Курс высшей математики. Том 1 (Смирнов В.И.). В. И. Смирнов Допущено Научнометодическим советом по математике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебника для студентов механикоматематических и физикоматематических факультетов у

• Название: В. И. Смирнов Допущено Научнометодическим советом по математике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебника для студентов механикоматематических и физикоматематических факультетов у
• Дата: 25.05.2023
• Размер: 3.3 Mb.
• Имя файла: Курс высшей математики. Том 1 (Смирнов В.И.).pdf
• Тип: Учебник; #1158196
• страница: 15 из 43

Отсюда видно, что в точках разрыва непрерывности радиуса кривизны и сила будет претерпевать разрыв непрерывности, что и обусловливает толчок

Гл. II. Понятие о производной и его приложения 72. Асимптоты. Перейдем теперь к изучению бесконечных ветвей кривой, на которых одна из координат x или y или обе вместе беспредельно возрастают. Гипербола и парабола дают нам примеры кривых с бесконечными ветвями.
Асимптотой кривой с бесконечной ветвью называется такая прямая, что расстояние точек кривой до этой прямой при беспредельном удалении по бесконечной ветви стремится к нулю.
Рис. Покажем сначала, как находить асимптоты кривой, параллельные оси Уравнение такой асимптоты должно иметь вид = c где c — постоянная, ив этом случае при движении по соответствующей бесконечной ветви x должно стремиться как бесконечности
(рис. 80). Мы получаем, таким образом, следующее правило.
Все асимптоты кривой y = f (параллельные оси OY , можно получить, найдя те значения x = c при приближении к которым f (x) стремится к бесконечности.
Для исследования того, как расположена кривая относительно асимптоты, надо определить знак f (x) при стремлении x к c слева и справа.
Перейдем теперь к нахождению асимптот, непараллельных оси . В этом случае уравнение асимптоты должно иметь вид = aξ + b где ξ, η — текущие координаты асимптоты, в отличие от X, Y текущих координат кривой

72]
§ 7. Некоторые геометрические приложения
219
Рис. Пусть ω есть угол, образованный асимптотой с положительным направлением оси OX, M K — расстояние точки кривой до асимптоты и M K
1
— разность ординат кривой и асимптоты при одинаковой абсциссе x (рис. 81). Из прямоугольного треугольника будем иметь =
|MK|
| cos ω|

ω и, следовательно, условие lim M K = мы можем заменить условием lim M K
1
= В случае асимптоты, непараллельной оси OY , при движении по соответствующей бесконечной ветви x стремится к бесконечности.
Принимая во внимание, что M есть разность ординат кривой и асимптоты при одинаковых абсциссах, можем переписать условие) так x→∞
[f (x) − ax − b] = откуда мы и должны получить значения a и Условие (8) можно переписать в виде x→∞
x h f (x)
x
− a −
b x
i
= Но первый множитель x стремится к бесконечности, а потому выражение, стоящее в квадратных скобках, должно стремится к нулю lim x→∞
h f (x)
x
− a −
b x
i
= lim x→∞
f (x)
x
− a = то есть a = lim x→∞
f (x)
x

Гл. II. Понятие о производной и его приложения
[73
Найдя a, мы определим b из основного условия (8), которое можно переписать в виде = lim x→∞
[f (x) − Итак, для существования асимптоты, непараллельной оси OY у кривой y = f (необходимо и достаточно, чтобы при движении по бесконечной ветви x беспредельно возрастало и чтобы существовали пределы a = lim x→∞
f (x)
x
,
b = lim x→∞
[f (x) − и тогда уравнение асимптоты будет = aξ + Для исследования расположения кривой относительно асимптоты, надо отдельно разобрать случаи стремления x к (+∞) и (Рис. ив каждом из этих случаев определить знак разности f (x) − (ax + Если он будет (+), то кривая расположена над асимптотой, а если, то под асимптотой. Если же эта разность при беспредельном возрастании не будет сохранять неизменного знака, то кривая будет колебаться около асимптоты (рис. 82).
73. Построение графиков. Укажем теперь схему действий,
которые надо проделать при построении кривой y = f (более полную, чем это сделано в [59].

