Курс высшей математики. Том 1 (Смирнов В.И.). В. И. Смирнов Допущено Научнометодическим советом по математике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебника для студентов механикоматематических и физикоматематических факультетов у
 Скачать 3.3 Mb.
|
|
197] § 19. Интегрирование функции 603 Формула Остроградского дает, таким образом, алгебраическую часть интеграла правильной рациональной дроби и тогда, когда корни знаменателя неизвестны. Знаменатель дроби, стоящей под знаком интеграла в правой части равенства (5), содержит только простые корни, и, разлагая эту дробь на простейшие, мы сумеем вычислить этот интеграл, причем, как это мы только что видели, он выразится через логарифмы и арктангенсы. Для проведения последней операции на надо знать корни Пример. Согласно формуле Остроградского+ 1) 2 = αx 2 + βx + γ x 3 + 1 + Z δx 2 + εx + η x 3 + Дифференцируем пои, освобождаясь от знаменателя, имеем = (2αx + β)(x 3 + 1) − 3x 2 (αx 2 + βx + γ) + (δx 2 + εx + η)(x 3 + Сравнивая коэффициенты при x 5 , получаем δ = 0, и сравнивая затем коэффициенты при x 2 , получим γ = 0. Подставляя в написанное тождество и сравнивая коэффициенты при остальных степенях, будем иметь − α = 0, η − 2β = 0, 2α + ε = 0, β + η = откуда окончательно = γ = δ = ε = 0, β = 1 3 , η = 2 и, следовательно+ 1) 2 = x 3(x 3 + 1) + 2 3 Z dx x 3 + Последний интеграл вычисляется разложением дробина простейшие+ 1 = A x + 1 + M x + N x 2 − x + 1 Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . Освобождаемся от знаменателя = A(x 2 − x + 1) + (Mx + N)(x + Полагая x = −1, получим A = 1 3 , а затем, сравнивая коэффициенты при и свободные члены = − 1 3 , N = 2 и, следовательно+ 1 = 1 3(x + 1) − x − 2 3(x 2 − x + Окончательно получим x 3 + 1 = 1 3 Z dx x + 1 − 1 3 Z x − 2 x 2 − x + 1 dx = = 1 3 lg(x + 1) − 1 6 lg(x 2 − x + 1) + 1 √ 3 arctg 2x − 1 √ 3 + откуда+ 1) 2 = x 3(x 3 + 1) + 2 9 lg(x + 1) − 1 9 lg(x 2 − x + 1)+ + 2 3 √ 3 arctg 2x − 1 √ 3 + C. 198. Интеграл от выражений, содержащих радикалы. Рассмотрим некоторые другие типы интегралов, которые приводятся к интегралам от рациональной дроби. Интеграл ax + b cx + d λ , ax + b cx + d µ , . . где R — рациональная функция своих аргументов, те. частное многочленов от этих аргументов, а λ, µ, . . . — рациональные числа. Пусть m — общий знаменатель этих дробей. Введем новую переменную. Интегрирование функции 605 При этом, очевидно, x, dx dt и выражения ax + b cx + d λ , ax + b cx + будут рациональными функциями t, и интеграл (6) приведется к интегралу от рациональной дроби. Биномный дифференциал. К интегралу (6) приводятся в некоторых случаях интегралы от биномных дифференциалов m (a + bx n ) p где m, n и p — рациональные числа. Положим x = t 1 n : Z x m (a + bx n ) p dx = 1 n Z t m +1 n −1 (a + bt) p Если p или m+1 n есть целое число, то полученный интеграл есть интеграл вида (6). Из очевидного равенства m +1 n −1 (a + bt) p dt = Z t m +1 n +p−1 a + bt t p dt следует, что ив том случае, когда m+1 n + p — целое число, интеграл) приводится к виду (Существует теорема Чебышева, согласно которой указанные три случая исчерпывают все случаи, интеграл от биномного дифференциала выражается через элементарные функции. Интегралы вида ax 2 + bx + c)dx. Интегралы вида ax 2 + bx + где R — рациональная функция своих аргументов, приводятся к интегралам от рациональной дроби при помощи подстановок Эйлера. В случае a > 0 можно пользоваться первой подстановкой Эйлера Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . Возвышая обе части этого равенства в квадрат и