Курс высшей математики. Том 1 (Смирнов В.И.). В. И. Смирнов Допущено Научнометодическим советом по математике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебника для студентов механикоматематических и физикоматематических факультетов у

• Название: В. И. Смирнов Допущено Научнометодическим советом по математике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебника для студентов механикоматематических и физикоматематических факультетов у
• Дата: 25.05.2023
• Размер: 3.3 Mb.
• Имя файла: Курс высшей математики. Том 1 (Смирнов В.И.).pdf
• Тип: Учебник; #1158196
• страница: 16 из 43

Укажем еще на примерах некоторые типы особых точек алгебраических кривых.
1.
Рассмотрим кривую y
2
− ax
3
= 0
(a > называемую полукубической параболой. Нетрудно проверить, что координаты) обращают в нуль левую часть этого уравнения и ее частные производные пои, и, следовательно, начало координат является особой точкой кривой. Для исследования вида кривой вблизи этой особой точки построим эту кривую. Ее уравнение в явной форме будет y = Для построения кривой достаточно исследовать ту ее часть, которая соответствует знаку (+), ибо часть кривой, соответствующая знаку (будет симметрична с первой частью относительно оси OX. Из уравнения видно, что x не может быть меньше нуля и что при возрастании x от дои возрастает от 0 до (+∞).

Гл. II. Понятие о производной и его приложения
[76
Определим производные первых двух порядков При x = 0 и y
′
= 0, и заметив, что x может стремиться к нулю, принимая лишь положительные значения, можем утверждать, что ось OX будет касательной к кривой справа вначале координат. Кроме того видно,
что для исследуемой части кривой сохраняет неизменный знак (в промежутке (0, +∞), те. эта часть обращена вогнутостью в сторону положительных ординат.
На рис. 87 изображена исследуемая кривая (при a = 1). Вначале координат встречаются, не продолжаясь дальше, две ветви кривой,
причем обе ветви в точке встречи имеют одну и туже касательную и расположены по разные стороны от этой касательной вблизи особой
Рис. Рис. точки (в данном случае — везде. Такая особая точка называется точкой возврата первого ряда

76]
§ 7. Некоторые геометрические приложения Рассмотрим кривую − x
2
)
2
− x
5
= Нетрудно проверить, что начало координат является особой точкой кривой. Уравнение кривой в явной форме будет y = Из этого уравнения видно, что x может изменяться от 0 до (+∞). Определим производные двух первых порядков 2x ±
5 2
√
x
3
,
y
′′
= 2 ±
15 4
√
x и исследуем отдельно обе ветви кривой, соответствующие знакам (+) и
(—).
Заметим, прежде всего, что в обоих случаях, при x = 0 и y
′
= итак же, как в предыдущем примере, ось OX будет для обеих ветвей касательной справа.
Исследуя обе ветви обычным способом, получим следующие результаты для первой ветви при возрастании x от 0 дои возрастает от 0 дои кривая вогнута на второй ветви имеется вершина (максимум) при x =
16 25
, точка перегиба при x =
6 и точка пересечения с осью OX при x = Принимая во внимание все указанное, получим кривую, изображенную на рис. Вначале координат встречаются, не продолжаясь дальше, две ветви кривой, причем обе ветви в точке встречи имеют одну и туже касательную и расположены по одну сторону от этой касательной вблизи особой точки. Такая особая точка называется точкой возврата второго рода.
3.
Исследуем кривую y
2
− x
4
+ x
6
= Начало координат есть особая точка кривой. Уравнение кривой в явной форме будет y = ±x
2
p
1 − Уравнение кривой в неявной форме содержит только четные степени x и y, а потому оси координат суть оси симметрии кривой, и достаточно исследовать часть кривой, соответствующую положительным значениям

