Курс высшей математики. Том 1 (Смирнов В.И.). В. И. Смирнов Допущено Научнометодическим советом по математике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебника для студентов механикоматематических и физикоматематических факультетов у
 Скачать 3.3 Mb.
|
|
1 = q sin x 0 + a, x 2 = q sin x 1 + a, . . . , x n = q sin x n−1 + a, x n+1 = q sin x n + a, . . Вычитая из второго из этих равенств почленно первое, получим x 2 − x 1 = q(sin x 1 − sin x 0 ) = 2q sin x 1 − x 0 2 cos x 1 + x 0 Принимая во внимание, что | sin α| 6 |α| и | cos α| 6 1, получим x 1 | 6 2q |x 1 − x 0 | 2 = q|x 1 − Совершенно также можем получить следующее неравенство x 1 | 6 q|x 2 − или, пользуясь неравенством (10), можем написать x 2 | 6 q 2 |x 1 − Этот факт вообще говоря, требует доказательства, что и будет сделано позже в [], здесь же можно ограничиться геометрической иллюстрацией 31] § 2. Теория пределов. Непрерывные функции 87 Продолжая подобные вычисления, получим при всяком n неравенство Рассмотрим теперь разность x m − x n , считая для определенности m > n: x m − x n = x m − x m−1 + x m−1 − x m−2 + x m−2 − x m−3 + · · · + x n+1 − x Пользуясь неравенством (11) и формулой для суммы членов геометрической прогрессии, будем иметь m − x n | 6 |x m − x m−1 | + |x m−1 − x m−2 |+ + |x m−2 − x m−3 | + · · · + |x n+1 − x n | 6 6 (q m−1 + q m−2 + q m−3 + · · · + q n )|x 1 − x 0 | = q n 1 − q m−n 1 − q |x 1 − При беспредельном увеличении n множитель q стремится к нулю, множитель |x 1 − x 0 | постоянный дробь m−n 1−q всегда заключается между нулем и 1−q , те. ограничена, ибо, при m > n, q m−n заключается между нулем и единицей. Таким образом, при беспредельном увеличении и любом m > n разность x m − x стремится к нулю, и условие (выполнено. Мы можем, согласно условию Коши, утверждать, что существует предел lim x n = В равенстве x n+1 = q sin x n + a будем беспредельно увеличивать n. Пользуясь тем, что lim sin x n = sin при lim x n = ξ как это мы покажем в [34], в пределе получим = q sin ξ + те. предел ξ переменной x есть корень уравнения Кеплера. При построении последовательности x мы исходили из произвольного числа x 0 . Однако покажем, что уравнение Кеплера не может иметь двух различных корней, откуда следует, что lim x не зависит от выбора и равняется единственному корню уравнения Кеплера. Положим, что кроме ξ оно имеет еще корень ξ 1 , и покажем, что ξ 1 = По условию, кроме (12) имеем q sin ξ 1 + a. Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов [32 Вычитая из этого равенства почленно равенство (12), получим ξ = q(sin ξ 1 − sin ξ) = 2q sin ξ 1 − ξ 2 cos ξ 1 + откуда ξ| 6 2q sin ξ 1 − Но | sin α| 6 |α| при любом угле α, и последнее неравенство приводит к следующему ξ| 6 q|ξ 1 − В силу 0 < q < 1 последнее неравенство может иметь место только прите, откуда и следует, что уравнение Кеплера имеет только один корень. Одновременное изменение двух переменных величин, связанных функциональной зависимостью. Пусть имеется функция y = f (x), определяемая на некотором множестве значений, например в некотором промежутке. Используя значения x из указанного множества, мы можем строить различные упорядоченные множества значений переменной x и при этом будем получать соответствующие упорядоченные множества значений переменной. Упорядоченная переменная x является упорядочивающей для f (x). Мы рассмотрим в этом параграфе один важный случай такого процесса. Пусть функция f (x) определена на некотором промежутке, содержащем точку x = c внутри. Выбирая, достаточно малое положительное, можем считать, что тем самым f (x) определена на промежутке c − k 6 x 6 c + k. Рассмотрим три случая упорядо- чивания значений x: x → c − 0, x → c + 0; x → c ± 0 — и соответствующую этим случаям упорядоченную переменную f (x). Пусть в первом случае эта переменная имеет предел. Обозначим его буквою. В этом случае пишут x→c−0 f (x) = Совершенно аналогично во втором случае, при наличии предела (обозначим его буквою A 2 ), пишут x→c+0 f (x) = A 2 (14) 32] § 2. Теория пределов. Непрерывные функции 89 Часто пределы (13) и (14) обозначают символами f (c−0) итак что lim x→c−0 f (x) = f (c − 0), lim x→c+0 f (x) = f (c + Отметим, что это — пределы f (x) при стремлении x к c слева и справа. В третьем случае x стремится к c с двух сторон и существование предела lim x→c±0 f (x) = равносильно, очевидно, следующему существуют пределы (13) и, и они равны (A 1 = A 2 ). При этом B = A 1 = Не следует смешивать символы f (c − 0) ист. е. со значением f (x) при x = c. Выше мы совершенно не пользовались этим значением, и при предыдущих рассуждениях f (x) может быть и не определена при x = c. Если функция определена при x = c и f (c − 0) = f(c + 0) = f(c), те (то говорят, что функция непрерывна при x = c (в точке c). Пользуясь определением предела для x и f (x), легко указать условия, равносильные существованиям пределов (13), (14) и (15). Существование предела (13) равносильно, очевидно, тому, что f (x) становится сколь угодно близким к A 1 , когда x достаточно приближается к числу c, оставаясь меньше c. Точнее говоря, (13) равносильно следующему при любом заданном положительном числе ε существует такое положительное число η, что) − A 1 | < если < c − x < η. (13 При этом η зависит от выбора ε. Совершенно аналогично, (14) равносильно следующему при любом заданном положительном числе существует такое положительное число η, что) − A 2 | < если < x − c < η, (14 и (15) равносильно следующему при любом заданном положительном числе ε существует такое положительное число η, что) − B| < если − c| < η. (15 1 ) Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов [32 Отметим еще следующий очевидный факт если существует предел, то f (x) при любом законе стремления упорядоченной переменной к c имеет предел B. Аналогичное замечание имеет место и для пределов (13) и (14) при стремлении x к c слева и справа. В дальнейшем мы подробно рассмотрим понятие непрерывности и свойства непрерывных функций. Сейчас мы обратимся к тем случаям, когда x или f (x) стремятся к бесконечности [29]. Предыдущие определения легко обобщаются и на эти случаи. Нетрудно, например, видеть, что lim x→c−0 1 x − c = −∞, lim x→c+0 1 x − c = +∞, lim x→ π 2 −0 tg x = +∞, lim x→ π 2 +0 tg x = Положим, что f (x) определена при всех достаточно больших x и что упорядоченная переменная x любым образом стремится к +∞ [29]. При этом f (x) есть также упорядоченная переменная, и может существовать для нее конечный предел lim x→+∞ F (x) = Это равносильно следующему при любом заданном положительном числе ε существует такое число M , что) − A| < если x > M. (16 В частности, упорядоченность x может состоять в том, что x беспредельно возрастает, принимая все достаточно большие вещественные значения. Совершенно аналогично можно рассмотреть случай x → Если f (x) определена при всех x, достаточно больших по абсолютной величине, и упорядоченное переменное x стремится кто может аналогично предыдущему существовать конечный предел lim x→∞ f (x) = A, 32] § 2. Теория пределов. Непрерывные функции 91 что равносильно следующему при любом заданном положительном числе ε существует такое положительное число M , что) − A| < если > В частности, x может стремиться к ∞, принимая все различные значения, достаточно большие по абсолютной величине. Их можно упорядочить также, как это мы делали в [25] для ненумерованной переменной x, удовлетворяющей условию a − k 6 x < a + кроме x = a). Отметим, что для пронумерованной переменной x 1 , x 2 , x 3 , . . . , имеющей предел a, вместо lim x n = a часто пишут lim n→∞ x n = a. В этом случае n → ∞ обозначает, что n возрастает, принимая все целые положительные значения. Можно говорить и о бесконечных пределах f (x). В частности x→+∞ f (x) = обозначает, что при любом заданном отрицательном числе такое число M , что f (x) < M 1 , если x > M . Аналогично можно определить и другие случаи бесконечного предела. Нетрудно проверить справедливость следующих равенств x→+∞ x 3 = +∞, lim x→−∞ x 3 = −∞, lim x→∞ 1 x = 0, lim x→∞ x 2 = +∞, lim x→∞ 2x 2 − 1 3x 2 + x + 1 = lim x→∞ 2 − 1 x 2 3 + 1 x + 1 x 2 = 2 3 , lim x→∞ 3x + 5 x 2 + 1 = lim x→∞ 3 x + 5 x 2 1 + 1 x 2 = Рассмотрим еще один физический пример. Положим, что мы нагреваем некоторое твердое тело, и пусть его начальная температура. При нагревании температура тела будет повышаться, пока ∗ Подчеркнем, что число можно взять сколь угодно большим по своему абсолютному значению Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов [32 не достигнет точки плавления. При дальнейшем нагревании температура будет оставаться неизменной до тех пор, пока тело не перейдет целиком в жидкое состояние, а затем опять начнется повышение температуры образовавшейся жидкости. Аналогичная картина произойдет и при превращении жидкости в газообразное состояние. Будем рассматривать количество сообщенного телу тепла как функцию температуры. На рис. 45 изображен график этой функции, причем на горизонтальной оси откладывается температура, а на вертикальной — количество поглощенного тепла. Пусть t — температура, при которой тело начинает переходить в жидкое, состояние, и t 2 — температура, при которой жидкость начинает переходить в газообразное состояние. Очевидно t→t 1 −0 Q = орд. AB и lim t→t 1 +0 Q = орд. Рис. Рис. Величина отрезка BC дает скрытую теплоту плавления, а величина отрезка EF — скрытую теплоту парообразования. Если пределы f (c − 0) и f(c + 0) существуют и различны, то разность f (c + 0) − f(c − 0) называется разрывом, или скачком, функции f (x) при x = c (в точке x = c). 