Курс высшей математики. Том 1 (Смирнов В.И.). В. И. Смирнов Допущено Научнометодическим советом по математике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебника для студентов механикоматематических и физикоматематических факультетов у
 Скачать 3.3 Mb.
|
|
e -x y = -Рис. 61. 4 . Построим кривую y = x 3 − Составляем производные первого и второго порядка y ′ = x 2 − 1 2 , y ′′ = Рис. Приравнивая первую производную нулю, получим значения x 1 = 1 и x 2 = −1. Подставляя эти значения во вторую производную, убедимся, что первому значению будет соответствовать минимума второму — максимум. Подставляя эти значения в выражение для y, определим соответствующие вершины кривой 3 , 1, − 1 Полагая x = 0, получим y = 0, те. начало координат) лежит на кривой. Наконец, приравнивая нулю, получим, кроме x = 0, еще два значения x = те. окончательно точки пересечения кривой с осями координат будут (0, 0), ( √ 3, 0) и (− √ 3, 0). Гл. II. Понятие о производной и его приложения [60 Отметим еще, что при одновременной замене x и y на (−x) и (−y) обе части уравнения кривой меняют лишь знак, те. начало координат есть центр симметрии кривой (рис. 62). 60. Наибольшее и наименьшее значения функций. Пусть рассматриваются значения функции f (x) при значениях независимой переменной x из промежутка (a, b), те. при a 6 x 6 b, и пусть требуется найти наибольшее и наименьшее из этих значений. При указанном условии функция f (x) будет достигать наибольшего и наименьшего значения [35], те. соответствующий этой функции график будет иметь в упомянутом промежутке наибольшую и наименьшую ординаты. Согласно приведенным выше правилам, мы сможем найти все максимумы и минимумы функции, заключающиеся внутри промежутка (a, b). Если функция f (x) имеет свою наибольшую ординату внутри этого промежутка, то эта наибольшая ордината будет, очевидно, совпадать с наибольшим максимумом функции внутри промежутка (a, b). Но может оказаться, что наибольшая ордината находится не внутри промежутка, а на одном из его концов x = a и x = b. Поэтому для нахождения, например, наибольшего значения функции недостаточно сравнить все ее максимумы внутри промежутка и взять наибольший, но необходимо также принять во внимание и значение функции на концах промежутка. Точно также для определения наименьшего значения функции надо взять все ее минимумы, лежащие внутри промежутка, и граничные значения функции при x = a и x = b. Заметим при этом, что максимумы и минимумы могут вовсе отсутствовать, а наибольшее и наименьшее значения у непрерывной функции в ограниченном промежутке (a, b) обязательно будут существовать. Отметим некоторые частные случаи, когда нахождение наименьших и наибольших значений производится наиболее просто. Если, например, функция f (x) возрастает в промежутке (a, b), то очевидно, что при x = a она будет принимать наименьшее, а при x = b наибольшее значение. Для убывающей функции картина будет противоположной. Если функция имеет внутри промежутка один максимум и не имеет минимумов, то этот единственный максимум и дает наибольшее значение функции (рис. 63), так что в этом случае для 60] § 5. Приложение к изучению функций 183 Рис. определения наибольшего значения функции вовсе не надо определять значений функций на концах промежутка. Точно также, если функция имеет внутри промежутка один минимум и не имеет вовсе максимумов, то упомянутый единственный минимум и дает наименьшее значение функции. Указанные только что обстоятельства будут иметь место в первых из четырех изложенных ниже задач. Дан отрезок длины l. Требуется разделить его на две части так, чтобы площадь прямоугольника, построенного на них, была наиболь- шей. Пусть x — длина одной из частей отрезка, (l − x) — длина другой его части. Принимая во внимание, что площадь прямоугольника равна произведению его соседних сторон, видим, что задача сводится к нахождению тех значений x, при которых функция f (x) = x(l − достигает наибольшего значения в промежутке (0, l) изменения x. Составим производные первого и второго порядка f ′ (x) = (l − x) − x = l − 2x, f ′′ (x) = −2 < Приравнивая первую производную нулю, получим единственное значение, которому и соответствует максимум, так как f ′′ (x) постоянно отрицательна. Таким образом, наибольшая площадь будет у квадрата со стороною l 2 2 . Из круга радиуса R вырезается сектор и из оставшейся части круга склеивается конус. Требуется определить угол