73]
§ 7. Некоторые геометрические приложения
221
Для этого нужно:
а) определить промежуток изменения независимой переменной б) определить точки пересечения кривой с осями координат;
в) определить вершины кривой;
г) определить выпуклость, вогнутость и точки перегиба кривой;
д) определить асимптоты кривой;
е) выяснить симметричность кривой относительно осей координат, если таковая существует.
Для более точного вычерчивания кривой полезно также наметить еще ряд точек кривой. Координаты этих точек можно вычислить, пользуясь уравнением кривой. Вычертим кривую y =
(x − 3)
2 4(x − а) x может изменяться в промежутке (−∞, +б) полагая x = 0, получим y = −
9 4
; полагая y = 0,, получим x = те. кривая пересекается с осями координат в точках, −
9 ив) составляя первую и вторую производные f
′
(x) =
(x − 3)(x + 1)
4(x − 1)
2
, f
′′
(x) =
2
(x − Применяя обычное правило, получим вершины (3, 0) — минимум, (–1,
–2) — максимум;
г) из выражения второй производной видно, что она положительна при x > 1 и отрицательна прите. промежуток (1, ∞) есть промежуток вогнутости кривой, а промежуток (−∞, 1) есть промежуток выпуклости. Точек перегиба нет, так как f
′′
(x) меняет знак лишь при x = 1, а этому значению x соответствует, как мы сейчас увидим, асимптота, параллельная оси OY д) при x = 1 y обращается в бесконечность, и кривая имеет асимптоту x = Будем теперь искать асимптоты, непараллельные оси OY :
a = lim x→∞
(x − 3)
2 4(x − 1)x
= lim x→∞

1 −
3
x

2 4

1 −
1
x
 =
1 4
,

Гл. II. Понятие о производной и его приложения = lim x→∞
h (x − 3)
2 4(x − 1)
−
x
4
i
= lim x→∞
−5x + 9 4(x − 1)
=
= lim x→∞
−5 +
9
x
4

1 −
1
x
 =
−
5 те. асимптота будет y =
1 4
x −
5 Предлагаем читателю исследовать расположение кривой относительно асимптоты;
е) симметрии не имеется.
Нанося все полученные данные на чертеж, получим кривую (рис. 83).
2
. Исследуем кривые = c(a
2
− x
2
)(5a
2
− x
2
), y
1
= c(a
2
− x
2
)
2
, (c < которые дают форму тяжелой балки, изгибающейся под влиянием собственного веса, причем первая кривая относится к тому случаю, когда концы балки могут свободно поворачиваться, а вторая — когда они заделаны наглухо. Общая длина балки 2a, начало координат в середине балки и ось OY направлена вертикально вверх. Очевидно, нас интересует изменение x лишь в промежутке, +a).
2. Полагая x = 0, получим y = и y
1
= ca
4
, те. в первом случае прогиб середины балки в пять раз больше, чем во втором. При x = ±a,
y = y
1
= 0, что соответствует концам балки. Определим производные y
′
= −4cx(3a
2
− x
2
),
y
′′
= −12c(a
2
− x
2
),
y
′
1
= −4cx(a
2
− x
2
),
y
′′
1
= −4c(a
2
− В обоих случаях в промежутке (−a, +a) будет существовать минимум при x = 0, что соответствует прогибу середины балки, о котором мы говорили выше. В первом случаев промежутке (−a, +a), те. в первом случае вся балка обращена вогнутостью вверх. Во втором случае обращается в нуль при x = и меняет притом знак, те. соответствующие точки будут точками перегиба балки. Бесконечных ветвей нет. В обоих случаях уравнение не меняется при заменена, т. е.
в обоих случаях кривая симметрична относительно оси OY .

