Курс высшей математики. Том 1 (Смирнов В.И.). В. И. Смирнов Допущено Научнометодическим советом по математике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебника для студентов механикоматематических и физикоматематических факультетов у
 Скачать 3.3 Mb.
|
|
В. И. Смирнов Допущено Научно-методическим советом по математике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебника для студентов механико-математических и физико-математических факультетов университетов и технических высших учебных заведений Санкт-Петербург «БХВ-Петербург» 2008 УДК 510(075.8) ББК я С Смирнов ВИС Курс высшей математики. Том I / Пред. Л. Д. Фаддеева, пред. и прим. Е. А. Грининой: е изд. — СПб.: БХВ-Петербург, 2008. — 624 сил (Учебная литература для вузов) ISBN 978-5-94157-909-9 Фундаментальный учебник по высшей математике, переведенный на множество языков мира, отличается, с одной стороны, систематичностью и строгостью изложения, ас другой — простым языком, подробными пояснениями и многочисленными примерами. В первом томе изложены функциональная зависимость и теория пределов, понятие о производной и интеграле, ряды и их приложения к приближенным вычислениям, функции нескольких переменных, комплексные числа, начала высшей алгебры и интегрирование функции. В настоящем, м, издании отмечена устаревшая терминология, сделаны некоторые замечания, связанные с методикой изложения материала, отличающейся от современной, исправлены опечатки. Для студентов университетов и технических вузов УДК 510(075.8) ББК я Предисловие академика РАН Л. Д. Фаддеева Рецензент Л. Д. Кудрявцев, член-корреспондент РАН, академик Европейской академии наук, президент Центра современного образования, профессор Редактор Е. А. Гринина, канд. физмат. наук Оригинал-макет подготовлен издательством Санкт-Петербургского государственного университета ISBN 978-5-94157-909-9 © Смирнов В. H., Смирнова Е. В, 2008 © Оформление, издательство "БХВ-Петербург", 2008 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие к 24-му изданию. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ГЛАВА ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ 1. Переменные величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1. Величина и ее измерение (11). 2. Число (12). 3. Величины постоянные и переменные (15). 4. Промежуток (16). 5. Понятие о функции. Аналитический способ задания функциональной зависимости. Неявные функции (22). 8. Табличный способ (23). 9. Графический способ изображения чисел (24). 10. Координаты. 11. Графики уравнение кривой (28). 12. Линейная функция. 13. Приращение. Основное свойство линейной функции (32). 14. График равномерного движения (34). 15. Эмпирические формулы. Парабола второй степени (37). 17. Парабола третьей степени (40). 18. 3акон обратной пропорциональности (42). 19. Степенная функция (44). 20. Обратные функции (47). 21. Многозначность функции (49). 22. Показательная и логарифмическая функции. 23. Тригонометрические функции (55). 24. Обратные тригонометрические, или круговые, функции (59). § 2. Теория пределов. Непрерывные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 25. Упорядоченное переменное (62). 26. Величины бесконечно малые. Предел переменной величины (71). 28. Основные теоремы. Величины бесконечно большие (79). 30. Монотонные переменные (81). 31. Признак Коши существования предела (83). 32. Одновременное изменение двух переменных величин, связанных функциональной зависимостью (88). 33. Примеры (93). 34. Непрерывность функции (95). 35. Свойства непрерывных функций (98). 36. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших величин Оглавление. 37. Примеры (104). 38. Число e (106). 39. Недоказанные предложения. Вещественные числа (112). 41. Действия над вещественными числами (116). 42. Точные границы числовых множеств. Свойства непрерывных функций (121). 44. Непрерывность элементарных функций ГЛАВА ПОНЯТИЕ О ПРОИЗВОДНОЙ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ 3. Производная и дифференциал первого порядка . . . . . . . . . . . . 131 45. Понятие о производной (131). 46. Геометрическое значение производной. Производные простейших функций (137). 48. Производные сложных и обратных функций (141). 49. Таблица производных и примеры (146). 50. Понятие о дифференциале (149). 51. Некоторые дифференциальные уравнения (153). 52. Оценка погрешностей. Производные и дифференциалы высших порядков . . . . . . . . 158 53. Производные высших порядков (158). 54. Механическое значение второй производной (161). 55. Дифференциалы высших порядков. 56. Разности функций (164). § 5. Приложение понятия о производной к изучению функции 57. Признаки возрастания и убывания функций (167). 58. Максимумы и минимумы функций (171). 59. Построение графиков (178). 60. Наибольшее и наименьшее значения функций (182). 61. Теорема Ферма (189). 62. Теорема Ролля (190). 63. Формула Лангранжа (192). 64. Формула Коши (196). 65. Раскрытие неопределенностей (197). 66. Различные виды неопределенностей (200). § 6. Функция двух переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 67. Основные понятия (203). 68. Частные производные и полный дифференциал функции двух независимых переменных (206). 69. Производные сложных и неявных функций (209). § 7. Некоторые геометрические приложения понятия о производных. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 70. Дифференциал дуги (211). 71. Выпуклость, вогнутость и кривизна. Асимптоты (218). 73. Построение графиков (220). 74. Параметрическое задание кривой (223). 75. Уравнение Ван-дер- Ваальса (228). 76. Особые точки кривых (230). 77. Элементы кривой. 78. Цепная линия (238). 79. Циклоида (239). 80. Эпициклоиды и гипоциклоиды (242). 81. Развертка круга (246). 82. Кривые в полярных координатах (246). 83. Спирали (249). 84. Улитки и кардиоида. Овалы Кассини и лемниската (253). Оглавление 5 Г ЛАВА ПОНЯТИЕ ОБ ИНТЕГРАЛЕ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ 8. Основные задачи интегрального исчисления и неопределенный интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 86. Понятие о неопределенном интеграле (256). 87. Определенный интеграл как предел суммы (261). 88. Связь определенного и неопределенного интегралов (268). 89. Свойства неопределенного интеграла. Таблица простейших интегралов (276). 91. Правило интегрирования по частям (277). 92. Правило замены переменных. Примеры (279). 93. Примеры дифференциальных уравнений первого порядка (284). § 9. Свойства определенного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 94. Основные свойства определенного интеграла (288). 95. Теорема о среднем (293). 96. Существование первообразной функции (297). 97. Разрыв подынтегральной функции (300). 98. Бесконечные пределы. Замена переменной под знаком определенного интеграла. Интегрирование по частям (310). § 10. Приложения понятия об определенном интеграле . . . . . . . . . 313 101. Вычисление площадей (313). 102. Площадь сектора (317). 103. Длина дуги (320). 104. Вычисление объемов тел по их поперечным сечениям (329). 105. Объем тела вращения (331). 106. Поверхность тела вращения (333). 107. Определение центров тяжести. Теоремы Гульдина (337). 108. Приближенное вычисление определенных интегралов формулы прямоугольников и трапеций (342). 109. Формула касательных и формула Понселе (345). 110. Формула Симпсона (346). 111. Вычисление определенного интеграла с переменным верхним пределом (350). 112. Графические способы (352). 113. Площади быстро колеблющихся кривых (355). § 11. Дополнительные сведения об определенном интеграле . . . 356 114. Предварительные понятия (356). 