вырезанного сектора так, чтобы объем конуса был наибольшим. Рис. Примем за независимую переменную не угол вырезанного сектора, а его дополнение доте. угол оставшегося сектора. При значениях близких к 0 и 2π, объем конуса будет близок к нулю, и, очевидно, внутри промежутка (0, 2π) будет существовать такое значение x, при котором этот объем будет наибольшим Гл. II. Понятие о производной и его приложения [60 При склеивании оставшейся части круга в конус (рис. 64) получится такой конусу которого образующая равна R, длина окружности основания равна Rx, радиус основания r и высота h = r R 2 − R 2 x 2 4π 2 = R 2π p 4π 2 − Объем этого конуса будет v(x) = 1 3 π R 2 x 2 4π 2 · R 2π p 4π 2 − x 2 = R 3 24π 2 x 2 p 4π 2 − При отыскании наибольшего значения этой функции мы можем не обращать внимания на постоянный множитель 24π 2 . Оставшееся произведение положительно и, следовательно, будет достигать наибольшего значения при тех же значениях x, при которых достигает наибольшего значения его квадрат. Таким образом, мы можем рассматривать функцию f (x) = 4π 2 x 4 − внутри промежутка (0, 2π). Составляем первую производную f ′ (x) = 16π 2 x 3 − Она существует при всех значениях x. Приравнивая ее к нулю, получим три значения 0, x 2 = −2π r 2 3 , x 3 = 2π r 2 Первые два значения не лежат внутри промежутка (0, 2π). Остается единственное значение x 3 = 2π q 2 3 , лежащее внутри этого промежутка; но выше мы видели, что наибольшее значение внутри этого промежутка должно встретиться, а следовательно, и не исследуя значения x 3 , можем утверждать, что ему будет соответствовать наибольший объем конуса. Прямою L плоскость разделена на две части (среды) I и II. Точка двигается в среде I со скоростью v 1 , в среде II — со скоростью По какому пути должна двигаться точка, чтобы возможно скорее попасть из точки A среды I в точку B среды II? 60] § 5. Приложение к изучению функций 185 M Рис. Пусть и BB 1 — перпендикулярны из точек A и B напрямую. Введем следующие обозначения AA 1 = a, BB 1 = b, A 1 B 1 = и на прямой L будем отсчитывать абсциссы в направлении рис. Ясно, что как в среде I, таки в среде путь точки должен быть прямолинейным, но путь по прямой AB не будет, вообще говоря, скорейшим путем. Итак, скорейший путь будет состоять из двух прямолинейных отрезков AM и M B, причем точка должна лежать на прямой L. За независимую переменную x выберем абсциссу точки M : x = A 1 M Время t, наименьшее значение которого ищется, определится по формуле t = f (x) = AM v 1 + M B v 2 = √ a 2 + x 2 v 1 + p b 2 + (c − в промежутке (−∞, +∞). Составим производные первого и второго порядков Обе производные существуют при всех значениях x, и f ′′ (x) всегда имеет знак (+). Следовательно, f ′ (x) возрастает в промежутке (−∞, +∞) и не может обратиться в нуль более одного раза. Но f ′ (0) = − c v 2 √ b 2 + c 2 < и f ′ (c) = c v 1 √ a 2 + c 2 > а потому уравнение f ′ (x) = имеет единственный корень между 0 и c, которому соответствует единственный минимум функции f (x), так как f ′′ (x) > 0. Абсциссы 0 и c соответствуют точками, а потому искомая точка M будет находиться между точками и B 1 , что можно было бы показать и из элементарных геометрических соображений Гл. II. Понятие о производной и его приложения [60 Поясним геометрический смысл полученного решения. Обозначим через α и β углы, составленные отрезками AM и BM с перпендикуляром, восставленным из точки M к L. Абсцисса x искомой точки должна обращать в нуль f ′ (x), те. должна удовлетворять уравнению x v 1 √ a 2 + x 2 = c − x v 2 p b 2 + (c − которое можно переписать так или sin α v 1 = sin β v 2 , те скорейший путь будет тот, при котором отношение синусов углов α и будет равно отношению скоростей в средах I и II. Результат этот дает нам известный закон преломления света, и, следовательно, преломление света совершается так, как будто луч света выбирает скорейший путь» из точек одной среды в точки другой. Положим, что экспериментально определяется величина x, и n одинаково тщательно произведенных наблюдений дают для нее n значений a 1 , a 2 , . . . , a неодинаковых ввиду неточности инструментов. Наиболее вероятным» значением величины x будем считать то, при котором сумма квадратов ошибок будет наименьшей. Таким образом, нахождение этого значения приводится к нахождению x из условия наименьшего значения функции f (x) = (x − a 1 ) 2 + (x − a 2 ) 2 + · · · + (x − a в промежутке (−∞, +∞). Составляем производные первого и второго порядков f ′ (x) = 2(x − a 1 ) + 2(x − a 2 ) + · · · + 2(x − a n ), f ′′ (x) = 2 + 2 + · · · + 2 = 2n > Приравнивая первую производную нулю, получим единственное значение. Приложение к изучению функций 187 которому будет соответствовать минимум ввиду положительности второй производной. Таким образом наиболее вероятным значением x является среднее арифметическое значений, полученных из наблюдений. Найти кратчайшее расстояние точки M до окружности. Примем за начало координат центр окружности O, за ось OX — прямую. Пусть OM = a и пусть R есть радиус окружности. Уравнение окружности будет x 2 + y 2 = а расстояние точки M с координатами (a, 0) до любой точки окружности p (x − a) 2 + Будем искать наибольшее значение квадрата этого расстояния. Подставив вместо его выражение R 2 − из уравнения окружности, мы получим функцию f (x) = (x − a) 2 + (R 2 − x 2 ) = −2ax + a 2 + где независимая переменная x может изменяться в промежутке (−R 6 x 6 R). Так как первая производная f ′ (x) = −2a отрицательна при всех значениях x, то функция f (x) убывает и достигает, следовательно, наименьшего значения при x = R на правом конце промежутка. Кратчайшим расстоянием будет длина отрезка P рис. 66). 6 . В прямой круговой конус вписать прямой круговой цилиндр (с основанием, лежащим в основании конуса) так, чтобы его полная поверхность была наибольшей. Обозначим радиус основания и высоту конуса буквами R и H а радиус основания и высоту цилиндра — буквами r и h. Функция, наибольшее значение которой ищется, будет в данном случае = 2πr 2 + Переменные величины r и h связаны между собой тем условием, что цилиндр вписан в данный конус. Из подобия треугольников ABD и AM имеем (рис. 67): M N AN = BD AD , или Гл. II. Понятие о производной и его приложения [60 Рис. Рис. откуда h = R − Подставляя это значение h в выражение для S, получим = 2π h r 2 + rH 1 Таким образом, S оказывается функцией одной независимой переменной, которая может изменяться в промежутке 0 6 r 6 R. Составим производные первых двух порядков 2π 2r + H − 2r R H , d 2 S dr 2 = 4π 1 Приравнивая нулю dS dr , получим для r одно значение r = HR 2(H − Для того чтобы это значение находилось внутри промежутка (0, R), необходимо выполнение неравенств < HR 2(H − и − R) < Первое из этих неравенств равносильно тому, что H должно быть больше. Умножая обе части второго неравенства на положительную величину − R), получим При выполнении этого условия имеет знак (−); значению (2) соответствуют единственный максимум функции S и наибольшая величина 61] § 5. Приложение к изучению функций 189 поверхности цилиндра. Эту величину можно легко определить, подставляя значение r изв выражение для Предположим теперь, что значение (2) не лежит внутри промежутка, R), те. что не выполнено одно из неравенств (3). При этом могут представиться две возможности или H 6 R или H > R, но R > H 2 . Обе они могут быть охарактеризованы одним неравенством 6 Преобразуем выражение для dS dr : dS dr = 2π 2r + H − 2r R H = 2π R [(2R − H)r + H(R − Из этого выражения видно, что при выполнении условия (4) dS dr > прите. функция S возрастает в промежутке (0, R), а потому достигает наибольшего значения при r = R. При этом значении очевидно, h = 0, и полученное решение можно рассматривать как сплющенный цилиндр, основание которого совпадает с основанием конуса и вся поверхность которого приводится к 2πR 2 61. Теорема Ферма. Выше мы изложили, пользуясь элементарными геометрическими соображениями, способы исследования возрастания и убывания функций, нахождения их максимумов и минимумов, а также наибольших и наименьших значений. Сейчас мы переходим к строгому аналитическому изложению некоторых теорем и формул, которые дадут нам аналитическое доказательство справедливости приведенных выше правила также позволят продвинуть исследование функций еще несколько дальше. Вдаль- нейшем изложении мы будем уже вполне отчетливо и подробно перечислять все условия, при которых соответствующие теоремы и формулы имеют место. Т е орем а Ферма. Если функция f (x) непрерывна в промежутке, в каждой точке внутри этого промежутка имеет производную ив некоторой точке x = c внутри промежутка достигает наибольшего (или наименьшего) значения, тов этой точке x = c первая производная равна нулю, те Часто теорема Ферма формулируется для точек максимумов и минимумов как необходимое условие существования