Курс высшей математики. Том 1 (Смирнов В.И.). В. И. Смирнов Допущено Научнометодическим советом по математике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебника для студентов механикоматематических и физикоматематических факультетов у

• Название: В. И. Смирнов Допущено Научнометодическим советом по математике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебника для студентов механикоматематических и физикоматематических факультетов у
• Дата: 25.05.2023
• Размер: 3.3 Mb.
• Имя файла: Курс высшей математики. Том 1 (Смирнов В.И.).pdf
• Тип: Учебник; #1158196
• страница: 38 из 43

yi
=

1 −
y
2 2!
+
y
4 4!
−
y
6 6
+ . . .

+ i
 y
1!
−
y
3 3
+
y
5 5
−
y
7 7!
+ . . .

,

Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . откуда, вспомнив разложения cos y ив ряд [130], получаем e
yi
= cos y + i sin Эта формула и определяет показательную функцию при чисто мнимом показателе. Заменяя y на (−y):
e
−yi
= cos y − i sin и решая уравнения (18) и (19) относительно cos y и sin y, получим формулы Эйлера, выражающие тригонометрические функции через показательные с чисто мнимым показателем y =
e yi
+ e
−yi
2
,
sin y =
e yi
− Формула (18) дает новую показательную форму комплексного числа, имеющего модуль r и аргумент ϕ:
r(cos ϕ + i sin ϕ) = Показательную функцию при любом комплексном показателе x + yi определяем формулой e
x+yi
= e x
· e yi
= e x
(cos y + i sin те. модуль числа e x+yi будем считать равным e x
, а аргумент равным Нетрудно обобщить на случай комплексных показателей правило сложения показателей приумножении. Пусть z = x + yi и z
1
= x
1
+ y
1
i:
e z
· e z
1
= e x
(cos y + i sin y) · e x
1
(cos y
1
+ i sin или, применяя правило умножения комплексных чисел [172],
e z
· e z
1
= e x+x
1
[cos(y + y
1
) + i sin(y + Но выражение, стоящее в правой части этого равенства, согласно определению (21), представляет собою то есть e z+z
1

176]
§ 17. Комплексные числа
541
Правило вычитая показателей при делении e
z e
z
1
= e может быть непосредственно проверено путем умножения частного на делитель.
В случае целого положительного n будем иметь z
)
n
= e z
e z
. . . e z
|
{z
}
n раз e Пользуясь формулами Эйлера, мы сможем выразить любую целую положительную степень sin ϕ и cos ϕ, а также и произведение таковых степеней, в виде суммы членов, содержащих лишь первые степени синуса или косинуса кратных дуг m
ϕ =
(e
ϕi
− e
−ϕi
)
m
2
m i
m
,
cos m
ϕ =
(e
ϕi
+ Разложив правые части этих равенств по формуле бинома Ньютона, перемножив их и приведя в полученных разложениях показательные функции к тригонометрическим, согласно формулами, мы получаем искомое выражение.
П р им еры 8
=
=
(e
2ϕi
− e
−2ϕi
)
3
(e
ϕi
− e
−ϕi
)
128
=
=
(e
6ϕi
− 3e
2ϕi
+ 3e
−2ϕi
− e
−6ϕi
)(e
ϕi
− e
−ϕi
128
=

Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . .
[177
=
e
7ϕi
− e
5ϕi
− 3e
3ϕi
+ 3e
ϕi
+ 3e
−ϕi
− 3e
−3ϕi
− e
−5ϕi
+ e
−7ϕi
128
=
=
3 64
cos ϕ −
3 64
cos 3ϕ −
1 64
cos 5ϕ −
1 64
cos Заметим при этом, что любая целая степень cos ϕ и четная степень sin ϕ представляют собою четные функции ϕ, те. не меняют своей величины при заменена, и выражение таких четных функций ϕ будет содержать лишь косинусы кратных дуг. Если же функция есть нечетная функция ϕ, те. если эта функция меняет знак при заменена (как это будет иметь, например, место в случае нечетной степени sin ϕ, то разложение такой функции будет содержать лишь синусы кратных дуги свободный член в этом разложении будет наверное отсутствовать. Все эти обстоятельства будут нами выяснены более подробно при изложении тригонометрических рядов. Тригонометрические и гиперболические функции.
До сих пор мы рассматривали тригонометрические функции лишь в случае вещественного аргумента. Определим тригонометрические функции при любом комплексном аргументе z по формулам Эйлера причем выражения, стоящие справа, при любом комплексном z имеют смысл, указанный в Пользуясь этими формулами и основными свойствами показательной функции, нетрудно проверить справедливость формул тригонометрии в случае комплексного аргумента. Предлагаем читателю в качестве упражнения доказать, например, соотношения sin
2
z + cos
2
z = 1,
sin(z + z
1
) = sin z cos z
1
+ cos z sin z
1
,
cos(z + z
1
) = cos z cos z
1
− sin z sin Функции tg z и ctg z определяются по формулам tg z =
sin z cos z
=
1
i
·
e zi
− e
−zi e
zi
+ e
−zi
=
1
i
·
e
2zi
− 1
e
2zi
+ 1
,
ctg z =
cos z sin z
= i e
zi
+ e
−zi e
zi
− e
−zi
= i e
2zi
+ 1
e
2zi
− 1

177]
§ 17. Комплексные числа
543
Введем теперь гиперболические функции. Гиперболические синус и косинус определяются по формулам shz =
sin iz i
=
e z
+ e
−z
2
,
chz = cos iz =
e z
− e
−z
2
,
thz =
chz shz
=
e z
− e
−z e
z
+ e
−z
=
e
2z
− 1
e
2z
+ 1
,
cthz =
chz shz
=
e z
+ e
−z e
z
− e
−z
=
e
2z
+ 1
e
2z
− Пользуясь этими формулами, нетрудно проверить, например,
следующие соотношения − sh
2
z = 1,
sh(z
1
± z
2
) = shz
1
chz
2
± chz
1
shz
2
,
ch(z
1
± z
2
) = chz
1
chz
2
± shz
1
shz
2
,
sh2z = 2shzchz, ch2z = ch
2
z + sh
2
z,
th2z =
2thz
1 + th
2
z
,
cht2z =
1 + Таким образом возникает гиперболическая тригонометрия с формулами, аналогичными формулам обычной тригонометрии круга. Заменяя в формуле обычной тригонометрии sin z на i shz и cos z на chz, получим аналогичную формулу гиперболической тригонометрии. Это обстоятельство вытекает непосредственно из формул, определяющих гиперболические функции.
Пользуясь этим указанием, нетрудно получить следующие формулы приведения суммы гиперболических функций к логарифмическому виду+ shz
2
= 2sh z
1
+ z
2 2
ch z
1
− z
2 2
,
shz
1
− shz
2
= 2sh z
1
− z
2 2
ch z
1
+ z
2 2
,
chz
1
+ chz
2
= 2ch z
1
+ z
2 2
ch z
1
− z
2 2
,
chz
1
− chz
2
= 2sh z
1
+ z
2 2
sh z
1
− z
2 2





















(24)

Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . Рассмотрим теперь гиперболические функции при вещественных значениях аргумента =
e x
− e
−x
2
,
chx =
e x
+ e
−x
2
,
thx =
e
2x
− 1
e
2x
+ 1
,
cthx =
e
2x
+ 1
e
2x
− Рис. График функции y = chx представляет собой цепную линию [78], к более подробному изучению которой мы перейдем в [178]. Графики функций chx, shx, thx, cthx изображены на рис. Непосредственно дифференцируя, получаем следующие выражения производных Отсюда получаем таблицу интегралов dx = chx + C,
Z
chx dx = shx + C,
Z
dx ch
2
x
= thx + C,
Z
dx sh x
= −cthx + C.