115. Разбиение промежутка на части и образование различных сумм (358). 116. Интегрируемые функции (362). 117. Свойства интегрируемых функций ГЛАВА РЯДЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ К ПРИБЛИЖЕННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ § 12. Основные понятия из теории бесконечных рядов . . . . . . . . . . 372 118. Понятие о бесконечном ряде (372). 119. Основные свойства бесконечных рядов (174). 120. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости (377). 121. Признаки Коши и Даламбера (379). Оглавление. Интегральный признак сходимости Коши (384). 123. Знакопеременные ряды (387). 124. Абсолютно сходящиеся ряды (389). 125. Общий признак сходимости (392). § 13. Формула Тейлора и ее приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393 126. Формула Тейлора (393). 127. Различные виды формулы Тейлора. Ряды Тейлора и Маклорена (400). 129. Разложение. 130. Разложение sin x и cos x (403). 131. Бином Ньютона. 132. Разложение log(1+x) (413). 133. Разложение arctg x (417). 134. Приближенные формулы (421). 135. Максимумы, минимумы и точки перегиба (422). 136. Раскрытие неопределенностей (424). § 14. Дополнительные сведения из теории рядов . . . . . . . . . . . . . . . . 426 137. Свойства абсолютно сходящихся рядов (426). 138. Умножение абсолютно сходящихся рядов (429). 139. Признак Куммера (431). 140. Признак Гаусса (433). 141. Гипергеометрический ряд (436). 142. Двойные ряды (438). 143. Ряды с переменными членами. Равномерно сходящиеся ряды (444). 144. Равномерно сходящиеся последовательности функций (448). 145. Свойства равномерно сходящихся последовательностей (451). 146. Свойства равномерно сходящихся рядов (456). 147. Признаки равномерной сходимости (457). 148. Степенные ряды. Радиус сходимости (460). 149. Вторая теорема Абеля (462). 150. Дифференцирование и интегрирование степенного ряда (464). Г ЛАВА ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 15. Производные и дифференциалы функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . 468 151. Основные понятия (468). 152. О предельно переходе (470). 153. Частные производные и полный дифференциал первого порядка. Однородные функции (476). 155. Частные производные высших порядков (478). 156. Дифференциалы высших порядков. 157. Неявные функции (484). 158. Пример (487). 159. Существование неявных функций (489). 160. Кривые в пространстве и поверхности (492). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 16. Формула Тейлора. Максимумы и минимумы функции от нескольких переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497 161. Распространение формулы Тейлора на случай функции от нескольких независимых переменных (497). 162. Необходимые условия максимума и минимума функции (499). 163. Исследование максимума и минимума функции двух независимых переменных (501). 164. Примеры (505). 165. Дополнительные замечания о нахождении максимумов и минимумов (507). 166. Наибольшее и наименьшее значения функции (510). 167. Относительные максимумы и минимумы. 168. Дополнительные замечания (514). 169. Примеры (519). Оглавление 7 Г ЛАВА КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА, НАЧАЛА ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЫ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 17. Комплексные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523 170. Комплексные числа (523). 171. Сложение и вычитание комплексных чисел (527). 172. Умножение комплексных чисел (529). 173. Деление комплексных чисел (532). 174. Возвышение в степень. 175. Извлечение корня (536). 176. Показательная функция. 177. Тригонометрические и гиперболические функции (542). 178. Цепная линия (547). 179. Логарифмирование (553). 180. Синусоидальные величины и векторные диаграммы (554). 181. Примеры. 182. Кривые в комплексной форме (562). 183. Представление гармонического колебания в комплексной форме (566). § 18. Основные свойства целых многочленов и вычисление их корней . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567 184. Алгебраическое уравнение (567). 185. Разложение многочлена на множители (569). 186. Кратные корни (571). 187. Правило Горне- ра (573). 188. Общий наибольший делитель (577). 189. Вещественные многочлены (578). 190. Зависимость между корнями уравнения и его коэффициентами (580). 191. Уравнение третьей степени (581). 192. Решение кубического уравнения в тригонометрической форме. Способ итерации (588). 194. Способ Ньютона (593). 195. Способ простого интерполирования (595). § 19. Интегрирование функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598 196. Разложение рациональной дробина простейшие (598). 197. Интегрирование рациональной дроби (601). 198. Интеграл от выражений, содержащих радикалы (604). 199. Интегралы вида ax 2 +bx+c)dx (605). 200. Интегралы вида x, cos x)dx (610). 201. Интегралы вида ax [P (x) cos bx + Q(x) sin bx]dx (612). ПРЕДИСЛОВИЕ к 24-му изданию Читателю предлагается переиздание первой книги многотомного труда Владимира Ивановича Смирнова Курс высшей математики». В чем притягательная сила этого энциклопедического учебника, который выдерживает испытание временем уже более семидесяти лет, переведен на множество языков мира, ссылки на который имеются в научных публикациях самого последнего времени? Прежде всего это основополагающая идея, выдвинутая выдающимися учеными, академиками В. А. Фоком и В. И. Смирновым, работавшими на физическом факультете Ленинградского университета. Она состояла в том, что для студентов физиков и, даже шире, для естествоиспытателей и инженеров, требуется совсем иное содержание и стиль изложения математики, чем для студентов математиков. Формализованный стиль, основанный на чередовании определений, лемм и теорем, и доведение условий до предельно общих за счет громоздкости доказательства представляется ненужным мышлению физика, использующего эмпирический подход чаще, чем дедуктивный. Второй составляющей успеха представляемой книги был непревзойденный педагогический дар Владимира Ивановича. До преклонных лет он был одним из любимейших лекторов на физическом факультете. Книги, написанные им, читаются простои увлекательно, даже те страницы, где проводятся громоздкие вычисления. И все это с сохранением достаточной строгости изложения. Третьим важным моментом является энциклопедический охват материала. Курс включает как общие разделы математики, читаемые для физиков, химиков, инженеров и т. д, таки более специализированные разделы, например, теорию групп или теорию специальных функций 10 Предисловие При написании раздела по теории групп значительную помощь ему оказал мой отец член-корреспондент Д. К. Фаддеев. В последнем томе курса впервые в советской математике было дано изложение функционального анализа. Часть разделов, связанных с функциональным анализом, была доработана после смерти В. И. Смирнова академиком О. А. Ладыженской. Несколько слов надо сказать о личности Владимира Ивановича. Он был очень скромным, открытым человеком, никогда не требовавшим от университетского начальства ни отдельного кабинета, ни личной секретарши. Однако он был тверди решителен, когда выступал в защиту гонимых по тем или иным причинам математиков, когда отстаивал научные принципы университетского образования. Туже О. А. Ладыженскую он неоднократно спасал от административного произвола, сохранив для математики выдающегося ученого. Авторитет Владимира Ивановича как в Ленинградском математическом сообществе, таки в мировой науке был чрезвычайно высок. До сих пор курс В. И. Смирнова используется как основное учебное пособие на физическом факультете Санкт-Петербургского государственного университета. На