Курс высшей математики. Том 1 (Смирнов В.И.). В. И. Смирнов Допущено Научнометодическим советом по математике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебника для студентов механикоматематических и физикоматематических факультетов у
 Скачать 3.3 Mb.
|
|
Введем угол θ = π − t, образованный отрезком KM с отрицательным направлением оси OX. Для r мы получим тогда r = 2a(1 + cos Уравнение это является уравнением кардиоиды в полярных координатах, и мы более подробно исследуем эту кривую, когда будем говорить о полярных координатах. Рис. Отметим теперь некоторые частные случаи гипоциклоид. Полагая в уравнениях, получим x = 2a cos t = b cos t, y = те. если радиус неподвижного круга вдвое больше радиуса подвижного круга, то точка M двигается по диаметру неподвижного круга. Положим теперь, что b = 4a. В этом случае гипоциклоида будет состоять из четырех ветвей (рис. 100), ив этом частном случае она называется астроидой. Уравнения (38) придадут нам x = 3a cos t + a cos 3t = 3a cos t + a(4 cos 3 t − 3 cos t) = 4a cos 3 t = b cos 3 t, x = 3a sin t − a sin 3t = 3a sin t − a(3 sin t − 4 sin 3 t) = 4a sin 3 t = b sin 3 t. Гл. II. Понятие о производной и его приложения [82 Возведя обе части уравнений в степень 2/3 и складывая почленно полученные уравнения, исключим параметр t и получим уравнение астроиды в неявной форме x 2/3 + y 2/3 = Рис. 101. 81. Развертка круга. Разверткой круга называется кривая, которую описывает конец M гибкой нити, постепенно сматывающейся с неподвижной окружности радиуса a, ипритом так, что в точке K, где нить отделяется от окружности, она остается касательной к окружности (рис. Приняв за параметр угол t, образуемый с положительным направлением оси радиусом, проведенным в точку K, и принимая во внимание, что KM дуге AK = at, получим уравнение развертки круга в параметрической форме = пр = пр+ пр пр = пр пр = a sin t + at cos Определим, пользуясь первой из формул (33), угловой коэффициент касательной cos t − a cos t + at sin t −a sin t + a sin t + at cos t = tg Угловой коэффициенты нормали к развертке круга будет, следовательно, равен ctg t = tg t откуда видно, что прямая M K и будет нормалью к развертке круга. Свойство это, как мы увидим впоследствии, имеет место и для разверток любых кривых. Кривые в полярных координатах. Положение точки на плоскости (рис. 102) определяется в полярных координатах : 82] § 7. Некоторые геометрические приложения 247 Рис. Рис. 103. 1) ее расстоянием r от некоторой данной точки O (полюс) и) углом θ, который образует направление отрезка OM сданным направлением (L) (полярная ось. Часто называют r — радиусом- вектором и θ — полярным углом. Если принять полярную ось за, а полюс — за начало координат, то имеем, очевидно (рис. 103): x = r cos θ, y = r sin Данному положению точки M соответствует одно определенное положительное значение r и бесчисленное множество значений которые отличаются слагаемым, кратным 2π. Если M совпадает сто и θ — совершенно неопределенно. Всякая функциональная зависимость вида r = f (θ) (явная) или (r, θ) = 0 (неявная) имеет в полярной системе координат свой график. Чаще приходится иметь дело с явным уравнением r = f (В дальнейшем мы будем рассматривать не только положительные, но и отрицательные значения r, причем если некоторому значению соответствует отрицательное значение r, то условимся откладывать это значение r в направлении, прямо противоположном тому направлению, которое определяется значением Считая, что на некоторой заданной кривой r есть функция θ, мы видим, что уравнения (39) представляют собой параметрическую форму уравнения этой кривой, причем x и y зависят от параметра как непосредственно, таки через посредство r. Мы можем поэтому прилагать в данном случае формулы (33) и (34) [77]. Обозначая через α угол, составленный касательной с осью OX, будем иметь Гл. II. Понятие о производной и его приложения [82 применяя первую из формул (33), tg α = y ′ = r ′ sin θ + r cos θ r ′ cos θ − r sin где через мы обозначаем производную от r по Рис. Введем еще в рассмотрение угол между положительными направлениями радиус-вектора и касательной к кривой (рис. 104). Мы имеем = α − и, следовательно µ = cos α cos θ + sin α sin θ, sin µ = sin α cos θ − cos α sin Дифференцируя равенства (39) пои принимая во внимание, что dx ds и ds соответственно равны cos α и sin α, получим cos α = cos θ dr ds − r sin θ dθ ds , sin α = sin θ dr ds + r cos Подставляя эти выражения cos α ив написанные выше выражения для cos µ и sin µ, будем иметь cos µ = dr ds , sin µ и, следовательно µ = rdθ dr = r dr dθ = r r ′ (41 Из (39) следует dx = cos θdr − r sin θdθ, dy = sin θdr + r cos См. [70]. 