Курс высшей математики. Том 1 (Смирнов В.И.). В. И. Смирнов Допущено Научнометодическим советом по математике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебника для студентов механикоматематических и физикоматематических факультетов у
 Скачать 3.3 Mb.
|
|
0 (a, b), если lim x→a y→b f (x, или lim M→M 0 f (x, y) = f (a, Функция называется непрерывной в некоторой области, если она непрерывна в каждой точке этой области. Так, например, функция u = p 1 − x 2 − непрерывна внутри круга, в котором она определена. Про нее можно также сказать, что она остается непрерывной, если мы к кругу присоединим и его границу, те. окружность, на которой u = Пусть B — ограниченная замкнутая область на плоскости и f (x, y) — непрерывная в B функция (непрерывная внутри B и вплоть до границы B). Такая функция обладает свойствами, аналогичными свойствам функции одной независимой переменной, непрерывной в конечном замкнутом промежутке [35]. Доказательства этих свойств, по существу, те же, что и доказательства из Сформулируем лишь результаты. Функция f (x, y) равномерно непрерывна в B, те. при любом заданном положительном числе ε существует такое положительное число η, что, y 2 ) − f(x 1 , y 1 )| < ε, Гл. II. Понятие о производной и его приложения [68 если (x 1 , y 1 ) и (x 2 , y 2 ) принадлежат B и x 1 | < η, |y 2 − y 1 | < η. 2. Функция f (x, y) ограничена в B, те. существует такое положительное число M , что |f(x, y)| < M для всех (x, y), принадлежащих. Функция f (x, y) достигает в B наибольшего и наименьшего значений. Обратим внимание на одно следствие, которое вытекает из определений непрерывности функций. Если f (x, y) непрерывна в точке, b) и если мы положим y = b, то функция f (x, b) одной переменной непрерывна при x = a. Аналогично, f (a, y) непрерывна при y = b. 68. Частные производные и полный дифференциал функции двух независимых переменных. Допустим, что у функции u = f (x, y) переменная y сохраняет постоянное значение и меняется только x, то есть u становится функцией одного x и можно вычислить ее приращение и производную. Обозначим через u приращение u, которое эта функция получает, когда y остается постоянным, а x получает приращение ∆x: ∆ x u = f (x + ∆x, y) − f(x, Производную получим, найдя предел lim ∆x→±0 ∆ x u ∆x = lim ∆x→±0 f (x + ∆x, y) − f(x, Производная эта, вычисленная в предположении, что y остается постоянным, называется частной производной функции u пои обозначается так: д f (x, д x , или f ′ x (x, y), или д д x Заметим, что д д нельзя толковать как дробь, но лишь как символ для обозначения частной производной. Если f (x, y) имеет частную производную по x, то она является непрерывной функцией x при фиксированном y. 68] § 6. Функция двух переменных 207 Точно также определяется приращение ∆ y u и частная производная от u по y, вычисленная в предложении, что x не меняется: дf (x, д f ′ y (x, y) д д u ∆y = = lim ∆y→±0 f (x, y + ∆y) − f(x, Если, например, u = x 2 + y 2 , то д д д д y = Рассмотрим уравнение Клапейрона pv = С помощью этого уравнения одна из величин p, v и T может быть определена в зависимости от двух других, причем эти последние должны уже считаться независимыми переменными. Мы получим следующую таблицу: Независимые T, p t, v p, v переменные Функции v = RT p Частные д д T = R p , д д p = д p д T = R v , д д v = − RT v 2 д T д p = v R , д T д v = p R производные Отсюда получается следующее соотношение д дT дT дp д д Если бы в левой части равенства мы произвели сокращение, то получили бы не (−1), а (+1). Нов этом равенстве частные производные вычислены при различных предположениях: д д в предложении, что p постоянно; д T д p — при v постоянном; д д v — при T постоянном, а потому упомянутое сокращение недопустимо. Обозначим через ∆u полное приращение функции, получаемое при одновременном изменении как x, таки, Прибавляя и вычитая f (x, y + ∆y) можем написать = [f (x + ∆x, y + ∆y) − f(x, y + ∆y)] + [f(x, y + ∆y) − f(x, y)]. Гл. II. Понятие о производной и его приложения [68 В первой квадратной скобке мы имеем приращение функции u при неизменном значении (y + ∆y) переменной y, во второй квадратной скобке — приращение той же функции при неизменном значении Положим, f (x, y) определена внутри некоторой области B, что точка (x, y) находится внутри B и что ∆x и ∆y взяты настолько малыми по абсолютной величине, что прямоугольник с центром, y) и длиной сторон 