Курс высшей математики. Том 1 (Смирнов В.И.). В. И. Смирнов Допущено Научнометодическим советом по математике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебника для студентов механикоматематических и физикоматематических факультетов у

• Название: В. И. Смирнов Допущено Научнометодическим советом по математике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебника для студентов механикоматематических и физикоматематических факультетов у
• Дата: 25.05.2023
• Размер: 3.3 Mb.
• Имя файла: Курс высшей математики. Том 1 (Смирнов В.И.).pdf
• Тип: Учебник; #1158196
• страница: 40 из 43

(ω+εi)it
= Вещественная часть этой комплексной величины совпадает с выражением. Таким образом, мы можем представить любое гармоническое затухающее колебание как вещественную часть комплексного выражения вида = где α и β — комплексные числа. В случае формулы (45):
α = Ae
(ϕ
0
−
π
2
)i и = ω + В случае чисто гармонического колебания без затухания ε = 0 и β будет числом вещественным. Выражение (45) для ζ совпадает с выражением) при = Ae
(ϕ
0
−
π
2
)i
,
γ = (ω + εi)i = −ε + ωi и u = Отсюда видно, что при изменении t точка ζ описывает логарифмическую спираль, причем полярный угол θ есть линейная функция времени+ те. радиус-вектор изначала координат в точку ζ вращается вокруг начала с постоянной угловой скоростью ω. Проекция точки ζ

184]
§ 18. Основные свойства целых многочленов. . на ось OX совершает затухающие колебания (44). Если ε = то точка ζ движется по окружности ρ = A, и ее проекция на ось OX движется по закону гармонического колебания без затухания. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ЦЕЛЫХ
МНОГОЧЛЕНОВ
И ВЫЧИСЛЕНИЕ ИХ КОРНЕЙ. Алгебраическое уравнение. В настоящем параграфе мы будем заниматься исследованием целого многочлена полинома где a
0
, a
1
, . . . , a k
, a n
— данные комплексные числа и z — комплексная переменная, причем старший коэффициент мы можем считать отличным от нуля. Основные действия с многочленами хорошо известны из элементарной алгебры. Мы напомним только основной результат, касающийся действия деления. Если f (z) и ϕ(z) — два многочлена и степень ϕ(z) не выше степени f (z), то f (z) можно представить в виде f (z) = ϕ(z) · Q(z) + где Q(z) и R(z) — также многочлены, причем степень R(z) ниже степени ϕ(z). Многочлены Q(z) и R(z) называются, соответственно,
частным и остатком при делении f (z) на ϕ(z). Частное и остаток суть вполне определенные многочлены, так что представление f (в указанном выше виде через ϕ(z) единственно.
Значения z, при подстановке которых многочлен обращается в нуль, называются корнями этого многочлена. Таким образом,
корни f (z) суть решения уравнения f (z) = a
0
z n
+ a
1
z n−1
+ . . . + a k
z n−k
+ . . . + a n−1
z + a n
= 0.
(1)

Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . Написанное уравнение называется алгебраическим уравнением й степени.
При делении f (z) на двучлен (z − a) частное Q(z) будет многочленом й степени со старшим коэффициентом a
0
, остаток жене будет содержать z. По основному свойству деления имеет место тождество f (z) = (z − a)Q(z) + Подставляя это тождество z = a, получим = f (те. остаток, получаемый при делении многочлена f (z) на (z − равен f (a) (теорема Безу).
В частности, для того чтобы многочлен f (z) делился на (z − без остатка, необходимо и достаточно условие f (a) = те. для того, чтобы многочлен делился на двучлен (z − a) без остатка, необходимо и достаточно, чтобы z = a было корнем этого многочлена.
Таким образом, зная корень z = a многочлена f (z), мы можем выделить из этого многочлена множитель (z − a):
f (z) = (z − где f
1
(z) = b
0
z n−1
+ b
1
z n−2
+ . . . + b n−2
z + b n−1
(b
0
= нахождение остальных корней приводит к решению уравнения b
0
z n−1
+ b
1
z n−2
+ . . . + b n−2
z + b n−1
= 0
(n − й степени.
Для дальнейшего нам необходимо иметь ответ наследующий вопрос имеет ли всякое алгебраическое уравнение корни В случае неалгебраического уравнения ответ может быть отрицательным. Так, например, уравнение e
z
= 0 (z = x + yi)