Гл. II. Понятие о производной и его приложения и Из уравнения кривой в явной форме видно, что x может изменяться от (−1) до 1. Ограничимся вычислением первой производной y
′
=
x(2 − 3x
2
)
√
1 − При x = 0 и y = y
′
= 0, те. вначале координат, касательная совпадает с осью OX, а при x = 1, y = 0 и y
′
= ∞, те. в точке (1, 0), касательная
Рис. параллельна оси OY . По обычным правилам найдем, что кривая будет иметь вершину при x =
q
2 3
. Принимая во внимание все сказанное ив частности, симметричность кривой, получим кривую, изображенную на рис. Вначале координат две ветви кривой, соответствующие знаками) перед корнем, взаимно касаются. Такая особая точка называется точкой соприкос- новения.
4.
Исследуем кривую y
2
− x
2
(x − 1) = Начало координат есть особая точка кривой. Явное уравнение кривой будет y = ±
p x
2
(x − Принимая во внимание, что подкоренное выражение не может быть отрицательным, можем утверждать, что либо x = 0, либо x > 1. При x = и y = 0. Исследуем теперь ветвь кривой, соответствующую знаку (При увеличении x от 1 до (+∞) y увеличивается от 0 до (+∞). Из выражения первой производной y
′
=
3x − 2 2
√
x − видно, что, при x = 1, обращается в бесконечность, те. в точке (1, касательная параллельна оси OY . Вторая ветвь кривой, соответствующая знаку (—), будет симметрична с исследованной относительно оси

77]
§ 7. Некоторые геометрические приложения
235
Принимая все это во внимание, получим кривую, изображенную на рис. 90. В рассматриваемом случае координаты точки O (0, 0) удовлетворяют уравнению кривой, но вблизи нее нет других точек кривой. В
этом случае особая точка называется изолированной точкой.
Рис. Рис. Указанными выше типами особых точек исчерпываются всевозможные случаи особых точек алгебраических кривых, но может случиться,
что в некоторой точке алгебраической кривой произойдет совпадение особых точек, одинаковых или разных типов.
Кривые не алгебраические называются трансцендентными.
Предлагаем читателю показать, что уравнению y = x log x соответствует кривая, изображенная на рис. 91. Начало координат является точкой прекращения кривой. Элементы кривой. Приведем основные формулы, связанные с понятием касательной к кривой и ее кривизны, и введем

Гл. II. Понятие о производной и его приложения
[77
еще некоторые новые понятия, связанные с понятием касательной.
Если уравнение кривой имеет вид = f (то угловой коэффициенты касательной есть производная f
′
(x) от y пои уравнение касательной может быть написано в виде − y = y
′
(X − x) (y
′
= где (x, y) — координаты точки касания и (X, Y ) — текущие координаты касательной. Нормалью к кривой в точке (x, y) кривой называют прямую, проведенную через эту точку перпендикулярно к касательной в этой точке. Как известно из аналитической геометрии, угловые коэффициенты перпендикулярных прямых обратны по величине и по знаку, те. угловой коэффициент нормали будет, и уравнение нормали можно написать так − y = −
1
y
′
(X − или − x) + y
′
(Y − y) = Рис. Пусть M есть некоторая точка кривой, T и N — точки пересечения касательной и нормали кривой в точке M с осью OX, Q — основание перпендикуляра, опущенного из точки M на ось OX (рис. Отрезки QT и QN , лежащие на оси OX, называются подкасатель- ной и поднормалью кривой в точке , и отрезкам этим соответствуют определенные числа, положительные или отрицательные, смотря по направлению этих отрезков на оси OX. Длины отрезков M T и M N называются длиною касательной и длиною нормали кривой в точке M , причем длины эти мы будем считать всегда положительными. Абсцисса точки Q на оси OX равна, очевидно, абсциссе x точки M . Точки T и N суть

77]
§ 7. Некоторые геометрические приложения
237
точки пересечения касательной и нормали с осью OX, а потому для определения абсцисс этих точек надо положить в уравнении касательной и нормали Y = 0 и полученные уравнения разрешить относительно X. Мы получим, таким образом, для абсциссы точки выражение −
y y
′

