Курс высшей математики. Том 1 (Смирнов В.И.). В. И. Смирнов Допущено Научнометодическим советом по математике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебника для студентов механикоматематических и физикоматематических факультетов у
 Скачать 3.3 Mb.
|
|
Отметим еще, что если переменная x имеет предел, например a, то |x − a| < ε при заданном ε > 0, начиная с некоторого значения, и, следовательно, при этом |x| < |a| + ε, те величина ограниченная (см. замечание в [26]). Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов [28 Переменная величина, как мы уже упоминали, не всегда имеет предел. Возьмем, например, пронумерованную переменную x 1 = 0, 1, x 2 = 0, 11, x 3 = 0, 111, . . . , имеющую предел 9 , и переменную y 1 = 1 2 , y 2 = 1 2 2 , y 3 = 1 2 3 , . . . , имеющую предел нуль. Пронумерованная переменная z 1 = 0, 1, z 2 = 1 2 , z 3 = 0, 11, z 4 = 1 2 2 , z 5 = 0, 111, z 6 = 1 2 3 , . . . не имеет предела. Последовательность ее значений. имеет предела последовательность значений z 2 , z 4 , z 6 , . . . имеет предел нуль. Возьмем указанную выше последовательность y 1 = 1 2 , y 2 = 1 2 2 , y 3 = 1 2 3 , . . . , имеющую предел нуль, и вставим между двумя ее членами числа 1, 1 2 , 1 2 2 , . . . , которые вдвое больше предыдущего числа. Эта последняя последовательность также стремится к нулю. Получится последовательность, стремящаяся к нулю 2 , 1, 1 2 2 , 1 2 , 1 2 3 , 1 2 2 , . . Члены этой последовательности, приближаясь беспредельно к нулю от положительных значений, не всегда убывают второй больше первого, четвертый больше третьего и т. д. Рассмотрим непронумерованную переменную, которая, убывая на промежутке (1 < x 6 5), стремится к единице, те. Если мы исключим значения x, удовлетворяющие условию 3 < x 6 то оставшееся множество значений x при прежнем упорядочивании (убывание) также будет стремиться к единице. Если мы исключим значения x, удовлетворяющие условию 1 < x 6 2, то при прежнем порядке (убывание) оставшееся множество будет упорядоченным, но будет стремиться не к единице, а к двум. Если же мы исключим значения x, удовлетворяющие условию 1 < x < 2, то оставшееся множество значений x при прежнем порядке (убывание) не будет упорядоченным, ибо будет иметь последнее значение x = Этот пример связан стем замечанием, которое мы сделали выше об исключении значений из непронумерованной упорядоченной переменной. Основные теоремы. Дальнейшие теоремы мы будем проводить для пронумерованных переменных. В общем случае доказательство совершенно аналогично [ср. 26]. 28] § 2. Теория пределов. Непрерывные функции 1. Если слагаемые алгебраической суммы нескольких (определенного числа) переменных имеют пределы, то их сумма имеет предел, и этот предел равен сумме пределов слагаемых. Рассмотрим алгебраическую сумму x − y + z и положим, что пронумерованные переменные x n , y и z n (n = 1, 2, 3, . . . ) имеют пределы a, b и c. В силу этого имеем x n = a + α n , y n = b + β n , z n = c + где α n , β n и γ n — величины бесконечно малые. Для последовательных значений суммы x − y + z имеем x n − y n + z n = (a + α n ) − (b + β n ) + (c + γ n ) = = (a − b + c) + (α n − β n + Первая скобка в правой части есть постоянная, а вторая — бесконечно малая величина [26]. Следовательно [27], x n − y n + z n → a − b + то есть lim(x − y + z) = a − b + c = lim x − lim y + lim z. 2. Если сомножители произведения нескольких переменных имеют пределы, то и произведение имеет предел и этот предел равен произведению пределов сомножителей. Рассмотрим произведение двух сомножителей xy и положим, что пронумерованные переменные x n , y n (n = 1, 2, 3, . . . ) имеют пределы a и b. В силу этого имеем x n = a + a n , y n = b + где α n и β n — величины бесконечно малые. Для последовательных значений произведения x n y имеем x n y n = (a + α n )(b + β n ) = ab + (aβ n + bα n + Сумма, стоящая в правой части в скобках, есть сумма бесконечно малых. Действительно, первые два слагаемые ее суть произведения постоянных a и b на бесконечно малые, а в третьем слагаемом Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов [28 первый множитель α n → 0 и потому есть ограниченная величина, а второй множитель β n — бесконечно малая величина. Таким образом, в правой части первое слагаемое ab есть постоянная, авто- рое (скобка) — бесконечно малая [26]. Следовательно, x n y n → то есть