решая относительно, получим x = t 2 − c 2t √ a + откуда видно, что x, dx dt и+ bx + c будут рациональными функциями от t и, следовательно, интеграл (8) приведется к интегралу от рациональной дроби. В случае c > 0 можно пользоваться второй подстановкой Эйлера +Предлагаем читателю убедиться в этом. В случае a < 0 трехчлен (ax 2 + bx + c) должен иметь вещественные корни и x 2 , ибо в противном случае он имел бы при всех вещественных значениях x знака был бы величиной мнимой. В случае вещественности корней упомянутого трехчлена интеграл (8) приводится к интегралу от рациональной дроби при помощи третьей подстановки Эйлера a(x − x 1 )(x − x 2 ) = t(x − в чем и предлагаем убедиться читателю. Подстановки Эйлера приводят большей частью к сложным выкладкам, а потому мы укажем другой прием вычисления интеграла (8). Обозначим для краткости письма = p ax 2 + bx + Всякая положительная четная степень y представляет собою многочлен от x, а потому подынтегральную функцию нетрудно привести к виду, y) = ω 1 (x) + ω 2 (x)y ω 3 (x) + где ω s (x) — многочлен от x. Освобождаясь от иррациональности в знаменателе и совершая элементарные преобразования, можно пре- 199] § 19. Интегрирование функции 607 образовать написанное выражение к виду, y) Первое слагаемое есть рациональная дробь, интегрировать которую мы уже умеем. Выделяя из дроби ω 7 (x) ω 8 (x) целую часть и разлагая оставшуюся правильную дробь на простейшие, мы придем к интегралам вида+ bx + c и − a) n √ ax 2 + bx + где ϕ(x) — многочлен от При этом мы предполагаем, что многочлен от ω 8 (x) имеет лишь вещественные корни. Прежде чем переходить к рассмотрению интегралов (9) и (отметим два простейших частных случая интеграла (9): Z dx √ ax 2 + bx + c = = 1 √ a lg x + b 2a + r x 2 + b a x + c a ! + C (a > 0), (11) Z dx √ −x 2 + bx + c = Z dx q m 2 − x − b 2 2 = arcsin x − b 2 m + Формулу (11) нетрудно получить при помощи первой подстановки Эйлера. Интеграл (12) уже был нами разобран раньше Для вычисления интеграла (9) удобно пользоваться формулой+ bx + c dx = ψ(x) p ax 2 + bx + c + λ Z dx √ ax 2 + bx + c , (13) Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . где ψ(x) — многочлен степени на единицу ниже, чем ϕ(x), и λ постоянная. На доказательстве формулы (13) мы останавливаться не будем. Дифференцируя соотношение (13) и освобождаясь от знаменателя, получим тождественное равенство двух многочленов, откуда и можно определить коэффициенты многочленов ψ(x) и постоянную Интеграл (10) приводится к интегралу (9) при помощи подстановки Пример+ 1 (x − 1) √ x 2 − x + 1 dx = = x + lg(x − 1) − Z x 2 − x + 1 (x − 1) √ x 2 − x + Но x 2 − x + 1 x − 1 = x + 1 x − а потому x + 1 (x − 1) √ x 2 − x + 1 dx = Z x √ x 2 − x + 1 dx + Z dx (x − 1) √ x 2 − x + Согласно формуле (13) Z x √ x 2 − x + 1 dx = a p x 2 − x + 1 + λ Z dx √ x 2 − x + Дифференцируя это соотношение и освобождаясь от знаменателя, получим тождество = a(2x − 1) + откуда a = 1, λ = 1 2 , 199] § 19. Интегрирование функции 609 и, следовательно, в силу формулы (11), Z x √ x 2 − x + 1 dx = p x 2 − x + 1 + 1 2 lg x − 1 2 + p x 2 − x + 1 + Подставляя x − 1 получим − 1) √ x 2 − x + 1 = − Z dx √ t 2 + t + 1 = = − lg t + 1 2 + p t 2 + t + 1 + C = = − lg 1 x − 1 + 1 2 + s 1 (x − 1) 2 + 1 x − 1 + 1 ! + C = = − lg(x + 1 + 2 p x 2 − x + 1) + lg(x − 1) + окончательно x + √ x 2 − x + 1 = x − p x 2 − x + 1− 1 2 lg x− 1 2 + p x 2 − x + 1 + + lg(x + 1 + 2 p x 2 − x + 1) + Интеграл (8) является частным случаем абелева интеграла, который имеет вид, где R — рациональная функция своих аргументов и y — алгебраическая функция от x, те. функция от x, которая определяется из уравнения f (x, y) = левая часть которого есть целый многочлен относительно x и y. Если y = p P (где P (x) — многочлен третьей или четвертой степени от x, то абелев интеграл) называется эллиптическим интегралом. Мы займемся этими интегралами в третьем томе. Даже и этот последний, а тем более и общий абелев интеграл, вообще говоря, не выражается через элементарные Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . функции. Если степень многочлена P (x) выше четвертой, то интеграл) называется гиперэллиптическим. Если соотношение (15), которое выражает y как алгебраическую функцию от x, обладает тем свойством, что x и y могут быть выражены в виде рациональных функций вспомогательного параметра t, то, очевидно, абелев интеграл (14) приводится к интегралу от рациональной дроби. В указанном случае алгебраическая кривая, соответствующая соотношению, называется уникурсальной. В частности, подстановки Эйлера служат доказательством уникурсальности кривой y 2 = ax 2 + bx + c. 200. Интегралы вида x, cos x)dx. Интеграл вида x, cos где R — рациональная функция своих аргументов, приводится к интегралу от рациональной дроби, если ввести новую переменную t = tg Действительно, согласно известным формулам тригонометрии, получим sin x = 2t 1 + t 2 , cos x = 1 − t 2 1 + и, кроме того = 2 arctg t, dx = 2dt 1 + откуда и вытекает непосредственно наше утверждение. Укажем теперь некоторые частные случаи, когда выкладки могут быть упрощены. Положим, что R(sin x, cos x) не меняется при замене sin x и cos x, соответственно, на (− sin x) и (− cos x), те. предположим, что R(sin x, cos x) имеет период π. Так как sin x = cos x tg x, 200] § 19. Интегрирование функции 611 то R(sin x, cos x) оказывается рациональной функцией от cos x и tg x, не меняющейся при заменена, те. содержащей только четные степени cos x: R(sin x, cos x) = R 1 (cos 2 x, tg В рассматриваемом случае для приведения интеграла (16) к интегралу от рациональной дроби достаточно положить t = tg Действительно, при этом dx = dt 1 + t 2 , cos 2 x = 1 1 + Итак, если R(sin x, cos x) не меняется при замене sin x и cos соответственно, на (− sin x) и (− cos x), то интеграл (16) приводится к интегралу от рациональной дроби при помощи подстановки. Предположим теперь, что R(sin x, cos x) меняет лишь знак при заменена. Функция x, cos x) sin x не будет вовсе меняться при указанной замене, те. будет содержать только четные степени sin x, а следовательно x, cos x) = R 1 (sin 2 x, cos x) · sin Подставляя t = cos x, получим x, cos x)dx = − Z R 1 (1 − t 2 , те. если R(sin x, cos x) при заменена) меняет лишь знак, то интеграл (16) приводится к интегралу от рациональной дроби при помощи подстановки t = cos x. Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . . [201 3. Точно также нетрудно показать, что если R(sin x, cos x) при заменена) меняет лишь знак, то интеграл (16) приводится к интегралу от рациональной дроби при помощи подстановки. Интегралы вида ax [P (x) cos bx + Q(x) sin bx]dx. Интеграл вида где ϕ(x) — многочлен й степени от x, интегрированием по частям можно упростить ax ϕ(x)dx = 1 a e ax ϕ(x) − 1 a Z e Таким образом, выделяя из интеграла слагаемое, имеющее вид произведения e ax на многочлен й степени, мы можем понизить степень многочлена под знаком интеграла на единицу. Продолжая таким образом интегрировать по частями принимая во внимание, что Z e ax dx = 1 a e ax + получим ax ϕ(x)dx = e ax ψ(x) + где ψ(x) — многочлен той же й степени, что и ϕ(x), те. интеграл