Курс высшей математики. Том 1 (Смирнов В.И.). В. И. Смирнов Допущено Научнометодическим советом по математике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебника для студентов механикоматематических и физикоматематических факультетов у

• Название: В. И. Смирнов Допущено Научнометодическим советом по математике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебника для студентов механикоматематических и физикоматематических факультетов у
• Дата: 25.05.2023
• Размер: 3.3 Mb.
• Имя файла: Курс высшей математики. Том 1 (Смирнов В.И.).pdf
• Тип: Учебник; #1158196
• страница: 42 из 43

′
1
(ξ) и f
′
2
(ξ) разных знаков, то эта ломаная линия стремится к ξ, имея форму спирали (черт. 184). Мы не будем приводить условий и строгого доказательства того, что последовательность (30) стремится к ξ как к пределу.
Во многих случаях это можно непосредственно обнаружить из чертежа.
Рис. Рис. Особенно удобен для приложения указанный способ в том случае,
когда уравнение (29) имеет вид x = Пусть ξ есть корень этого уравнения, приближенное значение которого x
0
= ξ + h нам известно. Ряд последовательных приближений будет x
1
= f
2
(x
0
),
x
2
= f
2
(x
1
),
. . . ,
x n
= f
2
(x Можно показать, что действительно x n
→ ξ при n → ∞, если функция) имеет производную f
′
2
(x), которая удовлетворяет условию 6 q < 1

193]
§ 18. Основные свойства целых многочленов. . в промежутке − h 6 x 6 ξ + Пример. Рассмотрим уравнение x
5
− x − 0, 2 = Рис. Его вещественные корни суть абсциссы точек пересечения линий
(рис. 185)
y = x
5
,
(34 1
)
y = x + 0, 2,
(34 и, как видно из рис. 185, уравнение) имеет один положительный и два отрицательных корня.
В точках пересечения A и соответствующих положительному корню и большему по абсолютному значению отрицательному корню, угловой коэффициент прямой 2
) меньше по абсолютному значению, чем угловой коэффициент касательной к кривой (34 1
), те. при вычислении этих корней методом итерации уравнение (33) надо представить в виде x
5
= x + 0, Принимая за первое приближение при вычислении положительного корня x
0
= 1, получим таблицу (I).
5
√
x n
+ 0, 2
x n
+ 0, 2 1,2
x
1
= 1, 037 1,237
x
2
= 1, 0434 1,2434
x
3
= 1, 0445 1,2445
x
4
= 1, 04472
(I)

Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . Значение дает искомый корень с точностью до четвертого знака.
При вычислении отрицательного корня, большего по абсолютному значению, примем за первое приближение x
0
= −1 и получаем таблицу (II).
5
√
x n
+ 0, 2
x n
+ 0, 2
—0,8
x
1
= −0, 956
—0,756
x
2
= −0, 9456
—0,7456
x
3
= −0, 9430
—0,7430
x
4
= −0, 9423
—0,7423
x
5
= −0, 94214
—0,74214
x
6
= −0, В точке C, которой соответствует отрицательный корень, меньший по абсолютному значению, угловой коэффициент касательной к кривой 1
) по абсолютному значению меньше единицы, и потому при применении метода итерации уравнение (33) надо представить в виде x = x
5
− 0, Принимая за первое приближение x
0
= 0, получим таблицу (III).
x
5
n
− 0, 2
x
5
n
—0
x
1
= −0, 2
—0,00032
x
2
= −0, Во всех трех случаях приближение к корню происходило по ступенчатой линии, как это изображено на рис. 183, в чем нетрудно убедиться из рис. 185, и во всех трех случаях приближения x стремятся при увеличении к искомому корню, изменяясь монотонно.
П р им ер. Основные свойства целых многочленов. . Рис. Корни этого уравнения суть абсциссы точек пересечения линий (рис. 186)
y = x,
y = tg и, как видно из рис. уравнение имеет по одному корню в каждом из промежутков. Для положительных корней будет иметь место приближенное равенство (2n + где буквою α
n мы обозначаем й положительный корень уравнения (Вычислим корень α
1
, близкий к. Для применения метода итерации перепишем уравнение (35) в виде x = arctg x и примем за первое приближение При вычислении последовательности приближений x
n
= arctg x надо всегда брать значение арктангенса, содержащееся в третьей четверти. Пользуясь таблицами логарифмов и выражая дуги в радианном измерении, получим x
0
= 4, 7124,
x
1
= 4, 5033,
x
2
= 4, 4938,
x
3
= 4, 4935.
194. Способ Ньютона.
Процесс итерации, указанный на рис. 183 и, состоит в приближении к искомому корню по прямым, параллельным координатным осям. Мы укажем теперь другие процессы итерации

Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . для которых применяются и прямые, наклонные к координатным осям.
Одним из таких способов является способ Ньютона.
Рис. Рис. Пусть и x
0
— приближенные значения корня ξ уравнения f (x) = и положим, что в промежутке (x
′
0
, x
0
) это уравнение имеет один только корень ξ. На рис. 187 и 188 изображен график кривой y = f (Абсциссы точек N и P суть приближенные значения и корня который является абсциссой точки A. В точке P проведена касательная к кривой, и из точки пересечения этой касательной с осью абсцисс проведена ордината Q
1
Q кривой в точке Q проведена касательная
QR
1
к кривой и из точки проведена ордината R
1
R кривой и т. д.
Точки P
1
, Q
1
, R
1
, . . . , как видно из чертежа, стремятся к точке так что их абсциссы x
0
, x
1
, x
2
, . . . являются последовательными приближениями для корня ξ. Выведем формулу, выражающую x через x Уравнение касательной P будет − f(x
0
) = f
′
(x
0
)(X − Подставляя Y = 0, найдем абсциссу точки Q
1
:
x
1
= x
0
−
f (x
0
)
f
′
(x
0
)
,
(37)

195]
§ 18. Основные свойства целых многочленов. . и, вообще n
= x n−1
−
f (x n−1
)
f
′
(x n−1
)
,
n = 1, 2, 3 . . То обстоятельство, что x действительно являются приближениями к корню ξ, мы усмотрели просто из чертежа, который сделан для того случая, когда f (x) монотонна и остается выпуклой (или вогнутой) в промежутке, другими словами, когда f
′
(x) и f
′′
(x) сохраняют знак в этом промежутке [57, 71]. На строгом аналитическом доказательстве этого мы останавливаться не будем.
Заметим, что если бы мы применили способ Ньютона не к концу x
0
, а к концу x
′
0
, тоне получили бы приближения к корню, как это показывает проведенная пунктиром касательная. В случае рис. 188 кривая обращена вогнутостью в сторону положительных ординат, те, и способ
Ньютона, как мы видим, надо применять к тому концу, где f (x) > 0. Из рис. 187 вытекает, что при f
′′
(x) < 0 способ Ньютона надо применять к тому концу, где ордината f (x) < 0. Мы приходим, таким образом, к следующему правилу если f
′
(x) ив промежутке (x
′
0
, x
0
) не обращаются в нуль, а ординаты f (x
′
0
) и f (x
0
) разных знаков, то, применяя способ Ньютона к тому концу промежутка, где знаки f (x) и совпадают, получим последовательные приближения для единственного корня уравнения (36), заключающегося в промежутке (x
′
0
, x
0
).
195. Способ простого интерполирования.
Укажем еще один способ приближенного вычисления корня. Через концы N и P дуги кривой
Рис. проведем прямую. Абсцисса следа B этой прямой на оси абсцисс и даст приближенное значение корня (рис. 189). Пусть, как и раньше, и x
0
— абсциссы концов промежутка. Уравнение прямой N P будет − f(x
0
)
f (x
′
0
) − f(x
0
)
=
X − x
0
x
′
0
− Полагая Y = 0, найдем выражение абсциссы точки B:
x
′
0
f (x
0
) − x
0
f (x
′
0
)
f (x
0
) − или x
′
0
−
(x
0
− x
′
0
)f (x
′
0
)
f (x
0
) − f(x
′
0
)
,
(39)

Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . или x
0
−
(x
0
− x
′
0
)f (x
0
)
f (x
0
) − Замена участка кривой отрезком прямой, проходящей через конечные точки кривой, равносильна замене функции f (x) в исследуемом промежутке многочленом первой степени, имеющим те же конечные значения,
что и f (x), или, что тоже равносильно предположению, что в указанном промежутке изменения f (x) пропорциональны изменениям x. Этот прием, называемый обычно простым интерполированием, применяется, например, при пользовании таблицами логарифмов (partes Указанный нами прием вычисления корня называется также иногда правилом ложного положения (regula Если применять одновременно как способ простого интерполирования, таки способ Ньютона, получается возможность оба предела и приблизить к корню Положим, например, что на конце знаки f (x) и f
′′
(x) совпадают,
Рис. так что способ Ньютона надо применять именно к этому концу.
Применяя оба способа, получим два новых приближенных значения
(рис. 190):
x
′
1
=
x
′
0
f (x
0
) − x
0
f (x
′
0
)
f (x
0
) − f(x
′
0
)
,
x
1
= x
0
−
f (К приближенным значениями можно опять применить те же формулы и получим новые значения x
′
2
=
x
′
1
f (x
1
) − x
1
f (x
′
1
)
f (x
1
) − f(x
′
1
)
,
x
2
= x
1
−
f (Таким образом получим два ряда значений x
′
0
, x
′
1
, x
′
2
, . . . , x
′
n и, x
1
, x
2
, . . . , x n
, . . . приближающихся к корню ξ слева и справа

