Курс высшей математики. Том 1 (Смирнов В.И.). В. И. Смирнов Допущено Научнометодическим советом по математике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебника для студентов механикоматематических и физикоматематических факультетов у
 Скачать 3.3 Mb.
|
|
q = q √ a p , причем, в случае четного q, мы условливаемся брать положительное значение радикала. Не входя сейчас в подробное рассмотрение значений a при иррациональном, заметим только, что мы получим приближенные значения при иррациональном x все с большей степенью точности, если заменим иррациональное x его приближенными значениями так, как это было указано выше [2]. Например, приближенными значениями a √ 2 , где, как известно = 1, 414213. . . , будут a 1 = a, a 1,4 = 10 √ a 14 , a 1,41 = 100 √ a 141 , . . Вычисление a при отрицательном x сводится к вычислению a x при положительном x в силу формулы a −x = 1 a x , являющейся определением степени при отрицательном показателе. Из упомянутого выше соглашения считать радикалы в выражении a p q = q √ a всегда положительными вытекает, что функция a при любых вещественных всегда положительна. Кроме того, можно показать, на чем мы не останавливаемся, что при a > 1 функция a x — возрастающая функция, а при 0 < a < 1 — убывающая функция. Более подробное исследование этой функции будет нами дано дальше [44]. 22] § 1. Переменные величины 53 Рис. На рис. 29 изображены графики функции (15) при различных значениях a. Отметим некоторые особенности графиков на рис. Прежде всего, при любом a 6= 0 мы имеем по определению a 0 = 1 и, следовательно, при любом a график функции (15) проходит через точку y = 1 на оси OY , т. е. через точку с координатами (0, Если a > 1, то кривая идет слева направо (в сторону возрастающих, поднимаясь беспредельно вверх, а при движении влево кривая беспредельно приближается коси, нигде ее не достигая. При a < 1 расположение кривой относительно осей будет иным. При движении направо кривая беспредельно приближается коси, а при движении влево беспредельно уходит вверх. Так как a всегда положительно, то график, конечно, всегда расположен над осью OX. Заметим еще, что график функции y = 1 a x можно получить из графика функции y = a x , поворачивая чертеж вокруг осина. Это вытекает непосредственно из того, что при упомянутом повороте x переходит в (−x), а Заметим еще, что если a = 1, то y = 1 x и при всяком значении x мы имеем y = 1 Логарифмическая функция определяется уравнением y = log По определению логарифма функция (16) будет обратной для функции (15). Мы можем, таким образом, получить график логарифмической функции (рис. 30) из графика показательной, повернув кривые рис. 29 на вокруг биссектрисы первого координатного угла. Ввиду возрастания функции (15) при a > 1 обратная функция) будет также однозначной возрастающей функцией от x, причем, как это видно из рис. 29, функция (16) определена лишь при Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов [22 Рис. Рис. 31 x > 0 (отрицательные числа не имеют логарифмов. Все графики рис. 30, соответствующие различным значениям a, пересекают ось в точке x = 1. Это соответствует тому факту, что логарифм единицы при любом основании равен нулю. На рис. 31 изображен для ясности один график функции (16) при a > С понятием о логарифмической функции тесно связаны понятия о логарифмической шкале и теория логарифмической линейки. Логарифмической шкалой называется такая шкала, нанесенная на данной прямой, длина делений которой соответствует не самому числу, обозначающему деление, а его логарифму, обыкновенно по основанию (рис. 32). Таким образом, если при некотором делении шкалы стоит число x, то длина отрезка 1x равна не x, а log 10 x. Длина отрезка между двумя точками шкалы, обозначенными, через x и y, будет равняться (рис. 32) 1y − 1x = log 10 y − log 10 x = log 10 y для получения же логарифма произведения xy достаточно к отрезку 1x прибавить отрезок 1y, так как полученный таким путем отрезок будет Рис. 32 23] § 1. Переменные величины 55 равен log 10 x + log 10 y = Таким образом, имея логарифмическую шкалу, можно приводить умножение и деление чисел просто к сложению и вычитанию отрезков на шкале, что проще всего осуществляется на практике с помощью двух тождественных шкал, из коих одна может скользить вдоль другой (рис. 32 и 33). В этом и заключается основная идея устройства логарифмической линейки. Рис. Для вычислений часто употребляется логарифмическая бумага, которая представляет