младших курсах одним из лекторов по высшей математике была Е. А. Гринина, которая и подготовила данное переиздание к печати. академик РАН Л. Д. Фаддеев Общая цель сделанных комментариев состоит в том, чтобы упростить современному студенту использование данной книги и как единого учебного пособия, и как справочного материала при работе с другими изданиями. Мною отмечена устаревшая терминология, даны замечания по поводу опущенных вычислений. Также сделаны некоторые замечания, связанные с методикой изложения материала, отличающейся от принятой в большинстве современных лекционных курсов. Входе работы были исправлены опечатки, допущенные в предыдущем издании. канд. физмат. наук Е. А. Гринина ГЛАВА ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ 1. ПЕРЕМЕННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. Величина и ее измерение. Математический анализ имеет основное значение в ряде науки, в частности, в естественных науках и технике. В отличие от остальных наук, из которых каждая интересуется лишь некоторой определенной стороной окружающего нас мира, математика имеет дело с самыми общими свойствами, присущими всем доступным для научного исследования явлениям. Одним из основных понятий является понятие о величине и ее измерении. Характерное свойство величины заключается в том, что она может быть измерена, те. тем или иным путем сравнена с некоторой определенной величиной того же рода, которая принимается за единицу меры. Самый процесс сравнения зависит от свойства исследуемой величины и называется измерением. В результате же измерения получается число, выражающее отношение рассматриваемой величины к величине, принятой за единицу меры. Всякий закон природы дает нам соотношение между величинами или, вернее, между числами, выражающими эти величины. Предметом исследования математики и являются как раз числа и различные соотношения между ними, независимо от конкретного характера тех величин или законов, которые привели нас к этим числами соотношениям Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов [2 Итак, каждой величине соответствует измеряющее ее число. Но число это существенно зависит от принятой при измерении единицы или масштаба. При увеличении этой единицы будет уменьшаться число, измеряющее данную величину, и, обратно, число это будет увеличиваться приуменьшении единицы. Выбор масштаба обусловливается характером исследуемой величины и обстоятельствами, при которых производится измерение. Величина масштаба при измерении одной и той же величины может меняться в самых широких пределах, — например, при измерении длины в точных оптических исследованиях принимают за единицу длины один ангстрем (одну десятимиллионную долю миллиметра, мм в астрономии же употребляют единицу длины, называемую световым годом, те. расстояние, проходимое светом в течение одного года (за одну секунду свет проходит примерно 300 000 км. Число. Число, которое получается в результате измерения, может быть целым (если единица содержится целое число разв измеряемой величине, дробным, или рациональным (если существует другая единица, которая содержится целое число разв измеряемой величине, таки в выбранной раньше единице, — короче, когда измеряемая величина соизмерима с единицей меры, и, наконец, иррациональным (когда такой общей меры не существует, те. данная величина оказывается несоизмеримой с единицей меры). Так, например, в элементарной геометрии доказывается, что диагональ квадрата несоизмерима сего стороной, так что если мы будем измерять диагональ квадрата, приняв за единицу длины его сторону, то полученное при измерении число будет иррациональным. Иррациональным же оказывается и число π, измеряющее длину окружности, диаметр которой принят за единицу. Для уяснения понятия об иррациональном числе полезно обратиться к десятичным дробям. Всякое рациональное число, как известно из арифметики, может быть представлено или в виде конечной десятичной дроби, или в виде бесконечной десятичной дроби, причем в последнем случае бесконечная дробь будет периодической (чистой периодической или смешанной периодической. Так, например, производя деление числителя на знаменатель по правилу деления десятичных дробей, мы получим 2] § 1. Переменные величины 5 33 = 0, 151515 · · · = 0(15), 5 18 = 0, 2777 · · · = 0, Наоборот, как известно из арифметики, всякая периодическая десятичная дробь выражает рациональное число. При измерении величины, несоизмеримой с принятой единицей, мы можем сначала подсчитать, сколько раз полная единица заключается в измеряемой величине, затем сколько раз десятая доля единицы заключается в полученном остатке величины, затем сколько раз сотая доля единицы заключается в новом остатке и т. д. Таким путем при измерении величины, несоизмеримой с единицей, будет образовываться некоторая бесконечная непериодическая десятичная дробь. Всякому иррациональному числу соответствует такая бесконечная дробь и, наоборот, всякой бесконечной непериодической десятичной дроби соответствует некоторое иррациональное число. Если в этой бесконечной десятичной дроби оставить лишь несколько первых десятичных знаков, то получится приближенное значение по недостатку иррационального числа, представляемого этой дробью. Так, например, извлекая квадратный корень по обычному правилу до третьего десятичного знака, получим = 1, 414 . . Числа 1,414 и 1,415 будут приближенными значениями с точностью до одной тысячной по недостатку и по избытку. Пользуясь десятичными знаками, можно иррациональные числа сравнивать по величине друг с другом и с рациональными чис- лами. Во многих случаях приходится рассматривать величины разных знаков положительные и отрицательные (температура выше и ниже и т. п. Такие величины выражаются соответственно положительными и отрицательными числами. Если a и b — положительные числа и a > b, то −a < −b, и любое положительное число, включая нуль, больше любого отрицательного числа. Все рациональные и иррациональные числа располагаются в некотором определенном порядке по своей величине. Все эти числа образуют совокупность вещественных чисел Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов [2 Отметим одно обстоятельство, связанное с представлением вещественных чисел десятичными дробями. Вместо любой конечной десятичной дроби мы можем написать бесконечную десятичную дробь с девяткой в периоде. Так, например 3, 16 = 3, 1599 . . . Если не пользоваться конечными десятичными дробями, то получится точное биоднозначное ∗ соответствие между вещественными числами и бесконечными десятичными дробями, те. всякому вещественному числу соответствует бесконечная десятичная дробь и всякой бесконечной десятичной дроби соответствует вещественное число. Отрицательным числам соответствуют бесконечные десятичные дроби с предшествующим им знаком минус. В области вещественных чисел выполнимы первые четыре действия, кроме деления на нуль. Корень нечетной степени из любого вещественного числа имеет всегда одно определенное значение. Корень четной степени из положительного числа имеет два значения, которые различаются только знаком. Корень четной степени из отрицательного вещественного числа не имеет смысла в области вещественных чисел = Строгая теория вещественных чисел и действий над ними будет нами изложена в Арифметическим, или абсолютным, значением числа a называется само число a, если a — положительное число или нуль, и число, если a — отрицательное число. Абсолютное значение числа a обозначается символом |a|, так что |a| = a, если a > 0, и |a| = если a < 0. Так, например, |5| = 5 и | − 5| = 5 и вообще |a| = | − Нетрудно видеть, что абсолютное значение суммы |a+b| будет равно сумме абсолютных значений слагаемых, т. e. равно |a| + |b| только в том случае, если слагаемые имеют одинаковый знака при разных знаках слагаемых |a + b| < |a| + |b|, так что во всех случаях + b| 6 |a| + |b|. ∗ «Биоднозначное» означает взаимооднозначное. 