕ sin ϕ−( n 3 ) cos n−3 ϕ sin 3 ϕ+( n 5 ) cos n−5 ϕ sin 5 ϕ − . . . + +(−1) k ( n 2k+1 ) cos n−2k−1 ϕ sin 2k+1 ϕ+. . .+ + . . . + ր (−1) n−2 2 n cos ϕ sin n−1 ϕ (n − четное (−1) n−1 2 sin n ϕ (n − нечетное). В частности, при n = 3 формула (12) после раскрытия скобок будет иметь вид cos 3 ϕ + 3i cos 2 ϕ sin ϕ − 3 cos ϕ sin 2 ϕ − i sin 3 ϕ = cos 3ϕ + i sin откуда cos 3ϕ = cos 3 ϕ − 3 cos ϕ sin 2 ϕ, sin 3ϕ = 3 cos 2 ϕ sin ϕ − Символом ( n m ) мы обозначаем число сочетаний из n элементов по m, то есть m ) = n (n − 1) . . . (n − m + 1) 1 · 2 . . . m = n ! m !(n − m)! 174] § 17. Комплексные числа Просуммируем выражения 1 + r cos ϕ + r 2 cos 2ϕ + . . . + r n−1 cos (n − 1)ϕ, B n = r sin ϕ + r 2 sin 2ϕ + . . . + r n−1 sin (n − Положим z = r(cos ϕ + i sin и составим комплексное число+ B n i = 1 + r(cos ϕ + i sin ϕ) + r 2 (cos 2ϕ + i sin 2ϕ) + . . . + + r n−1 [cos(n − 1)ϕ + i sin(n − Пользуемся равенством (11) и формулой для суммы геометрической прогрессии ϕ + i sin ϕ) n 1 − r(cos ϕ + i sin ϕ) = = (1 − r n cos nϕ) − ir n sin nϕ (1 − r cos ϕ) − ir sin Умножая числитель и знаменатель последней дробина величину (1− r cos ϕ) + ir sin ϕ, сопряженную со знаменателем, получим+ B n i = [(1 − r n cos nϕ) − ir n sin nϕ][(1 − r cos ϕ) + ir sin ϕ] (1 − r cos ϕ) 2 + r 2 sin 2 ϕ = = (1 − r n cos nϕ)(1 − r cos ϕ) + r n+1 sin ϕ sin nϕ r 2 − 2r cos ϕ + 1 + + (1 − r n cos nϕ)r sin ϕ − 1(1 − r cos ϕ)r n sin nϕ r 2 − 2r cos ϕ + 1 i = = r n+1 cos(n − 1)ϕ − r n cos nϕ − r cos ϕ + 1 r 2 − 2r cos ϕ + 1 + + r n+1 sin(n − 1)ϕ − r n sin nϕ + r cos ϕ r 2 − 2r cos ϕ + Приравнивая вещественные и мнимые части согласно условию (2), будем иметь 1 + r cos ϕ + r 2 cos 2ϕ + . . . + r n−1 cos(n − 1)ϕ = = r n+1 cos(n − 1)ϕ − r n cos nϕ − r cos ϕ + 1 r 2 − 2r cos ϕ + 1 , Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . . [175 B n = r sin ϕ + r 2 sin 2ϕ + . . . + r n−1 sin(n − 1)ϕ = = r n+1 sin(n − 1)ϕ − r n sin nϕ + r sin ϕ r 2 − 2r cos ϕ + Считая, что абсолютное значение вещественного числа r меньше единицы, и беспредельно увеличивая n, получим в пределе суммы бесконечных рядов + r cos ϕ + r 2 cos 2ϕ + . . . = 1 − r cos ϕ r 2 − 2r cos ϕ + 1 , r sin ϕ + r 2 sin 2ϕ + . . . = r sin ϕ r 2 − 2r cos ϕ + В выражениях A n и B n положим r = 1, тогда получим + cos ϕ + cos 2ϕ + . . . + cos(n − 1)ϕ = cos(n−1)ϕ−cos nϕ−cos ϕ+1 2(1−cos ϕ) = = 2 sin ϕ 2 sin n − 1 2 ϕ + 2 sin 2 ϕ 2 4 sin 2 ϕ 2 = sin n − 1 2 ϕ + sin ϕ 2 2 sin ϕ 2 = = sin nϕ 2 cos (n−1)ϕ 2 sin ϕ 2 (15 Аналогичным образом получим sin ϕ + sin 2ϕ + . . . + sin(n − 1)ϕ = sin nϕ 2 sin (n−1)ϕ 2 sin ϕ 2 (15 2 ) 175. Извлечение корня. Корнем й степени из комплексного числа называется такое комплексное число, я степень которого равна подкоренному числу. Таким образом, равенство n p r(cos ϕ + i sin ϕ) = ρ(cos ψ + i sin равносильно равенству nψ + i sin nψ) = r(cos ϕ + i sin ϕ). 