185]
§ 18. Основные свойства целых многочленов. . вовсе корней не имеет, так как модуль e левой части ни при одном значении x в нуль не обращается. Нов случае алгебраического уравнения на поставленный выше вопрос имеется утвердительный ответ, который и заключается в следующей основной теореме алгебры всякое алгебраическое уравнение имеет по крайней мере один корень.
Мы примем здесь эту теорему без доказательства. В третьем томе при изложении теории функций комплексной переменной мы дадим ее доказательство. Разложение многочлена на множители. Всякий многочлен согласно основной теореме, имеет корень z = z
1
, а потому делится на (z − z
1
), и мы можем написать [184]
f (z) = (z − z
1
)(a
0
z n−1
+ . . Второй множитель произведения, стоящего в правой части этого равенства, имеет, согласно упомянутой основной теореме, корень z = z
2
, а потому делится на (z − z
2
). И мы можем написать f (z) = (z − z
1
)(z − z
2
)(a
0
z n−2
+ . . Продолжая таким образом выделять множители первой степени, мы получим окончательно следующее разложение f (z) на множители те. всякий многочлен й степени разлагается на (n+1) множителей, один из которых равен старшему коэффициенту, а остальные суть двучлены первой степени вида (z − При подстановке z = z s
(s = 1, 2, . . . , n) по крайней мере один из множителей в разложении (3) обратится в нуль, те. значения z = z суть корни f (Любое значение z, отличное от всех z s
, не может быть корнем f (z), так как при таком значении z ни одни из сомножителей в разложении (3) в нуль не обратится

Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . Если все числа z различны между собой, то f (z) имеет ровно n различных корней. Если среди чисел z есть одинаковые, то число различных корней f (z) будет меньше Таким образом, мы можем высказать теорему многочлен й степени (или алгебраическое уравнение й степени) не может иметь более n различных корней.
Непосредственным следствием этой теоремы является следующее предложение если известно, что некоторый многочлен степени не выше n имеет более n различных корней, то все коэффициенты этого многочлена и свободный член равны нулю, те. этот многочлен равен нулю тождественно.
Положим, что значения двух многочленов f
1
(z) и f
2
(z) степени не выше n совпадают более чем при n различных значениях z. Их разность f
1
(z) − f
2
(z) есть многочлен степени не выше n, имеющий более n различных корней, а потому эта разность обращается тождественно в нуль и f
1
(z) и f
2
(z) имеют одинаковые коэффициенты.
Если значения двух многочленов степени не выше n совпадают более чем при n различных значениях z, то все коэффициенты этих многочленов и свободные члены одинаковы, те. эти многочлены тождественно равны между собой.
Это свойство многочленов лежит в основе так называемого метода неопределенных коэффициентов, которым мы в дальнейшем будем пользоваться. Практически сущность этого метода сводится к тому, что из тождественного равенства двух многочленов вытекают равенства коэффициентов этих многочленов при одинаковых степенях Разложение (3) было нами получено путем выделения множителей первой степени из многочлена f (z) в определенном порядке.
Покажем теперь, что окончательный вид разложения не зависит оттого, каким образом мы выделяли указанные множители, т. е.
что многочлен имеет единственное разложение на множители вида (Положим, что, кроме разложения (3), имеет место разложение f (z) = b
0
(z − z
′
1
)(z − z
′
2
) . . . (z − z
′
n
).
(3 1
)