177]
§ 17. Комплексные числа
545
Самое название гиперболические функции произошло вследствие того, что cht и sht играют туже роль для параметрического представления равнобочной гиперболы x
2
− y
2
= какую функции cos t и sin t — для окружности x
2
+ y
2
= Параметрическое представление окружности есть x = a cos t,
y = a sin равнобочной же гиперболы x = acht,
y = как в этом нетрудно убедиться при помощи соотношения ch
2
t − sh
2
t = Геометрическое значение параметра t в обоих случаях, окружности и гиперболы, также одинаково. Если мы обозначим через площадь сектора AOM (риса через площадь всего круга
Рис. Рис. 173.
(S
0
= πa
2
), то, очевидно = 2π
S
S
0

Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . Пусть теперь S обозначает площадь аналогичного сектора равнобочной гиперболы (рис. 173). Мы имеем = пл N − пл. AMN =
1 2
xy −
a
Z
x ydx =
=
1 2
x p
x
2
− a
2
−
a
Z
x p
x
2
− Вычисляя интеграл по формуле из [92], находим =
1 2
x p
x
2
− a
2
−
1 2
h x
p x
2
− a
2
− a
2
log(x +
p x
2
− a
2
)
i x
a
=
=
1 2
a
2
log x
a
+
r x
2
a
2
− Если теперь, обозначая опять через площадь круга, положим t = 2π
S
S
0
= log x
a
+
r x
2
a
2
− то найдем без труда e
t
=
x a
+
r x
2
a
2
− 1,
e
−t
=
1
x a
+
q x
2
a
2
− 1
=
x a
−
r x
2
a
2
− откуда, складывая почленно и умножая на a
2
:
x =
a
2
(e t
+ e
−t
) = Числитель и знаменатель домножили на x
a
−
q x
2
a
2
− 1 и воспользовались формулой разности квадратов в знаменателе

178]
§ 17. Комплексные числа =
p x
2
− a
2
=
p a
2
ch
2
t − a
2
= темы и получаем параметрическое представление равнобочной гиперболы. Цепная линия.
Исследуем кривую провисания гибкой однородной тяжелой нити, подвешенной на концах ирис. В плоскости этой кривой направим ось OX горизонтально, ось вертикально вверх. Выделим элементы M M
1
= ds нити. На каждый из них действуют натяжения T и от оставшихся частей нити и вес элемента. Натяжения приложены в концах M и элемента и направлены по касательным (причем T — по отрицательному, T
1
— по положительному направлению касательной. Вес мы можем принять пропорциональным длине элемента dp = где ρ — линейная плотность нити (вес погонной единицы длины).
Для равновесия необходимо и достаточно, чтобы равнялась нулю сумма проекций, действующих на элемент сил как на горизонтальное,
так и на вертикальное направление. Так как проекция веса элемента ds на горизонтальное направление равна нулю, то горизонтальные составляющие сил T и должны быть равны по величине и противоположны по знаку. Обозначим через общую величину их горизонтальной со- ставляющей.
Рис. 174.

Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . Далее, из чертежа мы получаем для вертикальных составляющих натяжений соответственно выражения α = и (α + dα) = T
0
(y
′
+ Здесь dα — прирост угла α, образованного касательной с осью при перемещении из точки M в точку M
1
, и dy
′
— соответствующее приращение углового коэффициента касательной, те. величины Приравнивая нулю сумму проекций T , и силы веса ρds на ось OY получим+ dy
′
) − T
0
y
′
− ρds = то есть что можно написать так ρ
p
1 + Переменные здесь разделяются [93]:
dy
′
p
1 + y
′2
=
dx где k заметим, что k есть постоянная, прямо пропорциональная горизонтальной составляющей натяжения и обратно пропорциональная линейной плотности нити. Интегрируем полученное уравнение log(y
′
+
p
1 + y
′2
) =
x + откуда e
x
+C1
k
= y
′
+
p
1 + чтобы определить y
′
, введем обратную величину e
−
x
+C1
k
=
1
y
′
+
p
1 + y
′2
=
p
1 + y
′2
− Вычитая почленно это равенство из предыдущего, находим y
′
=
1 2

e x
+C1
h
− Интегрируя еще раз, получим уравнение искомой кривой нити y + C
2
=
k
2

e x
+C1
k
+ e
−
x
+C1
k

(26)

