Курс высшей математики. Том 1 (Смирнов В.И.). В. И. Смирнов Допущено Научнометодическим советом по математике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебника для студентов механикоматематических и физикоматематических факультетов у
 Скачать 3.3 Mb.
|
|
1 + k Пусть, наконец, n увеличивается беспредельно, те. приращение капитала происходит через все меньшие промежутки времени ив пределе — непрерывно. По прошествии m лет наращенный капитал будет lim n→∞ a 1 + k n mn = lim n→∞ a h 1 + k n n i m = ae Примем число e за основание логарифмов. Такие логарифмы называются натуральными логарифмами и их обычно обозначают просто знакомили) без указания основания. ∗ При стремлении переменной x к нулю в выражении log(1+x) x числитель и знаменатель стремятся к нулю. Раскроем эту неопределен- ∗ В современной математической литературе натуральный логарифм обозначается символом ln. Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов [39 ность. Введем новую переменную y, полагая x те откуда видно, что при x → 0, y стремится к бесконечности. Введя эту новую переменную и пользуясь непрерывностью функции log x при x > 0 и формулой (26), получим lim x→0 log(1 + x) x = lim y→∞ y log 1 + 1 y = lim y→∞ log 1 + 1 y y = log e = Из этого ясна целесообразность сделанного выбора основания логарифмов. Точно также как при радианном измерении углов, истинное значение выражения sin x при x = 0 равно единице, в случае натуральных логарифмов истинное значение выражения log(1+x) x при x = 0 тоже равно единице. Из определения логарифмов вытекает следующее соотношение = a log Логарифмируя это соотношение по основанию e, получим log N = log a N · log a или log a N = log N · 1 log Соотношение это выражает логарифм числа N при любом основании через его натуральный логарифм. Множитель M = 1 log a называется модулем системы логарифмов с основанием a; при a = он выражается с точностью до седьмого десятичного знака так = 0, 4342945 . . . 39. Недоказанные предложения. При изложении теории пределов мы оставили недоказанными несколько предложений, которые сейчас перечислим существование предела у монотонной ограниченной переменной [30], необходимое и достаточное условие существования предела (признак Коши) [31] и три свойства непрерывных в замкнутом промежутке функций [35]. Доказательство 39] § 2. Теория пределов. Непрерывные функции 111 этих предложений основывается на теории вещественных чисел и действий над ними. Изложению этой теории и доказательству упомянутых выше предложений будут посвящены следующие номера. Введем еще одно новое понятие и сформулируем еще одно предложение, которое также будет доказано ниже. Если мы имеем множество, состоящее из конечного числа вещественных чисел (например, мы имеем тысячу вещественных чисел, то среди них будет как наибольшее, таки наименьшее. Если же мы имеем бесконечное множество вещественных чисел и даже таких, что все эти числа принадлежат определенному промежутку, то все жене всегда среди этих чисел будет наибольшее и наименьшее. Например, если мы рассмотрим множество всех вещественных чисел, заключающихся между 0 и 1, ноне будем причислять к этому множеству самих чисел 0 и 1, то среди этого множества чисел нет ни наибольшего, ни наименьшего. Какое бы число, близкое к единице, но меньше ее, мы ни взяли, найдется другое число, лежащее между взятым числом и единицей. В данном случае числа 0 и 1, не принадлежащие к взятому множеству чисел, обладают по отношению к нему следующим свойством среди чисел нашего множества нет чисел, больших единицы, но при любом заданном положительном числе ε есть числа, большие (1 − ε). Точно также среди чисел нашего множества нет чисел, меньших нуля, но при любом заданном положительном числе ε есть числа, меньшие (0 + ε). Эти числа 0 и 1 называются точной нижней и точной верхней границами указанного выше множества вещественных чисел. Перейдем от этого примера к общему случаю. Пусть имеется некоторое множество E вещественных чисел. Говорят, что оно ограничено сверху, если существует такое число M что все числа, принадлежащие множеству E, не превосходят M Точно также говорят, что множество ограничено снизу, если существует такое число m, что все числа, принадлежащие множеству не менее, чем m. Если множество ограничено сверху и снизу, то его просто, называют ограниченным. О пределен и е. Точной верхней границей множества E называют такое число β (если оно существует, что среди чисел, принадлежащих E, нет чисел, больших β, но при любом заданном положительном ε есть числа, большие (β − ε). Точной нижней Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов [40 границей множества E называется такое число