186]
§ 18. Основные свойства целых многочленов. . Сравнивая эти два разложения, можем написать тождество a
0
(z − z
1
)(z − z
2
) . . . (z − z n
) = b
0
(z − z
′
1
)(z − z
′
2
) . . . (z − Левая часть этого тождества обращается в нуль при z = следовательно, тоже должно иметь место и по отношению к правой части, те. по крайней мере одно из чисел z
′
k должно быть равным z
1
. Можно, например, считать, что z
′
1
= z
1
. Сокращая обе части написанного тождества на (z − z
1
), получим равенство a
0
(z − z
2
) . . . (z − z n
) = b
0
(z − z
′
2
) . . . (z − справедливое при всех значениях z, кроме, может быть, z = Но при этом, в силу доказанного выше предложения, это равенство также должно быть тождеством. Рассуждая также, как и выше,
докажем, что z
′
2
= и т. д. и, наконец, что b
0
= a
0
, те. разложение 1
) должно совпадать с разложением (3).
186. Кратные корни. Среди чисел z s
, входящих в разложение, могут быть, как мы уже упоминали, и одинаковые. Соединяя в разложении (3) одинаковые сомножители в одну группу, можем написать его в виде f (z) = a
0
(z − z
1
)
k
1
(z − z
2
)
k
2
. . . (z − z m
)
k где числа z
1
, z
2
, . . . , z различны и k
1
+ k
2
+ . . . + k m
= Если в написанном таким образом разложении имеется множитель, то корень z = z называют корнем кратности k и вообще корень z = a многочлена f (z) называется корнем кратности, если f (z) делится на (z − a)
k и не делится на (z − Укажем теперь другой признак кратности корня. Для этого введем в рассмотрение формулу Тейлора. Заметим прежде всего, что можем определить производные от многочлена f (z) по тем же формулам, какие имели место при вещественной переменной (z) = a
0
z n
+ a
1
z n−1
+ . . . + a k
z n−k
+ . . . + a n−1
z + a n
;

Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . .
[186
f
′
(z) = na
0
z n−1
+(n−1)a
1
z n−2
+. . .+(n−k)a k
z n−k−1
+. . .+a n−1
;
f
′′
(z) = n(n − 1)a
0
z n−2
+ (n − 1)(n − 2)a
1
z n−3
+ . . .
. . . + (n − k)(n − k − 1)a k
z n−k−2
+ . . . + 2 · 1a Формула Тейлора. . +
(z − a)
k k!
f
(k)
(a) + . . . +
(z − a)
n n!
f
(n)
(a) (представляет собою элементарное алгебраическое тождество, содержащее буквы a и z, справедливое не только при вещественных,
но и при комплексных значениях этих букв.
Выведем теперь условие для того, чтобы z = a было корнем f (кратности k. Перепишем (6) в виде (z) = (z−a)
k
 1
k!
f
(k)
(a)+
z − a
(k+1)!
f
(k+1)
(a)+. . .+
(z −a)
n−k n!
f
(n)
(a)

+
+

f (a) +
z − a
1!
f
′
(a) + . . . +
(z − a)
k−1
(k − Многочлен, стоящий во второй квадратной скобке, имеет степень ниже степени (z − a)
k
, и отсюда видно [184], что первая квадратная скобка есть частное, а вторая — остаток при делении f (z) на − a)
k
. Для того, чтобы f (z) делилось на (z − a)
k
, необходимо и достаточно, чтобы этот остаток был равен тождественно нулю.
Рассматривая его как многочлен относительно переменной (z − получаем следующее условие (a) = f
′
(a) = . . . = f
(k−1)
(a) = К этому условию мы должны еще добавить условие
∗
Вообще говоря, дифференцирование функции комплексного переменного вопрос для отдельного изучения и будет рассмотрен в следующих томах