195]
§ 18. Основные свойства целых многочленов. . Если у значений x
′
n и x совпадают несколько первых десятичных знаков, то у корня ξ, который заключается между x
′
n и x n
, должны быть те же самые десятичные знаки.
П р им ер. Уравнение f (x) = x
5
− x − 0, 2 = которое мы рассматривали в примере 1 [193], имеет один положительный корень в промежутке 1 < x < 1, 1, ив этом промежутке f
′
(x) = 5x
4
− 1 и f
′′
(x) = знака не меняют. Таким образом, мы можем положить x
′
0
= 1;
x
0
= 1, Вычисляем значения функции f (x):
f (1) = −0, 2,
f (1, 1) = 0, откуда видно, что на правом конце (x
0
= 1, 1), f (x) и f
′′
(x) имеют одни и тот же знаки, следовательно, способ Ньютона надо применять именно к правому концу. Предварительно вычисляем значение f
′
(x) на правом конце, 1) = 6, Согласно формулами, будем иметь x
′
1
= 1 +
0, 1 · 0, 2 0, 51051
= 1, 039,
x
1
= 1, 1 −
0, 31051 6, 3205
= 1, Для следующего приближения вычисляем (1, 039) = −0, 0282,
f (1, 051) = 0, 0313,
f
′
(1, 051) = 5, откуда x
′
2
= 1, 039 +
0, 012 · 0, 0282 0, 0595
= 1, 04469,
x
2
= 1, 051 −
0, 0313 5, 1005
= 1, что дает значение корня с точностью до двух единиц в четвертом знаке, 04469 < ξ < 1, 04487.

Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . .
[196
§ 19. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ. Разложение рациональной дробина простейшие.
Выше мы указали ряд приемов для вычисления неопределенных интегралов. В настоящем параграфе мы дополним эти указания и придадим им более систематический характер. Первым вопросом будет вопрос об интегрировании рациональной дробите. частного двух многочленов. Прежде чем переходить к решению этого вопроса, мы установим формулу, которая дает представление рациональной дроби в виде суммы некоторых дробей простейшего вида.
Это представление называется разложением рациональной дробина простейшие
Пусть имеется рациональная дробь (x)
f (Если это — дробь неправильная, те. степень числителя не ниже степени знаменателя, то, производя деление, можем выделить целую часть — многочлен Q(x) и представить дробь в виде (x)
f (x)
= Q(x) +
ϕ(x)
f (где (есть уже правильная дробь, у которой степень числителя ниже степени знаменателя. Кроме того, мы будем считать эту дробь несократимой, те. будем считать, что числитель и знаменатель взаимно простые Пусть x = a есть корень знаменателя кратности k:
f (x) = (x − a)
k и f
1
(a) 6= Докажем, что дробь можно представить в виде следующей суммы − a)
k f
1
(x)
=
A
(x − a)
k
+
ϕ
1
(x)
(x − где A — некоторая постоянная и второе слагаемое правой части правильная дробь. Составим разность − a)
k f
1
(x)
−
A
(x − a)
k
=
ϕ(x) − Af
1
(x)
(x − a)
k f
1
(x)

196]
§ 19. Интегрирование функции
599
и определим постоянную A так, чтобы числитель дроби, стоящей в правой части написанного равенства, делился на (x − a) [184]:
ϕ(a) − Af
1
(a) = откуда =
ϕ(a)
f
1
(a)
(f
1
(a) 6= При таком выборе A только что упомянутую дробь можно сократить на (x−a), и мы придем таким образом к тождеству (2). Оно показывает, что, выделяя слагаемое вида, которое и называется простейшей дробью, мы можем понизить показатель степени множителя (x − a), входящего в знаменатель по крайней мерена единицу.
Положим, что знаменатель разлагается на множители f (x) = (x − a
1
)
k
1
(x − a
2
)
k
2
. . . (x − a m
)
k Постоянный множитель мы не пишем, так как он может быть отнесен к числителю. Применяя последовательно указанное выше правило выделения простейшей дроби, получим разложение правильной рациональной дробина простейшие (x)
=
A
(1)
k
1
(x − a
1
)
k
1
+
A
(1)
k
1
−1
(x − a
1
)
k
1
−1
+ . . . +
A
(1)
1
x − a
1
+
+
A
(2)
k
2
(x − a
2
)
k
2
+
A
(2)
k
2
−1
(x − a
2
)
k
2
−1
+ . . . +
a
(2)
1
x − a
2
+
+
A
(m)
k m
(x − a m
)
k m
+
A
(m)
k m
−1
(x − a m
)
k m
−1
+ . . . +
a
(m)
1
x − a m
. (Укажем теперь способы определения коэффициентов, входящих в правую часть написанного тождества. Освобождая его от знаменателя, придем к тождественному равенству двух многочленов и

Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . приравнивая их соответствующие коэффициенты, получим систему уравнений первой степени для определения искомых коэффициентов. Изложенный способ, как мы уже упоминали выше называется способом неопределенных коэффициентов.
Можно поступить и иначе, а именно придавать в упомянутом выше тождественном равенстве многочленов различные частные значения переменной x. Этим способом подстановки можно еще пользоваться и предварительно продифференцировав любое число раз упомянутое тождество.
Можно доказать, на чем мы останавливаться не будем, что разложение) единственно, те. что его коэффициенты имеют вполне определенное значение, независящее от способа разложения. В
дальнейшем мы дадим примеры применения указанных выше способов определения неизвестных коэффициентов разложения.
В случае вещественности многочленов ϕ(x) и f (x) правая часть тождества (3) может все-таки содержать мнимые члены, происходящие от мнимых корней знаменателя. Мы приведем другое разложение рациональной дроби, свободное от этого недостатка, но ограничимся при этом лишь тем случаем, когда знаменатель дроби имеет только простые корни, так как в приложениях имеет наибольшее значение именно этот случай.
Паре комплексных сопряженных корней знаменателя x = a ± bi будет соответствовать сумма простейших дробей + Bi x − a − bi
+
A − Bi x − a + Приводя эти дроби к одному знаменателю, получим простейшую дробь вида x + N
x
2
+ px + q
(p = −2a,
q = a
2
+ Таким образом, в рассматриваемом случае вещественная рациональная дробь разложится на вещественные простейшие (x)
=
A
1
x − a
1
+
A
2
x − a
2
+ . . . +
A
r x − a r
+

197]
§ 19. Интегрирование функции + N
1
x
2
+ p
1
x + q
1
+
M
2
x + N
2
x
2
+ p
2
x + q
2
+ . . . +
M
s x + N
s x
2
+ p s
x + q s
, (причем впервой строке стоят дроби, соответствующие вещественным корням знаменателя, а во второй — дроби, соответствующие парам комплексных сопряженных корней. Интегрирование рациональной дроби. Интегрирование рациональной дроби в силу формулы (1) приводится к интегрированию многочлена, что даст также многочлен, и к интегрированию правильной рациональной дроби, что мы и будем сейчас рассматривать.
Если знаменатель дроби имеет только простые корни, тов силу формулы (4), все приведется к интегралам двух видов − a dx = A log(x − a) + и x + N
x
2
+ px + q Вспоминая сказанное [92], получим ответ вида x − N
x
2
+ px + q dx = λ log(x
2
+ px + q) + µ arctg
2x + p p
4q − p
2
+ Таким образом, в рассматриваемом случае интеграл выразится через логарифмы и арктангенсы.
Рассмотрим теперь тот случай, когда знаменатель правильной рациональной дроби содержит кратные корни. Обратимся к разложению. Мнимые числа, которые могут в нем встретиться, будут играть лишь промежуточную роль в дальнейших вычислениях ив окончательном результате исчезнут.
При интегрировании простейших дробей, знаменатель которых выше первой степени, мы получим также рациональную дробь i
−s
(x − a i
)
k i
−s dx =
A
(i)
k i
−s
(1 − k i
+ s)(x − a i
)
k i
−s−1
+ C
(k i
− s > 1).

Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . Сумма полученных после интегрирования дробей даст алгебраическую часть интеграла, которая по приведении к общему знаменателю будет, очевидно, правильной дробью вида − a
1
)
k
1
−1
(x − a
2
)
k
2
−1
. . . (x − a m
)
k Числитель ω(x) есть многочлен степени по крайней мерена единицу ниже степени знаменателя, а знаменатель представляет собою общий наибольший делитель D(x) знаменателя интегрируемой дроби) и ее первой производной f
′
(x) Сумма остальных непроинтегрированных дробей − a
1
+
A
(2)
1
x − a
1
+ . . . +
A
(m)
1
x − a при приведении к общему знаменателю окажется правильной дробью вида − a
1
)(x − a
2
) . . . (x − a где ω
1
(x) есть многочлен степени по крайней мерена единицу ниже степени знаменателя, а знаменатель представляет собою частное) отделения) на D(x). Таким образом, мы получим следующую формулу Остроградского (x)
dx Многочлены D(x) и D
1
(x) мы можем определять и не зная корней. Укажем теперь, как определить коэффициенты многочленов) и ω
1
(x), степени которых мы можем считать на единицу ниже степеней соответствующих знаменателей. Дифференцируя равенство (5), освобождаемся от знаков интеграла. Освобождаясь в полученном таким образом тождестве от знаменателя, будем иметь тождественное равенство двух многочленов и, применяя к нему метод неопределенных коэффициентов или подстановки, сможем определить коэффициенты ω(x) и ω
1
(x).