экстремума Гл. II. Понятие о производной и его приложения [62 Итак, положим для определенности, что значение f (c) является наибольшим значением функции. Для этого случая, когда это есть наименьшее значение, доказательство может быть проведено совершенно аналогичным образом. Итак, согласно условию, точка x = c лежит внутри промежутка и разность f (c+ h)−f(c) будет отрицательной или, во всяком случае, не положительной, при любом h как положительном, таки отрицательном (c + h) − f(c) 6 Составим отношение f (c + h) − Числитель написанной дроби, как сказано, меньше или равен нулю, а потому f (c + h) − f(c) h 6 0 при h > 0, f (c + h) − f(c) h > 0 при h < Точка x = c лежит внутри промежутка, ив ней по условию существует производная, те. написанная выше дробь стремится к определенному пределу f ′ (c), если h стремится к нулю со стороны положительных значений. При этом, переходя к пределу в первом из неравенств (5), получим f ′ (c) 6 Точно также переход к пределу при h → 0 во втором неравенстве) дает f ′ (c) > Сопоставляя эти неравенства, мы получим требуемый результат. Теорема Ролля. Если функция f(x) непрерывна в промежутке, имеет производную в каждой точке внутри этого 62] § 5. Приложение к изучению функций 191 промежутка и значения функции на концах этого промежутка равны, те, то внутри промежутка существует по крайней мере одно такое значение x = c, при котором производная обращается в нуль, те Непрерывная функция f (x) должна достигать в рассматриваемом промежутке наименьшего значения m и наибольшего значения . Если бы оказалось, что эти наименьшее и наибольшее значение одинаковы, те, то отсюда следовало бы, очевидно, что функция во всем промежутке сохраняет постоянное значение, равное (или M ). Но, как известно, производная от постоянной равна нулю, и, следовательно, в этом простом случае во всякой точке внутри промежутка производная была бы равна нулю. Обращаясь к рассмотрению общего случая, мы можем, следовательно, считать, что m < M . Так как значения функции на концах по условию одинаковы, те, то по крайней мере одно из чисел m или отлично от этого общего значения на концах. Положим, например, что это будет M , те. что наибольшее значение функции достигается не на концах, а внутри промежутка. Пусть x = c будет та точка, где это значение достигается. Согласно теореме Ферма, мы будем иметь в этой точке f ′ (c) = 0, что и доказывает теорему Ролля. В частном случае, если f (a) = f (b) = 0, можно теорему Ролля формулировать кратко так между двумя корнями функции заключается по крайней мере один корень первой производной. Рис. Теорема Ролля имеет простое геометрическое значение. По условию (a) = f (b), те. ординаты кривой y = f (x), соответствующие концам промежутка, равны, и внутри этого промежутка существует производная, т. е. кривая имеет определенную касательную. Теорема Ролля утверждает, что при этом внутри промежутка будет существовать по крайней мере одна такая точка, в которой производная будет равна нулю, те. в которой касательная будет параллельна оси OX (рис. Замечание. Если не выполнено условие теоремы Ролля осу- ществовании производной f ′ (x) во всех точках внутри промежутка, то теорема может оказаться и неверной Гл. II. Понятие о производной и его приложения [63 Так, например, функция f (x) = 1 непрерывна в промежутке (−1, +1) и f(−1) = f(1) = 0, но производная внутри промежутка в нуль не обращается. Происходит это от того, что f ′ (x) не существует (обращается в бесконечность) при x = рис. 69). Другой пример дает кривая, изображенная на рис. 70. В этом случае мы имеем кривую y = f (x), у которой f (a) = f (b) = Однако из чертежа видно, что касательная внутри промежутка Рис. Рис. 70. (a, b) не может быть параллельна оси OX, те) не обращается в нуль. Происходит это оттого, что кривая в точке x = имеет две различные касательные, справа и слева от этой точки, и, следовательно, в этой точке не существует определенной производной, и условие теоремы Ролля о существовании во всех точках внутри промежутка не выполнено. Формула Лангранжа. Положим, что функция f(x) непрерывна в промежутке (a, b) и имеет внутри этого промежутка производную, но условие f (a) = f (b) теоремы Ролля может быть не выполнено. Составим функцию (x) = f (x) + где λ — постоянная, которую мы определим так, чтобы новая функция) удовлетворяла упомянутому условию теоремы Ролля, те. Приложение к изучению функций |