187]
§ 18. Основные свойства целых многочленов. . .
573
f
(k)
(a) 6= ибо если бы и f
(k)
(a) = 0, то f (z) делился бы не только на (z − но и на (z − a)
k+1
. Итак, условия (7) и (8) являются необходимыми и достаточными условиями того, чтобы z = a было корнем кратности k многочлена f (Положим ψ(z) = f
′
(z), следовательно) = f
′′
(z), ψ
′′
(z) = f
′′′
(z), . . . , ψ
(s−1)
(z) = Если z = a есть корень кратности k многочлена f (z), тов силу (и (8):
ψ(a) = ψ
′
(a) = . . . = ψ
(k−2)
(a) = и ψ
(k−1)
(a) 6= те будет корнем кратности (k − 1) для ψ(z) или, что то же,
для f
′
(z), те. корень кратности k некоторого многочлена является корнем кратности (k −1) для производной этого многочлена.
Применяя последовательно это свойство, убедимся, что он будет корнем кратности (k − 2) для второй производной, корнем кратности) для третьей производной и т. д. и, наконец, корнем первой кратности, или, как говорят, простым корнем для производной го порядка.
Таким образом, если для f (z) имеет место разложение f (z) = a
0
(z − z
1
)
k
1
(z − z
2
)
k
2
. . . (z − z m
)
k то для f
′
(z) будем иметь f
′
(z) = (z − z
1
)
k
1
−1
(z − z
2
)
k
2
−1
. . . (z − z m
)
k где ω(z) — многочлен, не имеющей уже корней, общих с f (z).
187. Правило Горнера.
Укажем теперь практически удобное правило для вычисления значений f (z) и производных при заданном значении Пусть при делении f (z) на (z − a) получается частное f
1
(z) и остаток r
1
, при делении f
1
(z) на (z − a) — частное f
2
(z) и остаток и т. д (z) = (z − a)f
1
(z) + r
1
,
r
1
= f (a),

Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . .
[187
f
1
(z) = (z − a)f
2
(z) + r
2
,
r
2
= f
1
(a),
f
2
(z) = (z − a)f
3
(z) + r
3
,
r
3
= Перепишем формулу (6) в виде (z) = f (a)+(z − a)
 f
′
(a)
1
+
f
′′
(a)
2!
(z − a) + . . . +
f
(n)
(a)
n!
(z − Сравнивая эту формулу с первым из написанных выше равенств, получим (Поступая точно также с f
1
(z), найдем) =
f
′′
(a)
2!
+
f
′′′
(a)
3!
(z − a) + . . . +
f
(n)
(a)
n!
(z − a)
n−2
, и, вообще k+1
=
f
(k)
(a)
k!
(k = 1, 2, . . . , Положим теперь f (z) = a
0
z n
+ a
1
z n−1
+ . . . + a n−1
z + a n
,
f
1
(z) = b
0
z n−1
+ b
1
z n−2
+ . . . + b n−2
z + b n−1
, b n
= и покажем, каким образом можно вычислять коэффициенты частного b и остаток b n
. Раскрывая скобки и собирая члены с одинаковыми степенями, получим тождество

187]
§ 18. Основные свойства целых многочленов. . .
575
a
0
z n
+ a
1
z n−1
+ . . . + a n−1
z + a n
=
= (z − a)(b
0
z n−1
+ b
1
z n−2
+ . . . + b n−2
z + b n−1
) + b n
=
= b
0
z n
+ (b
1
− b
0
a)z n−1
+ (b
2
− b
1
a)z n−2
+ . . . +
+ (b n−1
− b n−2
a)z + (b n
− b и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях z:
a
0
= b
0
, a
1
= b
1
− b
0
a, a
2
= b
2
− b
1
a, . . . , a n−1
= b n−1
− b n−2
a,
a n
= b n
− b откуда b
0
= a
0
, b
1
= b
0
a + a
1
, b
2
= b
1
a + a
2
, . . . , b n−1
= b n−2
a + a n−1
,
b n
= b n−1
a + a n
= Эти равенства и дают возможность последовательно определить величины Точно также, обозначив частное и остаток при делении f
1
(z) на (z − a),
f
2
(z) = c
0
z n−2
+ c
1
z n−3
+ . . . + c n−3
z + c n−2
;
c n−1
= будем иметь c
0
= b
0
, c
1
= c
0
a + b
1
, c
2
= c
1
a + b
2
, . . . , c n−2
= c n−3
a + b n−2
,
c n−1
= c n−2
a + b n−1
= те. коэффициенты c вычисляют последовательно при помощи b s
, также как b при помощи a Указанный прием вычисления называется правилом, или алгориф- мом Горнера
21
). Применяя это правило, мы получим величины Приведем схему вычислений, которая понятна без пояснений:
21
Вообще алгорифмом называют определенное правило, согласно которому надо производить математические операции, чтобы получить требуемый ответ

Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . .
[187
a a
0
,
a
1
,
a
2
, a
3
, . . . , a n−2
, a n−1
, a n
+
b
0
a, b
1
a, b
2
a, . . . , b n−3
a, b n−2
a, b n−1
a b
0
= a
0
, b
1
,
b
2
, b
3
, . . . , b n−2
, b n−1
,
b n
= r
1
= f (a)
+
c
0
a, c
1
a, c
2
a, . . . , c n−3
a, c n−2
a c
0
= a
0
, c
1
,
c
2
, c
3
, . . . , c n−2
,
c n−1
= r
2
=
f
′
(a)
1
l
0
= a
0
, l
1
l
2
= r n−1
=
f n−2
(a)
(n−2)!
+
m
0
a m
0
= a
0
m
1
= Пример. Найти значения функции f (z) = z
5
+ 2z
4
− 2z
2
− 25z + и ее производных при z = −5.
a = −5 1,
2,
0,
–2, –25,
100
–5 15, –75, 385, –1800 1, –3, 15, –77, 360
−1700 = f(−5)
–5, 40, –275, 1760 1, –8, 55, –352 2120 =
f
′
(−5)
1!
–5, 65, –600 1, –13, 120
−952 =
f
′′
(−5)
2!
–5, 90 1, –18 210 =
f
′′′
(−5)
3!
–5 1
−23 =
f
IV
(−5)
4!
1 =
f
V
(−5)
5!

188]
§ 18. Основные свойства целых многочленов. . .
577 188. Общий наибольший делитель. Рассмотрим два многочлена) и f
2
(z). Каждый из них имеет определенное разложение на множители вида (3). Общим наибольшим делителем этих двух многочленов называется произведение всех двучленных множителей вида (z − a), входящих как в разложение f
1
(z), таки в разложение f
2
(z), причем эти общие множители берутся с показателем степени, равным наименьшему из показателей, с которым они входят в разложения f
1
(z) и f
2
(z). Постоянные множители при составлении общего наибольшего делителя никакой роли не играют. Таким образом, общий наибольший делитель двух многочленов есть многочлен, корни которого суть общие двум упомянутым многочленам корни с кратностью, равной наименьшей из тех двух кратностей, с которыми они входят в упомянутые многочлены. Если данные многочлены не имеют общих корней, то говорят,
что они взаимно простые. Совершенно аналогично предыдущему можно определить и общий наибольший делитель нескольких мно- гочленов.
Для составления общего наибольшего делителя указанным выше способом необходимо иметь разложение данных многочленов на множители первой степени. Но нахождение разложения (3) сводится к решению уравнения f (z) = 0, что и составляет одну из основных задач алгебры.
Можно, однако, подобно тому, как это делается в арифметике для общего наибольшего делителя целых чисел, указать другой способ отыскания общего наибольшего делителя, не требующий разложения на множители, — способ последовательного деления. Способ этот состоит в следующем. Положим, что степень не ниже степени f
2
(z). Первый многочлен делим на второй, затем второй многочлен f
2
(z) разделим на остаток, получаемый припер- вом делении, этот первый остаток делим на остаток, получаемый при втором делении, и т. д, пока не получится деление с остатком,
равным нулю. Последний остаток, отличный от нуля, и является общим наибольшим делителем двух данных многочленов. Если этот остаток не содержит z, то данные многочлены будут взаимно простыми. Таким образом, нахождение общего наибольшего делителя сводится к делению многочленов, расположенных по убывающим степеням переменной. Разделив f