lim(xy) = ab = lim x · lim y. 3. Если делимое и делитель — переменные величины, имеющие пределы, и предел делителя отличен от нуля, то и частное имеет предел и этот предел равен частному пределов делимого и дели- теля. Рассмотрим частное x/y и положим, что пронумерованные переменные) имеют пределы a и b, причем b 6= 0. Докажем, что x n y n → a b . Для этого достаточно показать, что разность x n y n − a есть бесконечно малая. По условию x n = a + α n , y n = b + где α n и β n — бесконечно малые. Имеем x n y n − a b = a + α n b + β n − a b = 1 b(b + β n ) (bα n − Знаменатель дроби, стоящей в правой части, состоит из двух множителей ив силу предыдущих двух теорем, стремится к b 2 . Следовательно, начиная с некоторого значения n, знаменатель будет больше b 2 2 (b 6= 0), и дробь 1 (b+β n ) будет, начиная с указанного значения, заключаться между нулем и, те. будет величиной ограниченной. Величина (bα n − aβ n ) есть бесконечно малая. Итак, разность есть бесконечно малая. Следовательно n y n → a b , то есть lim x y = a b = lim x lim y (lim y 6= Отметим некоторые следствия доказанных теорем. Если x стремится к пределу a, то переменная bx k , где b — постоянная и k целое положительное число, будет стремиться, согласно теореме к пределу ba k 29] § 2. Теория пределов. Непрерывные функции 79 Рассмотрим многочлен f (x) = a 0 x m + a 1 x m−1 + · · · + a k x m−k + · · · + a m−1 x + a где коэффициенты a k — постоянные. Применяя теорему 1 и пользуясь только что сделанным замечанием, можно утверждать, что при стремлении x к a этот многочлен будет стремиться к пределу lim f (x) = f (a) = a 0 a m + a 1 a m−1 + · · · + + a k a m−k + · · · + a m−1 a + a Точно также мы можем утверждать, что при указанном изменении рациональная дробь) = a 0 x m + a 1 x m−1 + · · · + a m−1 x + a m b 0 x p + b 1 x p−1 + · · · + b p−1 x + b будет стремиться к пределу lim ϕ(x) = ϕ(a) = a 0 a m + a 1 a m−1 + · · · + a m−1 a + a m b 0 a p + b 1 a p−1 + · · · + b p−1 a + b если b 0 a p + b 1 a p−1 + · · · + b p−1 a + b p 6= Все эти утверждения имеют место при любом способе стремления к пределу Вместо многочленов, расположенных по степеням одной переменной, мы могли бы, конечно, рассматривать многочлены, расположенные по степеням нескольких переменных, стремящихся к пределам. Так, например, для пронумерованных переменных, если lim x n = a и lim y n = b, то lim(x 2 n + x n y n + y 2 n ) = a 2 + ab + b 2 29. Величины бесконечно большие. Если переменная величина стремится к пределу, то она, как мы упоминали, очевидно, ограничена. Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов [29 Теперь мы рассмотрим некоторые случаи изменения неограниченных величин. Как и раньше, вместе с величиной x мы будем рассматривать соответствующую ей точку K, перемещающуюся по оси OX. Пусть эта точка K перемещается так, что какой бы большой отрезок с серединой вначале координат мы ни взяли, точка K при своем последовательном перемещении окажется вне этого отрезка и при дальнейшем перемещении будет оставаться вне его. В этом случае говорят, что x есть величина бесконечно большая, или стремится к бесконечности. Пусть 2M — длина отрезка T ′ T . Принимая во внимание, что длина отрезка OK = |x|, можем высказать следующее определен и е: Величина x называется бесконечно большой, или стремящейся к бесконечности, если |x|, при последовательном изменении делается и при дальнейшем изменении остается больше любого заданного положительного числа M . Иначе говоря величина x называется бесконечно большой при соблюдении следующего условия при любом заданном положительном числе M существует такое значение переменной x, что для всех последующих значений соблюдается неравенство |x| > В частности, если бесконечно большая величина x при своем последовательном изменении, начиная с некоторого своего значения, остается постоянно положительной (точка K справа от точки то говорят, что x стремится к плюс бесконечности (+∞). Если же величина x остается отрицательной (точка K слева от точки O), то говорят, что x стремится к минус бесконечности (Для обозначения бесконечно большой величины употребляют символы lim x = ∞, lim x = +∞, lim x = −∞. Вместо lim x = можно, очевидно писать lim |x| = +Термин бесконечно большой служит лишь для краткого обозначения вышеуказанного характера изменения переменной величины, и здесь, как ив понятии