175] § 17. Комплексные числа 537 Но у равных комплексных чисел должны быть равны и аргументы могут отличаться лишь кратным 2π, те+ откуда = n √ r, ψ = ϕ + где n √ r есть арифметическое значение корня и k — любое целое число. Таким образом, мы получаем n p r(cos ϕ + i sin ϕ) = n √ r cos ϕ + 2kπ n + i sin ϕ + те. для извлечения корня из комплексного числа надо извлечь корень из его модуля, а аргумент разделить на показатель корня. В формуле (16) число k может принимать всевозможные целые значения однако можно показать, что различных значений корня будет только n, иона будут соответствовать значениям k = 0, 1, 2, . . . , (n − Чтобы доказать это, заметим, что правые части в формуле (будут различными при двух различных значениях k = и k = тогда, когда аргументы и отличаются не кратными будут одинаковыми, если указанные аргументы отличаются кратным Но разность (k 1 − k 2 ) двух чисел из ряда (17) по абсолютному значению меньше n, а потому разность + 2k 1 π n − ϕ + 2k 2 π n = k 1 − не может быть кратна 2π, те значениям k из ряда (17) соответствуют различных значений корня. Пусть теперь k 2 — целое число (положительное или отрицательное, не заключающееся в ряде (17). Мы можем представить его в виде k 2 = qn + k 1 , Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . где q — целое число и k 1 — одно из чисел ряда (17), а потому + 2k 2 π n = ϕ + 2k 1 π n + те. значению соответствует тоже значение корня, что и значению, заключающемуся в ряде (17). Итак, корень й степени из комплексного числа имеет n различных значений. Исключение из этого правила представляет лишь частный случай, когда подкоренное число равно нулю, те. В этом случае все указанные выше значения корня равны нулю. П р им еры. Определим все значения 3 √ i. Модуль i равен единице и аргумента потому = 3 r cos π 2 + i sin π 2 = cos π 2 + 2kπ 3 + i sin π 2 + 2kπ 3 (k = 0, 1, Мы получаем следующие три значения для+ i sin π 6 = √ 3 2 + 1 2 i, cos 5π 6 + i sin 5π 6 + = − √ 3 2 + 1 2 i, cos 3π 2 + i sin 3π 2 = Рассмотрим все значения те. все решения двучленного уравнения Модуль единицы равен единице и аргумент — нулю, а потому n √ 1 = n √ cos 0 + i sin 0 = cos 2kπ n + i sin 2kπ n (k = 0, 1, 2, . . . , n − Обозначим буквой ε то значение этого корня, которое получается при k = 1: ε = cos 2π n + i Согласно формуле Моавра: ε k = cos 2kπ n + i sin 2kπ n , 176] § 17. Комплексные числа 539 т. е. все корни уравнения z n = 1 имеют вид = 0, 1, 2, . . . , n − причем надо считать ε 0 = Рассмотрим теперь двучленное уравнение вида z n = Вместо z введем новое неизвестное u, полагая z = u где n √ a есть одно из значений корня й степени из a. Подставляя выражение для z в данное уравнение, получим для u уравнение u n = Отсюда видно, что все корни уравнения z n = a могут быть представлены в виде n √ aε k (k = 0, 1, 2, . . . , n − где n √ a одно из n значений этого корня и ε k принимает все значения корня й степени из единицы. Показательная функция. Мы рассматривали раньше показательную функцию e в случае вещественного показателя x. Обобщим теперь понятие о показательной функции на случай любого комплексного показателя. При вещественном показателе функция e может быть представлена в виде ряда [129] e x = 1 + x 1! + x 2 2! + x 3 3! + . . Определим аналогичным рядом показательную функцию ив случае чисто мнимого показателя, те. положим e yi = 1 + yi 1! + (yi) 2 2! + (yi) 3 3! + . . Отделяя вещественные и мнимые члены, имеем отсюда e |