Курс высшей математики. Том 1 (Смирнов В.И.). В. И. Смирнов Допущено Научнометодическим советом по математике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебника для студентов механикоматематических и физикоматематических факультетов у
 Скачать 3.3 Mb.
|
|
[26 Примером ограниченной величины может служить sin t, где t любая упорядоченная переменная. В этом примере M есть любое число, большее единицы. Рассмотрим теперь тот случай, когда точка K, последовательно перемещаясь, беспредельно приближается к началу координат. Точнее говоря, положим, что точка K при своем последовательном перемещении попадает внутрь любого наперед заданного малого отрезка S ′ S оси OX с серединой и при дальнейшем движении остается внутри этого отрезка. В этом случае говорят, что величина x стремится к нулю, или есть величина бесконечно малая. Обозначим длину отрезка S ′ S через 2ε. Буквой ε мы обозначили тем самым любое заданное положительное число. Если точка находится внутри S ′ S, то длина OK < ε и, наоборот, если длина < ε, то точка K находится внутри S ′ S. Мы можем, таким образом, высказать следующее определение: О пределен и е. Переменная величина x стремится к нулю или есть бесконечно малая, если при любом заданном положительном числе ε существует такое значение величины x, что для всех последующих значений выполнено неравенство |x| < Ввиду важности понятия бесконечно малой величины дадим другую формулировку того же определения: О пределен и е. Величина x называется стремящейся к нулю или бесконечно малой, если |x| при последовательном изменении x делается и при дальнейшем изменении остается меньше любого наперед заданного малого положительного числа Термином бесконечно малая величина мы обозначаем вышеописанный характер изменения переменной величины, и не надо смешивать понятия бесконечно малой величины с часто употребляющимся в практике понятием очень малой величины. Положим, что при измерении длины некоторого участка мы получили мс каким-то остатком, который считаем очень малым по сравнению со всей длиной и им пренебрегаем. Длина этого остатка выражается определенным положительным числом, и термин бесконечно малый в данном случае, очевидно, неприменим. Если бы в другом, более точном измерении мы встретились с такою ∗ Подчеркнем, что этот отрезок может быть сколь угодно малым 26] § 2. Теория пределов. Непрерывные функции 67 же длиной, то перестали бы уже считать ее очень малой и приняли бы ее во внимание. Мы видим, таким образом, что понятие малой величины есть понятие относительное, связанное с практическим характером измерения. Положим, что переменная величина x принимает последовательно значения x 1 , x 2 , x 3 , . . . , x n , . . и пусть ε есть любое заданное положительное число. Чтобы убедиться в том, что x есть величина бесконечно малая, нам надо показать, что |x n |, начиная с некоторого значения n, меньше ε, т. е. нам надо установить существование такого целого числа N , чтобы было n | < ε при условии n > Это число N зависит от Рассмотрим в качестве примера бесконечно малой величины величину, принимающую последовательно значения q, q 2 , q 3 , . . . , q n , . . . (0 < q < Нам надо удовлетворить неравенству q n < ε или n log 10 q < log 10 ε (0 < ε < Принимая во внимание, что log 10 q отрицателен, можем переписать предыдущее неравенство в виде n ибо при делении на отрицательное число смысл неравенства меняется, и, следовательно, замы можем принять наибольшее целое число, заключающееся в частном log 10 ε : log 10 q. Таким образом, рассматриваемая величина, или, как обычно говорят, последовательность, стремится к нулю. Если мы в последовательности (4) заменим q на (−q), то разница будет лишь в том, что у нечетных степеней появится знак минус Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов [26 абсолютные же величины членов этой последовательности останутся прежними, а потому ив этом случае мы будем иметь величину бесконечно малую. Если величина x бесконечно малая (x стремится к нулю, то это обычно обозначают следующим образом lim x = 0, или для пронумерованной переменной lim x n = 0, где lim — начальные буквы латинского слова limes, что по-русски значит предел. В дальнейших доказательствах мы, кроме первой теоремы, будем проводить доказательство для пронумерованных переменных. Впервой теореме мы проведем доказательство как для пронумерованных переменных, таки в общем случае. Докажем два свойства бесконечно малых величин. Сумма нескольких (определенного числа) бесконечно малых есть также бесконечно малая величина. Рассмотрим, например, сумму w = x + y + z + y + z трех бесконечно малых величин. Пусть эти переменные пронумерованы и x 1 , x 2 , x 3 , . . . ; y 1 , y 2 , y 3 , . . . ; z 1 , z 2 , z 3 , . . . — их последовательные значения. Для w получаем последовательные значения w 1 = x 1 + y 1 + z 1 , w 2 = x 2 + y 2 + z 2 , w 3 = x 3 + y 3 + z 3 , . . Пусть ε — любое заданное положительное число. Принимая во внимание, что x, y и z — бесконечно малые, можем утверждать существует такое N 1 , что |x n | при n > N 1 ; такое N 2 , что |y n | при n > N 2 ; такое N 3 , что |z n | при n > N 3 . Обозначая через наибольшее из чисел N 1 , N 2 , N 3 , можем утверждать, что n | < ε 3 , |y n | < ε 3 , |z n | при n > и, следовательно n | 6 |x n | + |y n | + |z n | прите при n > N, откуда и следует, что w — величина бесконечно малая 26] § 2. Теория пределов. Непрерывные функции 69 Рассмотрим теперь общий случай, когда x, y, z суть функции x(t), y(t), z(t) одной и той же упорядочивающей переменной t и w(t) = x(t) + y(t) + z(t). Принимая во внимание, что x, y, z — бесконечно малые, можем утверждать существует такое значение t = что |x(t)| для всех последующих значений t; существует такое значение t = t ′′ , что |y(t)| для всех последующих значений существует такое значение t ′′′ , что |z(t)| для всех последующих значений t. Обозначая через такое из трех значений t ′ , t ′′ , переменной t, что два других или предшествует ему или совпадают с ним, можем утверждать, что < ε 3 , |y(t)| < ε 3 , |z(t)| для всех t, следующих за t 0 , и потому 6 |x n (t)| + |y n (t)| + |z n (t)| < ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε; |w(t)| < ε для всех t, следующих за t 0 , те бесконечно малая. Произведение величины, ограниченной на величину бесконечно малую, есть величина бесконечно малая. Рассмотрим произведение xy пронумерованных переменных, где величина x — ограниченная и y — бесконечно малая. Из этого условия следует существует такое положительное число M , что |x n | < M при любом n; существует такое N , что |y n | при n > N . При этом n y n | = |x n | · |y n | < M прите при n > N, откуда и следует, что произведение xy бесконечно малая. Заметим, что последнее свойство остается подавно справедливым, если x = C — постоянная величина. При этом роль числа может играть любое число, большее, чем C, те. произведение постоянной величины на бесконечно малую есть величина бесконечно малая. В частности, если x — бесконечно малая, то и (−x) — бесконечно малая. Ввиду основного значения понятия бесконечно малой величины для дальнейшего мы остановимся еще на этом понятии и приведем некоторые дополнительные замечания Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов [26 Считая 0 < q < 1, вставим между двумя членами последовательности) число нуль. Получим последовательность q, 0, q 2 , 0, q 3 , 0, . . Нетрудно видеть, что и эта, переменная стремится к нулю, но при этом она бесчисленное множество раз принимает значение нуль. Это не противоречит определению величины, стремящейся к нулю. Предположим, что все последовательные значения переменной равны нулю. Для пронумерованной переменной это значит, что x n = 0 при всяком n, а в случае x(t), где t — упорядоченная переменная, это значит, что x(t) = 0 при всех значениях t. Такая переменная, по существу, есть постоянная величина, но она формально подходит под определение бесконечно малой величины. Например, для пронумерованной переменной (x n = 0 при любом n) |x n | < ε для любого заданного положительного ε при всех Если x n = C при всех n и C — число, отличное от нуля, то такая последовательность не есть, очевидно, бесконечно малая величина. Возьмем те три примера упорядоченной переменной изв которых нельзя пронумеровать переменную, и положим в этих примерах. Первый из них — возрастающая переменная, принимающая все значения из промежутка −k 6 x < 0. При заданном > 0 для всех значений этой переменной, следующих после значения, если ε 6 k, имеем |x| < ε. Если же ε > k, то |x| < ε для всех значений x. Таким образом, x стремится к нулю (от меньших значений. Совершенно аналогично x стремится к нулю ив остальных двух случаях когда x — убывающая переменная, принимающая все значения из промежутка 0 < x 6 k, и когда x принимает все значения (различные) из промежутка −k 6 x 6 +k, кроме x = 0, с определением последовательности значений, указанной в. Для переменной x