, а для абсциссы точки N — выражение + yy
′
). Нетрудно теперь определить величину подкасательной и поднормали:
QT = OT − OQ = x −
y y
′
− x = −
y y
′
,
QN = ON − OQ = x + yy
′
− x = Из прямоугольных треугольников M QT и M QN можно определить теперь длины касательной и нормали | =
q
M Q
2
+ QT
2
=
s y
2
+
y
2
y
′2
= ±
y y
′
p
1 + y
′2
,
|MN| =
q
M Q
2
+ QN
2
=
p y
2
+ y
2
y
′2
= ±y p
1 + причем знак ± надо выбирать так, чтобы выражения в правой части оказались положительными.
Напомним еще формулу для радиуса кривизны кривой [71]:
R = ±
(1 + Обозначая длину нормали буквою n, получим из второй из формул и, подставляя это значение p
1 + в формулу (32), будем иметь еще следующее выражение для радиуса кривизны = ±
n
3
y
3
y
′′
(32 Если кривая задана параметрически x = ϕ(t),
y = ψ(t),

Гл. II. Понятие о производной и его приложения
[78
то первая и вторая производные и от y по x выражаются по формулам [74]
y
′
=
dy dx
=
ψ
′
(t)
ϕ
′
(t)
,
y
′′
=
d
2
ydx − d
2
xdy dx
3
=
ψ
′′
(t)ϕ
′
(t) − В частности, подставляя эти выражения в формулу (32), получим выражения радиуса кривизны в рассматриваемом случае = ±
(dx
2
+ dy
2
)
3/2
d
2
ydx − d
2
xdy
= ±
{[ϕ
′
(t)]
2
+ [ψ
′
(t)]
2
}
3/2
ψ
′′
(t)ϕ
′
(t) − ϕ
′′
(t)ψ
′
(t)
= ±
ds где α есть угол, образуемый касательной с осью Если кривая задана неявно (x, y) = тов силу формулы (25) получим следующее уравнение касательной, y)(X − x) + F
′
y
(x, y)(Y − y) = 0.
(35)
78. Цепная линия.
Цепной линией называется кривая, которая при соответствующем выборе координатных осей имеет уравнение =
a
2

e x
a
+ e
−
x a

(a > Кривая эта дает форму равновесия тяжелой нити, подвешенной за два конца. Ее нетрудно построить по правилам, указанным в [73], и вид ее указанна рис. 93. Определим первую и вторую производные от y:
y
′
=
1 2

e x
a
− e
−
x a

,
y
′′
=
1 2a

e x
a
+ e
−
x a

=
y откуда + y
′2
= 1 +

e x
a
− e
−
x a

2 4
=

79]
§ 7. Некоторые геометрические приложения + e
2x a
− 2 + e
−
2x a
4
=

e x
a
+ e
−
x a

2 Подставляя это выражение (1 + y
′2
) во вторую из формул (31), получим для длины нормали кривой n и подставляя выражение для n ив формулу (32 1
), получим =
y
6
a
2
a
3
y
3
y
=
y
2
a
= Рис. те. радиус кривизны цепной линии равен длине нормали M N . При x = ордината у цепной линии принимает наименьшее значение y = a, и соответствующая точка A кривой называется ее вершиною.
На рис. 93 указаны еще некоторые вспомогательные линии, которые нам понадобятся впоследствии. При заменена) уравнение цепной линии не меняется, те. ось OY есть ось симметрии цепной линии. Циклоида.
Вообразим круг радиуса a, который катится без скольжения по неподвижной прямой.
Геометрическое место, описанное при таком движении некоторой точкой окружности круга, называется циклоидой.
Примем прямую, по которой катится круг, за ось OX; за начало координат примем начальное положение точки M , когда окружность касается в ней оси OX, и через t обозначим угол поворота окружности.
Обозначим далее через C — центр окружности, через N — точку касания окружности в ее некотором положении с осью OX, через Q — основание перпендикуляра, опущенного из точки M на ось OX, и через R основание перпендикуляра, опущенного из точки M на диаметр N окружности (рис. Принимая во внимание, что ввиду отсутствия скольжения = дуге Гл. II. Понятие о производной и его приложения
[79
Рис. можем выразить координаты точки M , описывающей циклоиду, через параметр t = ∠N CM :
x = OQ = ON
− QN = at − a sin t = a(t − sin t),
x = QM = N C
− RC = a − a cos t = a(1 − cos Это и дает нам параметрическое представление циклоиды.
Заметим прежде всего, что достаточно рассмотреть изменение t в промежутке (0, 2π), который соответствует полному обороту окружности. После этого полного оборота точка M опять совпадает сточкой касания окружности и оси OX, но только передвинется на отрезок 2πa. Часть кривой, которая получится при дальнейшем движении, будет тождественна с дугой и получится, если мы перенесем эту дугу на отрезок 2πa вправо, и т. д. Вычислим теперь первые и вторые производные от x и y по t:
dx dt
= ϕ
′
(t) = a(1 − cos t),
dy dt
= ψ
′
(t) = a sin t,
d
2
x dt
2
= ϕ
′′
(t) = a sin t,
d
2
y dt
2
= ψ
′′
(t) = a cos Угловой коэффициенты касательной в силу первой из формул (будет sin t a(1 − cos t)
=
2 sin t
2
cos t
2 2 sin
2 t
2
= ctg Формула эта приводит к простому способу построения касательной к циклоиде. Соединим точку сточкой кривой. Угол M N
1
N есть вписанный угол, опирающийся на дугу N M = t, и, следовательно, он