2|∆x| и 2|∆y| также находится внутри Предположим, кроме того, что f (x, y) имеет внутри B частные производные. Применяя к каждому из приращений, входящих в выражение ∆u, формулу Лангранжа, что мы можем сделать, так как в каждом случае меняется только одна независимая переменная, получим = f ′ x (x + θ∆x, y + ∆y)∆x + f ′ y (x, y + где θ и заключаются между нулем и единицей. Предполагая непрерывность частных производных д д и д д y , мы можем утверждать, что при стремлении ∆x и ∆y к нулю, коэффициент прибудет стремиться ка коэффициент при ∆y — ка потому имеем = [f ′ x (x, y) + ε]∆x + [f ′ y (x, y) + ε 1 ]∆y или = f ′ x (x, y)∆x + f ′ y (x, y)∆y + ε∆x + где ε и ε 1 — величины бесконечно малые одновременно си Формула эта аналогична формуле = y ′ ∆x + доказанной нами в случае функции одной независимой переменной. Произведения ε∆x и ε 1 ∆y будут бесконечно малыми высших порядков по сравнению соответственно си Напомним, что в предыдущих рассуждениях мы исходили из предположения не только существования, но и непрерывности частных производных д д и д д в некоторой области, содержащей точку, y) внутри себя 69] § 6. Функция двух переменных 209 В сумме первых двух слагаемых в правой части формулы (заменим ∆x и ∆y произвольными величинами dx и dy (дифференциалами независимых переменных. Мы получим таким путем выражение du = f ′ x (x, y)dx + f ′ y (x, или du д д dx +д д которое называется полным дифференциалом функции u [ср. Ввиду вышеуказанных свойств ε∆x и ε 1 ∆y можно сказать, что при малых значениях |dx| и |dy| полный дифференциал du дает приближенное значение полного приращения ∆u, соответствующее приращениями независимых переменных С другой стороны, очевидно, что произведения д д dx и д д dy дают приближенную величину приращений ∆ x u и ∆ y u, и, таким образом, при малых приращениях независимых переменных полное приращение функции приближенно равно сумме ее частных приращений Равенство (2) выражает весьма важное свойство функций от нескольких независимых переменных, которое можно назвать «свойством наложимости малых действий. Сущность его заключается в том, что соединенный эффект от нескольких малых действий и ∆y с достаточной точностью может быть заменен суммой эффектов от каждого малого действия в отдельности. Производные сложных и неявных функций. Положим теперь что функция u = f (x, y) зависит через посредство x и y от одной независимой переменной t, те. допустим, что x и y суть не независимые переменные, но функции независимой переменной и определим производную du dt от u по Если независимая переменная t получит приращение ∆t, то функции x и y получат соответственно приращения ∆x и ∆y, а u получит приращение ∆u: ∆u = f (x + ∆x, y + ∆y) − f(x, y). Гл. II. Понятие о производной и его приложения [69 В [68] мы видели, что приращение можно написать в виде = f ′ x (x + θ∆x, y + ∆y)∆x + f ′ y (x, y + Разделим обе части этого равенства на ∆t: ∆u ∆t = f ′ x (x + θ∆x, y + ∆y) ∆x ∆t + f ′ y (x, y + Мы предполагали, что x и y допускают производную по t, а следовательно, и подавно будут непрерывными функциями от Поэтому при стремлении ∆t к нулю ∆x и ∆y также будут стремиться к нулю, ив силу предполагаемой непрерывности du dx и написанное равенство в пределе даст нам du dt = f ′ x (x, y) dx dt + f ′ y (x, y) dy Равенство это выражает правило дифференцирования сложной функции в случае функции нескольких переменных. Предположим, в частности, что роль независимой переменной t играет переменная x, те. что функция u = f (x, y) зависит от независимой переменной x как непосредственно, таки через посредство переменной y, которая является функцией от x. Принимая во внимание, что dx dx = 1, получим на основании равенства (3) du dx = f ′ x (x, y) + f ′ y (x, y) dy Производная du dx называется полной производной от u по x в отличие от частной производной f ′ x (x, Доказанное правило дифференцирования сложных функций применяется для нахождения производной неявной функции. Положим, что уравнение (x, y) = определяет y как неявную функцию от x, имеющую производную y ′ = ϕ ′ (x). 