α (если оно существует, что среди чисел, принадлежащих E, нет чисел, меньших, но при любом заданном положительном ε есть числа, меньшие (α + Если множество E не ограничено сверху, те. существуют числа из E, большие любого заданного числа, то множество не может иметь точной верхней границы. Точно также, если множество E не ограничено снизу, то оно не может иметь точной нижней границы. Если среди чисел множества есть наибольшее, то оно, очевидно, и является точной верхней границей множества. Точно также, если среди чисел множества есть наименьшее, то оно и является точной нижней границей множества E. Но, как мы видели, не всегда среди чисел бесконечного множества есть наибольшее или наименьшее. Однако можно показать, что у множества, ограниченного сверху, всегда имеется точная верхняя граница, ау множества, ограниченного снизу, — точная нижняя граница. Отметим еще, что из определения точных границ непосредственно следует, что точная верхняя и точная нижняя граница может быть только одна. Указанными в настоящем номере предложениями мы будем часто пользоваться в дальнейшем. Следующие номера, напечатанные мелким шрифтом, могут быть пропущены при первом чтении. Вещественные числа. Начнем с изложения теории вещественных чисел. Мы исходим из множества всех рациональных чисел, целых и дробных, как положительных, таки отрицательных. Все эти рациональные числа можно себе представить расположенными в порядке их возрастания. При этом если a и b два любых различных рациональных числа, то между ними можно вставить сколько угодно рациональных чисел. Действительно, пусть a < b, и введем положительное рациональное число r = b−a n , где n — какое-нибудь целое положительное число. Рациональные числа a + r, a + 2r, . . . , a + (n − 1)r, лежат между a и b, и, ввиду произвольности в выборе целого положительного числа n, наше утверждение доказано. Назовем сечением в области рациональных чисел всякое разделение всех рациональных чисел на такие два класса, что любое число одного (первого) класса меньше любого числа другого (второго) класса. При этом, очевидно, если некоторое число находится в первом классе, то и 40] § 2. Теория пределов. Непрерывные функции 113 всякое меньшее его число также находится в первом классе, и если некоторое число находится во втором классе, то и всякое большее число также находится во втором классе. Положим, что среди чисел первого класса есть наибольшее число. При этом, в силу упомянутого свойства совокупности рациональных чисел, можно утверждать, что среди чисел второго класса нет наименьшего числа. Точно также, если среди чисел второго класса есть наименьшее, то среди чисел первого класса нет наибольшего. Назовем сечение — сечением первого рода, если среди чисел первого класса есть наибольшее или среди чисел второго класса есть наименьшее. Легко построить такие сечения. Возьмем какое-нибудь рациональное число b и отнесем к первому классу все рациональные числа, меньшие b, ко второму классу — все рациональные числа, большие b, а само число b отнесем или к первому классу (оно будет там наибольшим, или ко второму классу (оно будет там наименьшим. Беря за b всевозможные рациональные числа, мы получим таким образом всевозможные сечения первого рода. Мы будем говорить, что такое сечение первого рода определяет то рациональное число b, которое является наибольшим в первом или наименьшим во втором классе. Но существуют и сечения второго рода, у которых в первом классе нет наибольшего числа, а во втором классе нет наименьшего числа. Построим пример такого сечения. Отнесем к первому классу все отрицательные рациональные числа, нуль и те положительные рациональные числа, квадрат которых меньше двух, а ко второму классу отнесем все те рациональные положительные числа, квадрат которых больше двух. Так как не существует рационального числа, квадрат которого равен двум, то все рациональные числа окажутся распределенными, и мы будем иметь некоторое сечение. Покажем, что в первом классе нет наибольшего числа. Для этого достаточно показать, что если число a принадлежит первому классу, то есть числа, большие a, также принадлежащие первому классу. Если a отрицательно или нуль, то это очевидно положим, что a > 0 По условию составления первого класса a 2 < 2 . Введем положительное рациональное число r = 2 − и покажем, что можно определить настолько малое положительное рациональное число x, чтобы (a + также принадлежало первому классу, те. чтобы имелось неравенство − (a + x) 2 > или r − 2ax − x 2 > те. дело сводится к нахождению такого положительного рационального числа, которое удовлетворяет неравенству x 2 + 2ax < r. Считая x < имеем x 2 < x, и, следовательно, x 2 + 2ax < x + 2ax = (2a + 1)x, те. нам Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов [40 достаточно удовлетворить неравенству (2a + 1)x < r, таким образом, x определяется из двух неравенств x < и x < r 2a + Очевидно, можно найти сколько угодно таких положительных рациональных, которые удовлетворяют обоим этим неравенствам. Совершенно также можно показать, что во втором классе построенного сечения нет наименьшего числа. Итак, мы построили пример сечения второго рода. Основным моментом теории является следующее соглашение мы считаем, что всякое сечение второго рода определяет некоторый новый объект — иррациональное число. Разные сечения второго рода определяют разные иррациональные числа. Нетрудно догадаться, что построенный выше пример сечения второго рода определяет то иррациональное число, которое мы обычно обозначаем √ 2. Можно расставить теперь все введенные таким образом иррациональные числа вместе с прежними рациональными в порядке возрастания, который интуитивно изображается для нас точками направленной оси Если α есть некоторое иррациональное число, то мы обозначим через (α) и II (α) первый и второй классы того сечения, которое определяет иррациональное число α. Мы считаем число α большим, чем любое число из I (α), и меньшим, чем любое число из II (α). Таким образом, любое иррациональное число сравнивается с любым рациональным. Остается определить понятия больше и меньше для любых двух различных иррациональных чисел α и β. Поскольку α и β различны, классы I (α) и I (не совпадают, и один из классов заключается в другом. Положим, что (α) заключается в I (β), те. всякое число из I (α) принадлежит I (β), но есть числа из I (β), принадлежащие II (α). При этом мы по определению считаем α < β. Таким образом, совокупность всех рациональных и иррациональных чисел, те, иначе говоря, совокупность всех вещественных чисел расположена в порядке. При этом, пользуясь данными выше определениями, нетрудно показать, что если a, b и c — вещественные числа a < b и b < c, то a < Отметим прежде всего одно элементарное следствие из указанных определений. Пусть α — некоторое иррациональное число. Поскольку в классе I (α) нет наибольшего, а в классе II (α) нет наименьшего числа, то непосредственно очевидно, что между α и любым рациональным числом можно вставить сколько угодно рациональных чисел. Пусть теперь < β — два различных иррациональных числа. Часть рациональных чисел из I (β) входит в II (α), и отсюда непосредственно следует, что между и β также можно вставить сколько угодно рациональных чисел 40] § 2. Теория пределов. Непрерывные функции 115 т. е. вообще, между двумя различными вещественными числами можно вставить сколько угодно рациональных чисел. Мы переходим теперь к доказательству основной теоремы теории иррациональных чисел. Рассмотрим совокупность всех вещественных чисел и произведем в ней какое-нибудь сечение, те. распределим все вещественные числа (не только рациональные, но и иррациональные) на два класса I итак, чтобы любое число из I было меньше любого числа из. Докажем, что при этом обязательно или в классе I будет наибольшее число, или в классе II будет наименьшее число (одно исключает другое, как и выше для сечения в области рациональных чисел. Для этого обозначим через совокупность всех рациональных чисел из I и через совокупность всех рациональных чисел из II. Классы (I ′ , II ′ ) определяют некоторое сечение в области рациональных чисел, и это сечение определит вещественное число α (рациональное или иррациональное). Положим для определенности, что это число α принадлежит классу при упомянутом выше распределении всех вещественных чисел на два класса. Покажем, что α должно быть наибольшим числом из класса Действительно, если бы это было не так, то существовало бы в классе вещественное число β, большее α. Возьмем некоторое рациональное число, лежащее между α и β, те. Оно должно принадлежать классу I и, следовательно, классу Таким образом, в первом классе сечения (I ′ , II ′ ), определяющего числа, находится число r, большее, чем α. Этого быть не может, и, следовательно, наше предположение, что α не наибольшее число класса неправильно. Совершенно также можно показать, что если α попадает в класс II, то оно должно быть там наименьшим числом. Итак, мы доказали следующую основную теорему: О снов на яте орем а. В любом сечении, произведенном в области вещественных чисел, обязательно или первый класс содержит наибольшее число, или второй класс содержит наименьшее число. Всем рассуждениям настоящего номера легко придать простой геометрический смысл. Сначала мы рассматриваем на оси OX только точки с рациональными абсциссами. Сечению в области рациональных чисел соответствует разрез прямой OX на две полупрямые. Если разрез происходит в точке с рациональной абсциссой, то получается сечение первого рода, причем абсцисса той точки, в которой происходит разрез, причисляется сама или к первому или ко второму классу. Если же разрез производится в точке, которой не соответствует рациональная абсцисса, то получается сечение второго рода, определяющее иррациональное число, которое и принимается за абсциссу той точки, в которой произведен раз Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов [41 рез. После заполнения таких пустых точек иррациональными абсциссами всякое рассечение прямой происходит уже в точке с некоторой вещественной абсциссой. Все это является лишь геометрической иллюстрацией и не имеет доказательной силы. Нетрудно, пользуясь данным определением иррационального числа α, образовать бесконечную десятичную дробь, соответствующую этому числу [2]. Всякий конечный отрезок этой дроби должен принадлежать I (α), но если мы увеличим на единицу последнюю цифру этого отрезка, то соответствующее рациональное число должно находиться в II (α). 41. Действия над вещественными числами. Теория иррациональных чисел, кроме данных выше определений и основной теоремы, содержит еще определение действий над иррациональными числами и исследование свойств этих действий. При определении действий мы будем руководствоваться сечениями в области рациональных чисел, и, поскольку эти сечения определяют не только иррациональные, но и рациональные числа (сечения первого рода, определение действий будет годиться вообще для всех вещественных чисел, причем для рациональных чисел они будут совпадать с известными. При изложении настоящего номера мы ограничимся только общими указаниями. Сделаем предварительно одно замечание. Пусть α — некоторое вещественное число. Возьмем какое-нибудь (малое) рациональное положительное число r, затем рациональное a из I (α) и составим арифметическую прогрессию a, a + r, a + 2r, . . . , a + nr, . . При больших n числа (a+nr) попадут в II(α), и, следовательно, будет существовать такое целое положительное k, что [a+(k−1)r] принадлежит) и (a + kr) принадлежит II(α), т. е.: Замечание: В любом сечении рациональных чисел существуют враз- ных классах числа, отличающиеся на любое заданное положительное рациональное число r, как бы мало оно ни было. Перейдем теперь к определению сложения. Пусть α и β — два вещественных числа. Пусть a — любое число из I (α), a ′ — из II (α), b — из (β) и b ′ — из II (β). Составим всевозможные суммы (a + b) и (a ′ + Во всяком случае имеем a + b < a ′ + b ′ . Составим новое сечение рациональных чисел, относя ко второму классу все рациональные числа, б´ ольшие всех (a + b), и относя к первому классу все остальные рациональные числа. При этом любое число первого класса меньше любого числа, второго класса, все числа (a + b) отходят в первый класс и все 41] § 2. Теория пределов. Непрерывные функции 117 числа (a ′ + b ′ ) во второй класс. Составленное новое сечение определит некоторое вещественное число, которое мы и назовем суммой (α + Это число, очевидно, больше или равно всеми меньше или равно всем (a ′ + b ′ ). Принимая во внимание, что, в силу сделанного выше замечания, числа a и a ′ , а также b и могут отличаться друг от друга на любое малое положительное рациональное число, нетрудно показать, что может существовать только одно число, удовлетворяющее указанным выше неравенствам. Непосредственно проверяется, что сложение удовлетворяет обычным законам, известным для рациональных чисел + β = β + α, (α + β) + γ = α + (β + γ), α + 0 = Например, чтобы получить (β +α), нам надо будет составлять вместо сумм (a + b) и (a ′ + b ′ ) суммы (b + a) и (b ′ + a ′ ), но эти суммы совпадают с прежними, так как переместительный закон сложения для рациональных чисел известен. Пусть α — некоторое вещественное число. Определим число (−α) следующим сечением в первый класс относим все рациональные числа из класса II(α) с измененным знакома во второй класс — все числа из I(α) с измененным знаком. Таким образом, получится действительно сечение в области рациональных чисел, и для числа (−α) как нетрудно проверить, имеем −(−α) = α, α + (−α) = Нетрудно видеть, что если α > 0, то (−α) < 0, и наоборот. Назовем абсолютным значением числа α, отличного от нуля, то из двух чисел и (−α), которое больше нуля. Обозначим, как и раньше, абсолютное значение числа α символом Переходим теперь к умножению. Пусть α и β — два положительных вещественных числа, те и β. Пусть a — любое положительное число из I (α), b — любое положительное число из I (β), и b |