74]
§ 7. Некоторые геометрические приложения
223
Рис. Рис. На рис. 84 изображены обе кривые. Для простоты нами взят случайна практике длина балки значительно больше ее прогиба,
т. е. a значительно больше c, так что внешний вид кривой прогиба будет несколько иной (какой?).
Предлагаем читателю найти точки перегиба кривой y = и сравнить с рис. 60, на котором изображен соответствующий график. Параметрическое задание кривой. При отыскании уравнения геометрического места поданному его свойству не всегда бывает удобно или возможно выразить это свойство непосредственно в виде уравнения, связывающего текущие координаты x, В таком случае бывает полезно ввести третью, вспомогательную переменную величину, через которую можно выразить отдельно абсциссу и ординату y любой точки геометрического места.
Совокупность двух полученных таким путем уравнений x = ϕ(t),
y = также может служить для построения и исследования кривой, так

Гл. II. Понятие о производной и его приложения
[74
как при каждом значении t она определяет положение соответствующей точки кривой.
Такой способ задания кривой называется параметрическим,
вспомогательная же переменная t — параметром. Для получения уравнения кривой в обычном (явном или неявном) виде как зависимости, связывающей x и y, нужно из двух уравнений (9) исключить параметр t, что можно сделать, хотя бы решив одно из этих уравнений относительно t и подставив полученный результат в другое.
С параметрическим заданием кривых особенно часто приходится иметь дело в механике, при исследовании траектории движущейся точки, положение которой зависит от времени t, а потому и координаты суть функции от t. Определив эти функции, мы и получим параметрическое задание траектории.
Так, например, параметрическое уравнение окружности сцен- тром в точке (x
0
, y
0
) и радиусом r будет x = x
0
+ r cos t,
y = y
0
+ r sin Перепишем эти уравнения − x
0
= r cos t,
y − y
0
= r sin Возведя обе части в квадрат и складывая, исключим параметр t и получим обычное уравнение окружности − x
0
)
2
+ (y − y
0
)
2
= Точно также непосредственно ясно, что x = a cos t,
y = b sin есть параметрическое уравнение эллипса x
2
a
2
+
y
2
b
2
= Положим, что y, как функция от x, определена параметрически формулами (9).

74]
§ 7. Некоторые геометрические приложения
225
Приращение параметра ∆t вызовет соответствующие приращения и ∆y, и мы получим, деля числитель и знаменатель дробина, следующее выражение для производной отпоили Составим вторую производную от y по x:
y
′′
=
d

dy Применяя правило нахождения дифференциала частного, получим Нов силу (9),
dx = ϕ
′
(t)dt,
d
2
x = ϕ
′′
(t)dt
2
,
dy = ψ
′
(t)dt,
d
2
y = Подставляя это в (13) и сокращая на dt
3
, получим окончательно y
′′
=
ψ
′′
(t)ϕ
′
(t) − Заметим, что выражение по формуле (13) отличается от выражения той же производной по формуле (3) из [55] (при n = 2)
y
′′
=
d
2
y При ∆x → 0 выполнено ∆t → 0, следовательно можно перейти к пределу пои воспользоваться теоремой о пределе частного, учитывая, что производные ψ
′
(t) и ϕ
′
(t) существуют

Гл. II. Понятие о производной и его приложения
[74
потому что это последняя формула выведена лишь в том предположении, что x есть независимая переменная, а при параметрическом представлении (9) независимой переменной является t. Если x есть независимая переменная, то dx считается уже постоянным [50], т. е.
не зависящим от x, и d
2
x = d(dx) = 0 как дифференциал постоянной. При этом формула (13) переходит в (Имея возможность определить и y
′′
, мы тем самым можем решить вопрос о направлении касательной к кривой, о выпуклости и вогнутости кривой и т. д.
В качестве примера рассмотрим кривую, заданную уравнением x
3
+ y
3
− 3axy = 0 (a > и называемую листом Декарта».
Введем переменный параметр t, полагая y = и рассмотрим точки пересечения прямой (17) с переменным угловым коэффициентом t и кривой (16). Подставляя в уравнение (16) выражение y из уравнения (17) и сокращая на x
2
, получим x =
3at
1 + а уравнение (17) даст нам тогда y =
3at
2 1 + Эти уравнения дают параметрическую форму представления листа Декарта. Определим производные от x и y по t:
x
′
t
= 3a
(1 + t
3
) − 3t
2
t
(1 + t
3
)
2
=
6a

1 2
− t
3

(1 + t
3
)
2
,
y
′
t
= 3a
2t(1 + t
3
) − 3t
2
t
2
(1 + t
3
)
2
=
3at(2 − t
3
)
(1 + Для исследования изменения x и y разобьем весь промежуток, +∞) изменения t на такие отдельные части, внутри которых производные и y
′
t сохраняют неизменный знаки не обращаются в бесконечность. Для этого нам придется отметить значения = −1,
0,
1 и

74]
§ 7. Некоторые геометрические приложения
227
при которых эти производные обращаются в нуль или бесконечность.
Знаки x
′
t и y
′
t внутри этих промежутков определяются без труда по формулам вычислив значения x и y на концах промежутков, мы получим, таким образом, приведенную ниже таблицу.
Промежуток t x
′
t y
′
t x
y
(−∞, −1)
+ — возрастает от 0 до +убывает от 0 до −∞
(−1, 0)
+ — возрастает от −∞ до убывает от +∞ до 0

0,
1 3
√
2

+ + возрастает от 0 до возрастает от 0 до 3
√
2
,
3
√
2

— +убывает от возрастает от до до, +∞)
— убывает от до убывает от до Рис. В соответствии с этой схемой мы получим кривую, изображенную на рис. Для вычисления углового коэффициента касательной имеем формулу Обратим внимание на то, что x и y обращаются в нуль при t = 0 и t = и кривая, как это видно из чертежа, пересекает сама себя вначале координат.
Формула (19) дает нам y
′
x
= при t = 0,
y
′
x
= lim t→∞
t(2 − t
3
)
2 1
2
− t
3

= lim t→∞
t
2
t
3
− 1


2 1
2t
3
− 1

=
∞ прите. две ветви кривой, взаимно пересекающиеся вначале координат, касаются одна оси OX и другая оси OY При стремлении t к (−1) x и y стремятся к бесконечности, и кривая имеет бесконечную ветвь. Определим асимптоту

Гл. II. Понятие о производной и его приложения
[75
угловой коэффициент асимптоты равен lim x→∞
y x
= lim t→−1 3at
2
(1 + t
3
)
3at(1 + t
3
)
= −1,
b = lim t→−1
(y + x) = lim t→−1 3at
2
+ 3at
1 + t
3
= lim t→−1 6at + 3a
3t
2
= те. уравнение асимптоты будет y = −x − a или x + y + a = 0.
75. Уравнение Ван-дер-Ваальса.
Если считать, что газ точно следует законам Бойля — Мариотта и Гей-Люссака, то получается, как известно, следующая зависимость между упругостью газа p, его объемом v и абсолютной температурой T :
pv = где R — постоянная, одна и та же для всех газов, если рассматривать одну «грамм-молекулу» газа, те. число граммов газа, равное его молекулярному весу.
Существующие газы не подчиняются строго указанной зависимости,
и Ван-дер-Ваальсом была дана другая формула, гораздо более точно выражающая явление. Формула эта имеет вид +
a v
2

(v − b) = где a и b — положительные постоянные, различные для различных газов.
Решая уравнение относительно p, получим p =
RT
v − b
−
a Исследуем зависимость p от v, считая T постоянным, те. рассматривая случай изотермического изменения состояния газа. Найдем первую производную от p по v:
dp dv
= −
RT
(v − b)
2
+
2a v
3
=
1
(v − b)
2
 2a(v − b)
2
v
3
− Мы будем рассматривать только значения v > b. По поводу физического смысла этого условия, а также кривых, которые будут получены

75]
§ 7. Некоторые геометрические приложения
229
отсылаем читателя к курсам физики. Приравнивая производную нулю,
получим уравнение − b)
2
v
3
− RT = Исследуем изменение левой части этого уравнения при изменении v от b дои для этого определим ее производную по v, помня, что произведение RT по условию постоянно 2a(v − b)
2
v
3

′
= 2a
2(v − b)v
3
− 3v
2
(v − b)
2
v
= −
2a(v − b)(v − откуда видно, что эта производная положительна при b < v < 3b и отрицательна прите. левая часть уравнения (22) возрастает в
Рис. промежутке (b, 3b) и убывает при дальнейшем увеличении а потому при v = 3b она достигает максимума, равного Непосредственной подстановкой нетрудно также убедиться, что левая часть уравнения) при v = b и v = +обращается в (−RT ) и, следовательно, имеет знак (—). Если найденный максимум ее также отрицателен, те. если толевая часть уравнения (постоянно отрицательна, а в этом случае из выражения (видно, что производная dp dv постоянно отрицательна, те убывает с возрастанием Наоборот, если <
8a
27b
,

Гл. II. Понятие о производной и его приложения
[76
то левая часть уравнения (22) достигает положительного максимума при v = 3b, и уравнение (22) имеет один корень в промежутке (b, 3b) и другой корень в промежутке (3b, +∞). При переходе v через значение левая часть уравнения (22) и, следовательно dv переходит от знака) к знаку (+), те. этому значению v соответствует минимум p. Точно также убедимся, что значению v = соответствует максимум Если, наконец то максимум левой части уравнения (22) равен нулю, значения v = и v = сливаются водно значение v = 3b, при переходе через это значение левая часть уравнения (22) и dp dv сохраняют знак (—), те постоянно убывает с возрастанием v, и значению v = 3b соответствует точка перегиба кривой. Соответствующие этой точке перегиба значения v = v k
,
p = p и значение температуры T = T
k
, определяемое из условия (называются критическим объемом, упругостью и температурой газа. На рис. 86 указан вид кривых, соответствующих трем рассмотренным случаям. Особые точки кривых.
Рассмотрим уравнение кривой в неявной форме (x, y) = Угловой коэффициент касательной к такой кривой определяется по формуле, где (x, y) — координаты точки касания.
Рассмотрим тот частный случай, когда F (x, y) есть целый многочлен от x и y. В этом случае кривая (24) называется алгебраической. Частные производные F
′
x
(x, y) и F
′
y
(x, y) будут иметь вполне определенные значения, если вместо x и y подставить координаты любой точки M кривой, и уравнение (25) даст нам определенный угловой коэффициент касательной, во всех случаях, кроме тех, когда координаты точки (x, обращают в нуль частные производные F
′
x
(x, y) и F
′
y
(x, y). Такая точка называется особой точкой кривой (Особой точкой алгебраической кривой (24) называется точка, координаты которой удовлетворяют уравнению (24) и уравнениям, y) = 0,
F
′
y
(x, y) = 0.
(26)

76]
§ 7. Некоторые геометрические приложения
231
Для эллипса x
2
a
2
+
y
2
b
2
= условие (26) даст нам x = y = 0, но точка (0, 0) не лежит на эллипсе,
а потому эллипс особых точек не имеет. Тоже можно утверждать и относительно гиперболы и параболы.
В случае листа Декарта x
3
+ y
3
− 3axy = условия (26) будут иметь вид 3ay = 0 и 3y
2
− 3ax = и непосредственно видно, что начало координат (0, 0) является особой точкой кривой. При исследовании листа Декарта мы показали, что вначале координат кривая пересекает сама себя, и две ветви кривой, пересекающиеся в этой точке, имеют в ней различные касательные для одной из ветвей касательной является ось OX, для другой — ось OY Особая точка, в которой пересекаются различные ветви кривой так, что каждая ветвь имеет свою особую касательную, называется узловой точкой кривой. Таким образом, начало координат является узловой точкой листа Декарта.