3] § 1. Переменные величины 15 Так, например, при a = −3 и b = −7 мы имеем знак равенства, а при a = 3 и b = −7 имеем |3 + (−7)| = 4 и |3| + | − 7| = 10, те. знак неравенства. Точно также легко видеть что − b| > |a| − причем считается, что |a| > |b|. При |a| < |b| неравенство также справедливо, ибо слева стоит положительная величина, а справа — отрицательная. Абсолютное значение произведения равно произведению абсолютных значений сомножителей, и абсолютное значение частного (делитель отличен от нуля) равно частному абсолютных значений делимого и делителя, те и a b = a b 3. Величины постоянные и переменные. Величины, исследуемые в математике, разделяются на два класса постоянные и переменные. Постоянной величиной называется величина, которая приданном исследовании сохраняет одно и тоже, неизменное, значение. Ей соответствует, таким образом, при фиксированной единице меры определенное число. Переменной величиной называется такая величина, которая по тем или иным причина может принимать различные значения приданном исследовании. Из этих определений ясно, что понятие о постоянной и переменной величине в значительной мере условно и зависит от обстоятельств, при которых изучается данное явление. Одна и та же величина, которая при одних условиях могла рассматриваться как постоянная, при других условиях может стать переменной, и на- оборот. Так, например, при измерении веса тел важно знать, производится ли взвешивание водном и том же месте земной поверхности или в разных если измерение производится водном и том же месте, то ускорение силы тяжести, от которой и зависит вес, будет Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов [4 оставаться величиной постоянной, и различие в весе между разными телами будет зависеть только от их массы если же измерения производятся в разных местах земной поверхности, то ускорение силы тяжести не может считаться постоянным, так как оно зависит от центробежной силы вращения Земли благодаря этому одно и тоже тело на экваторе весит меньше, чем на полюсе, что и можно обнаружить, если производить взвешивание не на рычажных, а на пружинных весах. Равным образом при грубых технических расчетах можно считать, что длина входящих в конструкцию стержней есть величина неизменная при более же точных, когда приходится принимать во внимание действие изменения температуры, длина стержней оказывается переменной, что, конечно, значительно усложняет все расчеты. Промежуток. Характер изменения переменной величины может быть самым разнообразным. Переменная величина может принимать либо всевозможные вещественные значения, без всяких ограничений (например время t, отсчитываемое от некоторого определенного начального момента, может принимать всевозможные, как положительные, таки отрицательные, значения, либо значения ее ограничиваются некоторыми неравенствами (например абсолютная температура T ◦ , которая должна быть больше — наконец, переменная величина может принимать лишь некоторые, а не всевозможные значения (только целые — число жителей данного города, число молекул в данном объеме газа — или только соизмеримые сданной единицей и т. п.). Укажем некоторые, наиболее распространенные в теоретических исследованиях и на практике способы изменения переменных величин. Если переменная величина x может принимать все вещественные значения, удовлетворяющие условию a 6 x 6 b, где a и b — заданные вещественные числа, то говорят, что x изменяется в промежутке. Такой промежуток, со включенными концами, называют иногда замкнутым промежутком. Если переменная x может принимать все значения из промежутка (a, b), кроме его концов, т. е. a < x < b, то говорят, что x изменяется внутри промежут- 5] § 1. Переменные величины 17 ка (a, b). Такой промежуток с исключенными концами называется открытым промежутком. Кроме того, областью изменения x может быть и промежуток, замкнутый с одной стороны и открытый с другой a 6 x < b или a < x 6 Если область изменения x определяется неравенством a 6 x, то говорят, что x изменяется в промежутке (a, +∞), который замкнут слева и открыт справа. Точно также при неравенстве x 6 b мы имеем промежуток (−∞, b), открытый слева и замкнутый справа. Если x может принимать любые вещественные значения, то говорят, что x изменяется в промежутке (−∞, +∞), открытом с обеих сторон. В дальнейшем через (a, b) мы всегда будем обозначать замкнутый промежуток. Часто для замкнутого промежутка пользуются обозначением [a, b] ∗ . Исключение одного или обоих концов из промежутка мы будем оговаривать особо. Понятие о функции. Чаще всего в приложениях приходится иметь дело нес одной переменной величиной, ас несколькими сразу. Рассмотрим, например, 1 кг воздуха. Переменные величины, определяющие его состояние, будут давление p(кг/м 2 ), под которым он находится объем м, который он занимает температура его t( ◦ C). Предположим пока, что температура воздуха поддерживается равной 0 ◦ C. Число t есть в данном случае постоянная, равная нулю. Остаются переменные p и v. Если менять p, то будет меняться и v; например, если воздух сжимать, то объем уменьшается. Давление p мы можем менять произвольно (по крайней мере, в пределах, доступных технике, а потому мы можем называть p независимой переменной при каждой фиксированной величине давления газ, очевидно, должен занимать вполне определенный объем; стало быть, должен существовать такой закон, который позволяет при каждом значении p найти соответствующее ему значение Этот закон хорошо известен — это закон Бойля-Мариотта, который гласит, что объем, занимаемый газом при постоянной температуре, обратно пропорционален давлению. ∗ В математической литературе, как правило, обозначение (a, b) используется именно для открытого промужетка, a [a, b] для замкнутого. На это следует обратить внимание при использовании этой книги одновременно с другими источниками Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов [5 Применяя этот закон к нашему килограмму воздуха, можно найти зависимость между v ив виде уравнения v = 273 · 29, Переменная величина v называется в данном случае функцией независимой переменной Отвлекаясь от этого частного примера, мы можем сказать, что, теоретически говоря, для независимой переменной характерным является множество ее возможных значений, и мы можем по произволу выбирать для нее любое значение из этого множества ее возможных значений. Так, например, множеством значений независимой переменной x может служить какой-либо промежуток) или внутренность этого промежутка, те. независимая переменная x может, например, принимать любые значения, удовлетворяющие неравенству a 6 x 6 b или неравенству a < x < Может случиться, что x принимает любые целочисленные значения и т. д. В указанном выше примере роль независимой переменной играло p, и объем v был функцией p. Дадим теперь определение функции. О пределен и е. Величина y называется функцией независимой переменной x, если любому определенному значению x (из множества ее возможных значений) соответствует определенное значение Если, например, y есть функция от x, определенная в промежутке, то это значит, что любому значению x из этого промежутка соответствует определенное значение Вопрос о том, какую из двух величин, x или y, считать независимой переменной, есть часто вопрос только удобства. В нашем примере мы могли