с указанными выше способами стремления к нулю введем специальные обозначения в первом случае будем писать x → − 0 (x стремится к нулю от меньших значений во втором стремится к нулю от больших значений в третьем случае x → ± 0 (x стремится к нулю с двух сторон). Имеется, конечно, бесчисленное множество способов, какими пронумерованная или не пронумерованная переменная x может 27] § 2. Теория пределов. Непрерывные функции 71 стремиться к нулю. Во всех этих случаях мы будем писать x → В указанных выше трех случаях мы у нуля пишем знаки. Характерная особенность первого из этих трех случаев состоит в том, что x, возрастая, принимает все значения, меньшие нуля и достаточно близкие к нулю. Во втором случае тот же характер изменения x связан с убыванием x. В третьем случае x принимает все значения, достаточно близкие к нулю, как меньшие, таки большие, кроме значения нуль. Из двух значений и x ′′ , неодинаково удаленных от нуля те, последующим считается то, которое ближе к нулю, а из двух значений, одинаково удаленных от нуля (x ′′ = последующим считается отрицательное значение. Сделаем еще одно замечание. Из определения бесконечно малой величины следует, что при доказательстве того, что переменная x — бесконечно малая, достаточно ограничиться рассмотрением лишь тех значений x, которые следуют после какого-либо определенного значения x = x 0 , причем это последнее значение можно выбирать произвольно. В связи с этим полезно в теории пределов сделать добавление к определению ограниченной величины, а именно не надо требовать, чтобы для всех значений величины y выполнялось неравенство, а достаточно дать такое более общее О пределен и е. Величина y называется ограниченной, если существует такое положительное число M и такое значение y 0 , что для всех последующих значений выполняется неравенство < При таком определении ограниченной величины доказательство второго свойства бесконечно малых остается без изменения. Для пронумерованного переменного из второго определения ограниченной величины следует первое, так что второе определение не является более общим. Действительно, если |x n | < M при n > N, то, обозначая через наибольшее из чисел, |x 2 |, . . . , |x N | и мы можем утверждать, что |x n | < M ′ + 1 при всяком n. 27. Предел переменной величины. Переменную величину мы назвали бесконечно малой, если соответствующая Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов [27 ей движущаяся по оси точка K обладает тем свойством, что длина отрезка OK при последовательном изменении становилась и при дальнейшем изменении K оставалась меньше любого заданного положительного числа ε. По- Рис. 42 ложим теперь, что это свойство выполняется не для отрезка, а для отрезка, где A есть определенная точка на оси OX с абсциссой (рис. 42). В этом случае промежуток S ′ S длины 2ε будет иметь середину не вначале координата в точке A с абсциссой x = a, и точка K при своем последовательном перемещении должна попасть внутрь этого промежутка и там при дальнейшем перемещении оставаться. В этом случае говорят, что постоянное число a есть предел переменной величины x, или что переменная величина x стремится к Учитывая, что длина отрезка AK есть |x − a| [9], мы можем сформулировать следующее определение. О пределен и е. Пределом переменной величины x называется такое число a, что разность x − a есть величина бесконечно малая. Отметим, что при этом и величина a − x есть величина бесконечно малая. Принимая во внимание определение бесконечно малой величины, можно сформулировать определение предела a следующим образом. О пределен и е. Пределом переменной величины x называется такое число a, что имеет место следующее свойство при любом заданном положительном числе ε существует такое значение переменной x, что, для всех последующих значений выполняется неравенство |x − a| < ε (или, что тоже В случае пронумерованного множества x 1 , x 2 , x 3 , . . . при любом заданном положительном числе ε надо установить существование такого целого положительного числа N , что |x n − a| < ε (или |a − x n | < ε) при n > Это есть определение предела числовой последовательности 27] § 2. Теория пределов. Непрерывные функции 73 Если a есть предел x (x стремится кто пишут x = или x → В случае пронумерованной переменной x 1 , x 2 , x 3 , . . . говорят также, что a есть предел указанной последовательности (последовательность стремится к a) и пишут x n = или x n → Обратим внимание на некоторые непосредственно ясные следствия определения предела, на доказательстве которых мы не останавливаемся. Переменная величина не может стремиться к различным пределам, те. или вовсе не имеет предела, или имеет один определенный предел. Переменная величина, имеющая предел, равный нулю, есть бесконечно малая величина, и, наоборот, всякая бесконечно малая величина имеет предел, равный нулю. Если две переменные x и y n (n = 1, 2, 3, . . . ) или x(t) и y(t) имеют пределы a и b и удовлетворяют при своем последовательном изменении неравенствам x n 6 y n (n = 1, 2, 3, . . . ) или x(t) 6 y(t), то и a 6 Заметим, что если переменные удовлетворяют неравенству x n < y n , то для их пределов может получиться и знак равенства, те. Если три переменные x n , y и z удовлетворяют неравенству, аи стремятся к одному и тому же пределу а, то и переменная y стремится к пределу Существование предела a у переменной x равносильно тому, что разность x−a = α есть бесконечно малая, причем упорядоченность определяется упорядоченностью x. Для пронумерованной переменной. Отсюда следует, что. Существование предела a у переменной x равносильно тому, что x можно представить в виде суммы числа a и бесконечно малой величины, те или x n = a + α n , где α или бесконечно малые Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов 6. При определении предела a переменной x достаточно ограничиться рассмотрением лишь тех значений x, которые следуют после какого-либо определенного значения x = x 0 , причем это последнее значение можно выбирать произвольно, те. можно не обращать внимания назначения, предшествующие x 0 7. Если последовательность стремится кто всякая бесконечная частичная подпоследовательность, выделенная из вышеуказанной, также стремится кВ частичной подпоследовательности значки n 1 , n 2 , n 3 , . . . образуют какую-либо возрастающую последовательность целых положительных чисел. Для непронумерованной переменной x, стремящейся к a, аналогичное свойство имеет место при некоторой оговорке. Положим, что из последовательности значений x мы исключили некоторые значения (возможно, бесчисленное множество значений, но сделали это так, что для любого фиксированного значения x = оставшаяся последовательность значений x содержит значения, для которых x = есть предшествующее значение. При этом оставшаяся последовательность значений при прежнем упорядочивании значений есть упорядоченная переменная, стремящаяся кВ качестве примера рассмотрим пронумерованную переменную x 1 = 0, 1, x 2 = 0, 11, . . . , x n = n z }| { 0, 11 . . . 1, . . и докажем, что ее предел равен 9 . Составим разность 9 − x 1 = 1 90 , 1 9 − x 2 = 1 900 , . . . , 1 9 − x n = 1 9 · 10 n , . . Неравенство 9·10 n < ε равносильно неравенству · или n > log 10 1 ε − log 10 и за N можно принять наибольшее целое число, содержащееся в разности log 10 1 ε − log 10 9 (считаем ε < 1 Рассмотрим теперь сумму первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии b + bq + bq 2 + · · · + bq n−1 (0 < |q| < 1). 27] § 2. Теория пределов. Непрерывные функции 75 Как известно − bq n 1 − и, придавая n значения 1, 2, 3, . . . , получим последовательность, S 2 , S 3 , . . Из выражения S n имеем b 1 − q − S n = b 1 − q Правая часть является произведением постоянного множителя b 1−q и бесконечно малого множителя q n [26]. В силу второго свойства бесконечно малых [26] разность b 1−q − S n есть величина бесконечно малая и, следовательно, число b 1−q есть предел последовательности, S 2 , . . Вернемся к непронумерованной переменной величине x из определяемой неравенствами a − k 6 x < a, или a < x 6 a + k, или a − k 6 x 6 a + k кроме x = a, с указанной в [25] последовательностью значений. Эта переменная x имеет, очевидно, во всех трех случаях предел a, и мы будем обозначать эти три случая изменения x следующим образом x → a−0, x → a+0, x → a±0 [ср. 26]. Отметим, что это обозначение не связано с величиною положительного числа k, ибо, как указано выше, при определении предела можно не обращать внимания назначения, предшествующие какому-либо значению Сделаем еще несколько замечаний и приведем примеры. Упорядоченная переменная величина x, все значения которой равны числу a, подходит под определение величины, стремящейся к a. Например, для пронумерованной переменной (x n = a при любом n) |x n − a| = 0 меньше любого заданного положительного ε при всех n [ср. 26]. Такое рассмотрение постоянной величины как частного случая переменной будет нам удобно впоследствии. |