Курс высшей математики. Том 1 (Смирнов В.И.). В. И. Смирнов Допущено Научнометодическим советом по математике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебника для студентов механикоматематических и физикоматематических факультетов у
 Скачать 3.3 Mb.
|
|
2 Рис. Рис. Уравнение (5) содержит только x 2 , а потому не меняется приза- мене x нате. если некоторая точка (x, y) лежит на параболе, то и точка (−x, y) лежит на той же параболе. Две точки (x, и (−x, y), очевидно, симметричны относительно оси OY , те. одна 16] § 1. Переменные величины 39 из них является зеркальным изображением другой относительно этой оси. Таким образом, если повернуть правую часть плоскости на вокруг оси OY и совместить ее с левой частью, то часть параболы, лежащая справа от оси OY , совпадает счастью параболы, лежащей слева от этой оси. Иначе говоря, ось OY есть ось симметрии параболы (Начало координат оказывается самой низкой точкой кривой при a > 0 и самой высокой при a < 0 и называется вершиной параболы. Коэффициент a вполне определяется, если задать одну точку, y 0 ) параболы, отличную от вершины, так как тогда имеем y 0 = ax 2 0 , a = y 0 x 2 после чего уравнение параболы (5) примет вид y = y 0 x Существует весьма простой графический способ построения какого угодно числа n точек параболы при заданных вершине, оси симметрии и любой ее точке M 0 , отличной от вершины. Абсциссу и ординату данной точки M 0 (x 0 , y 0 ) делим на n равных частей (рис. 15) и через начало координат проводим лучик точкам деления ординаты. Пересечение этих лучей с прямыми, проведенными через точки деления абсциссы параллельно оси OY , и дает точки параболы. Действительно, по построению мы имеем (рис. 15): x 1 = x 0 · n − 1 n , y ′ = y 0 · n − 1 n , y 1 = y ′ · n − 1 n = y 0 n − 1 n 2 = y 0 те. на основании (6) точка M 1 (x 1 , y 1 ) также лежит на параболе. Доказательство для других точек аналогично. Если имеются две функции = f 1 (x) и y = и соответствующие им графики, то координаты точек пересечения этих графиков удовлетворяют обоим написанным уравнениям, те Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов [17 абсциссы этих точек пересечения суть решения уравнения f 1 (x) = f 2 (x). x 1 x 1 = 1,7 x 2 = -Рис. Рис. Указанное обстоятельство легко использовать для приближенного решения квадратного уравнения. Построив на отдельном листе миллиметровой бумаги, по возможности точнее, график параболы мы можем рассматривать корни квадратного уравнения x 2 = px + как абсциссы точек пересечения параболы (6 1 ) и прямой y = px + так что решение уравнения (7) сводится к нахождению на чертеже упомянутых точек пересечения. На рис. 16 изображены три случая, когда таких точек будет две, одна (касание прямой с параболой) и ни одной. Парабола третьей степени. Многочлен й степени y = ax 3 + bx 2 + cx + d 17] § 1. Переменные величины 41 имеет своим графиком кривую, называемую параболой третьей степени. Мы рассмотрим эту кривую в простейшем случае y = При положительном a знаки x и y одинаковы, а при отрицательном различны. В первом случае кривая расположена в первом и третьем координатных углах, а во втором случае — во втором и четвертом углах. На рис. 17 изображен вид этой кривой при различных значениях Если x и y одновременно заменить на (−x) и (−y), то обе части уравнения (8) изменят знаки уравнение по существу не изменится, те. если точка x, y лежит на их кривой (8), то и точка, −y) также лежит на этой кривой точки (x, y) и (−x, Рис. лежат, очевидно, симметрично относительно начала O, те. отрезок, их соединяющий, делится началом пополам. Из предыдущего следует, что всякая хорда кривой, проходящая через начало координат O, делится этим началом пополам. Иначе это выражают так начало координат есть центр кривой (Отметим еще один частный случай параболы третьей степени = ax 3 + Правая часть этого уравнения есть сумма двух слагаемых, и, следовательно, для построения этой кривой достаточно провести прямую y = и взять сумму соответствующих ординат линий (8) и (10) непосредственно из чертежа. Различные виды, которые может при этом принять кривая (9) (при a = 1 и различных c), изображены на рис. 18. Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов [18 Построив кривую y = получим удобный (при небольшой точности вычислений) графический способ для решения уравнения й степени x 3 = px + так как корни этого уравнения суть нечто иное, как абсциссы точек пересечения кривой y = с прямой y = px + Рис. Рис. Чертеж нам покажет (рис. 19), что таких точек пересечения может быть одна, две или три, но одна — наверно, те. уравнение й степени имеет по крайней мере один вещественный корень. Строго доказано это будет впоследствии. 