178]
§ 17. Комплексные числа
549
Произвольные постоянные и определяются из условия, что кривая проходит через точки A
1
(a
1
, b
1
) и A
2
(a
2
, b
2
). Однако в приложениях наибольший интерес представляет не само уравнение кривой провисания, те. постоянные и C
2
, а соотношение между горизонтальными вертикальным расстояниями точек подвеса и длиной дуги При исследовании зависимости между этими тремя величинами мы можем, конечно, совершить параллельный перенос координатных осей.
Поместив начало в точку (−C
1
, −C
2
), мы можем считать, что в уравнении, и это уравнение заменится более простым y =
k
2

e x
k
+ e
−
x k

= kch x
k
,
(26 откуда ясно, что кривая провисания есть цепная линия.
Пусть при указанном выборе координатных осей точка подвеса имеет координаты (a
1
, b
1
) и A
2
— координаты (a
2
, b
2
). Обозначив через l,
h, s горизонтальное и вертикальное расстояния точек подвеса и длину нити, будем иметь l = a
2
− a
1
,
h = b
2
− b
1
= k

ch a
2
k
− ch a
1
k

,
s =
a
2
Z
a
1
p
1 + y
′2
dx =
a
2
Z
a
1
r
1 + sh
2
x k
dx =
a
2
Z
a
1
ch x
k dx = k

sh a
2
k
− sh По формулам (24) находим h = 2k sh a
2
+ a
1 2k sh a
2
− a
1 2k
= 2k sh l
2k sh a
2
+ a
1 2k
,
s = 2k sh a
2
− a
1 2k ch a
2
+ a
1 2k
= 2k sh l
2k ch a
2
+ a
1 откуда на основании первого из соотношений (23)
s
2
− h
2
= что и дает искомую зависимость между l, h и s. Ее можно переписать в следующей форме l
2k l
2k
=
√
s
2
− Если точки подвеса и длина нити заданы, то величины l, h и s известны и мы получаем уравнение для определения параметра k, или если линейная плотность ρ нити также известна, то уравнение (27) может

Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . служить для определения горизонтальной составляющей натяжения Положим для сокращения письма ξ,
√
s
2
− h
2
l
= Уравнение (27) превратится в shξ
ξ
= c.
(27 Вспомнив разложение показательной функции в степенной ряд найдем shξ
ξ
=
e
ξ
− e
−ξ
2ξ
= 1 +
ξ
2 3!
+
ξ
4 5!
+
ξ
6 7!
+ . . . откуда видно, что при возрастании ξ от 0 до +∞ отношение также постоянно возрастает от 1 до +∞. Стало быть, при всяком заданном значении c > 1 уравнение (27 1
) имеет один положительный корень, который можно вычислить, пользуясь таблицами гиперболических функций. Данные величины l, h и s должны при этом удовлетворять условию
Рис. 175.
c =
√
s
2
− или s
2
>
h
2
+ которое очевидно и из геометрических соображений, так как+ есть хорда а s — дуга цепной линии между теми же точ- ками.
Пусть, например = 100 мм м, ρ = 20 кг/м,
мы получим c = 0, 02
√
10 000 − 400 = 0, 8 ·
√
6 = 1, и по таблицам гиперболических функций найдем корень уравнения (27 1
):
ξ =
l
2k
= 2, Например, таблицы Янке и Эмде.