собой разграфленный лист, причем, однако, точки деления на осях OX и OY соответствуют необыкновенной, а логарифмической шкале. Тригонометрические функции. Мы остановимся лишь на четырех основных тригонометрических функциях = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg причем независимую переменную x будем выражать в радианной мере, теза единицу угла примем центральный угол, которому соответствует дуга окружности, по длине равная радиусу. График функции y = sin x изображен на рис. 34. Из формулы cos x = sin x +ясно, что график функции y = cos x (рис. 35) может быть получен из графика функции y = sin x простым передвижением его вдоль оси OX налево на отрезок Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов [23 Рис. Рис. На рис. 36 представлен график функции y = tg x. Кривая состоит из ряда одинаковых отдельных бесконечных ветвей. Каждая ветвь помещается в вертикальной полосе ширины π и представляет собою возрастающую функцию от x. Наконец, на рис. 37 представлен график функции y = ctg x, также состоящий из отдельных бесконечных ветвей. При передвижении графиков функций y = sin x и y = cos x вдоль оси OX направо или налево на отрезок 2π эти графики совмещаются сами с собой, что соответствует тому факту, что функции sin x и cos x имеют период 2π, те и cos(x ± 2π) = cos x 23] § 1. Переменные величины 57 Рис. Рис. при любом x. Совершенно также графики функций y = tg x и y = ctg x совмещаются сами с собой при передвижении их вдоль осина отрезок Графики функций y = A sin ax, y = A cos ax (A > 0, a > 0) (17) Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов [23 весьма схожи с графиками функций y = sin x и y = cos x. Чтобы получить, например, график первой из функций (17) из графика y = sin x, надо длины всех ординат этого последнего графика умножить на A и изменить масштаб по оси OX так, чтобы точка с абсциссой попала бы в точку с абсциссой x a . Функции (17) также периодические, но имеют период 2π a Графики более сложных функций y = A sin(ax + b), y = A cos(ax + которые называются простыми гармоническими кривыми, получаются из графиков функций (17) передвижением вдоль осина отрезок b a влево (мы считаем b > 0). Функции (18) имеют также период 2π a Графики функций вида y = A 1 sin a 1 x + B 1 cos a 1 x + A 2 sin a 2 x + B 2 cos представляющих собою сумму нескольких слагаемых типа (можно строить, например, складывая ординаты графиков отдельных слагаемых. Полученные таким образом кривые называются обычно сложными гармоническими кривыми. На рис. 38 указано Рис. 38 24] § 1. Переменные величины 59 построение графика функции y = 2 sin x + cos Заметим при этом, что функция y = A 1 sin a 1 x + B 1 cos может быть представлена в виде (18) и изображает простое гармоническое колебание. Действительно, положим m = A 1 p A 2 1 + B 2 1 , n = B 1 p A 2 1 + B 2 1 , A = q A 2 1 + B 2 Мы имеем, очевидно mA, B 1 = и, кроме того+ n 2 = 1, |m| 6 1, |n| 6 а потому, как известно из тригонометрии, всегда можно найти такой угол b 1 , чтобы было cos b 1 = m, sin b 1 = Подставив в (19) вместо и их выражения (20) и пользуясь равенствами (21), получим y = A(cos b 1 · sin a 1 x + sin b 1 · cos те. Обратные тригонометрические, или круговые, функции. Эти функции получаются при обращении тригонометрических функций = sin x, cos x, tg x, ctg x Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов [24 и обозначаются, соответственно, символами y = arc sin x, arc cos x, arc tg x, arc ctg что представляет собою нечто иное, как сокращенное обозначение названий угол (или дуга, синус, косинус, тангенс или котангенс которого соответственно равен Остановимся на функции y = arc sin График этой функции (рис. 39) получается из графика функции y = sin x по правилу, указанному в [20]. Весь этот график расположен в вертикальной полосе ширины два, опирающейся на отрезок Рис. 39 −1 6 x 6 +1 оси OX, те. функция (определена лишь в промежутке −1 6 x 6 +1. Далее, уравнение (22) равносильно уравнению, и, как известно из тригонометрии, при заданном x мы получаем бесчисленное множество значений для угла Из графика мы видим, действительно, что прямые, перпендикулярные коси в точках промежутка −1 6 x 6 +1, имеют с графиком бесчисленное множество общих точек, те. функция (22) есть многозначная функция. Непосредственно из рис. 39 мы видим, что функция (22) станет однозначной, если мы вместо всего графика ограничимся лишь его частью, начерченной более жирно сплошной линией, что соответствует