3акон обратной пропорциональности. Функциональная зависимость y = m x (11) 18] § 1. Переменные величины 43 выражает закон обратной пропорциональности между переменными и y. При увеличении x в несколько раз y уменьшается во столько же раз. При m > 0 переменные x и y одного итого же знака, те. график расположен в первом и третьем координатных углах, а при m < 0 — во втором и четвертом. При x, близких к нулю, дробь m x велика по абсолютной величине. Наоборот, при больших по абсолютной величине значениях x дробь m x мала по абсолютной величине. Непосредственное построение этой кривой по точкам приведет нас к рис. 20, на котором изображены кривые (11) при различных значениях m, причем сплошной линией начерчены кривые, соответствующие случаю m > 0, пунктирной — случаю m < 0, и у каждой кривой проставлено соответствующее ей значение m. Мы видим, что каждая из построенных кривых, которые называются равнобочными гиперболами, имеет бесконечные ветви, приближающиеся к осям координат OX и OY при беспредельном увеличений абсциссы x или ординаты y точки на рассматриваемой ветви. Эти прямые называются асимптотами ∗ гиперболы. Рис. Рис. Коэффициент m в уравнении (11) определяется вполне, если задать любую точку M 0 (x 0 , y 0 ) изучаемой кривой, так как тогда x 0 y 0 = В [72] будет дано определение асимптоты Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов [19 уравнение же (11) перепишется в виде xy = или Отсюда вытекает графический способ построения какого угодно числа точек равнобочной гиперболы, если заданы ее асимптоты и какая- нибудь ее точка M 0 (x 0 , y 0 ). Приняв асимптоты за оси координат, проведем изначала координат произвольные лучи OP 1 , OP 2 , . . . и отметим точки пересечения этих лучей с прямыми y = и x = Проводя через каждые две такие точки, лежащие на одном луче, прямые, параллельные осям координат, получим в пересечении этих прямых точки гиперболы (рис. 21). Это вытекает из подобия треугольников ORQ 1 и или те. точка M 1 (x 1 , y 1 ) лежит на кривой (12). 19. Степенная функция. Функция y = ax, y = ax 2 , y = и y = m x , которые мы выше исследовали, суть частные функции вида y = ax где a и n — какие угодно постоянные. Функция (13) вообще называется степенной функцией. При построении кривой мы ограничимся лишь положительными значениями x и случаем a = 1. На рис. и 23 изображены графики, соответствующие различным значениям Для всех значений n уравнение y = x дает y = 1 прите. все кривые проходят через точку (1, 1). При положительных значениях n кривые приподымаются вверх тем круче, чем больше величина n (рис. 22). При отрицательных n (рис. 23) функция равносильна дроби. Например, вместо y = можно написать y = 1 x 2 . В этих случаях при возрастании x ординаты наоборот, убывают 19] § 1. Переменные величины 45 Рис. Рис. Заметим при этом, что при дробном n счетным знаменателем мы считаем значение радикала положительным например, x 1 2 = √ x считаем положительным (при x > Две постоянные a и n, входящие в уравнение (13), определятся, если задать две точки кривой M 1 (x 1 , y 1 ) и M 2 (x 2 , y 2 ), после чего окажется y 1 = ax n 1 , y 2 = ax деля одно уравнение на другое, исключаем a: y 1 y 2 = затем, логарифмируя, находим n по формуле n = log y 1 − log y 2 log x 1 − log найдя n, из любого из уравнений (14) получим Графический способ построения какого угодно числа точек кривой) по двум заданным ее точками) изображен на рис. 24. Проводим через точку O два произвольных луча под углом α коси и β коси изданных точек и опускаем перпендикуляры на координатные оси до пересечения их с лучами в точках S 1 , S 2 ; T 1 , и с осями в точках Q 1 , Q 2 ; R 1 , R 2 . Через точку проводим R 2 T 3 Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов [19 Рис. параллельно и через точку проводим параллельно Проводя, наконец, через и прямые, параллельные соответственно осями, получим в их пересечении точку M 3 (x 3 , y 3 ) кривой. Действительно, из подобия треугольников находим OQ 3 OQ 2 = OS 2 OS 1 , OS 2 OS 1 = OQ 2 OQ 1 , т.