Курс высшей математики. Том 1 (Смирнов В.И.). В. И. Смирнов Допущено Научнометодическим советом по математике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебника для студентов механикоматематических и физикоматематических факультетов у
 Скачать 3.3 Mb.
|
|
0 = 1. Таким образом, она определена при всех рациональных. Из алгебры известны также правила сложения и вычитания показателей приумножении и делении Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов [44 Если x есть положительное рациональное число p q , то a x = q √ a где радикал считается арифметическим. Очевидно, что a p > 1, и из определения корня вытекает, что a x > 1 при x > 0 (применить определения из [41]). Из (37) вытекает, что 0 < a x < 1 при x < 0. Покажем, теперь, что a x 2 > a x 1 , если x 2 > x 1 , те. что a x — возрастающая функция. Действительно причем x 2 − x 1 > 0, и, следовательно, оба сомножителя справа положительны. Покажем еще, что a x → 1, если x → 0, принимая рациональные значения. Положим сначала, что x → 0 через все рациональные значения, убывая (справа. При этом a убывает, но остается больше единицы, и, следовательно, имеет предел, который мы обозначим через l. При упомянутом выше изменении x переменная 2x также стремится справа к нулю по всем рациональным значениям. Мы имеем, очевидно (a и, переходя к пределу, получим l = или l(l − 1) = те или l = 0. Но вторая возможность отпадает ввиду a x > 1. Итак x → 1, если x → 0 справа. Из (37) вытекает, что тот же предел будет и тогда, когда x → 0 слева. Итак, вообще a x → 1, если x → 0, принимая рациональные значения. Отсюда вытекает непосредственно, что если принимая рациональные значения, стремится к рациональному пределу b, то a x → a b . Действительно x − a b = a b (a x−b − Разность (x − b) стремится к нулю и (a x−b − 1), по доказанному, также стремится к нулю. Определим теперь функцию (36) при иррациональных x. Пусть α некоторое иррациональное число, аи первый и второй классы сечения в области рациональных чисел, определяющих α. Положим, что x → α, возрастая и проходя через все рациональные числа из I (Переменная a возрастает, но остается ограниченной, а именно она меньше, чем a x ′′ , где x ′′ — любое число из II (α). Таким образом, при упомянутом изменении x переменная a имеет предел, который мы пока 44] § 2. Теория пределов. Непрерывные функции 127 обозначим через L. Точно также, если x → α, убывая и пробегая рациональные числа из II (α), то a также имеет предел. Покажем, что этот предел также равен L. Пусть x ′ — из I (α) и x ′′ — из II (α). Мы имеем a x ′′ − a x ′ = a x ′ (a x ′′ −x ′ − 1) < L(a x ′′ −x ′ − те Для и x ′′ , близких к α, разность (x ′′ − x ′ ) сколько угодно близка к нулю ив силу написанного неравенства, тоже можно сказать и о разности, откуда и вытекает наше утверждение о совпадении пределов. Мы принимаем по определению равным упомянутому пределу, те. есть предел, к которому стремится a x , когда x → α через рациональные значения. Теперь функция (36) определена при всех вещественных. На основании сказанного выше легко доказать, что это будет возрастающая функция, те, если и x 2 — любые вещественные числа, удовлетворяющие неравенству x 2 > x 1 . При доказательстве надо рассмотреть отдельно случаи, когда и x 2 — оба иррациональны или одно из них рационально. Остается еще доказать, что эта функция будет непрерывна при всяком вещественном x. Сначала надо показать, что a x → 1 при x → 0, причем считаются допустимыми все вещественные значения x. Это можно показать совершенно также, как выше это было сделано для рациональных x. Далее, как и выше, пользуясь формулой a x − a α = a α (a x−α − мы можем показать, что a x → при x → α, что и дает непрерывность a x при любом вещественном Нетрудно проверить, что все основные свойства показательной функции справедливы при любых вещественных показателях. Пусть, например и β — два иррациональных числа и пусть x → α и y → β, причем переменные x и y, меняясь, одновременно принимают рациональные значения. Для рациональных показателей мы имеем a x a y = a Переходя к пределу и пользуясь доказанной непрерывностью показательной функции, получим тоже свойство для иррациональных показателей Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов [44 Докажем еще правило перемножения показателей при возвышении степени в степень Если β = n есть целое положительное, то написанная формула непосредственно вытекает из правила сложения показателей при умножении. Если β = p есть рациональное положительное число, то