условию рассматривать только те значения угла, имеющего данный sin y = x, которые лежат в промежутке − π 2 , π 2 На рис. 40 и 41 указаны графики функций y = arc cos x и y = arc tg x и отмечены жирно сплошной линией те части графика, которые надо оставить, чтобы сделать функцию однозначной (чертеж для arc ctg x предоставляется сделать читателям. Заметим при 24] § 1. Переменные величины 61 Рис. Рис. этом, что функции y = arc tg x и y = arc ctg x определены при всех вещественных значениях Отмечая из чертежа интервал изменения y на отмеченной жирно части кривой, мы получаем таблицу ограничений, при которых функции становятся однозначными arc sin x arc cos x arc tg x arc ctg Неравенства для Нетрудно показать, что определенные таким образом функции, которые называются главными значениями круговых функций, удовлетворяют соотношениям arc sin x + arc cos x = π 2 , arc tg x + arc ctg x = π 2 (23) Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов 2. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 25. Упорядоченное переменное. Когда мы говорили о независимой переменной x, для нас было важно лишь множество тех значений, которые может принимать x. Например, это могло быть множество значений, удовлетворяющих неравенству 0 6 x 6 Сейчас мы будем рассматривать переменную величину x, принимающую последовательно бесчисленное множество значений, т. е. сейчас для нас является важным не только множество значений но и тот порядок, в котором она принимает эти значения. Точнее говоря, предполагается следующее 1) если и два значения переменной величины x, то имеется возможность отличить среди них предыдущее и последующее, причем если предшествует а предшествует x ′′′ , то предшествует x ′′′ ; 2) никакое значение не является последним, те. какое бы значение переменной величины x мы ни взяли, существует бесчисленное множество значений, следующих за ним. Такую переменную величину называют упорядоченной переменной. В дальнейшем мы для краткости просто будем говорить переменная величина. Отвлекаясь, как всегда, от конкретного характера величины (длина, весит. д) термином «упорядоченная переменная величина или просто переменная величина обозначают всю бесконечную последовательность ее значений, те. бесконечную последовательность чисел. Важным частным случаем упорядоченной переменной величины является тот случай, когда имеется возможность пронумеровать всю ее последовательность значений (первое, второе, третье и т. д, x 2 , x 3 , . . . , x n , . . . так что из двух значений x и x то является последующим, которое имеет больший значок. ∗ В качестве примера положим, что общий член последовательности x определяется формулой x n = 1 2 n (n = 1, 2, 3, . . . ), так что последовательность имеет вид 2 , 1 4 , 1 8 , . . . , 1 2 n , . . Такую упорядоченную переменную обычно называют числовой последовательностью. Теория пределов. Непрерывные функции 63 Пусть, далее, x n = n z }| { 0, 11 . . . 1, те есть, десятичная дробь, у которой целая часть равна нулю, а после запятой стоит n единиц; получим последовательность, 1; 0, 11; 0, 111, . . . , n z }| { 0, 11 . . . 1, . . Вставляя между двумя числами последовательности (1) число нуль, получим новую последовательность 2 , 0, 1 4 , 0, 1 8 , 0, 1 16 , . . для которой x 1 = 1 2 , x 2 = 0, x 3 = 1 4 , x 4 = 0, x 5 = 1 и т. д. Среди значений этой переменной величины встречаются и одинаковые, а именно x p = 0 при четном p. Отметим, что переменная (1) убывающая, те. всякое ее значение меньше всех предшествующих значений, а переменная (2) возрастающая, те. всякое ее значение больше всех предшествующих. Переменная (3) не является ни убывающей, ни возрастающей. Укажем теперь примеры упорядоченной переменной, значения которой нельзя пронумеровать. Положим, что переменная величина принимает все различные значения, удовлетворяющие неравенству, где a и k — некоторые числа и k > 0. При этом считается, что из двух значений и последующим является большее. Иначе говоря, переменная величина x возрастает, принимая все значения из промежутка a − k 6 x < a, замкнутого слева и открытого справа. Она принимает любые значения из этого промежутка меньшие a, ноне принимает значения a. Первым значением переменной является значение x = a − k, а дальнейшая нумерация значений переменной невозможна. Если мы положим, что возрастающая переменная удовлетворяет не неравенству a − k 6 x < а неравенству a − k < x < a, то при этом нет и первого значения переменной