Курс высшей математики. Том 1 (Смирнов В.И.). В. И. Смирнов Допущено Научнометодическим советом по математике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебника для студентов механикоматематических и физикоматематических факультетов у

• Название: В. И. Смирнов Допущено Научнометодическим советом по математике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебника для студентов механикоматематических и физикоматематических факультетов у
• Дата: 25.05.2023
• Размер: 3.3 Mb.
• Имя файла: Курс высшей математики. Том 1 (Смирнов В.И.).pdf
• Тип: Учебник; #1158196
• страница: 41 из 43

1
(z) и f
2
(z) на D(x), мы

Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . получим взаимно простые многочлены. Один из них или оба не могут содержать Сравнивая разложения (9) и (10), мы видим, что общий наибольший делитель D(z) многочлена f (z) и его производной будет) = (z − z
1
)
k
1
−1
(z − z
2
)
k
2
−1
. . . (z − z m
)
k причем мы опускаем постоянный множитель, что является несуще- ственным.
Разделив f (z) на D(z), получим f (z)
D(z)
= a
0
(z − z
1
)(z − z
2
) . . . (z − z те. при делении многочлена f (z) на общий наибольший делитель f (z) и f
′
(z) получается многочлен, имеющий все корни простые и совпадающие с различными корнями f (Получение такого многочлена называется операцией освобождения многочлена f (z) от кратных корней. Мы видим, что для этого нет необходимости решать уравнение f (z) = Если f (z) и f
′
(z) взаимно простые, то f (z) имеет все корни простые и наоборот. Вещественные многочлены. Рассмотрим теперь многочлен с вещественными коэффициентами (z) = a
0
z n
+ a
1
z n−1
+ . . . + a n−1
z + a и пусть этот многочлен имеет комплексный корень z = a+bi (b 6= кратности k, те + Bi 6= Заменим теперь в выражении f (a+bi) ив производных все величины сопряженными. При этой замене коэффициенты a s
, как числа вещественные, останутся прежними и лишь (a + bi) перейдет в

189]
§ 18. Основные свойства целых многочленов. . .
579
(a−bi), те. многочлен f(z) останется прежним, но вместо z = a+bi в него будет подставлено z = a − bi. После замены комплексных чисел сопряженными, как известно [173], и общий результат, т. е.
значение многочлена, переходит в сопряженное. Таким образом получим A − Bi 6= те. если многочлен с вещественными коэффициентами имеет комплексный корень z = a + bi(b 6= 0) кратности k, то он должен иметь и сопряженный корень z = a − bi той же крат- ности.
Итак, комплексные корни многочлена f (z) с вещественными коэффициентами распределяются по парам сопряженных корней. Положим, что переменная z принимает лишь вещественные значения,
и обозначим ее буквою x. Согласно формуле (3)
f (x) = a
0
(x − z
1
)(x − z
2
) . . . (x − z Если среди корней n будут комплексные, то соответствующие им множители также будут комплексными. Перемножив попарно множители, соответствующие паре сопряженных корней, получим − (a + bi)][x − (a − bi)] = [(x − a) − bi][(x − a) + bi] =
= (x − a)
2
+ b
2
= x
2
+ px + где p = −2a, q = a
2
+ b
2
(b 6= Таким образом, пара комплексных сопряженных корней дает вещественный множитель второй степени, и мы можем высказать следующее положение многочлен с вещественными коэффициентами разлагается на вещественные множители первой и второй сте- пени.
Разложение это имеет следующий вид

Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . .
[190
f (x) = a
0
(x − x
1
)
k
1
(x − x
2
)
k
2
. . . (x − x r
)
k r
(x
2
+ p
1
x + q
1
)
l
1
×
× (x
2
+ p
2
x + q
2
)
l
2
. . . (x
2
+ p t
x + q t
)
l t
. (где x
1
, x
2
, . . . , x r
— вещественные корни f (x) кратности k
1
, k
2
, . . . ,
k и множители второй степени происходят от пар комплексных сопряженных корней кратности l
1
, l
2
, . . . , l t
190. Зависимость между корнями уравнения и его коэффициентами. Пусть, как и раньше, z
1
, z
2
, . . . , z суть корни уравнения a
0
z n
+ a
1
z n−1
+ . . . + a n−1
z + a n
= Согласно формуле (3), будем иметь тождество n
+ a
1
z n−1
+ . . . + a n−1
z + a n
= a
0
(z − z
1
)(z − z
2
) . . . (z − z Применяя в правой части известную из элементарной алгебры формулу для перемножения биномов, отличающихся вторыми членами,
можем привести написанное тождество к виду a
0
z n
+ a
1
z n−1
+ . . . + a k
z n−k
+ . . . + a n
=
= a
0

z n
− S
1
z n−1
+ S
2
z n−2
+ . . . + (−1)
k
S
k z
n−k
+ . . . + (где S
k обозначает сумму всевозможных произведений из чисел z s
(s = 1, 2, . . . , n) по k множителей в каждом. Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях z, получим −
a
1
a
0
, S
2
=
a
2
a
0
, . . . , S
k
= (−1)
k a
k a
0
, . . . , S
n
= (−1)
n a
n или в раскрытом виде z
1
+ z
2
+ . . . + z n
= −
a
1
a
0
,
z
1
z
2
+ z
2
z
3
+ . . . + z n−1
z n
=
a
2
a
0
,
z
1
z
2
. . . z n
= (−1)
n a
n a
0

















(12)

191]
§ 18. Основные свойства целых многочленов. . Формулы эти являются обобщением известных свойств корней квадратного уравнения на случай уравнения любой степени. Они дают, между прочим, возможность составить уравнение, когда известны его корни. Уравнение третьей степени.
Мы не будем подробно заниматься вопросом о фактическом вычислении корней алгебраических уравнений. Вопрос этот излагается в учебниках по приближенным вычислениям. Мы остановимся лишь на случае уравнения третьей степени и укажем также некоторые методы вычисления, которые будут полезны ив дальнейшем.
Начнем с исследования уравнения третьей степени y
3
+ a
1
y
2
+ a
2
y + a
3
= Вместо y введем новую неизвестную x, полагая y = x + Подставив это в левую часть уравнения (13), получим уравнение x
3
+ (3α + a
1
)x
2
+ (3α
2
+ 2a
1
α + a
2
)x + (α
3
+ a
1
α
2
+ a
2
α + a
3
) = Если положим α = −
a
1 3
, то член с пропадает, и, следовательно, подстановка преобразует уравнение (13) к виду f (x) = x
3
+ px + q = не содержащему члена с Если p и q — вещественны, то уравнение (14) может иметь или все три вещественных корня, или один вещественный и два мнимых сопряженных корня [189]. Чтобы решить, какой из этих случае имеет место,
составим первую производную левой части уравнения f
′
(x) = 3x
2
+ Если p > 0, то f
′
(x) > 0, и f (x) все время возрастает и будет иметь лишь один вещественный корень, ибо при переходе от x =

Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . .
[191
−∞ к x = +∞ функция f(x) меняет знак (–) на (+). Положим теперь, что p < 0. Функция f (x), как нетрудно видеть, будет иметь максимум при x = и минимум при x =
p
−
p
3
. Подставляя эти значения x в выражение функции f (x), получим для максимального и минимального значений этой функции, соответственно, выражения Если оба эти значения одного знака, те или q
2 4
+
p
3 27
> 0,
(15 то уравнение имеет только один вещественный корень, который заключается в промежутке, или в промежутке
+
p
−
p
3
,
+∞).
Если же упомянутое выше максимальное значение f (x) имеет знака минимальное (—), те то f (−∞), f −
p
−
p
3