q = q p (a α ) p = q p (a α ) p = a α p Для рациональных отрицательных чисел указанное правило непосредственно вытекает из формулы (37). Положим теперь, что β иррационально, и пусть рациональные числа r стремятся к β. Мы имеем, по доказанному выше Переходя к пределу и пользуясь непрерывностью показательной функции, причем слева принимаем за основание, мы и получим Прежде чем переходить к логарифмической функции, сделаем некоторые замечания об обратных функциях, о чем мы уже говорили коротко во введении [20]. Если y = f (x) — возрастающая непрерывная функция в промежутке (a, b), причем f (a) = A и f (b) = B, тов силу второго свойства непрерывных функций, при возрастании x от a до b через все вещественные значения f (x) будет возрастать от A до B, проходя через все промежуточные значения. Таким образом, всякому, значению y из промежутка (A, B) будет соответствовать определенное x из (a, и обратная функция x = ϕ(y) будет однозначной и возрастающей. Если находится внутри (a, b), y 0 = f (x 0 ) и x пробегает малый промежуток (x 0 − ε, x 0 + ε), то y будет пробегать некоторый промежуток. Обозначая через δ наименьшее из двух положительных чисел и η 2 , мы можем утверждать, что если y принадлежит промежутку (y 0 − δ, y 0 + δ), составляющему лишь часть промежутка η 1 , y 0 + η 2 ), то соответствующие значения x тем более принадлежат прежнему промежутку (x 0 − ε, x 0 + ε), те, если только |y − y 0 | < δ. Ввиду произвольности ε это дает нам непрерывность функции x = ϕ(y) в точке y = y 0 . Если совпадает, например, с концом a, тов предыдущих рассуждениях вместо (x 0 − ǫ, x 0 + ε) надо взять промежуток. Аналогично можно разобрать случай убывающей непрерывной функции f (x). 44] § 2. Теория пределов. Непрерывные функции 129 Вернемся к функции (36). Раз a > 1, то a = 1+b, где b > 0, и формула бинома Ньютона дает прицелом положительном n > 1: a n = (1 + b) n > 1 + откуда видно, что a беспредельно возрастает при беспредельном возрастании. Далее, из (37) следует, что a x → 0 при x → −∞. Принимая во внимание сказанное выше об обратных функциях, можем утверждать, что функция x = log обратная (36), будет однозначной, возрастающей непрерывной функцией при y > 0. Такие же результаты получаются и для случая 0 < a < 1, но только функции (36) и (38) будут убывающими. Введем теперь новое понятие о сложной функции. Пусть y = f (есть функция, непрерывная в промежутке a 6 x 6 b, причем ее значения принадлежат промежутку (c, d). Пусть, далее, z = F (y) есть функция, непрерывная в промежутке c 6 y 6 d. Понимая под y указанную выше функцию от x, мы получим сложную функцию от x: z = F (y) = F (f (Говорят, что эта функция зависит от x через посредство y. Она определена в промежутке a 6 x 6 b. Нетрудно видеть, что она будет и непрерывной в этом промежутке. Действительно, бесконечно малому приращению соответствует бесконечно малое приращение y в силу непрерывности, а бесконечно малому приращению y соответствует бесконечно малое приращение z в силу непрерывности F (Рассмотрим теперь степенную функцию z = x с любым вещественным показателем b, причем переменную x мы считаем положительной. Из рассуждений с показательной функцией непосредственно следует, что функция (39) имеет определенное значение при всяком x > 0. Пользуясь определением логарифма и применяя, например, натуральные логарифмы, мы можем написать вместо (39): z = e b log Формула бинома Ньютона (a + b) n = n P k=0 C k n a k b n−k , где C k n — число сочетаний из n по k. В случае (1 + b) n , b > 0, оценка получается отбрасыванием всех слагаемых из разложения в бином Ньютона, кроме первых двух, при этом учитывается, что все слагаемые положительны Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов [44 Полагая y = b log x и z = e ν , мы можем рассматривать эту функцию как сложную функцию от x, и непрерывность показательной и логарифмической функций докажет нам непрерывность функции (39) при всяком x > Мы доказали выше [34] непрерывность функции sin x при всех значениях. Также доказывается непрерывность функции cos x при всех x. Из формул tg x = sin x cos x , ctg x = cos x sin x непосредственно следует [34] непрерывность tg x и ctg x при всех x, кроме тех, при которых знаменатель обращается в нуль. Функция y = sin x есть непрерывная возрастающая функция в промежутке. Пользуясь сказанным выше об обратных функциях, можем утверждать, что главное значение функции x = arc sin y будет непрерывной возрастающей функцией в промежутке −1 6 y 6 1. Аналогично доказывается непрерывность и остальных обратных круговых функций ГЛАВА ПОНЯТИЕ О ПРОИЗВОДНОЙ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ 3. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ ПЕРВОГО ПОРЯДКА. Понятие о производной. Рассмотрим движущуюся по направлению прямой линии точку. Пройденный ею путь s, отсчитываемый от определенной точки прямой, есть, очевидно, функция времени t: s = f (так что всякому определенному моменту времени t соответствует определенное значение s. Придадим t приращение ∆t, и тогда новому моменту времени t + ∆t будет соответствовать путь s + ∆s. В случае равномерного движения, приращение пути пропорционально приращению времени, ив этом случае отношение выражает постоянную скорость движения. В общем случае это отношение зависит как от выбранного момента времени t, таки от приращения и выражает среднюю скорость движения за промежуток времени от t до t + ∆t. Эта средняя скорость есть скорость воображаемой точки, которая, двигаясь равномерно, за промежуток времени проходит путь ∆s. Например, в случае равномерно ускоренного Гл. II. Понятие о производной и его приложения [45 движения мы будем иметь s = 1 2 gt 2 + и 2 g(t + ∆t) 2 + v 0 (t + ∆t) − 1 2 gt 2 − v 0 t ∆t = gt + v 0 + 1 Чем меньше промежуток времени ∆t, тем с большим правом мы можем считать движение рассматриваемой точки за этот промежуток времени равномерными предел отношения, при стремлении ∆t к нулю, определяет скорость v в данный момент t: v = Так, в случае равномерно ускоренного движения v = lim ∆t→0 ∆s ∆t = lim ∆t→0 gt + v 0 + 1 2 g∆t = gt + Скорость v есть также, как и путь s, функция от t; функция эта называется производной функции f (t) по t; таким образом, скорость есть производная от пути по времени. Положим, что некоторое вещество вступает в химическую реакцию. Количество этого вещества x, вступившее уже в реакцию к моменту времени t, есть функция от t. Приращению времени ∆t будет соответствовать приращение ∆x величины x, и отношение выражает среднюю скорость химической реакции за промежуток времени ∆t, а предел этого отношения, при стремлении ∆t к нулю, выражает скорость химической реакции в данный момент времени Отвлечемся теперь от примеров и дадим общее определение производной. Положим, что функция y = f (x) определена при некотором фиксированном значении x и при всех значениях к нему достаточно близких, те. при всех значениях вида x + h, где h — любое * Здесь g — постоянное ускорение, v 0 — начальная скорость движения в момент. Производная и дифференциал первого порядка 133 положительное или отрицательное число достаточно малое по абсолютному значению. Величину h называют обычно приращением независимой переменной x. Вместо h пишут часто ∆x. Соответствующее приращение функции будет ∆y = f (x + h) − f(x). Составим отношение этих приращений (x + h) − Это отношение определено при всех значениях h, достаточно малых по абсолютной величине, те. в некотором промежутке −k 6 h 6 +k кроме h = 0. Поскольку x фиксировано, отношение (1) является функцией только от Определение. Если отношение (1) имеет предел (конечный) при стремлении h к нулю (h → ±0), то этот предел называется производной функции f (x) при заданном Иначе говоря, производной данной функции f (x) при заданном значении x называется предел отношения приращения ∆y функции к соответствующему приращению ∆x независимого переменного, когда это последнее стремится к нулю (∆x → ±0), если упомянутый предел существует. Для обозначения производной пишут, или f ′ (x): y ′ = f ′ (x) = lim ∆x→±0 ∆y ∆x = lim h→±0 f (x + h) − Операция нахождения производной называется дифференцированием функции. Дробь (1) при h → ±0 может и не иметь предела, и тогда производная при заданном значении x не существует. Существование предела f ′ (x) равносильно следующему [32]: при любом заданном числе ε > 0 существует такое число η > 0, что f (x + h) − f(x) h − f ′ (x) < если |h| < η и h 6= Предполагая, что производная существует, можем написать f (x + h) − f(x) h = f ′ (x) + β, ∗ Понятие о производной и его приложения [46 где β → 0 при h → ±0. Далее, имеем f (x + h) − f(x) = [f ′ (x) + откуда следует, что f (x + h) − f(x) → 0 прите. если при некотором значении x производная f ′ (x) существует, то при этом значении x функция f (x) непрерывна. Обратное утверждение неправильно, при непрерывности функции при заданном x еще нельзя утверждать, что при этом значении x существует производ- ная. Обратим внимание на то, что при отыскании производной у непрерывной функции мы имеем