79]
§ 7. Некоторые геометрические приложения
241
равен t
2
. Из прямоугольного треугольника RM получим (рис. 94):
∠
RM N
1
=
π
2
−
t
2
,
tg ∠RM N
1
= tg
 π
2
−
t
2

= ctg Сравнивая это выражение с выражением для y
′
, видим, что прямая M и есть касательная к циклоиде, то есть:
Чтобы построить касательную к циклоиде в ее точке M , достаточно соединить эту точку с концом того диаметра катящегося круга, другой конец которого находится в точке касания окружности и оси Прямая M N , соединяющая точку M с другим концом только что упомянутого диаметра, перпендикулярна к прямой M N
1
, так как угол N опирается на диаметр, и мы можем поэтому утверждать, что прямая есть нормаль к циклоиде. Длина нормали n = M N определится непосредственно из прямоугольного треугольника N
1
M N :
n = 2a sin Радиус кривизны циклоиды получим, пользуясь формулой (34) ивы- ражениями (36):
R = ±
[a
2
(1 − cos t)
2
+ a
2
sin
2
t]
3/2
a cos t · a(1 − cos t) − a sin t · a sin t
= ±
a(2 − 2 cos t)
3/2
cos t − 1
=
= a · 2 3/2
(1 − cos t)
1/2
= 4a sin В последнем выражении мы оставляем лишь знак (+), так как для первой ветви циклоиды t заключается в промежутке (0, 2π), и sin не может быть величиной отрицательной.
Сравнивая это выражение с выражением для длины нормали n, будем иметь R = 2n, те. радиус кривизны циклоиды равен удвоенной длине нормали (M на рис. Если бы точка M , которая описывала циклоиду, лежала не на окружности круга, а внутри или вне ее, то при качении круга она описала бы кривую, которая соответственно называется укороченной или удлиненной циклоидой (иногда обе эти кривые называют трохоидой).
Назовем через h расстояние CM точки M от центра катящегося круга. Остальные обозначения оставим те же. Разберем сначала случай

Гл. II. Понятие о производной и его приложения
[80
Рис. 95.
h < a, те. тот случай, когда точка M находится внутри круга (рис. Непосредственно из чертежа имеем = OQ = ON
− QN = at − h sin t,
y = QM = N C
− RC = a − h cos В случае h > a уравнения будут те же, но кривая примет вид, указанный на рис. Рис. 96.
80. Эпициклоиды и гипоциклоиды.
Если круг, с окружностью которого связана точка M , катится не по прямой OX, а по некоторой неподвижной окружности, то получатся два обширных класса кривых:
эпициклоиды, если катящийся круг расположен вне неподвижного гипо- циклоиды, если катящийся круг расположен внутри неподвижного.
Выведем уравнение эпициклоид. Поместим начало координат в центр неподвижного круга ось OX направим по прямой, соединяющий этот центр O сточкой, которая является начальным положением точки , когда обе окружности касались друг друга в этой точке. Обозначим

80]
§ 7. Некоторые геометрические приложения
243
Рис. буквою a радиус катящейся окружности и примем за параметр угол, образуемый с осью OX радиусом ON неподвижной окружности, проведенным в точку касания окружностей, когда подвижная окружность повернулась на угол ϕ = ∠N CM (рис. Ввиду того, что качение окружности происходит без скольжения, можем написать дуга KN = дуге N те Из чертежа непосредственно находим x = OQ = OL + LQ = OC cos ∠KOC
− CM cos ∠SMC =
= (a + b) cos t − a cos(t + ϕ) = (a + b) cos t − a cos a + b a
t,
y = QM = LC
− RC = OC sin ∠KOC − CM sin ∠SMC =
= (a + b) sin t − a sin(t + ϕ) = (a + b) sin t − a sin a + b Кривая состоит из ряда одинаковых дуг, каждая из которых соответствует полному обороту подвижного круга, те. увеличению угла на 2π, а угла t на. Таким образом, концы этих дуг соответствуют значениям t = 0,
2aπ
b
,
4aπ
b
, . . . ,
2paπ
b
, . . Для того чтобы когда-нибудь мы пришли в начальную точку кривой, необходимо и достаточно, чтобы один из этих концов совпал ст. е.
чтобы существовали целые числа p и q, удовлетворяющие условию ибо точке K соответствует некоторое число полных оборотов около точки. Предыдущее условие может быть написано так b
=
q p

Гл. II. Понятие о производной и его приложения
[80
Такие числа p и q будут существовать тогда и только тогда, когда a и b отрезки, соизмеримые между собою в противном же случае отношение a
b есть число иррациональное и не может сделаться равным отношению двух целых чисел.
Рис. Отсюда следует, что эпициклоида представляет замкнутую кривую тогда и только тогда, когда радиусы подвижного и неподвижного кругов соизмеримы в противном же случае кривая эта незамкнутая и, выйдя из точки K, в нее никогда больше не возвратится.
Это замечание относится и к гипо- циклоидам (рис. 98), уравнение которых может быть получено из уравнения эпициклоид простой заменой a на (−a):
x = (b − a) cos t + a cos b − a a
t,
y = (b − a) sin t − a sin b − a Рис. Отметим некоторые частные случаи. Положим, что в случае эпициклоиды b =
a, те. радиусы неподвижного и подвижного кругов равны.
Мы получим в этом случае кривую, состоящую из одной ветви (рис. 99), и, подставив в уравнения (37) b = a, получим уравнения этой кривой = 2a cos t − a cos 2t,
y = 2a sin t − a sin Кривая эта называется кардиоидой.
Определим расстояние r точек M (x, y) этой кривой до точки K, имеющей координаты (a, 0), и для этого приведем к более удобному виду выражения для (x − a) и y:
x − a = 2a cos t − a(cos
2
t − sin
2
t) − a = 2a cos t − 2a cos
2
t =

80]
§ 7. Некоторые геометрические приложения 2a cos t(1 − cos t),
y = 2a sin t − 2a sin t cos t = 2a sin t(1 − cos откуда r = |KM | =
p
(x − a)
2
+ y
2
=
=
q
4a
2
cos
2
t(1 − cos t)
2
+ 4a
2
sin
2
t(1 − cos t)
2
= 2a(1 − cos Разность (x−a) и y суть проекции отрезка KM на оси OX и OY , но из написанных выше выражений видно, что (x−a) и y равны произведению длины отрезка KM соответственно на cos t и sin t, и мы можем поэтому утверждать, что отрезок KM образует угол t с положительным направлением оси OX, те. параллелен радиусу ON . Результат этот будет для нас важен в дальнейшем при выводе правила построения касательной к кардиоиде.