бы, меняя произвольно объем v и определяя каждый раз давление p, считать независимой переменной v, а давление рассматривать как функцию от v. Решая написанное выше уравнение относительно p, получим формулу, выражающую функцию через независимую переменную = 273 · 29, 27 v 5] § 1. Переменные величины 19 Сказанное о двух переменных без труда распространяется и на случай какого угодно числа переменных и здесь мы можем отличить переменные независимые от зависимых, или функций. Возвращаясь к нашему примеру, положим, что температура t не будет уже 0 ◦ C, а может меняться. Закон Бойля—Мариотта должен быть при этом заменен более сложной зависимостью Клапейрона = 29, 27(273 + которая показывает, что при изучении состояния газа можно менять произвольно лишь две из величин p, v и t, а третья будет полностью определена, если даны значения этих двух. Мы можем принять за независимые переменные, например, p и t, тогда v будет функцией от них = 29, 27(273 + либо же независимыми переменными можно считать v и t, а p будет функцией от них. Приведем другой пример. Площадь S треугольника выражается через длины сторон a, b, c по формуле = p p (p − a)(p − b)(p − где p — полупериметр треугольника = a + b + Стороны a, b, c можно менять произвольно, лишь бы только каждая сторона была больше разности и меньше суммы двух других. Таким образом, переменные a, b, c будут независимыми переменными, ограниченными неравенствами, S — функцией от них. Мы можем также задать произвольно две стороны, например a, b, и площадь S треугольника пользуясь формулой = 1 2 ab sin где C — угол между сторонами a, b, мы можем тогда вычислить Здесь уже величины a, b, S будут независимыми переменными, C — Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов [6 функцией. При этом переменные a, b, S должны быть ограничены неравенством sin C = 2S ab 6 Следует заметить, что в этом примере мы получаем для C два значения, смотря потому, возьмем ли мы для C острый или тупой из двух углов, имеющих один и тот же синус sin C Мы приходим здесь к понятию о многозначной функции, о котором подробнее будем говорить ниже. Аналитический способ задания функциональной зависимости. Всякий закон природы, дающий связь одних явлений с другими, устанавливает функциональную зависимость между величинами. Существует много способов для изображения функциональных зависимостей, но самое важное значение имеют три способа) аналитический, 2) способ таблиц и 3) графический, или геометрический. Мы говорим, что функциональная зависимость между величинами или, проще, функция изображена аналитически, если величины эти связаны между собой уравнениями, в которые они входят, подвергаясь различным математическим операциям сложению, вычитанию, делению, логарифмированию и т. д. К аналитическому изображению функций мы приходим, когда исследуем вопрос теоретически, те, установив основные предпосылки, мы применяем математический анализ и получаем результат в виде некоторой математической формулы. Если мы имеем, непосредственное выражение функции теза- висимой переменной) при помощи математических действий над другими, независимыми переменными, то говорят, что функция аналитически задана явно. Примером явного задания функции может служить выражение объема газа v при постоянной температуре через давление (явная функция одной независимой перемен 6] § 1. Переменные величины 21 ной): v = 273 · 29, 27 p или выражение площади S треугольника через стороны = p p (p − a)(p − b)(p − явная функция от трех независимых переменных. Выпишем еще пример явного задания функции от одной независимой переменной+ Часто бывает неудобно или невозможно выписывать формулу, которая выражает функцию через независимые переменные. При этом пишут коротко так = f (Эта запись обозначает, что y есть функция независимой переменной, и f есть символический знак зависимости y от x. Вместо f можно, конечно, употреблять и другие буквы. Если мы рассматриваем разные функции от x, то должны употреблять и разные буквы для символической записи зависимости отит. д. Такой символической записью пользуются не только в том случае, когда функция задана аналитически, но ив самом общем случае функциональной зависимости, которую мы определили в Аналогичной короткой записью пользуются и для функций от нескольких независимых переменных = F (x, y, Здесь v есть функция переменных x, y, Частное значение функции получим, придав независимым переменным частные же значения и выполнив действия, указанные Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов [7 знаками f, F, . . . Так, например, частное значение функции (1) прибудет Вообще частное значение некоторой функции f (x) при x = обозначается f (x 0 ). Аналогично — для функции от нескольких пе- ременных. Не надо смешивать общего понятия функции, которое было нами дано в [5], с понятием аналитического выражения y через x. В общем определении функции говорится лишь о некотором законе, согласно которому любому значению переменной x из множества ее возможных значений соответствует определенное значение y. При этом не предполагается никакое аналитическое выражение формула через Отметим еще, что можно определить функцию различными аналитическими выражениями на разных участках изменения независимой переменной x. Так, например, мы можем определить функцию на промежутке (0, 3) следующим образом y = x + 5 при 6 x 6 2 и y = 11 − 2x при 2 < x 6 3. При таком задании любому значению x из промежутка (0, 3) соответствует определенное значение y, что и соответствует определению функции. Неявные функции. Функция называется, неявной, если мы имеем не непосредственное аналитическое выражение ее через переменные независимые, а только уравнение, которое связывает ее значение со значениями переменных, независимых. Так, например, если переменная величина y связана с переменной величиной x уравнением y 3 − x 2 = то y есть неявная функция независимой переменной x; с другой стороны, можно и x считать неявной функцией независимой переменной Неявная функция v от нескольких независимых переменных x, y, z, . . . определяется вообще из уравнения (x, y, z, . . . , v) = 0. 8] § 1. Переменные величины 23 Вычислять значения этой функции мы можем тогда, когда разрешим уравнение относительно v и тем самым представим v в виде явной функции от x, y, z, . . . : v = ϕ(x, y, z, . . . В приведенном выше примере y выражается через x в виде y Однако для получения различных, свойств функции v совсем нет необходимости решать уравнение, и очень часто бывает, что удается достаточно хорошо изучить неявную функцию по самому уравнению, которым она определяется, не решая его. Например, объем газа v есть неявная функция давления p и температуры t, определяемая уравнением pv = R(273 + Угол C между сторонами a и b треугольника площади S есть неявная функция a, b и S, определяемая уравнением ab sin C = 2S. 8. Табличный способ. Аналитический способ представления функций применяется главным образом при теоретических исследованиях. На практике же, когда приходится на самом деле вычислять много частных значений различных функций, аналитический способ представления часто оказывается неудобным, так как он требует в каждом случае производства всех необходимых вычис- лений. Чтобы избежать этого, вычисляются частные значения наиболее употребительных функций, при большом числе частных значений независимых переменных, и составляются таблицы. Таковы, например, таблицы значений функций y = x 2 , 1 x , √ x, πx, 1 4 πx 3 , log 10 x, log 10 sin x, и т. д Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов [9 с которыми постоянно приходится иметь дело на практике. Существуют