33] § 2. Теория пределов. Непрерывные функции 93 Функция y = arctg 1 x−c имеет при x = c скачок π. Только что рассмотренная функция Q(t) имеет в точке плавления t = t 1 скачок, равный скрытой теплоте плавления. При определении предела f (x) при стремлении x к c мы считали, что x стремится к c, никогда с ним не совпадая. Эта оговорка существенна, потому что значение f (x) при x = c иногда или не существует, или не имеет ничего общего со значениями f (x) при близких к c. Так, например, функция Q(t) не определена при t = Рассмотрим еще пример для пояснения сказанного. Положим, что на промежутке (−1, +1) функция определена следующим образом+ при 1 6 x < 0; y = x − 1 при 0 < x 6 1; y = при x = На рис. 46 воспроизведен график этой функции, состоящий из двух отрезков прямых, из которых исключены конечные точки (при x = 0), и одной отдельной точки — начала координат. В этом случае lim x→−0 f (x) = 1, lim x→+0 f (x) = −1, f(0) = 0. 33. Примеры. 1. Известно, что при любом x имеет место неравенство и знак равенства имеет место лишь при x = Напомним, что величина x при этом выражается в радианах. Из сказанного следует, что для любого заданного положительного числа мы имеем | sin x| < ε, если |x| < ε, те. Далее, имеем − cos x = 2 sin 2 x 2 6 2 x 2 2 = x 2 те, откуда следует, что [27] lim x→±0 cos x = 1. Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов 3. Рассмотрим частное y = sin x Эта функция определена при всех x кроме x = 0, ибо при x = 0 и числитель и знаменатель обращаются в нуль и дробь теряет смысл. Исследуем изменение y при x → ±0. При изменении знака x величина не меняется, ∗ так что достаточно предполагать, что x → +Покажем, что y → 1 при x → +0. Тот же предел получится и при x → −0. Отметим, что теорему о пределе частного применить нельзя, ибо и числитель и знаменатель стремятся к нулю при x → +Рис. Будем рассматривать x, как центральный угол в круге радиуса единица (рис. Принимая во внимание, что пл. △ AOB <пл. сектора AOB < пл. △ AOC, получим 2 sin x < 1 2 x < 1 2 tgx 0 < x откуда, деля на 2 sin x, получим < x sin x < 1 cos x или > sin x x > cos Но cos x → 1 при x → +0, откуда lim x→+0 sin x x = ив силу сказанного выше x→±0 sin x x = 1. ∗ sin x является четной функцией 34] § 2. Теория пределов. Непрерывные функции 95 Определим для данного случая число η, которое входит в условие 1 ). Вычитая, из единицы три части неравенства (17), получим < 1 − sin x x < 1 − cos x 0 < x откуда следует, что sin x x − 1 < если 1 − cos x < ε. Но, как мы видели выше, 1 − cos x < x 2 2 , и достаточно выбрать x 2 2 < ε, те. Итак, в данном случае может играть роль числа η. 34. Непрерывность функции. Приведем еще раз определение непрерывности функции f (x) в точке x = c, если эта функция определена в этой точке и вблизи нее слева и справа. О пределен и е. Функция f (x), определенная при x = c и всех значениях x, достаточно близких к c, называется непрерывной при x = c (в точке c), если существует предел f (x) при x → c ± и этот предел равен f (c): lim x→c±0 f (x) = f (Напомним, что это равносильно тому, что существуют пределы f (c − 0) и f(c + 0) слева и справа и что эти пределы равны между собою и равны f (c), те Из сказанного в [32] следует, что это равносильно также следующему при любом заданном положительном числе ε существует такое положительном число η, что) − f(c)| < ε при |x − c| < Ненужно оговаривать, что x 6= c, ибо f(x)−f(c) = 0 при x = c. Иначе это можно формулировать так f (x) − f(c) → 0 при x − c → Разность x−c есть приращение независимой переменной, а разность f (x) − f(c) — соответствующее приращение функции. Поэтому указанное выше определение непрерывности часто формулируют так Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов [34 Функция называется непрерывной в точке x = c, если бесконечно малому приращению независимой переменной (от начального значения x = c) соответствует бесконечно малое приращение функции. Заметим, что свойство непрерывности, выражаемое