дробь (1), у которой и числитель и знаменатель стремится к нулю, причем знаменатель h в нуль не обращается. Отметим один частный случай. Если y = cx, то числитель дроби есть c(x + h) − cx = ch, а вся дробь равна c, те. не зависит от h. Ее предел при h → ±0 также равен При фиксированном x значения f (x) и f ′ (x) суть числа. Если функция и производная существует при всех x внутри некоторого промежутка, то f ′ (x) является функцией от x внутри этого промежутка. В рассмотренном выше случае f (x) = cx производная равна числу c при всех x. 46. Геометрическое значение производной. Для выяснения геометрического значения производной обратимся к графику функции y = f (x). Возьмем на нем точку M с координатами (x, и близкую к ней, тоже лежащую на кривой, точку N с координатами. Проведем ординаты M 1 M и N 1 N этих точек и из точки M проведем прямую, параллельную оси OX. Мы будем иметь (рис. 50): M P = M 1 N 1 = ∆x, M 1 M = y, N 1 N = y + ∆y, P N = Отношение равно, очевидно, тангенсу угла α 1 , образованного секущей M N с положительным направлением оси OX. При стремлении ∆x к нулю точка N будет, оставаясь на кривой, стремиться к точке M ; предельным положением секущей M N будет касательная к кривой в точке M , и, следовательно, производная f ′ (x) равна тангенсу угла α, образованного касательной к кривой 46] § 3. Производная и дифференциал первого порядка 135 в точке M (x, y) с положительным направлением косит. е. равна угловому коэффициенту этой касательной. При вычислении отрезков по формулам (2) надо принимать во внимание правило знаков и помнить, что приращения ∆x и ∆y могут быть как положительными, таки отрицательными. Рис. Точка N , лежащая на кривой, может стремиться к M с любой стороны. На рис. 50 мы придали касательной определенное направление. Если бы мы придали ей прямо противоположное направление, то это привело бык изменению угла α на величину π и не повлияло на величину тангенса этого угла. В дальнейшем мы вернемся еще к вопросу о направлении касательной. Сейчас для нас это не существенно. Мы видим таким образом, что существование производной связано с существованием касательной к кривой, соответствующей уравнению y = f (x), причем угловой коэффициент касательной tg α = f ′ (x) должен быть конечным. Иными словами, касательная не должна быть параллельна оси OY . В этом последнем случае или α = 3π 2 , и тангенс такого угла равен бесконеч- ности. Рис. Непрерывная кривая может вот- дельных точках вовсе не иметь касательной или иметь касательную, параллельную оси OY (рис. 51), и при соответствующих значениях x функция) не имеет производной. Таких исключительных точек может быть сколько угодно много на кривой. Доказывается также, что существуют такие непрерывные функции, которые не имеют производной ни при одном значении x. Кривая, соответствующая такой функции, недоступна нашим геометрическим представлениям Понятие о производной и его приложения [46 Остановимся несколько подробнее на тех случаях, которые представлены на рис. Предварительно введем понятия о производной справа и производной слева. Положим, что h стремится к нулю непроизвольным образом, а со стороны отрицательных значений или со стороны положительных значений, те или h → +0. Если при этом отношение (1) имеет предел (конечный, то он обозначается обычно символом f ′ (x − 0) или, соответственно, f ′ (x + 0) и называется производной слева или, соответственно, производной справа. Существование производной f ′ (x) равносильно тому, что существуют производные f ′ (x − 0) и f ′ (x + 0) и что они равны. При этом f ′ (x) = f ′ (x − 0) = f ′ (x + Если существуют различные производные f ′ (x − 0) и f ′ (x + то это соответствует тому случаю, когда в соответствующей точке существуют слева и справа касательные, не параллельные оси (предельные положения секущей, но эти касательные различны, те. они не лежат на одной прямой, проходящей через точку с абсциссой x. Этот случай представлен точкой на рис. 51. В точках и отношение (1) при h → −0 и h → +0 стремится к бесконечности. Обратим внимание на знак этой бесконеч- ности. Для точек N , лежащих на кривой слева от M 2 , величина h < и f (x + h) − f(x) < 0 при h, достаточно близких к нулю, так как ордината слева меньше ординаты в точке M 2 . Таким образом, в этом случае (1) положительно, и при h → −0 оно стремится к (касательная слева параллельна оси OY ). Справа от величина и по-прежнему f (x + h) − f(x) < 0, те. отношение (отрицательно и оно стремится к (−∞) при h → +0. Переходим к точке M |