и другие таблицы, более сложных функций, которые тоже приносят большую пользу таблицы бесселевых функций, эллиптических и т. д. Существуют таблицы и для функций от нескольких переменных, простейший пример которых представляет обыкновенная таблица умножения, те. таблица значений функций z = xy при различных целых значениях x и Иногда приходится вычислять значения функций при таких частных значениях независимых переменных, которых в таблицах нет, а есть только соседние к ним значения для того, чтобы можно было пользоваться таблицами ив этом случае, существуют различные правила интерполяции одно из таких правил было дано еще в курсе средней школы при пользовании таблицами логарифмов Важное значение имеют таблицы тогда, когда при их помощи изображаются функции, аналитическое выражение которых нам неизвестно с этим приходится иметь дело, когда производится эксперимент. Всякое опытное исследование имеет целью обнаружить скрытые для нас функциональные зависимости, и результат всякого опыта представляется в виде таблицы, связывающей между собой соответствующие значения исследуемых при этом опыте величин. Графический способ изображения чисел. Переходя к графическому способу изображения функциональной зависимости, мы начнем со случая графического изображения одной переменной. Рис. Всякое число x может быть изображено некоторым отрезком. Для этого достаточно, условившись рази навсегда в выборе единицы длины, построить отрезок, длина которого равна как раз данному числу x. Таким образом, всякая величина не только может быть выражена числом, но также и геометрически изображена отрезком. Для того чтобы можно было таким путем изобразить и отрицательные числа, условимся откладывать отрезки на одной и той же прямой линии, приписав ей притом определенное направление 9] § 1. Переменные величины 25 (рис. 1). Условимся, далее, обозначать всякий отрезок знаком причем точку A будем называть началом, B — концом отрезка. Если направление от A к B совпадает с направлением прямой, отрезок изображает число положительное если же направление от к B противоположно направлению прямой, то отрезок изобразит число отрицательное (на рис. 1). Абсолютное же значение рассматриваемого числа выражается длиной изображающего его отрезка независимо от направления. Длину отрезка AB будем обозначать через |AB|; если отрезок изображает число x, то будем писать просто x = AB, |x| = Для большей определенности можно раз навсегда условиться помещать начало всех отрезков в заранее выбранную точку O прямой. Тогда всякий отрезок OA, а потому и изображаемое им число x, будет вполне определяться точкой A, концом отрезка (рис. Рис. Обратно, задав число x, можем и по величине и по направлению определить отрезок, а потому и конец его A. Точке O (начало) соответствует Итак, если провести направленную прямую X ′ X (ось) и отметить на ней неподвижную точку O (начало, то каждому вещественному числу x будет соответствовать определенная точка этой прямой, такая, что отрезок OA измеряется числом Обратно, всякой точке A оси соответствует вполне определенное вещественное число x, измеряющее отрезок OA. Это число x называется абсциссой точки A; если нужно указать, что точка имеет абсциссу x, то пишут Если число x меняется, то изображающая его точка A передвигается по оси. Установленное выше понятие о промежутке при таком графическом изображении числа x становится совершенно наглядным, а именно если x меняется в промежутке a 6 x 6 то соответствующая точка на оси X ′ X будет находиться в отрезке, концы которого имеют абсциссы a и b. Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов [10 Если бы мы ограничились одними рациональными числами, то точке A не соответствовало бы никакой абсциссы, если отрезок несоизмерим с принятой единицей, те, иначе говоря, одни рациональные числа не заполняют всех точек прямой. Это заполнение достигается введением иррациональных чисел. Основным положением при графическом изображении одной переменной величины является указанное выше положение всякой точке оси X ′ X соответствует определенное вещественное число и, наоборот, всякому вещественному числу соответствует определенная точка оси Возьмем на оси X ′ X две точки точку с абсциссою и точку абсциссою x 2 . При этом отрезку будет соответствовать число x 1 , а отрезку OA 2 — число x 2 . Нетрудно показать, рассматривая всевозможные взаимные расположения точек и A 2 , что отрезку будет соответствовать число так что длина этого отрезка будет равна абсолютному значению разности (x 2 − x 1 ): |A 1 A 2 | = |x 2 − Если, например, x 1 = −3 и x 2 = 7, то точка лежит слева от O на расстоянии, равном 3, а точка лежит справа от O на расстоянии, равном 7. Отрезок будет иметь длину 10 и будет направлен также, как ось X ′ X, те. ему будет соответствовать число 10 = 7 − (−3) = x 2 − x 1 . Предоставляем читателю разобрать другие возможности расположения точек и A 2 10. Координаты. Выше мы видели, что положение точки на прямой X ′ X может быть определено вещественным числом x. По- Рис. кажем теперь аналогичный способ определении положения точки на плоскости. Проведем на плоскости две взаимно перпендикулярные оси и Y ′ Y и возьмем за начало на каждой из них их точку пересечения (рис. 3). Положительные направления на осях указаны стрелками. Точкам оси 10] § 1. Переменные величины соответствуют вещественные числа, которые мы обозначим буквой x. Точкам оси Y ′ Y также соответствуют вещественные числа, которые мы будем обозначать буквой y. Если нам заданы определенные значения x и y, то мы имеем определенные точки A и на осях X ′ X и Y ′ Y ; зная точки A и B, можем построить точку пересечения прямых, параллельных осями проведенных через точки A и Каждой паре значений величин x, y соответствует одно вполне определенное положение точки M на плоскости чертежа. Обратно, каждой точке M плоскости соответствует вполне определенная пара значений величин x, y, отвечающих точкам пересечения прямых, проведенных через точку M параллельно осям, с осями и Y ′ Y При указанных на рис. 3 направлениях осей X ′ X, Y ′ Y надо x считать положительным, если точка A лежит направо, и отрицательным, если она лежит налево от точки O; y будет положительным, если точка B лежит сверху, отрицательным, — если снизу от точки Величины x, y, определяющие положение точки M на плоскости ив свою очередь определяемые положением точки M , называются координатами точки M . Оси X ′ X, Y ′ Y ; называются координатными осями, плоскость чертежа — координатной плоскостью, точка O — началом координат. Величина x называется абсциссой, y — ординатой точки M Задавая точку M ее координатами, пишут M (x, Самый способ изображения называется способом прямоугольных координат. Знаки координат точки M при различных ее положениях враз- личных координатных углах (I–IV) (рис. 3) можно представить такой таблицей: M I II III IV x + — — + y + + — — Совершенно ясно, что координаты x и y точки M равны расстояниям точки до осей координат, взятым с соответствующими знаками. Отметим, что точки оси имеют координаты (x, 0), а точки оси Y ′ Y — координаты (0, y). Начало координат имеет координаты (0, 0). Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов 11. Графики уравнение кривой. Возвратимся к величинами, которые изображает точка M . Пусть x и y связаны функциональной зависимостью это значит, что, меняя по произволу или y), мы будем получать каждый раз соответствующее значение y (или x). Каждой такой паре значений x и y соответствует определенное положение точки M на плоскости XOY ; если же значения эти будут меняться, то точка M будет передвигаться по плоскости и при движении своем опишет некоторую линию (рис. 4), которая Рис. называется графическим изображением (или, проще, графиком или диаграммой) рассматриваемой функциональной зависимо- сти. Если зависимость задана аналитически в виде уравнения в явной форме y = f (или в неявной форме (x, y) = то уравнение это называется уравнением кривой, а кривая — графиком уравнения или графиком функции. Кривая и ее уравнение суть лишь различные способы выражения одной и той же функциональной зависимости, те. все точки, координаты которых удовлетворяют уравнению кривой, лежат на этой кривой и, обратно, координаты всех точек, лежащих на кривой, удовлетворяют ее уравнению. Если дано уравнение кривой, можно, пользуясь листом графленой бумаги, построить, более или менее точно, самую кривую (вернее, можно построить какое угодно число точек, лежащих на этой кривой чем больше таких точек построим, тем яснее будет для нас форма кривой такой способ называется построением кривой по точкам 11] § 1. Переменные величины 29 Выбор масштаба имеет существенное значение при построении кривых при этом можно выбирать разные масштабы при построении и y. При одинаковых масштабах для x и y плоскость уподобляется листу бумаги, разграфленному на квадраты, при разных же масштабах — на прямоугольники. В дальнейшем будет подразумеваться, что масштабы для x и y одинаковы. Читателям рекомендуется здесь же построить по точкам несколько графиков простейших функций, меняя притом масштабы для x и Введенные выше понятия о координатах точки M , об уравнении кривой и графике уравнения устанавливают тесную связь между алгеброй и геометрией. С одной стороны, мы получаем возможность наглядным геометрическим путем изображать и исследовать аналитические зависимости, с другой стороны, оказывается возможным сводить решение геометрических вопросов к чисто алгебраическим действиям, в чем и заключается основная задача аналитической геометрии, разработанной впервые Декартом. Ввиду чрезвычайной важности формулируем еще раз факты, лежащие в основе аналитической геометрии. Если на плоскости отметить две координатные оси, то всякой точке плоскости будет соответствовать пара вещественных чисел — абсцисса и ордината этой точки, и, наоборот, всякой паре чисел будет соответствовать определенная точка плоскости, имеющая первое число своей абсциссой и второе число своей ординатой. Кривой на плоскости соответствует функциональная зависимость между x и y, или, что тоже, уравнение, содержащее переменные x и y, которое удовлетворяется в томи лишь в том случае, если вместо x и y подставить координаты какой-либо из точек кривой. Наоборот, уравнению, содержащему две переменные x и y, соответствует кривая, состоящая из тех точек плоскости, координаты которых, будучи подставлены вместо x ив уравнение, удовлетворяют ему. В дальнейшем мы рассмотрим основные примеры графиков функций, а теперь приведем некоторые общие соображения. Пусть мы имеем уравнение в явной форме y = f (x), где f (x) — однозначная функция, определенная, например, в промежутке (a, b), те. такая функция, что любому x из (a, b) соответствует одно определен Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов [12 ное значение f (x); график указанной функциональной зависимости состоит из точек (x, y), полученных указанным только что способом. Перпендикуляр коси, проведенный через любую точку этой оси, абсцисса которой принадлежит (a, b), встретит график водной точке (однозначность f (x)). В случае уравнения F (x, y) = в неявной форме дело обстоит сложнее. Может случиться, что уравнению не соответствует ни одной точки. Это имеет место, например, для уравнения x 2 + y 2 + 3 = 0, ибо при любых вещественных x и y левая часть положительна. Уравнению (x − 3) 2 − (y − 5) 2 = соответствует, очевидно, только одна точка (3, Построение графика совершается автоматически в самопишущих приборах переменной x является обычно время y — величина, изменение которой стечением времени нас интересует, например барометрическое давление (барограф, температура (термограф. Важное значение имеет индикатор, который записывает зависимость между объемом и давлением газа, заключенного в цилиндре парового или газового двигателя. Линейная функция. Простейшая функции, которая вместе стем имеет важные приложения, — двучлен первой степени = ax + где a и b — данные числа. Эта функция называется линейной функцией. Мы покажем, что ее график — прямая линия. Рассмотрим сначала тот случай, когда число b равно нулю. При этом функция) имеет вид = Она выражает тот факт, что переменная y прямо пропорциональна переменной x, и число a называется коэффициентом пропорциональности. Значения x = 0, y = удовлетворяют уравнению (3), те. соответствующий этому уравнению график проходит через начало координат Обращаясь к чертежу (рис. 5), мы видим, что уравнение (3) выражает следующее геометрическое свойство исследуемого графика какую бы точку M на нем мы ни взяли, отношение ординаты 12] § 1. Переменные величины 31 Рис. Рис. 6 y = N M этой точки к ее абсциссе x = ON есть постоянная величина. Так как, с другой стороны, это отношение равно тангенсу угла α, образуемого отрезком OM с осью OX, то отсюда видно, что геометрическое место точек M есть прямая, проходящая через начало координат O под углом α (или π + α) коси. Мы считаем от оси OX до прямой против часовой стрелки. Одновременно с этим обнаруживается и важное геометрическое значение коэффициента a в уравнении (3): а есть тангенс угла который образует прямая, соответствующая этому уравнению, с осью OX, вследствие чего a называется угловым коэффициентом прямой. Заметим, что если a — число отрицательное, то угол α будет тупой и соответствующая прямая будет расположена так, как указано на рис. Обратимся теперь к общему случаю линейной функции, а именно к уравнению (2). Ординаты y графика этого уравнения отлича- Рис. 7 ются от соответствующих ординат графика уравнения (3) постоянным слагаемым b. Таким образом, мы получим непосредственно график уравнения (2), если график уравнения (3), изображенный на рис. 5 (при a > 0), передвинем параллельно осина отрезок b: наверх, если b положительно, и вниз, если оно отрицательно. Таким образом, мы получим прямую, параллельную исходной прямой и отсекающую на оси OY отрезок OM 0 = b (рис. 7). Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов [13 Итак, график функции (2) есть прямая линия, причем коэффициент равен тангенсу угла, образованного этой прямой с осью, а свободный член b равен отрезку, отсекаемому этой прямой на оси OY , считая от начала Коэффициент a иногда называют просто уклоном прямой, а b начальной ординатой этой прямой. Наоборот, если нам дана какая- нибудь прямая L, не параллельная оси OY , то нетрудно написать уравнение вида (2), соответствующее этой прямой. Согласно предыдущему, достаточно взять коэффициент a равным тангенсу угла наклона этой прямой коси и b равным отрезку, отсекаемому этой прямой на оси OY Отметим один частный случай, который представляет известную особенность. Пусть a = 0. Уравнение (2) дает нам при всяком те. получается такая функция от x, которая при всех значениях x сохраняет одно и тоже значение b. Нетрудно видеть, что графиком уравнения (2 1 ) будет прямая, параллельная оси OX и отстоящая от этой осина расстоянии |b| (сверху, если b > 0, и снизу, если b < 0). Чтобы не делать специальных оговорок, мы будем говорить, что уравнение (2 1 ) также определяет функцию от x. 13. Приращение. Основное свойство линейной функции. Установим одно новое важное понятие, с которым часто приходится иметь дело при исследовании функциональной зависимости. Приращением