83] § 7. Некоторые геометрические приложения 249 а потому ds = p (dx) 2 + (dy) 2 = p (dr) 2 + и равенство α = µ + θ дает нам, если мы разделим числитель и знаменательна +Из формулы же (41 1 ) имеем = arctg r r ′ , dµ dθ = 1 1 + r r ′ 2 · r ′2 − r ′′ r ′2 = r ′2 − rr ′′ r 2 + где и r ′′ — производные первого и второго порядка от r по Подставляя полученные выражения производных в предыдущую формулу, будем иметь для радиуса кривизны = ± (r 2 + r ′2 ) 3/2 r 2 + 2r ′2 − rr ′′ (43) 83. Спирали. Разберем три вида спиралей: спираль Архимеда = спираль гиперболическую = a, (a > 0; b > спираль логарифмическую r = be Рис. Спираль Архимеда имеет вид, изображенный на рис. 105, причем пунктир соответствует части кривой при θ < 0. Отрицательным значениям θ соответствуют и отрицательные значения r, и их над откладывать в направлении, противоположном тому направлению, которое определяется значением Всякий радиус-вектор встречает кривую бесчисленное множество раз, причем расстояние между каждыми двумя последовательными точками пересечения есть величина постоянная, равная 2aπ. Это видно из того, что направление радиуса-вектора, соответствующее некоторому Гл. II. Понятие о производной и его приложения [83 Рис. данному значению θ, не меняется, если к θ прибавить 2π, 4π . . . ; длина же r, определяемая из уравнения r = aθ, будет получать приращения, 4aπ, . . Гиперболическая спираль изображена на рис. 106. Предполагая θ > исследуем, что будет происходить с кривой, когда θ стремится к нулю. Уравнением r показывает, что r будет стремиться при этом к бесконечности. Возьмем некоторую точку M на кривой при достаточно малом значении θ и опустим перпендикулярна полярную ось X. Из прямоугольного треугольника получим (риса при стремлении θ к нулю lim θ→0 QM = lim θ→0 a sin θ θ = Итак, расстояние между точкой M кривой и полярной осью, при стремлении θ к нулю, стремятся к a, и кривая будет иметь асимптоту, параллельную полярной оси и проведенную на расстоянии a от нее. Далее, видим, что r не обращается в нуль ни при каких конечных значениях, а только стремится к нулю, когда θ стремится к бесконечности. Кривая будет поэтому беспредельно приближаться к полюсу O, закручиваясь около него, но никогда не пройдет через O в противоположность спирали Архимеда. Такая точка называется, вообще, асимптотической точкой кривой. Логарифмическая спираль изображена на рис. 107. 84] § 7. Некоторые геометрические приложения 251 Рис. При θ = 0, r = b и при стремлении θ к (+∞) и r стремится ка при стремлении θ к (−∞) r стремится к нулю, никогда не обращаясь в нуль. В рассматриваемом случае r ′ = abe и tg µ = r те. радиус-вектор образует с касательной к логарифмической спирали постоянный угол µ. 84. Улитки и кардиоида. Построим круг на диаметре OA = 2a (рис. 108); из точки O, лежащей на окружности, будем проводить радиусы-векторы и на каждом из них будем откладывать постоянную величину h = DM от точки пересечения D этой прямой с окружностью. Геометрическое место точек M называется вообще улиткою. Замечая, что = 2a cos и = находим уравнение улитки r = 2a cos θ + Рис. Рис. Если h > 2a, то уравнение это дает для r только положительные значения, и соответствующая кривая изображена на рис. 109. Если h < 2a, Гл. II. Понятие о производной и его приложения [84 то r будет принимать и отрицательные значения, кривая имеет вид, изображенный на рис. 110. В точке O кривая пересекает самое себя. Наконец, при h = 2a уравнение улитки будет r = 2a(1 + cos те. в этом случае улитка представляет собою кардиоиду [80], которая только иначе расположена, чем в [80] (рис. 111). Значению θ = π будет соответствовать r = 0, те. кривая пройдет через точку Рис. Рис. Определим первую и вторую производные от r по θ: r ′ = −2a sin θ, r ′′ = −2a cos Вычислим tg µ: tg µ = r r ′ = 2a(1 + cos θ) −2a sin θ = − ctg θ 2 = tg то есть Как было показано раньше [80], кардиоиду можно себе представить как кривую, описанную точкой круга, катящегося по упомянутому выше кругу с диаметром OA = 2a, причем диаметр катящегося круга равен диаметру неподвижного круга. Пусть C — центр неподвижного круга — некоторая точка кардиоиды, N — точка касания катящегося круга 85] § 