, f +
p
−
p
3


, f (+∞) будут иметь соответственно знаки (—), (+), (—), (+), и уравнение (14) будет иметь три вещественных корня. Заметим, кроме того, что при p > 0, наверно,
выполнено условие (15 1
). Предоставляем читателю показать, что в случае q
2 4
+
p
3 27
= 0
(15 уравнение (14) имеет кратный корень и корень p
, причем мы считаем p 6= 0, и из (15 3
) следует p < 0. При p = 0 и q 6= 0 мы имеем неравенство (15 1
), и уравнение (14) принимает вид x
3
+ q = 0, те, откуда следует, что уравнение (14) имеет один вещественный корень [175]. При p = q = 0 уравнение (14) будет x
3
= 0 и имеет корень x = 0 третьей кратности.
Полученные результаты собраны в следующей таблице

191]
§ 18. Основные свойства целых многочленов. . .
583
x
3
+ px + q = 0
q
2 4
+
p
3 Один вещественный и два мнимых сопряженных корня q
2 4
+
p
3 Три вещественных различных корня q
2 4
+
p
3 27
= Три вещественных корня, среди которых есть кратный
Рис. На рис. 182 изображен график функции y = x
3
+ px + q при различных предположениях относительно 27

В
случае
(15 3
) двойному корню соответствует точка касания кривой с осью Выведем теперь формулу, выражающую корни уравнения (14) через его коэффициенты. Формула эта для практических вычислений не годится, ив следующем номере мы, пользуясь тригонометрическими функциями, извлечем из нее практически удобный способ вычисления корней.
Вместо неизвестных x введем две новые неизвестные u и v, полагая x = u + Подставим в уравнение (14)
(u + v)
3
+ p(u + v) + q = 0,
u
3
+ v
3
+ (u + v)(3uv + p) + q = Неизвестные u и v подчиним условию + p = и тогда уравнение (17) дает нам u
3
+ v
3
= −q.

Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . Таким образом, вопрос привелся к решению двух уравнений = −
p
3
,
u
3
+ v
3
= Возводя обе части первого из уравнений в куб, имеем u
3
v
3
= −
p
3 27
,
u
3
+ v
3
= и, следовательно, и суть корни квадратного уравнения z
2
+ qz −
p
3 27
= те Окончательно, согласно формуле (16), найдем x =
3
s
−
q
2
+
r q
2 4
+
p
3 27
+
3
s
−
q
2
−
r q
2 4
+
p
3 Эта формула для решения кубического уравнения (14) носит название формулы Кардана — итальянского математика XVI столетия.
Обозначим для краткости через и выражения, стоящие под знаком кубических корней в формуле (20):
x Каждый из кубических корней имеет три различных значения так что написанная формула даст, вообще говоря, девять различных значений, и только три из них будут корнями уравнения (14). Посторонние значения x получились вследствие того, что мы возводили первое из уравнений (18) в третью степень. Для нас могут подойти лишь те значения, для коих u и v связаны первым из соотношений (18), те. в формуле (20) мы должны брать только те значения корней кубических,
произведение которых равно Обозначим буквою ε одно из значений кубического корня из единицы = cos
2π
3
+ i sin
2π
3
= −
1 2
+
√
3 2
i,
ε
2
= cos
4π
3
+ i sin
4π
3
= −
1 2
−
√
3 2
i,

192]
§ 18. Основные свойства целых многочленов. . и пусть
3
√
R
1
и
3
√
R
2
— какие-либо значения корней, удовлетворяющие указанному выше условию. Умножая их на ε и ε
2
, получим все тризна- чения корня Принимая во внимание, что ε
3
= 1, получим следующее выражение для корней уравнения (14), считая p и q — любыми комплексными ε
3
√
R
1
+ ε
2 3
√
R
2
,
x
3
= ε
2 3
√
R
1
+ ε
3
√
R
2
(21)
192. Решение кубического уравнения в тригонометрической форме.
Положим, что коэффициенты p и q уравнения (14) — числа вещественные. Формула Кардана, как мы уже упоминали, неудобна для вычисления корней, и мы выведем более практичные формулы. Рассмотрим отдельно четыре случая 4
+
p
3 27
< Из написанного следует, что p < 0. Подкоренные выражения ив формуле (20) будут комплексными, но, несмотря на это, все три корня уравнения будут, как известно, вещественными [191]. Положим q
2 4
+
p
3 27
= −
q
2
± i r
−
q
2 4
−
p
3 27
= r(cos ϕ ± i sin откуда [171]
r =
r
−
p
3 27
,
cos ϕ = Согласно формуле Кардана, имеем x =
3
√
r

cos
ϕ + 2kπ
3
+ i sin
ϕ + 2kπ
3

+
+
3
√
r

cos
ϕ + 2kπ
3
− i sin
ϕ + 2kπ
3

(k = 0, 1, Принимая в обоих слагаемых равные значения для k, получим для произведения этих слагаемых положительное число −
p
3
. Окончательно будем иметь x = 2 3
√
rcos
ϕ + 2kπ
3
(k = 0, 1, где r и ϕ определяются по формуле (22), причем нетрудно показать, что если мы возьмем различные ϕ, удовлетворяющие второму из уравнений, то получим одинаковый набор корней по формуле (23).

Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . .
[192
II.
q
2 4
+
p
3 27
> и p < Уравнение (14) имеет один вещественный корень и два комплексных сопряженных, причем из написанного следует, что −
p
3 27
<
q
2 4
. Введем вспомогательный угол ω, полагая r
−
p
3 27
=
q
2
sin ω
(24 Это даст нам q
2 4
+
p
3 27
=
3
r
−
q
2
+
q
2
cos ω = −
r
−
p
3 3
r tg
ω
2
,
3
s
−
q
2
−
r q
2 4
+
p
3 27
=
3
r
−
q
2
−
q
2
cos ω = −
r
−
p
3 3
r ибо, в силу (24 1
),
r
−
p
3
=
3
r q
2
sin Вводя, наконец, угол ϕ по формуле tg ϕ =
3
r tg
ω
2
,
(24 получим следующее выражение для вещественного корня −
r
−
p
3
( tg ϕ + ctg ϕ) = −
2
p
−
p
3
sin 2ϕ
(25 Предлагаем читателю, пользуясь формулой (21), показать, что мнимые корни будут иметь выражения 2ϕ
± i
√
−p ctg 2ϕ.
(25 2
)
III.
q
2 4
+
p
3 27
> и p > В этом случае, как ив предыдущем, уравнение (14) будет иметь один вещественный корень и два мнимых сопряженных. При этом q
p
3 может

192]
§ 18. Основные свойства целых многочленов. . быть и меньше и больше, чем q
2
, и мы вместо формулы (24 1
) введем угол следующим образом p
3 27
=
q
2
tg ω
(26 Это дает q
2 4
+
p
3 27
=
3
s q sin
2 ω
2
cos ω
=
r p
3 3
r tg
ω
2
,
3
s
−
q
2
−
r q
2 4
+
p
3 27
=
3
r
−
q cos
2 ω
2
cos ω
=
r p
3 3
r
− Вводя новый угол ϕ по формуле tg ϕ =
3
r tg
ω
2
,
(26 окончательно будем иметь x
1
=
r p
3
( tg ϕ − ctg ϕ) = −2
r p
3
ctg 2ϕ.
(27 Мнимые корни будут r
p
3
ctg 2ϕ ±
i√p sin 2ϕ
(27 2
)
IV.
q
2 4
+
p
3 27
= Уравнение (14) имеет кратный корень, ив этом случае, как ив случае p = 0, решение уравнения не представляет никаких затруднений.
Пользуясь выведенными тригонометрическими формулами, можно при помощи таблицы логарифмов вычислить корни кубического уравнения с большой степенью точности.
П р им ер Полагая x = y − 3, приведем уравнение к виду y
3
− 4y − 1 = и это уравнение имеет три вещественных корня [191]. Формулы (22) дают cos ϕ, и, находя самый угол ϕ, определяем корни по формулам (23):

Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . .
[193
cos ϕ =
√
27 16
,
l g
cos ϕ = 1, 51156
ϕ
= 71
◦
2
′
56
′′
ϕ
3
= 23
◦
40
′
59
′′
,
ϕ+360
◦
3
= 143
◦
40
′
59
′′
;
ϕ+720
◦
3
= 263
◦
40
′
59
′′
lg
4
√
3
= 0, 36350
lg y
1
= 0, 32529,
lg(−y
2
) = 0, 26970,
lg(−y
3
) = 1, 40501
y
1
= 2, 1149,
y
2
= −1, 8608,
y
3
= −0, 2541
x
1
= −0, 8851,
x
2
= −4, 8608,
x
3
= −3, Пример Определяем угол ω по формуле (24 1
) и угол ϕ — по формуле (24 2
) и затем вычисляем корни по формулами 2ϕ
= 1, 11395
lg
√
−p ctg 2ϕ = 1, 97602,
√
−p ctg 2ϕ = 0, 94628
x
1
= −2, 2790,
x
2
,
x
3
= 1, 1395 ± 0, 94628i
193. Способ итерации.
Во многих случаях, имея приближенное значение искомого корня ξ с небольшим числом десятичных знаков,
удобно улучшать это приближенное значение корня. Одним из способов такого исправления приближенного значения корня является способ итерации, или способ последовательных приближений. Этот способ, как выяснится из дальнейшего, годится не только для алгебраического, но и для трансцендентных уравнений.
Положим, что уравнение f (x) = мы переписали в виде f
1
(x) = f
2
(x),
(29)

193]
§ 18. Основные свойства целых многочленов. . причем f
1
(x) таково, что уравнение f
1
(x) = m при любом вещественном m имеет один вещественный корень, который легко вычислить с большой степенью точности. Вычисление корня уравнения) при помощи метода итерации состоит в следующем подставляя приближенное значение искомого корня в правую часть уравнения, определяем второе приближение к искомому корню из уравнения f
1
(x) = Подставляя в правую часть (29) для следующего приближения x
2
, решаем уравнение f
1
(x) = f
2
(x
1
) и т. д. Таким образом определится последовательность значений x
0
,
x
1
,
x
2
,
. . . ,
x n
, . . . причем f
1
(x
1
) = f
2
(x
0
),
f
1
(x
2
) = f
2
(x
1
), . . . ,
f
1
(x n
) = f
2
(x n−1
), . . Нетрудно указать геометрический смысл полученных приближений.
Искомый корень есть абсцисса точки пересечения кривых y = f
1
(x)
(32 и y = f
2
(x).
(32 На рис. 183 и 184 изображены обе эти кривые, причем в случае рис. 183 производные f
′
1
(x) и f
′
2
(x) имеют в точке пересечения одинаковые знаки, а в случае рис. 184 — разные знаки, ив обоих случаях < Равенствам (31) соответствует следующее построение проводим прямую, параллельную оси OY , до пересечения ее в точке (x
0
, с кривой (32 2
); через эту точку пересечения проводим прямую y = параллельную оси OX, до пересечения ее в точке (x
1
, y
0
) с кривой (32 через точку (x
1
, y
0
) проводим опять прямую x = x
1
, параллельную оси , до пересечения ее с кривой (32 2
) в точке (x
1
, y
1
); через эту последнюю точку проводим прямую y = до пересечения ее с кривой (32 1
) в

Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . точке (x
2
, y
1
) и т. д. Абсциссы точек пересечения и дают нам последовательность (Если первое приближение взято достаточно близко кто эта последовательность, как видно из чертежа, стремится к ξ, как к пределу,
причем в случае, когда f
′
1
(ξ) и f
′
2
(ξ) одинаковых знаков, получается ступенчатая ломаная линия, стремящаяся к ξ (черта если f