независимой переменной величины x при переходе от начального значения к конечному называется разность между конечными начальным значениями x 2 −x 1 . Соответствующим приращением функции y = f (x) называется разность между конечными начальным значениями функции y 1 = f (x 2 ) − Эти приращения часто обозначают так = x 2 − x 2 , ∆y = y 2 − y 1 13] § 1. Переменные величины 33 Заметим при этом, что приращение может быть как положительной, таки отрицательной величиной, так что величина, получив приращение, необязательно должна увеличиться. Обратим внимание на то, что запись ∆x надо рассматривать как единое целое для обозначения приращения Обратимся к случаю линейной функции ax 2 + b и y 1 = ax 1 + Вычитая почленно, получим y 2 − y 1 = a(x 2 − или = Равенство это показывает, что линейная функция y = ax + b обладает тем свойством, что приращение функции (y 2 −y 1 ) пропор- Рис. 8 ционально приращению независимой переменной (x 2 − x 1 ), причем коэффициент пропорциональности равен a, те. угловому коэффициенту, или уклону графика функции. Если мы обратимся к самому графику (рис. 8), то приращению независимой переменной соответствует отрезок M 1 P = ∆x = и приращению функции — отрезок, и формула (4) непосредственно вытекает из рассмотрения треугольника M 1 P Положим теперь, что некоторая функция обладает указанным выше свойством пропорциональности приращений независимой переменной и функции, выражаемым формулой (4). Из этой формулы следует y 2 = a(x 2 − x 1 ) + y 1 Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов [14 или y 2 = ax 2 + (y 1 − Будем считать исходные значения переменных и вполне определенными и обозначим разность (y 1 − ax 1 ) одной буквой b: y 1 = ax 1 + Так как окончательные значения переменных и мы можем брать любыми, то вместо букв и можно просто писать буквы x и y, и предыдущее равенство перепишется в виде y = ax + те. всякая функция, обладающая указанным выше свойством пропорциональности приращений, есть линейная функция y = ax + причем a есть коэффициент пропорциональности. Итак, линейная функция и график ее, прямая линия, могут служить для изображения всякого закона природы, в котором имеет место пропорциональность между приращениями исследуемых величин, что случается весьма часто. График равномерного движения. Наиболее важное приложение, которое дает механическое истолкование уравнения прямой и его коэффициентов это график равномерного движения. Если точка P движется по некоторому пути (траектории, положение ее вполне определя- Рис. 9 ется расстоянием, отсчитываемым по траектории в ту или иную сторону от некоторой данной ее точки A до точки P . Это расстояние, те. дуга AP , называется пройденным путем и обозначается буквой причем s может быть и положительными отрицательным значения s в одну сторону от начальной точки A считаются положительными, а в другую — отрицатель- ными. Пройденный путь s есть некоторая функция от времени t, приняв которое за независимую переменную, можем построить график движения, т. е. график функциональной зависимости (рис. 9) s = f (t); 14] § 1. Переменные величины 35 Рис. его не следует смешивать с самой траекторией движения. Движение называется равномерным, если путь, проходимый точкой за любой промежуток времени, пропорционален этому промежутку, другими словами, если отношение пути, пройденного за промежуток времени от док величине этого промежутка есть постоянная величина, которая называется скоростью движения и обозначается через В силу сказанного выше, уравнение графика равномерного движения имеет вид s = vt + самый график есть прямая, угловой коэффициент которой равен скорости движения, начальная же ордината есть значение s при t = На рис. 10 изображен график движения точки P , которая двигалась с постоянной скоростью в положительном направлении от момента Рис. до момента угол с осью t острый, затем с постоянной же, но большей скоростью v 2 , в том же направлении (угол острый, но больший) до момента, а затем с постоянной, но отрицательной скоростью в обратном направлении, угол тупой) до начального своего положения. В случае, когда приходится иметь дело с многими точками, движущимися по одной и той же траектории (например при составлении расписания движения поездов или трамваев, такой графический способ является единственно удобным на Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов [15 практике средством для определения встреч движущихся точек и вообще для обозрения всего движения (рис. 11). 15. Эмпирические формулы. Простота построения прямой ивы- ражаемого ею закона пропорциональности приращения функции и независимой переменной делает график прямой весьма удобным средством при нахождении эмпирических формул, те. таких, которые выводятся непосредственно изданных опыта, без особого теоретического исследо- вания. Изобразив графически полученную из опыта таблицу на листе миллиметровой бумаги, мы найдем ряд точек, и если мы желаем получить приближенную эмпирическую формулу для изучаемой функциональной зависимости в виде линейной функции, нам остается провести прямую, которая если и не проходит сразу через все построенные точки (что, конечно, почти никогда невозможно, то, по крайней мере, проходит между этими точками и при этом так, чтобы по возможности одинаковое число точек оказалось как по одну, таки по другую сторону от прямой, и все они лежали достаточно к ней близко. В теории ошибок и обработки наблюдений изучаются более точные способы как для построения указанной прямой, таки для суждения о совершаемой при таком приближенном представлении погрешности. Но при менее точных исследованиях, с которыми приходится иметь дело в технике, построение эмпирической прямой проще всего произво- Рис. 12 16] § 1. Переменные величины 37 дить по способу натянутого шнурка, сущность которого ясна из самого названия. Построив прямую, с помощью непосредственного измерения определяем ее уравнение y = ax + которое и дает искомую эмпирическую формулу. При выводе этой формулы надлежит иметь ввиду, что очень часто масштабы для величин x и y бывают различны, те. одна и та же длина, отложенная на осях и OY , изображает разные числа. В этом случае угловой коэффициент не будет равен тангенсу угла, образуемого прямой с осью OX, но будет отличаться от него множителем, равным численной величине отношения между единицами длины, принятыми при изображении величин x и Пример (рис. 12). x 0,212 0,451 0,530 0,708 0,901 1,120 1,341 1,520 1,738 1,871 y 3,721 3,779 3,870 3,910 4,009 4,089 4,150 4,201 4,269 Отв ≈ 0, 375x + 3, 65. (3наком ≈ мы обозначаем здесь ив дальнейшем приближенное равенство. Парабола второй степени. Линейная функция y = ax + b есть частный случай целой функции й степени или многочлена (полинома) й степени = a 0 x n + a 1 x n−1 + · · · + a n−1 x + a простейший случай которого после линейной функции есть трехчлен второй степени (n = 2); y = ax 2 + bx + график этой функции называется параболой второй степени или просто параболой Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов [16 Пока мы будем исследовать лишь простейший случай параболы = Кривая эта без труда может быть построена по точкам. На рис. изображены кривые y = x 2 (a = 1) и y = −x 2 (a = −1). Кривая, соответствующая уравнению (5), расположена целиком над осью при a > 0 и под осью OX при a < 0. Ордината этой кривой возрастает по абсолютному значению, когда x возрастает по абсолютному значению, и тем быстрее, чем больше абсолютная величина a. На рис. 14 изображен ряд графиков функции (5) при различных значениях, которые проставлены на чертеже при соответствующих этим значениям параболах- 2 - 1 0 1 |