x. Совершенно аналогично можно рассматривать и убывающую переменную x на промежутке a < x 6 a + k или на промежутке a < x < a + Укажем теперь пример, аналогичный предыдущим, нов котором переменная не является ни возрастающей, ни убывающей. Пе Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов [25 ременная величина x принимает все различные значения, удовлетворяющие неравенству a − k 6 x 6 a + k, кроме значения x = Если и x ′′ — различные значения x, у которых абсолютные величины разностей |x ′ − a| и |x ′′ − a| различны, то последующим считается то, у которого эта абсолютная величина меньше (то, которое ближе на оси OX ка если x ′ −a и x ′′ −a отличаются лишь знаком (и одинаково удалены от a, но находятся на оси с разных сторон от a), то последующим считается то, у которого указанная разность отрицательна (то, которое на оси OX лежит слева от a). В этом примере переменная x приближается к a на промежутке a − k 6 x 6 a + k с разных сторон, принимая все значения, кроме x = a; первое значение переменной x = a + k, второе x = a − k, а дальнейшая нумерация невозможна. Если вместо промежутка взять промежуток a − k < x < a + k при прежнем определении порядка изменения x, тонет возможности указать и первое значение В дальнейшем мы часто будем иметь дело с переменными величинами, связанными функциональной зависимостью. Пусть переменная есть функция переменной t. В соответствии с этим введем обозначение x(t). Пусть t — некоторое упорядоченное переменное. Этим создается и упорядоченность значений x(t), а именно, если и принадлежат последовательности значений t и предшествует t ′′ , то считаем, что среди значений x(t) значение x(t ′ ) предшествует. В дальнейшем мы будем иметь в основном те случаи, когда среди значений упорядоченной переменной t нет одинаковых. Но x(t) может принимать и одинаковые значения при различных Естественно сказать, что упорядоченное переменное t упорядочивает переменную x(t) или является упорядочивающей переменной для x(t). Отметим, что для пронумерованной переменной x 1 , x 2 , x 3 , . . роль t играет значок 1, 2, 3, . . . , те. в этом случае t принимает последовательные значения 1, 2, 3, . . . и таким образом нумерует значения переменной Возникает вопрос о действиях над упорядоченными переменными. Если, например, x и y — упорядоченные переменные, то без предварительных соглашений неясно, что обозначает сумма x + y или произведение xy, ибо как x, таки принимают бесчисленное множество значений, и остается неясным, какие значения x и y 26] § 2. Теория пределов. Непрерывные функции 65 надо складывать или перемножить, чтобы получить новую переменную или xy. Если x и y — пронумерованные переменные, аи последовательные значения x и y, то сумма определяется как пронумерованное переменное, имеющее последовательность значений x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , x 3 + y 3 , . . В общем случае для определения действия над упорядоченными переменными необходимо, чтобы они имели одну и туже упорядочивающую переменную. Пусть переменные x и y — функции x(t) и y(t) одной и той же упорядоченной переменной t, которая упорядочивает) и y(t). Сумма x и y определяется как упорядоченная переменная x(t) + y(t), которая упорядочивается той же переменной Для явлений, происходящих во времени, последовательность значений переменной величины может естественно устанавливаться их последовательностью во времени, и часто пользуются схемою времени и применяют термины дои после вместо предыдущее и последующее значения. Настоящий параграф посвящен в основном теории пределов, являющейся основою современного математического анализа. В этой теории рассматриваются некоторые основные случаи изменения величин. Величины бесконечно малые. Каждому значению переменной величины x соответствует точка K на числовой оси имеющая абсциссу x, и изменение x изобразится перемещением точки по оси OX. Положим, что все различные положения точки при изменении x остаются внутри некоторого конечного отрезка оси. Это равносильно тому, что длина отрезка OK, где O — начало координат на оси OX, остается меньше определенного положительного числа M . В этом случае переменная величина x называется ограниченной. Принимая во внимание, что длина OK есть |x|, мы приходим к следующему определению. О пределен и е. Переменная величина x называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что < M для всех значений x. Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов |