Курс высшей математики. Том 1 (Смирнов В.И.). В. И. Смирнов Допущено Научнометодическим советом по математике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебника для студентов механикоматематических и физикоматематических факультетов у
 Скачать 3.3 Mb.
|
|
k = то получим так называемое главное значение логарифма. Для отличия главного значения логарифма от общего его значения, даваемого формулой (30), пользуются для главного значения обозначением log вместо Log, так что log[r(cos ϕ + i sin ϕ)] = log r + где −π < ϕ 6 С помощью логарифма определим комплексную степень любого комплексного числа. Если u и v — два комплексных числа, причем u 6= 0, то положим u v = e Заметим, что Log u, а потому и u имеют, вообще говоря, бесчисленное множество значений. Примеры. 1. Модуль i равен единице и аргумента потому i = π 2 + 2kπ i (k = 0, ±1, ±2, . . Определим i i : i i = e iLogi = e − π 2 +2kπ (k = 0, ±1, ±2, . . .). 180. Синусоидальные величины и векторные диаграммы. Укажем на применение комплексных величин при изучении гармонических колебаний. Рассмотрим переменный ток, сила которого j в каждый момент времени имеет во всей цепи одно и тоже значение, определяемое по формуле j = j m sin(ωt + где t — время, аи постоянные 180] § 17. Комплексные числа 555 Постоянная j m , которую мы будем считать положительной, называется амплитудой постоянная ω называется частотой и связана с периодом соотношением постоянная ϕ называется фазой переменного тока. Ток, сила которого определяется по формуле (32), называется синусоидальным. Сказанное применяется и для напряжения v = v m sin(ωt + ив дальнейшем мы будем рассматривать силы тока и напряжения, изменяющиеся по синусоидальному закону, определяемому формулами (и (Существует простое геометрическое изображение синусоидальных величин одной и той же частоты. Через некоторую точку O плоскости проводим луч, который мы будем вращать с угловой скоростью ω почасовой стрелке этот луч назовем осью времени. Пусть начальное положение оси времени при t = 0 совпадает с осью. Построим вектор OA (рис. 177) длины j m , который образует угол с начальным положением оси времени (напомним, что положительным направлением отсчета углов мы считаем направление против часовой стрелки). (1) Рис. В момент t вектор OA будет образовывать угол (ϕ + ωt) с осью времени, повернувшейся на угол ωt; проекция вектора OA на направление, перпендикулярное оси времени и получающееся поворотом ее на угол π 2 против часовой стрелки, или, короче говоря, взятая с надлежащим Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . знаком длина перпендикуляра, опущенного из конца вектора OA на ось времени, и дает нам, очевидно, величину j = j m sin(ωt + Для изображения другой синусоидальной величины того же периода j (1) = j (1) m sin(ωt + надо будет отложить вектор длины j (1) m , образующий с первым вектором угол = ϕ 1 − Таким образом, при помощи неподвижных векторов на плоскости мы можем изображать синусоидальные величины одной и той же частоты. Длина всякого вектора дает амплитуду соответствующей величины, а угол между двумя векторами представляет собой разность фаз соответствующих этим векторам величин. Построенные указанным образом векторы дают так называемую векторную диаграмму системы синусоидальных величин одного итого же периода. Геометрическая сумма нескольких векторов векторной диаграммы, согласно теореме о проекции замыкающей, будет соответствовать синусоидальной величине того же периода, равной сумме синусоидальных величин, соответствующих слагаемым векторам. Пользуясь определением умножения, приведенным в [172], можно придать операциям с векторными диаграммами удобный аналитический вид. В дальнейшем мы будем обозначать векторы теми же буквами, но жирным шрифтом. Произведение вектора j на комплексное число re ϕi будем считать равным вектору, который получается из вектора j, если его длину умножить на r и повернуть его на угол ϕ, те. будем считать, что произведение re ϕi получается согласно приведенному в [172] правилу умножения комплексного числа, изображающего вектор j, на комплексное число Если комплексное число re ϕi написать в виде (a+bi), то произведение можно представить в виде суммы двух векторов + bi)j = aj + причем первое слагаемое есть вектор, параллельный вектору j, а второе слагаемое есть вектор, перпендикулярный вектору Разлагая какой-либо вектор на два взаимно перпендикулярных направления, можем представить его в виде j 1 = aj + bij = (a + bi)j. 180] § 17. Комплексные числа 557 При этом |a + bi| равно, очевидно, отношению длин векторов j и j 1 , а аргумент числа (a+bi) представляет собой угол, образованный вектором с вектором j. Этот угол дает разность фаз величин, соответствующих векторами Введем понятие о среднем квадратичном значении синусоидальной величины (32), которое мы обозначим символом M (j 2 ). Оно определяется равенством (j 2 ) Интегрируя выражение j 2 = j 2 m sin 2 (ωt + ϕ) = 1 2 j 2 m − 1 2 j 2 m cos 2(ωt + в пределах от 0 дополучим Корень квадратный из среднего квадратичного значения называется эффективным, или действующим, значением величины ef f = p M (j 2 ) = j На практике при построении векторных диаграмм обычно принимают длину вектора равной не амплитуде, а эффективному значению величины, те. по сравнению с описанным выше построением длины векторов уменьшают в отношении 1 Дифференцируя формулу (32), получим dj dt = ωj m cos(ωt + ϕ) = ωj m sin ωt + ϕ +те. производная dj dt отличается от j лишь тем, что амплитуда умножается на ω и к фазе прибавляется π 2 Выведенное соотношение в векторных обозначениях напишется так dt = ωij. (34) Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . Интегрируя формулу (32) и отбрасывая произвольную постоянную, что необходимо делать, если мы желаем получить также синусоидальную величину того же периода, имеем = − 1 ω j m cos(ωt + ϕ) = 1 ω j m sin ωt + ϕ откуда следует dt = 1 ωi j (35) 181. Примеры. Рассмотрим цепь переменного тока, в которую введены последовательно сопротивление R, самоиндукция L и емкость. Обозначив через v напряжение и через j силу тока, будем иметь известное из физики соотношение = Rj + L dj Ограничимся пока только явлениями установившимися ипритом тем случаем, когда и напряжение и сила тока оказываются синусоидальными величинами одного итого же периода. Предыдущее уравнение можно переписать в векторной форме, введя вместо v и j векторы напряжения и тока v и j: v = Rj + L dj dt + 1 C Z j вспомнив формулы (34) и (35), находим отсюда v = Rj + ωLij + 1 ωCi j = (R + ui)j = где u = ωL − 1 ωC , ζ = R + Полученная зависимость между векторами напряжения и тока имеет вид обычного закона Ома стою только разницей, что вместо омического сопротивления здесь входит комплексный множитель ζ, который называется кажущимся сопротивлением цепи и состоит из суммы трех 19 Символ dj dt обозначает вектор, соответствующий синусоидальной величине dj dt , а символ jdt — вектор, соответствующий R jdt. 181] § 17. Комплексные числа 559 «сопротивлений»: омического R, сопротивления от самоиндукции (и сопротивления от емкости 1 ωCi Формула (36) дает вместе стем разложение вектора v на две составляющие по направлению j и uij — по направлению, перпендикулярному к j. Первая называется ваттной, вторая — безваттной составляющими напряжения. Эти термины станут ясными, если мы вычислим среднюю мощность W тока нашей цепи, которая определяется как среднее арифметическое по всему периоду от мгновенной мощности vj: W = 1 T T Z 0 vjdt = v m j m T T Z 0 sin(ωt + ϕ 1 ) sin(ωt + означает здесь фазу напряжения, ϕ 2 — фазу тока, так что v = v m sin(t + ϕ 1 ), j = j m sin(ωt + Без труда находим = v m j m 2T T Z 0 [cos(ϕ 1 − ϕ 2 ) − cos(2ωt + ϕ 2 )]dt = = v m j m 2 cos(ϕ 1 − ϕ 2 ) = v ef f j ef f cos(ϕ 1 − Таким образом, наибольшая по абсолютному значению средняя мощность получается, когда фазы напряжения и тока совпадают или отличаются на π; наименьшая, равная нулю, мощность получается тогда, когда эти фазы отличаются на При составлении этого выражения W безваттная составляющая uij вектора v дает среднюю мощность, равную нулю, ибо вектор uij перпендикулярен вектору j, те. для него cos(ϕ 1 − ϕ 2 ) = 0, и вся средняя мощность, которая переходит в джоулево тепло, получается лишь от ваттной («рабочей») составляющей. Соотношение (36) можно переписать в виде j = 1 ζ v = где = 1 R + ui = g + hi или j = gv + hiv. Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . Комплексный множитель η называется кажущейся проводимостью цепи, он равен обратной величине кажущегося сопротивления. Предыдущая же формула дает разложение вектора тока на ваттную и безватт- ную составляющие (по направлению v и перпендикулярно к нему). 2. Основные правила для вычисления сопротивления сложной цепи постоянного тока, в которую включены сопротивления последовательно или параллельно, правила, которые выводятся из законов Ома и Кир- гофа, остаются в силе и для цепей с переменным установившимся синусоидальным током, если только условимся мгновенные значения напряжения и тока заменить соответствующими векторами, а омические сопротивления — кажущимися. Так, если в цепь включены последовательно кажущиеся сопротивления. то векторы напряжения и тока будут связаны соотношениями где ζ 1 + ζ 2 + . . . те. при последовательном включении кажущиеся сопротивления скла- дываются. Наоборот, если те же сопротивления включены параллельно, то мы получим соотношение v = где+ . . . те. при параллельном включении складываются кажущиеся проводи- мости. Графически построение полного кажущегося сопротивления при последовательном включении кажущихся сопротивлений ζ 1 , ζ 2 , . . . сводится просто к построению геометрической суммы векторов, изображающих эти комплексные числа. Укажем построение в случае параллельного включения двух кажущихся сопротивлений и ζ 2 . Мы имеем по предыдущему правилу 1 ζ 1 + 1 ζ 2 = ζ 1 ζ 2 ζ 1 + Положив ρe θi , ζ 1 = ρ 1 e θ 1 i , ζ 2 = ρ 2 e θ 2 i , ζ 1 + ζ 2 = ρ 0 e θ 0 i , 181] § 17. Комплексные числа 561 мы будем иметь = ρ 1 ρ 2 ρ 0 , θ = θ 1 + θ 2 − Это приводит нас к следующему геометрическому построению (рис. Находим прежде всего сумму ζ 1 + ζ 2 = OC; затем строим AOD, подобный, для чего поворачиваем △ COB в положение и проводим прямую AD || Из подобия треугольников выводим = то есть = ρ 1 ρ 2 ρ 0 , θ = θ 2 − θ 0 (θ 1 = что и требовалось доказать. 3. Рассмотрим связанные колебания двух цепей, находящихся в магнитном соединении (рис. 179). Пусть v 1 , означают внешнюю электродвижущую силу и силу тока вцепи силу тока вцепи (без внешней электродвижущей силы R 1 , R 2 , L 1 , L 2 , C 1 , C 2 — соответственно: Рис. Рис. сопротивления, коэффициенты самоиндукции и емкости этих цепей, M коэффициенты взаимной индукции цепей I и Имеем соотношения v 1 = R 1 j 1 + L 1 dj 1 dt + M dj 2 dt + 1 C 1 Z j 1 dt, 0 = R 2 j 2 + L 2 dj 2 dt + На чертеже мы для упрощения направили ось OX по вектору ζ 1 , что приводится к предположению θ 1 = 0. В общем случае достаточно повернуть ось OX на угол почасовой стрелке Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . Если рассматривать установившийся процесс, в котором напряжение и ток меняются по синусоидальному закону одинаковой частоты, то эти уравнения можно переписать в векторной форме+ ωL 1 i + 1 ωC 1 i j 1 + ωM ij 2 = ζ 1 j 1 + ωM ij 2 , 0 = ωM ij 1 + R 2 + ωL 2 i + 1 ωC 2 i j 2 = ωM ij 1 + где и ζ 2 — кажущиеся сопротивления цепей I и II, если они взяты сами по себе. Решая относительно и j 2 , получим без труда j 1 = ζ 2 ζ 1 ζ 2 + ω 2 M 2 v 1 , j 2 = − ωM i ζ 1 ζ 2 + Переписав первое уравнение в виде: v 1 = ζ 1 + ω 2 M 2 ζ 2 j 1 , мы можем сказать, что наличие цепи II изменяет кажущееся сопротивление цепи I на слагаемое 182. Кривые в комплексной форме. Если вещественные числа условимся изображать точками на данной оси OX, то изменение вещественной переменной приводится к передвижению соответствующей точки по оси OX. Совершенно аналогично изменению комплексной переменной приводится к передвижению изображающей точки по плоскости XOY Особенно интересен тот случай, когда переменная ζ при своем изменении описывает некоторую кривую это случится тогда, когда вещественная и мнимая части, те. координаты x и y, суть функции некоторого параметра u, который мы будем считать вещественным x = ϕ 1 (u), y = Мы будем тогда писать просто = f (где f (u) = ϕ 1 (u) + и будем называть это уравнение — уравнением рассматриваемой кривой) в комплексной форме 182] § 17. Комплексные числа 563 Уравнения (41) дают параметрическое представление кривой в прямоугольных координатах. К представлению ее в полярных координатах мы придем, если напишем переменную ζ в показательной форме = ρe θi , ρ = ψ 1 (u), θ = В этом выражении множитель ρ есть нечто иное, как |ζ|, множитель же e θi , который в случае вещественных ζ(θ = или) совпадает со «знаком» (±1), есть вектор длины единицы и обозначается символом = сокращенное латинское слово «Signum» — знак). К необходимости рассмотрения уравнений кривых в комплексной форме приводят векторные диаграммы. Если мы в соотношении v = ζj будем считать вектор тока j постоянным, но будем менять какую-нибудь из различных постоянных цепи, то будет меняться кажущееся сопротивление и вектор v; конец этого вектора v опишет кривую, которая называется диаграммой напряжения, построив которую, мы получим ясную картину изменения вектора v. Точка ζ также опишет кривую (диаграмма сопротивления, которая только выбором масштаба будет отличаться от диаграммы напряжения (за единицу будет принят вектор Рассмотрим теперь уравнения некоторых простейших кривых. Уравнение прямой, проходящей через данную точку ζ 0 = x 0 + y 0 i и образующий угол α с осью OX: ζ = ζ 0 + параметр u означает здесь расстояние, отсчитываемое от точки до ζ. 2. Уравнение окружности с центром в точке и радиусом r: ζ = ζ 0 + re ui 3. Эллипс с центром вначале координат и полуосями a и b, причем большая ось направлена по оси OX, имеет в комплексной форме уравнение Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . Если большая ось образует угол с осью OX, то уравнение эллипса примет вид = e ϕ 0 i a + b 2 e ui + a − В общем случае, когда центр эллипса находится в точке и большая ось образует угол с осью OX, эллипс будет иметь уравнение = ζ 0 + e ϕ 0 j a + b 2 e ui + a − Если b = a, уравнение это обращается в уравнение окружности радиуса+ где (ϕ 0 + u), также как и u — вещественный параметр. Если b = 0, получим отрезок прямой = ζ 0 + ae ϕ 0 i e ui + e −ui 2 = ζ 0 + ae ϕ 0 i cos u, ζ = ζ 0 + образующий угол с осью OX, длины 2a, середина которого в точке, ибо параметр v = a cos u — вещественный, подобно u, но может принимать значения только между (−a) и (Рассматривая случаи окружности и отрезка прямой как предельные случаи эллипса, получающиеся, когда малая полуось становится равной большой или обращается в нуль, мы можем теперь сказать вообще, что уравнение = ζ 0 + µ 1 e ui + где ζ 0 , µ 1 , µ 2 — какие угодно комплексные числа, всегда представляет уравнение эллипса. В самом деле, положив M 1 e θ 1 i , µ 2 = M 2 e θ 2 i , θ 1 + θ 2 2 = ϕ, θ 1 − θ 2 2 = можем переписать уравнение (42) в виде = ζ 0 + M 1 e (u+θ 1 )i + M 2 e −(u−θ 2 )i = ζ 0 + e ϕ 0 i h M 1 e (u+θ 0 )i + M 2 e (u+θ 0 )i откуда ясно, что рассматриваемая кривая есть действительно эллипс с центром в точке ζ 0 , полуосями (M 1 ± M 2 ), и большая ось которого образует угол с осью OX, те. имеет направление биссектрисы угла между 182] § 17. Комплексные числа 565 векторами и µ 2 . При M 2 = 0 эллипс обращается в окружность, при M 1 — в отрезок прямой. При исследовании явлений переменного тока в цепях с непрерывно распределенными сопротивлениями, емкостями и самоиндукцией большое значение имеют кривые, уравнение которых в комплексной форме имеет вид = где ν и γ — какие угодно комплексные постоянные. Положив ν = N 1 e ϕ 0 i , γ = a + bi и переходя к полярным координатам, имеем отсюда = ρe θi = N 1 e ϕ 0 i e (a+bi)u = N 1 e au то есть = N 1 e au , θ = bu + откуда u = θ − или окончательно = N e a b θ N = те. рассматриваемая кривая есть логарифмическая спираль рис. соответствующий случаю a b > Рис. Рис. 181. Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . Более сложные кривые типа = ν 1 e γ 1 u + ν 2 e γ 2 u + . . . + ν s e γ s можно получить, построив составляющие спирали ν 1 e γ 1 u , ζ 2 = ν 2 e γ 2 u , . . . , ζ s = ν s e γ s и вычисляя геометрически при каждом значении u сумму соответствующих значений ζ 1 , ζ 2 , . . . , рис. 181). 183. Представление гармонического колебания в комплексной форме. Гармоническое затухающее колебание выражается формулой+ где A и ε — положительные постоянные. Введем в рассмотрение комплексную величину = Ae( ϕ 0 − π 2 ) i e |