178]
§ 17. Комплексные числа
551
откуда
T
0
= kρ =
l
2ξ
ρ =
50 2 · 2, 15
· 20 = 232 кг.
Пусть точки подвеса находятся на одинаковой высоте. Исследуем стрелу провисания нити f (рис. 175):
f = OA
− OC =
k
2

e l
2k
+ e
−
l
2k

− k =
k
2

e l
2k
+ e
−
l
2k
− Разлагая показательную функцию вряд, получим f =
1 2!
l
2 2
2
· k
+
1 4!
l
4 2
4
· k
3
+ . . Точно также будем иметь для s = дуге формула (27) при h = 0]:
s = 2ksh l
2k
= k

e l
2k
− e
−
l
2k

= l +
1 3!
l
3 2
2
· k
2
+
1 5!
l
5 2
4
· k
4
+ . . Ограничиваясь в ряде (28) одним слагаемым, определим приближенно В разложении (29) удержим первые два слагаемых и подставим найденное для k выражение s ≈ l +
8 Дифференцируя это соотношение, получим зависимость между удлинением нити и увеличением стрелы провисания ≈
16 3
f df или df ≈
3l
16f Уравнение (25) было нами получено в предположении, что на всякий элемент нити действует сила тяжести, пропорциональная длине элемента. В некоторых случаях, например при рассмотрении цепей висячих мостов, эту силу тяжести надо считать пропорциональной длине не самого элемента, но его проекции на горизонтальную ось. Это случится тогда,
когда нагрузка от настила моста настолько велика по сравнению с собственным весом цепи, что последней можно пренебречь. В этом случае вместо уравнения (25) будем иметь ρdx,

Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . откуда y
′
=
ρ
T
0
x + и y =
ρ
2T
0
x
2
+ C
1
x + те. кривая провисания будет параболой.
Рис. Положим, что концы нити и находятся на одинаковой высоте, и поместим начало координат в вершину параболы (рис. 176), так что уравнение ее будет y = αx
2

α Как и выше, определим длину пролета l и стрелу прогиба f = OA. Из уравнения параболы получим f = α
l
2 откуда =
4f Вычислим длину дуги A
1
A
2
, равную удвоенной дуге OA
2
:
s = 2
l
2
Z
0
p
1 + По формуле бинома Ньютона имеем p
1 + 4α
2
x
2
= (1 + 4α
2
x
2
)
1
/
2
= 1 + 2α
2
x
2
− 2α
4
x
4
+ . . и интегрируя, находим разложение для s:
s = l +
1 6
α
2
l
3
−
1 40
α
4
l
5
+ . . Подставим вместо α найденное выше его выражение = l +
8 3
 f l

2
l −
32 5
 f l

4
l + . . . = l

1 +
8 3
ε
2
−
32 5
ε
4
+ . . .

,

179]
§ 17. Комплексные числа
553
где ε =
f l
. Ограничиваясь в написанном разложении двумя первыми слагаемыми, получим приближенную формулу s ≈ l +
8 совпадающую с аналогичной формулой для цепной линии. Логарифмирование. Натуральным логарифмом комплексного числа r(cos ϕ+i sin ϕ) называется показатель степени, в которую надо возвести e, чтобы получить логарифмируемое число. Обозначив натуральный логарифм символом Log, можем сказать, что равенство ϕ + i sin ϕ)] = x + yi равносильно следующему x+yi
= r(cos ϕ + i sin Последнее равенство можно написать так x
(cos y + i sin y) = r(cos ϕ + i sin откуда, сравнивая модули и аргументы, получим e
x
= r,
y = ϕ + 2kπ
(k = 0, ±1, ±2, . . то есть x = log r и x + yi = log r + (ϕ + 2kπ)i и окончательно ϕ + i sin ϕ)] = log r + (ϕ + те. натуральный логарифм комплексного числа равен комплексному числу, вещественная часть которого есть обычный логарифм модуля, а мнимая часть представляет собою произведение i на одно из значений аргумента

Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . Мы видим, таким образом, что натуральный логарифм любого числа имеет бесчисленное множество значений. Исключение составляет лишь нуль, логарифм которого не существует. Если мы подчиним значение аргумента неравенству < ϕ 6 π,