7. Некоторые геометрические приложения 253 в его положении, соответствующем этой точке, с неподвижным кругом, и N 1 — диаметр подвижного круга (рис. 111). Выше [80] мы видели, что прямые OM и CN 1 — параллельны, те. угол ACN = θ и, следовательно, дуга N M = дуге ON = π − Угол M N 1 N , как вписанный, опирающийся на дугу N M , равен π 2 − θ 2 , и, наконец, угол, образованный направлениями OM и N 1 M , равен − π 2 − θ 2 = π 2 + θ 2 = откуда видно, что N 1 M и есть касательная к кардиоиде в точке M . Мы получаем, таким образом, следующее правило: Чтобы построить касательную к кардиоиде в ее точке M , достаточно соединить эту точку с концом того диаметра катящегося круга, другой конец которого находится в точке касания катящегося круга с неподвижным нормаль пройдет по прямой M N Выведенное выше правило построения касательной к кардиоиде получается просто из кинематических соображений. Известно, что вообще движение неизменяемой системы на плоскости в каждый данный момент сводится к вращению вокруг неподвижной точки (мгновенного центра), причем, вообще говоря, положение этой точки меняется стечением времени. В случае качения, указанного на рис. 111, мгновенный центр есть точка соприкосновения N катящегося круга с неподвижными, следовательно, скорость движущейся точки M , направленная по касательной к кардиоиде, перпендикулярна к лучу N M , те. этот луч есть нормаль к кардиоиде, а перпендикулярная к нему прямая N 1 M — касательная к кардиоиде. Из этих соображений следует, что приведенное правило построения касательной годится, вообще, для кривых, описанных некоторой точкой окружности, катящейся без скольжения по неподвижной кривой. Овалы Кассини и лемниската. Овалы Кассини получаются как геометрическое место точек M , для которых произведение расстояний от двух данных точек и есть величина постоянная · F 2 M = Обозначим длину через 2a, направим полярную ось по линии F 1 F 2 и полюс O поместим в середине отрезка F 1 F 2 . Из треугольников 3 В [80] эти две прямые были KM ирис Гл. II. Понятие о производной и его приложения ирис) находим r 2 + a 2 + 2ar cos θ, F 2 M 2 = r 2 + a 2 − 2ar cos Подставляя эти выражения в уравнение овалов и возводя его обе части в квадрат, получим после элементарных преобразований r 4 − 2a 2 r 2 cos 2θ + a 4 − b 4 = откуда r 2 = a 2 cos 2θ ± p a 4 cos 2 2θ − (a 4 − Случаи, соответствующие a 2 < и a 2 > b 2 , изображены на рис. причем второму случаю соответствует кривая, состоящая из двух отдельных замкнутых кривых. Мы рассмотрим более подробно лишь тот важный случай, когда a 2 = b 2 . Соответствующая кривая называется лемнискатой, и ее уравнение будет r 2 = 2a 2 cos Уравнение это дает вещественные значения для r, только когда cos 2θ > 0, те. когда θ лежит водном из промежутков 3π 4 , 5π 4 , 7π 4 , причем r обращается в нуль при Нетрудно на основании этих соображений построить кривую (рис. Рис. Рис. 113. 85] § 7. Некоторые геометрические приложения 255 В точке O кривая будет пересекать самое себя, и пунктирные прямые представляют собою касательные к двум ветвям кривой, пересекающимся в точке O. Дифференцируя обе части уравнения лемнискаты по получим −4a 2 sin или r ′ = − 2a 2 sin откуда tg µ = r r ′ = − r 2 2a 2 sin 2θ = − 2a 2 cos 2θ 2a 2 sin 2θ = − ctg 2θ = tg π 2 + 2θ , µ = π 2 + Переходя от полярных координат к прямоугольным, из формулы (имеем r 2 = x 2 + y 2 , cos θ = x r , sin θ = y Уравнение лемнискаты можно написать в виде r 2 = 2a 2 (cos 2 θ − подставляя предыдущие выражения, получим уравнение лемнискаты в прямоугольных координатах x 2 + y 2 = 2a 2 x 2 − y 2 x 2 + или+ y 2 ) 2 = 2a 2 (x 2 − откуда видно, что лемниската есть алгебраическая кривая четвертого порядка ГЛАВА ПОНЯТИЕ ОБ ИНТЕГРАЛЕ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ 8. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Понятие о неопределенном интеграле. Одной из основных задач дифференциального исчисления является задача нахождения производной или дифференциала данной функции. Первой основной задачей интегрального исчисления является обратная задача — отыскание функции по заданной ее производной или дифференциалу. Пусть дана производна y ′ = f (или дифференциал dy = f ′ (x)dx неизвестной функции Функция F (x), имеющая данную функцию f (x) своей производной или f (x)dx своим дифференциалом, называется первообразной данной функции f (Если, например (x) = x 2 , 86] § 8. Неопределенный интеграл 257 то первообразной функцией будет, например, F (x) = 1 3 x 3 . Действительно Допустим, что мы нашли какую-нибудь первообразную F (функцию данной функции f (x), которая имеет f (x) своей производной, те. удовлетворяет соотношению) = f (Так как производная от произвольной постоянной C равна нулю, мы имеем также (x) + C] ′ = F ′ (x) = f (те. наряду си функция F (x) + C есть также первообразная функция для f (Отсюда следует, что если задача нахождения первообразной функции имеет хоть одно решение, то она имеет и бесчисленное множество других решений, отличающихся от упомянутого на произвольное постоянное слагаемое. Можно, однако, показать, что этими исчерпываются все решения задачи, а именно: Если F (x) есть какая-либо из первообразных функций для данной функции f (x), то любая другая первообразная функция имеет вид (x) + где C есть произвольная постоянная. ∗ В самом деле, пусть F 1 (x) есть любая функция, имеющая f (своей производной. Мы имеем) = f (С другой стороны, и рассматриваемая функция F (x) имеет f (своей производной, те (Заметим, что если функция имеет одну первообразную, то она имеет бесконечно много первообразных, отличающихся друг от друга на константу Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения [86 Вычитая это равенство из предыдущего, получаем) − F ′ (x) = [F 1 (x) − F (x)] ′ = откуда, в силу известной теоремы [63], F 1 (x) − F (x) = где C есть постоянная, что и требовалось доказать. Полученный нами результат можно еще формулировать так: если производные (или дифференциалы) двух функций тождественно равны, то сами функции отличаются лишь постоянным слагаемым. Самое общее выражение для первообразной функции называется также неопределенным интегралом отданной функции f (или отданного дифференциала f (x)dx и обозначается символом (причем функция f (x) называется подынтегральной функцией, а f (x)dx — подынтегральным выражением. Найдя какую-нибудь первообразную функцию F (x), в силу доказанного выше можем написать (x)dx = F (x) + где C есть произвольная постоянная. ∗ Приведем механическое и геометрическое истолкование неопределенного интеграла. Пусть у нас имеется закон аналитической зависимости скорости от времени = f (и требуется найти выражение пути s от времени. Так как скорость движения точки по заданной траектории есть производная ds dt от ∗ Также говорят, что неопределенным интегралом отданной функции называется совокупность всех ее первообразных 86] § 8. Неопределенный интеграл 259 пути повремени, то задача сводится к нахождению первообразной данной функции f (t), те (Мы получаем бесчисленное множество решений, отличающихся на постоянное слагаемое. Эта неопределенность ответа имеет место вследствие того, что мы не фиксировали того места, от которого отсчитываем пройденный пусть s. Если, например, u = равномерно ускоренное движение, то для s мы получим выражение s = 1 2 gt 2 + u 0 t + ибо, как нетрудно проверить, производная выражения (1) по t совпадает с заданным выражением u = gt + u 0 . Если мы согласимся отсчитывать s от той точки, которая соответствует значению t = те. если согласимся считать s = 0 при t = 0, то мы должны будем в формуле (1) положить постоянную C = 0. В предыдущих рассуждениях мы обозначили независимую переменную не буквой а буквой t, что, конечно, не имеет существенного значения. Перейдем теперь к геометрическому истолкованию задачи нахождения первообразной функции. Соотношение y ′ = f (x) показы- вает, что Рис. график искомой первообразной функции, или, как говорят, интегральная кривая (есть кривая, касательная к которой при любом значении x имеет заданное направление, определяемое угловым коэффициентом (Иными словами, при любом значении независимой переменной x соотношением) задано направление касательной к Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения [86 кривой и требуется найти эту кривую. Если построена одна такая интегральная кривая, то все кривые, которые мы получим, передвигая ее на любой отрезок параллельно оси OY , будут иметь при одно и том же значении x параллельные касательные стем же угловым коэффициентом y ′ = f (x) (рис. 114), что и исходная кривая. Упомянутый параллельный перенос равносилен прибавлению к ординатам кривой постоянного слагаемого C, и общее уравнение кривых, отвечающих задаче, будет y = F (x) + Для того чтобы вполне определить положение искомой интегральной кривой, те. выражение искомой первообразной функции, |