от произведения показательной функции e ax на многочлен й степени имеет вид такого же произведения. Дифференцируя соотношение (18) и сокращая обе части полученного тождества на e ax , можем определить коэффициенты полинома) по способу неопределенных коэффициентов. Рассмотрим теперь интеграл более общего вида ax [P (x) cos bx + Q(x) sin Для применения формулы интегрирования по частям необходимо внести e ax под знак дифференциала по правилу e ax dx = 1 a de ax 201] § 19. Интегрирование функции 613 где P (x) и Q(x) — многочлены от x. Пусть n — наибольшая из степеней этих двух многочленов. Вводя в качестве вспомогательного средства комплексные величины, можем привести интеграл (19) к интегралу (17), а именно, подставив вместо cos bx и sin bx их выражения по формулам Эйлера [176]: cos bx = e bxi + e −bxi 2 , sin bx = e bxi − получим ax [P (x) cos bx + Q(x) sin bx]dx = = Z e (a+bi)x ϕ(x)dx +где ϕ(x) и ϕ 1 (x) — многочлены степени не выше n. Применяя формулу+ где ψ(x) и ψ 1 (x) — многочлены степени не выше n, и подставляя e ±bxi = cos bx ± i sin окончательно имеем ax [P (x) cos bx + Q(x) sin bx]dx = = e ax [R(x) cos bx + S(x) sin bx] + где R(x) и S(x) — многочлены степени не выше n. Таким образом, мы видим, что интеграл (19) имеет выражение того же вида, что и его подынтегральная функция, причем степень многочленов в ∗ Многочлены R(x) и S(x) должны содержать только вещественные коэффициенты Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . выражении интеграла надо брать равной наибольшей из степеней многочленов, стоящих в подынтегральной функции. Дифференцируя соотношение (20), сокращая полученное тождество на e ax и приравнивая коэффициенты одинаковых членов вида и x s sin bx (s = 0, 1, 2, . . . , n), стоящих в правой и левой частях, получим систему уравнений первой степени для определения коэффициентов многочленов R(x) и S(x). Заметим при этом, что, если cos bx или sin bx под знак интеграла и не входят, в правой части формулы надо обязательно писать обе тригонометрические функции, помня высказанное выше правило определения степеней многочленов R(x) и К интегралам вида (19) приводятся непосредственно интегралы вида ax ϕ(x) sin(a 1 x+b 1 ) sin(a 2 x+b 2 ) . . . cos(c 1 x+d 1 ) cos(c 2 x+d 2 ) . . . Действительно, пользуясь известными тригонометрическими формулами, выражающими сумму и разность синусов и косинусов в виде произведения, можно, наоборот, произведение каких-либо двух из вышеупомянутых тригонометрических функций выразить в виде суммы или разности синусов и косинусов. Применяя несколько раз это преобразование, можем довести число тригонометрических множителей под знаком интеграла до одного и таким образом получим интеграл вида Пример. Согласно формуле (20): Z e ax sin bxdx = e ax (A cos bx + B sin bx) + Дифференцируем и сокращаем на e ax : sin bx = (aA + bB) cos bx + (−bA + aB) sin откуда aA + bB = 0, −bA + aB = 1, то есть A = − b a 2 + b 2 , B = a a 2 + и окончательно ax sin bxdx = e ax − b a 2 + b 2 cos bx + a a 2 + b 2 sin bx + C. (21) Учебное издание Смирнов Владимир Иванович Курс высшей математики Том Лицензия ИД № 02429 от 24.07.00. Подписано в печать 27.02.08. Формат 60 90 1 / 16 Печать офсетная. Усл. печ. л. 50,31. Тираж 2000 экз. Заказ № "БХВ-Петербург", 194354, Санкт-Петербург, ул. Есенина, Б. Санитарно-эпидемиологическое заключение на продукцию № Дот г. выдано Федеральной службой по надзору в сфере защиты прав потребителей и благополучия человека. Отпечатано с готовых диапозитивов в ГУП "Типография "Наука" 199034, Санкт-Петербург, 9 линия, 12 |