е. OQ 3 OQ 2 = OQ 2 OQ 1 или откуда x 3 = x 2 и точно также можно показать, что y 3 = y 2 Принимая во внимание (14), находим y 3 = (ax n 2 ) 2 ax n 1 = a x 2 2 x 1 n = ax n 3 , 20] § 1. Переменные величины 47 т. е. точка (x 3 , y 3 ) лежит действительно на кривой (13), что и требовалось доказать. Обратные функции. Для исследования дальнейших элементарных функций введем новое понятие, а именно понятие об обратной функции. Как мы уже упоминали в [5], при исследовании функциональной зависимости между переменными x и y, вопрос о выборе независимой переменной находится в нашем распоряжении и решается исключительно соображениями удобства. Пусть имеется некоторая функция y = f (x), причем x играет роль независимой переменной. Функция, которая определяется из той же функциональной зависимости y = f (x), если в ней рассматривать y как независимую переменную, а x как функцию x = называется обратной по отношению к данной функции f (x), а эта последняя функция часто называется прямой. Обозначения для переменных не играют существенной роли и, обозначая в обоих случаях независимую переменную буквою x, мы можем сказать, что ϕ(x) будет обратной функцией для функции f (x). Так, например, если прямые функции суть y = ax + b, y = x то обратные будут y = x − b a , y Нахождение обратной функции по уравнению прямой функции называется ее обращением. Пусть мы имеем график прямой функции y = f (x). Нетрудно видеть, что этот же график может служить и графиком обратной функции x = ϕ(y). Действительно, оба уравнения y = f (x) и x = ϕ(y) дают одну и туже функциональную зависимость между x и y. В прямой функции произвольно задается x. Откладывая на оси от начала O отрезок, соответствующий числу x, и восставляя ∗ ∗ То есть восстанавливая Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов [20 из конца этого отрезка перпендикуляр коси до пересечения с графиком, мы получаем, взяв длину этого перпендикуляра с соответствующим знаком, значение y, отвечающее взятому, значению Для обратной функции x = ϕ(y) мы должны только откладывать заданное значение y по оси OY от начала O и восставлять из конца этого отрезка перпендикуляр коси до пересечения с графиком. Длина этого перпендикуляра с соответствующим знаком дает нам значение x, отвечающее взятому значению При этом возникает неудобство, что в первом случае независимая переменная x откладывается по одной оси, а именно оси а во втором случае независимая переменная y откладывается подругой оси, а именно по оси OY . Иначе говоря, при переходе от прямой функции y = f (x) к обратной x = ϕ(y) мы можем оставить тот же график, но должны помнить, что при этом переходе ось для изображения значений независимой переменной становится осью значений функции, и наоборот. Чтобы избежать этого неудобства, мы должны при упомянутом переходе повернуть плоскость как целое таким образом, чтобы оси и OY поменялись местами. Для этого, очевидно, достаточно повернуть плоскость чертежа вместе с графиком на вокруг биссектрисы первого координатного угла. При этом повороте оси Рис. поменяются местами, и обратную функцию x = ϕ(y) надо уже писать в обычном виде y = ϕ(x). Итак, если прямая функция y = f (x) задана графически, то для получения графика обратной функции y = ϕ(x) достаточно повернуть плоскость графика на вокруг биссектрисы первого координатного угла. На рис. 25 график прямой функции изображен сплошной линией, а график обратной функции — пунктиром. Пунктиром же изображена биссектриса первого координатного угла, вокруг которой надо повернуть всю плоскость чертежа для получения пунктирной кривой из сплошной кривой 21] § 1. Переменные величины 21. Многозначность функции. Во всех графиках элементарных, функций, которые мы рассмотрели выше, характерным был тот факт, что прямые перпендикулярные оси OX, пересекали график не больше, чем водной точке, и большею частью именно водной точке. Это значит, что у функции, определяемой этим графиком, заданному значению x соответствует одно определенное значение. Иначе про такую функцию говорят, что она однозначна. Если же прямые, перпендикулярные оси OX, пересекают график в нескольких точках, то это значит, что заданному x соответствует несколько ординат графика, те. несколько значений Такие функции называются многозначными. ∗ Мы уже упоминали о многозначных функциях раньше Если прямая функция y = f (x) однозначна, то обратная функция) может оказаться и многозначной. Это видно, например, из рис. Разберем подробнее один элементарный случай. На рис. 13 изображен сплошной линией график функции y = x 2 . Если повернуть чертеж вокруг биссектрисы первого координатного угла на то получится график обратной функции y = √ x (рис. Рассмотрим его подробнее. При отрицательных x (левее оси OY прямые, перпендикулярные оси OX, вовсе не пересекают графика, т. е. функция y = √ x не определена при x < 0. Это соответствует тому факту, что корень квадратный отрицательного числа не имеет вещественных значений. Наоборот, при любом положительном x прямая, перпендикулярная оси OX, пересекает график в двух точках, те. при заданном положительном x мы имеем две ординаты графика M N и M N 1 . Первая ордината дает для y некоторое положительное значение, а вторая дает такое же по абсолютной величине отрицательное значение. Это соответствует тому факту, что корень квадратный из положительного числа имеет два значения, равные по абсолютной величине и обратные по знаку. Из чертежа видно также, что примы имеем одно только значение y = Итак, функция y = √ x определена при x > 0, имеет два значения при x > 0 и одно при x = Вообще говоря, поняте однозначности функции содержится уже в самом ее определении, данном в [5], ив этом смысле кривая, изображенная на рис. 26, графиком какой-либо функции не является Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов [21 Рис. Рис. Заметим, что мы можем сделать нашу функцию y = √ x однозначной, взяв лишь часть графика на рис. 26. Возьмем, например, только ту часть графика, которая находится в первом координатном угле (рис. 27). Это соответствует тому, что мы рассматриваем лишь положительные значения квадратного корня. Отметим также, что часть графика функции y = √ x, изображенная на рис. получается из той части графика прямой функции y = рис. которая лежит правее оси OY . Часть графика функции y = √ x или = x 1 лежащая в первом координатном угле, уже была изображена нами на рис. Займемся теперь тем случаем, когда обращение однозначной прямой функции приводит к однозначной же обратной функции. Для этого нам придется ввести новое понятие. Функция y = F (x) называется возрастающей, если при увеличении независимой переменной x соответствующие значения y возрастают, те. если из неравенства x 2 > следует f (x 2 ) Подчеркнем, что неравенство f (x 2 ) > f (x 1 ) должно быть выполнено для любой пары x 1 , x 2 , таких что x 2 > x 1 , из промежутка (a, b) на котором задана функция 21] § 1. Переменные величины 51 Рис. Притом расположении осей OX и OY , которым мы пользуемся, возрастанию x соответствует перемещение по оси OX вправо, а возрастанию движение по оси вверх. Характерной особенностью графика возрастающей функции является тот факт, что при движении вдоль кривой в сторону возрастающих x (вправо) мы движемся ив сторону возрастающих (вверх). Рассмотрим график ка- кой-нибудь однозначной возрастающей функции, определенной в промежуткe a 6 x 6 рис. 28). Пусть f (a) = c и f (b) = d, причем, очевидно, в силу возрастания функции c < d. Если мы возьмем какое-нибудь значение y из промежутка c 6 y 6 d ив соответствующей точке восставим перпендикуляр коси, то этот перпендикуляр встретит наш график водной точке, те. всякому y из промежутка c 6 y 6 d отвечает одно определенное значение x. Иначе говоря, функция, обратная возрастающей функции, будет однозначной. Нетрудно видеть из чертежа, что и эта обратная функция будет возрастающей. Аналогичным образом, функция y = f (x) называется убывающей, если при увеличении независимой переменной x соответствующие значения y, наоборот, убывают, те. если из неравенства следует f (x 1 ) > f (x 2 ). Как и выше, можно утверждать, что функция, обратная убывающей функции, будет однозначной убывающей функцией. Отметим еще одно важное обстоятельство. Во всех рассуждениях мы предполагаем всегда, что график функции представляет собою сплошную кривую без разры- вов.Этот факт равносилен особому аналитическому свойству функции, а именно непрерывности этой функции. Строгое математическое определение непрерывности функции и исследование Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов [22 непрерывных функций будет нами дано в § 2. Целью настоящей главы являутся лишь предварительное ознакомление с основными понятиями, систематическое изучение которых будет дано в следующих главах. В отношении терминологии заметим, что когда мы говорим о функции без упоминания о ее многозначности, то мы подразумеваем всегда однозначную функцию. Показательная и логарифмическая функции. Возвращаемся теперь к исследованию элементарных функций. Показательная функция определяется уравнением y = a причем мы считаем, что основание a есть заданное положительное число (отличное от единицы. Прицелом положительном x значение очевидно. При дробном положительном x выражение a определяется как радикал a p |