равенством, сводится к возможности находить предел функции простой подстановкой вместо независимой переменной ее предела. Из формул, приведенных в конце [28], мы видим, что целый многочлен от x и частное таких многочленов, те. рациональная функция от x, суть функции, непрерывные при любом, значении кроме тех значений, при которых знаменатель рациональной функции обращается в нуль. Непрерывной, очевидно, будет и функция y = b, сохраняющая при всяком x одно и тоже значение Все элементарные функции, рассмотренные нами впервой главе (степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические и обратные круговые, непрерывны при всех значениях x, при которых они существуют, кроме тех значений, при которых они обращаются в бесконечность. Так, например, log 10 x есть непрерывная функция от x при всех положительных значениях x; tg x есть непрерывная функция от x при всех значениях x, кроме значений x = (2k + где k есть любое целое число. Отметим еще функцию u v , где u и v суть непрерывные функции от x, причем предполагается, что u не принимает отрицательных значений. Такая функция называется степенно-показатель- ной. Она точно также обладает свойством непрерывности, исключая те значения x, при которых u и v одновременно равны нулю или u = 0 и v < Высказанное нами утверждение о непрерывности элементарных функций нуждается, конечно, в доказательстве, номы примем это без доказательства. В дальнейшем мы рассмотрим этот вопрос подробнее. Докажем только непрерывность функции sin x при любом 34] § 2. Теория пределов. Непрерывные функции = c, пользуясь определением (19). Мы имеем [ср. 31] sin x − sin c = 2 sin x − c 2 cos x + откуда следует sin x − sin c| = 2 sin x − c 2 cos x + c 2 6 2 sin x − Но | sin α| 6 |α| при любом угле α, и, следовательно sin x − sin c| 6 |x − Чтобы иметь | sin x − sin c| 6 ε, где ε — заданное положительное число, достаточно считать, что |x−c| < ε, те. роль η в определении) может играть число Нетрудно показать, что сумма или произведение произвольного конечного числа непрерывных функций есть также непрерывная функция тоже относится и к частному двух непрерывных функций за исключением тех значений независимой переменной, при которых знаменатель обращается в нуль. Рассмотрим лишь случай частного. Положим, что функции и ψ(x) непрерывны при x = a и что ψ(a) 6= 0. Составим функцию f (x) Пользуясь теоремой о пределе частного, получим lim x→a f (x) = lim x→a ϕ(x) lim x→a ψ(x) = ϕ(a) ψ(a) = f (что и доказывает непрерывность частного f (x) при x = Отметим один простой пример. Раз y = sin x есть непрерывная функция от x, то y = b sin x, где b — постоянная, также будет непрерывной функцией, так как она является произведением непрерывных функций y = b (см. выше) и y = sin Вернемся теперь еще к функции y = sin x x . При x = 0 эта функция неопределенна, номы знаем, что lim x→±0 y = 1. Поэтому, если Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов [35 мы положим y = 1 при x = 0, то y будет непрерывной функцией в точке x = Подобное нахождение предела функции при стремлении x к ее точке неопределенности называется раскрытием неопределенности, а самый предел, если он существует, называют иногда истинным значением функции в ее упомянутой точке неопределенности. В дальнейшем мы будем иметь много примеров раскрытия неопре- деленностей. 35. Свойства непрерывных функций. Выше мы определили свойство непрерывности функции при заданном значении x. Положим теперь, что функция определена в конечном промежутке a 6 x 6 b. Если она непрерывна при любом значении x из этого промежутка, то говорят, что она непрерывна в промежутке, b). Заметим при этом, что непрерывность функции на концах промежутка x = a и x = b состоит в следующем x→a+0 f (x) = f (a), lim x→b−0 f (x) = f (Все непрерывные функции обладают следующими свойствами. Если функция f (x) непрерывна в промежутке (a, b), то существует в этом промежутке по крайней мере одно такое значение, при котором f (x) принимает свое наибольшее значение и по крайней мере одно такое значение x, при котором функция принимает свое наименьшее значение. Если функция f (x) непрерывна в промежутке (a, b), причем f (a) = m и f (b) = n, и если k — любое число, заключающееся между и n, то существует в промежутке (a, b) по крайней мере одно такое значение x, при котором значение f (x) равно k; в частности, если f (a) и f (b) разных значков, то существует внутри промежутка (a, b) по крайней мере одно такое значение x, при котором f (x) обращается в нуль. |