70] § 7. Некоторые геометрические приложения 211 Подставляя y = ϕ(x) в уравнение (5), мы должны были бы получить тождество 0 = 0, так как y = ϕ(x) есть решение уравнения. Мы видим, таким образом, что постоянную нуль можно рассматривать как сложную функцию от x, которая зависит от x как непосредственно, таки через посредство y = ϕ(x). Производная по x от этой постоянной должна равняться нулю применяя правило, получим, y) + F ′ y (x, y)y ′ = откуда y ′ = − F ′ x (x, y) F ′ y (x, В полученное таким образом выражение для может войти как x, таки, и если нужно получить выражение только через независимую переменную x, то придется решить уравнение (относительно y. § 7. НЕКОТОРЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ПОНЯТИЯ О ПРОИЗВОДНЫХ. Дифференциал дуги. В интегральном исчислении будет показано, каким образом находится длины дуги кривой, будет выведено выражение для дифференциала длины дуги и будет доказано, что отношение длины хорды к длине стягиваемой ею дуги стремится к единице, когда дуга беспредельно сжимается к точке. Рис. Пусть дана некоторая кривая y = f (x), и будем отсчитывать на ней длину дуги от некоторой фиксированной точки A в определенном направлении (рис. 73). Пусть s — длина дуги AM от точки A до переменной точки M . Величина s, как и ордината, является функцией абсциссы точки M . Если направление совпадает с принятым направлением Гл. II. Понятие о производной и его приложения [70 кривой, то s > 0, а в противном случае s < 0. Пусть M (x, y) и (x + ∆x, y + ∆y) — две точки кривой и ∆s — разность длин дуги, те. приращение длины дуги при переходе изв Абсолютное значение ∆s есть длина дуги M N , взятая со знаком плюс. Из прямоугольного треугольника имеем N ) 2 = ∆x 2 + откуда N ) 2 ∆x 2 = 1 + или M N ∆s 2 ∆s ∆x 2 = 1 + Касательная M T , если она существует, является предельным положением секущей M N при стремлении N к M вдоль кривой, т. е. при ∆x → Переходя к пределу в предыдущем равенстве (предполагается существование касательной, получим, принимая во внимание, что, в силу сказанного выше 1: ds dx 2 = 1 + dy или ds dx = ± p 1 + Мы должны брать знак (+), если при возрастании x и s возрастает, и знак (−), если s убывает при возрастании x. Будем для определенности считать, что имеет место первый случай (изображенный на рис. 73). Из формулы (1) при этом следует ds = p 1 + y ′2 dx или, в силу y ′ = dy dx , ds = p dx 2 + те+ Если радикал считается положительным, то получается арифметическое значение ds. Формула (2) является, по существу, иной записью предыдущей формулы или формулы (1). Она, как мы увидим 70] § 7. Некоторые геометрические приложения 213 в дальнейшем, удобна для приложений. Более подробнее рассмотрение длины дуги будет дано в Естественным параметром при определении положения точки на кривой является длина s дуги AM . Эту величину s можно принять за независимую переменную, и при этом координаты (x, точки M будут функциями s: x = ϕ(s), y = Более подробно мы будем говорить о параметрическом задании кривой в [74]. Теперь мы выясним геометрический смысл производных от x и y по Положим, что точка N расположена так, что направление дуги совпадает с принятым направлением кривой, те При стремлении N к M направление секущей M N в пределе дает определенное направление касательной к кривой в точке M . Это направление касательной мы назовем положительным направлением касательной. Оно связано с принятым направлением самой кривой. Пусть α 1 — угол, образованный направлением M N с положительным направлением оси OX. Приращение ∆x абсциссы x есть проекция отрезка M N на ось OX, и, следовательно = M N · cos α 1 (M N = p ∆x 2 + причем в этом равенстве M N считается положительным. Деля обе части этого равенства на длину дуги M N , равную ∆s, получим+ ∆y 2 ∆s cos По условию ∆s > 0, а потому при стремлении N к M отношение стремится ка угол стремится к углу образованному положительным направлением касательной M T с положительным направлением оси OX. Написанное выше равенство даст нам в пределе cos α = dx ds Гл. II. Понятие о производной и его приложения [71 Точно также, проектируя M N на ось OY , получим sin α = dy ds 71. Выпуклость, вогнутость и кривизна. Случаи выпуклости и вогнутости кривой в сторону положительных ординат представлены на рис. 74 и Рис. Рис. Одна и та же кривая y = f (x) может, конечно, состоять и из выпуклых и из вогнутых частей (рис. 76). Точки, отделяющие выпук- Рис. 76. лые части кривой от ее вогнутых частей, называются точками перегиба. Если будем, двигаясь по кривой в сторону возрастания x, следить за изменением угла α, образуемого касательной с положительным направлением оси OX, то увидим (рис. что на участках выпуклости этот угол убывает, а на участках вогнутости возрастает. Такое же изменение, следовательно, будет претерпевать и tg α, те. производная f ′ (x), так как с увеличением (уменьшением) угла α и tg α увеличивается (уменьшается. Но промежутки убывания f ′ (x) суть те промежутки, где производная этой функции отрицательна, те, и точно также промежутки возрастания f ′ (x) суть те промежутки, где f ′′ (x) > 0. Мы получим, таким образом, теорему: Кривая обращена выпуклостью в сторону положительных ординат на тех участках, где f ′′ (x) < 0, и вогнутостью на тех, где 71] § 7. Некоторые геометрические приложения) > 0. Точки перегиба суть те ее точки, при переходе через которые f ′′ (x) меняет знак. * Из этой теоремы мы путем рассуждений, аналогичных приведенным раньше рассуждениям [58], получаем правило нахождения точек перегиба кривой чтобы найти точки перегиба кривой, надо определить те значения x, при которых f ′′ (x) обращается в нуль или не существует, и исследователь изменение знака f ′′ (x) при переходе через эти значения x, пользуясь следующей таблицей: f ′′ (x) точка перегиба нет точки перегиба +− −+ −− ++ вогн. вып. вып. вогн. выпукл. вогн. Наиболее естественное представление об искривлении кривой мы получим, если будем следить за изменением угла α, составляемого касательной с осью OX при движении по кривой. Из двух дуг Рис. одинаковой длины ∆s та дуга будет более искривлена, для которой касательная повернется на больший угол, те. для которой приращение будет больше. Эти соображения приводят нас к понятию о средней кривизне ∆s и о кривизне в данной точке средней кривизной дуги ∆s называется абсолютная величина отношения угла ∆α между касательными в концах этой дуги к длине ∆s дуги. Предел этого отношения при стремлении ∆s к нулю называется кривизной кривой в данной точке (рис. Таким образом, для кривизны C мы получаем выражение Но tg α есть первая производная y ′ , те откуда, дифференцируя по x сложную функцию arc tg y ′ : dα = y ′′ 1 + Также принято говорить о выпуклости вверх и о выпуклости вниз Гл. II. Понятие о производной и его приложения [71 Как мы только что показали ds = ± p 1 + Деля dα на ds, получим окончательно выражение для кривизны = ± y ′′ (1 + На участках выпуклости надо брать знака на участках вогнутости знак (+) для того, чтобы C получило положительное значе- ние. В тех точках кривой, где не существует производных или не существует и кривизны. Вблизи тех точек, где обращается в нуль, и, следовательно, кривизна обращается в нуль, кривая походит напрямую. Это будет, например, вблизи точек перегиба. Положим, что координаты x, y точек кривой выражены через длину дуги s. В этом случае, как мы видели cos α = dx ds , sin α = dy Угол α будет также функцией s, и, дифференцируя написанные равенства по s, получим sin α dα ds = d 2 x ds 2 , cos α dα ds = d 2 y Возводя обе части этих равенств в квадрат и складывая, будем иметь dα dx 2 = d 2 x ds 2 2 + d 2 y или C 2 = d 2 x ds 2 2 + d 2 y откуда = r d 2 x ds 2 2 + d 2 y Величина, обратная кривизне, называется радиусом кривизны. Для радиуса кривизны R мы будем иметь, в силу (5), следующее выражение = ds dα = ± (1 + y ′2 ) 3 / 2 y ′′ , (6) 71] § 7. Некоторые геометрические приложения 217 или R = 1 r d 2 x ds 2 2 + d 2 y причем значение корня берется положительным. В случае прямой линии y есть многочлен первой степени от а потому тождественно равна нулю, те. вдоль всей прямой кривизна равна нулю, а радиус кривизны — бесконечности. В случае окружности радиуса r будем иметь, очевидно (рис. 78): ∆s = и R = lim ∆s ∆α = те. радиус кривизны вдоль всей окружности постоянен. Впоследствии мы увидим, что таким свойством обладает только окруж- ность. Рис. Рис. Заметим, что изменение радиуса кривизны совсем не так наглядно, как изменение касательной. Рассмотрим линию, состоящую из отрезка прямой и дуги BC окружности, касательной к отрезку в конце (рис. 79). На участке AB радиус кривизны равен бесконечности, на участке же BC он равен радиусу окружности r и, таким образом, в точке B он терпит разрыв непрерывности, хотя при этом направление касательной меняется непрерывно. Этим обстоятельством объясняются толчки вагонов на поворотах. Допустим, что величина скорости движения вагона v остается неизменной. В этом случае, как известно из механики, сила будет направлена по нормали к траектории и равна m где m есть масса движущегося тела и R — радиус кривизны траектории. |