бесконечно малой величины, надо отличать понятие бесконечно большой величины от понятия очень большой величины. Если, например, величина x принимает последовательно значения, то, очевидно, lim x = +∞. Если ее последовательные значения будут –1, –2, –3, . . . , то lim x = −∞, и, наконец, если эти 30] § 2. Теория пределов. Непрерывные функции 81 значения будут –1, 2, –3, 4, . . . , то мы можем написать lim x = Рассмотрим еще в качестве примера величину, принимающую последовательно значения q, q 2 , . . . , q n , . . . (q > и пусть M > 1 — любое заданное число. Неравенство q n > равносильно следующему и, следовательно если N есть наибольшее целое число, заключающееся в частном log 10 M : log 10 q, то будем иметь q n > при условии n > те. рассматриваемая переменная стремится к +Если в последовательности (5) заменим q на (−q), то изменятся лишь знаки при нечетных степенях q, абсолютные же значения членов последовательности останутся прежними и, следовательно, при отрицательных значениях q, по абсолютному значению больших единицы, последовательность (5) стремится к бесконечности. В дальнейшем, когда мы будем говорить, что переменная величина стремится к пределу, то будем подразумевать, что этот предел конечен. Иногда говорят, что переменная величина стремится к бесконечному пределу, обозначая этими словами бесконечно большую величину. Из предыдущих определений непосредственно вытекает такое следствие если переменная x стремится к нулю, то переменная где m — заданная постоянная, отличная от нуля, стремится к бесконечности, а если x стремится к бесконечности, то m x стремится к нулю. Монотонные переменные. При рассмотрении переменной величины мы часто не в состоянии найти ее предел, нонам Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов [30 важно знать, что этот предел существует, те. что переменная стремится к пределу. Укажем один важный признак существования предела. Положим, что переменная величина x постоянно возрастает (точнее говоря, никогда не убывает) или постоянно убывает (точнее говоря, никогда не возрастает. В первом случае всякое значение величины не меньше всех предыдущих и не больше всех последующих. Во втором случае оно не больше всех предыдущих и не меньше всех последующих. В этих случаях говорят, что величина меняется монотонно. Соответствующая ей точка K на оси OX будет тогда перемещаться водном направлении — в положительном, если переменная возрастает, ив отрицательном, если она убывает. Непосредственно Рис. ясно, что могут представиться лишь две возможности или точка K беспредельно удаляется по прямой или −∞), или точка K беспредельно приближается к некоторой определенной точке A (рис. 43), те. переменная x стремится к пределу. Если, кроме монотонности изменения, известно еще, что величина x ограничена, то первая возможность отпадает, и можно утверждать, что величина стремится к пределу. Рассуждение это, основанное на интуиции, очевидно, не имеет доказательной силы. Строгое доказательство мы приведем позже. Указанный признак существования предела обычно формулируют так если переменная величина ограничена и меняется монотонно, то она стремится к пределу. Рассмотрим в качестве примера последовательность u 1 = x 1 , u 2 = x 2 2! , u 3 = x 3 3! , . . . , u n = x где x есть данное положительное число. Мы имеем u n = u n−1 x Символ n! есть сокращенное обозначение произведения 1 · 2 · 3 . . . n и называется факториал n». 31] § 2. Теория пределов. Непрерывные функции 83 При значении n > x дробь x n будет меньше единицы и u n < u переменная u n , начиная с некоторого своего значения, при увеличении будет постоянно убывать, оставаясь больше нуля. Согласно признаку существования предела, эта переменная будет стремиться к некоторому пределу u. Будем в равенстве (7) беспредельно увеличивать целое число n. В пределе мы получим u = u · 0 или u = то есть lim x→+∞ x n n! = Если мы в последовательности (6) заменим x на (−x), то изменится лишь знаку членов с нечетным значком n, и эта последовательность по-прежнему будет стремиться к нулю, те. равенство (справедливо при любом заданном значении x как положительном, так и отрицательном. В этом примере мы вычислили предел u, предварительно убедившись, что он существует. Если бы этого последнего мы не сделали, то примененный нами метод мог бы привести и к ошибочному результату. Рассмотрим, например, последовательность u 1 = q, u 2 = q 2 , . . . , u n = q n , . . . (q > Имеем, очевидно n = u Не заботясь о существовании предела u n , обозначим его буквою Переходя в написанном равенстве к пределу, получим = те и, следовательно = Но это неверно, ибо при q > 1, как известно, lim q n = +∞ [29]. 31. Признак Коши существования предела. Указанный в признак существования предела является лишь достаточным Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов [31 но не необходимым условием существования предела, ибо, как мы знаем [27], переменная величина может стремиться к пределу, меняясь и не монотонно. Французский математик Коши дал необходимое и достаточное условие существования предела, которое мы сейчас и сформулируем. Если предел известен, то характерным для него является тот факт, что, начиная с некоторого значения переменной, абсолютное значение разности между пределом и переменной меньше любого заданного положительного ε. Согласно признаку Коши, для существования предела необходимо и достаточно, чтобы, начиная с некоторого значения переменной, разность между любыми двумя последующими значениями переменной была меньше любого заданного положительного ε. Дадим точную формулировку признака Коши. П риз на к Коши. Для того чтобы переменная x имела предел, необходимо и достаточно выполнение следующего условия: при любом заданном положительном числе ε существует такое значение x, что для любых последующих значений и выполняется неравенство |x ′ − x ′′ | < Положим, что мы имеем пронумерованную переменную x 1 , x 2 , . . . , x n , . . Согласно признаку Коши, необходимое и достаточное условие существования предела у этой последовательности состоит в следующем при любом заданном положительном ε существует такое зависящее от ε), что m − x n | < если m и n > Необходимость этого условия доказывается очень просто. Если наша последовательность имеет предел a, то напишем x m − x n = (x m − a) + (a − x n ), откуда следует m − x n | 6 |x m − a| + |a − x Нов силу определения предела, существует такое N , что |x m −a| и |a−x n | < ε 2 , если m и n > N , и, тем самым, |x m −x n | < ε, если m 31] § 2. Теория пределов. Непрерывные функции 85 и n > N . Короче говоря, если значения x становятся сколь угодно близкими кто они становятся сколь угодно близкими и друг к другу. Рис. Не приводя пока строгого доказательства достаточности условия Коши, дадим ему наглядное пояснение (рис. Пусть M s — точка координатной оси, соответствующая числу x Положим, что условие (9) выполнено. Согласно этому условию существует такое значение N = N 1 , что s − x N 1 | < 1 прите. все точки M s при s > находятся внутри отрезка A ′ 1 A 1 , длина которого равна двум и середина которого есть точка с абсциссой Точно также существует значение N = N 2 , такое, что s − x N 2 | < 1 при s > причем можно считать, что N 2 > N 1 . Из сказанного, следует, что все точки x при s > находятся внутри отрезка I, длина которого равна единице и середина которого есть точка с абсциссой x N 2 . С другой стороны, все эти точки должны находиться внутри отрезка A ′ 1 A 1 , откуда следует, что отрезки I и должны иметь общую часть. Пусть A ′ 2 A 2 — эта общая часть. В силу сказанного выше точки M s при s > должны находиться внутри отрезка A ′ 2 A 2 Точно также существует N = такое, что |x s − x N 3 | < 1 при s > N 3 . Аналогично предыдущему, построим отрезок длина которого не превосходит и который принадлежит отрезку, причем все точки M s прибудут находиться внутри Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов [31 него. Полагая ε = 1 4 , 1 5 , . . . , 1 n , . . . , получим, таким образом, ряд отрезков A ′ n A n , из которых каждый последующий заключается в предыдущем и длины которых стремятся к нулю. Концы этих отрезков будут, очевидно, стремиться к одной и той же точке и число a, соответствующее этой точке, и будет пределом переменной величины x, так как из описанного выше построения следует, что при достаточно большом значении s все точки M s будут сколь угодно близки к точке В качестве приложения признака Коши рассмотрим уравнение Кеплера, которое служит для определения положения планеты на своей орбите. Уравнение это имеет вид x = q sin x + где a и q — данные числа, из которых второе заключено между нулем и единицей, а x — неизвестное. Возьмем любое число и построим последовательность чисел x |