Курс высшей математики. Том 1 (Смирнов В.И.). В. И. Смирнов Допущено Научнометодическим советом по математике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебника для студентов механикоматематических и физикоматематических факультетов у
 Скачать 3.3 Mb.
|
|
например, в примере I мы имеем одно дополнительное условие (32), ив левой части этого условия по крайней мере одно из чисел A, B и C отлично от нуля. Если, например, C 6= 0, то производная левой части (по z равна числу C и, следовательно, отлична от нуля во всякой точке, y, z). Это и указывает на то, что в рассматриваемом случае всякий ответ должен получаться по способу множителей. Приведем теперь короткие указания о достаточных условиях относительного максимума или минимума, ограничиваясь тем случаем, когда мы имеем две независимые переменные. Пусть ищутся относительные максимумы и минимумы функции f (x, y, z) при наличии одной связи, y, z) = 0. Составляем функцию Φ = f + λϕ. Положим, что, приравнивая нулю ее производные первого порядка пои учитывая уравнение связи, мы получали значения x = x 0 , y = y 0 , z = z 0 , λ = Мы должны испытать полученные значения переменных, те. определить знак разности f (x, y, z) − f(x 0 , y 0 , z 0 ) при всех (x, y, z), достаточно близких к (x 0 , y 0 , z 0 ) и удовлетворяющих уравнению связи ϕ(x, y, z) = Введем функцию ψ(x, y, z) = f (x, y, z) + λ 0 ϕ(x, y, z). Из уравнения связи непосредственно следует, что вместо разности f (x, y, z) − f(x 0 , y 0 , z 0 ) Гл. V. Функции нескольких переменных [168 можно взять разность ψ(x, y, z)−ψ(x 0 , y 0 , z 0 ) и исследовать ее знак. Частные производные первого порядка функции ψ(x, y, z) в точке (x 0 , y 0 , обращаются по условию в нуль. Разлагая последнюю разность по формуле Тейлора и ограничиваясь членами со вторыми производными, получим выражение вида [ср. 165]: ψ(x, y, z) − ψ(x 0 , y 0 , z 0 ) = a 11 dx 2 + a 22 dy 2 + a 33 dz 2 + + 2a 12 dxdy + 2a 13 dxdz + 2a 23 dydz + . . . где через a ik мы обозначим значения соответствующих частных производных второго порядка функции ψ(x, y, z) в точке (x 0 , y 0 , z 0 ) и через dx, dy, dz — приращения переменных. Положим, что ϕ ′ z 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) 6= так что уравнение связи определяет z = ω(x, y), причем z 0 = ω(x 0 , Из уравнения связи получаем, y, z)dx + ϕ ′ y (x, y, z)dy + ϕ ′ z (x, y, z)dz = Подставляя значения x = x 0 , y = y 0 , z = z 0 , выражаем dz через dx и dy: dz = − ϕ ′ x 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) ϕ ′ z 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) dx − ϕ ′ y 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) ϕ ′ z 0 (x 0 , y 0 , Подставляя это выражение dz в предыдущую формулу и собирая подобные члены, получим, y, z) − ψ(x 0 , y 0 , z 0 ) = Adx 2 + 2Bdxdy + Cdy 2 + . . Теперь можно использовать признак максимума и минимума из Так, например, если AC − B 2 > 0 и A > 0, тов точке (x 0 , y 0 , z 0 ) функция f (x, y, z) имеет относительный минимум. Из рассуждений, приведенных в [163], непосредственно следует, что для обоснования указанного правила достаточно предположить, что функции f (x, y, z) и ϕ(x, y, z) имеют в точке (x 0 , y 0 , z 0 ) и ее окрестности непрерывные производные до второго порядка. Мы не останавливаемся более подробно на вопросе о достаточных условиях относительного максимума и минимума. Существенными в предыдущих рассуждениях являлись замена разности f (x, y, z) − f (x 0 , y 0 , z 0 ) разностью ψ(x, y, z) − ψ(x 0 , y 0 , z 0 ), у которой производные первого порядка в точке (x 0 , y 0 , z 0 ) равны нулю, а также факт, что дифференциал зависимого переменного определялся через дифференциалы независимых переменных из уравнения первой степени. Аналогичным образом надо поступать для выяснения достаточных условий и при другом числе переменных и связей 169] § 16. Формула Тейлора 169. Примеры. Требуется найти кратчайшее расстояние от точки a, b, c до плоскости + By + Cz + D = Квадрат расстояния отданной точки (a, b, c) до переменной точки, y, z) выражается формулой r 2 = (x − a) 2 + (y − b) 2 + (z − В данном случае координаты (x, y, z) должны удовлетворять уравнению) (точка должна находиться на плоскости. Найдем минимум выражения) при условии (32). Составляем функцию = (x − a) 2 + (y − b) 2 + (z − c) 2 + λ 1 (Ax + By + Cz + Приравнивая нулю ее частные производные по x, y, z, получим x = a − 1 2 λ 1 A, y = b − 1 2 λ 1 B, z = c − 1 Подставляя эти значения в условие (32), можем определить λ 1 : λ 1 = 2(Aa + Bb + Cc + D) A 2 + B 2 + Мы получили единственный ответ, итак как наименьшее значение должно существовать, то ему и должны соответствовать найденные значения переменных. Подставляя значения (34) в выражение (33), получаем выражение для квадрата расстояния от точки до плоскости 0 = 1 4 λ 2 1 (A 2 + B 2 + где определяется по формуле (Разложить данное положительное число a натри положительных слагаемых x, y, z так, чтобы выражение x m y n был наибольшим (m,n,p — данные положительные числа). Найдем максимум выражения (36) при условии x + y + z = a. (37) Гл. V. Функции нескольких переменных [169 Вместо максимума выражения (36) можно искать максимум его логарифма Составляем функцию = m log x + n log y + p log z + λ 1 (x + y + z − Приравнивая нулю ее частные производные, получим x = − m λ 1 , y = − n λ 1 , z = и соотношение (37) дает − m + n + p то есть x = ma m + n + p , y = na m + n + p , z = pa m + n + причем найденные значения переменных суть положительные числа. Можно показать, что при поставленных условиях выражение (36) должно иметь наибольшее значение, и единственность ответа показывает, как ив примере 1, что найденным значениям переменных и соответствует, именно, наибольшее значение выражения (Формулы (38) показывают, что для решения задачи число a надо разбить на части, пропорциональные показателями Рис. Предлагаем читателю в последних двух примерах провести исследование достаточных условий по методу, указанному в предыдущем па- раграфе. 3. Проводник длины разветвляется на одном из своих концов на k отдельных проводников длин l s (s = 1, 2, . . . , k), причем сила тока в соответствующих частях проводника есть i 0 , i 1 , . . . , i k . Спрашивается, как надо выбрать площади поперечных сечений q 0 , q 1 , . . . , q отдельных частей проводника для того, чтобы приданной разности потенциалов E для цепей (l 0 , l 1 ), (l 0 , l 2 ), . . . , (l 0 , l k ) пошло наименьшее количество материала V (рис. 167). 169] § 16. Формула Тейлора 521 Обозначим буквою c сопротивление проволоки изданного вещества, длина которой и площадь поперечного сечения равны единице. Функция V переменных q 0 , q 1 , . . . , q k , наименьшее значение которой ищется, будет = l 0 q 0 + l 1 q 1 + . . . + l k q Принимая во внимание данную разность потенциалов E, можем написать соотношений c l 0 i 0 q 0 + l s i s q s − E = 0 (s = 1, 2, . . . , Составим функцию = (l 0 q 0 + l 1 q 1 + . . . + l k q k ) + k X s=1 λ s c l 0 i 0 q 0 + l s i s q s − Приравнивая нулю частные производные от Φ по q 0 , q 1 , . . . , q k , получим l 0 − cl 0 i 0 q 2 0 (λ 1 + λ 2 + . . . + λ k ) = 0, l s − λ s cl s i s q 2 s = 0 (s = 1, 2, . . . , Из условий (39) получим l 1 i 1 q 1 = l 2 i 2 q 2 = . . . = l k i k q обозначив буквою σ общую величину этих отношений, можем написать q s = l s i s σ (s = 1, 2, . . . , k), σ Из уравнений (40) имеем ci s = l 2 s i s Подставив эти выражения λ s в первое из уравнений (40), получим q 2 0 = i 0 σ 2 (l 2 1 i 1 + l 2 2 i 2 + . . . + l 2 k или q 0 = p i 0 (l 2 1 i 1 + l 2 2 i 2 + . . . + l 2 k i k ) E c − l 0 i 0 q 0 , Гл. V. Функции нескольких переменных [169 откуда окончательно q 0 = c E [l 0 i 0 + q i 0 (l 2 1 i 1 + l 2 2 i 2 + . . . + l 2 k Подставляя это выражение в соотношения (41), получим для q 1 , q 2 , . . . , q k : q s = cl s i s E 1 + l 0 i 0 p i 0 (l 2 1 i 1 + l 2 2 i 2 + . . . + l 2 k i k ) (s = 1, 2, . . . , Таким образом, необходимые условия максимума и минимума V дают нам единственную систему положительных значений для q 0 , q 1 , . . . , q k ; но из физических соображений ясно, что при некотором выборе площадей поперечных сечений должно получаться наименьшее количество материала, и можно утверждать, что полученные значения q 0 , q 1 ,. . . , q и дадут решения задачи ГЛАВА КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА, НАЧАЛА ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЫ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 17. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. Комплексные числа. Если ограничиваться только вещественными числами, то, как известно, действие извлечения корня не всегда выполнимо корень четной степени из отрицательного числа не имеет ответа в области вещественных чисел. В связи с этим уже квадратное уравнение с вещественными коэффициентами не всегда имеет вещественные корни. Это обстоятельство приводит, естественно, к расширению понятия о числе, к введению новых чисел более общей природы, частным случаем которых являются вещественные числа. При этом существенно определить эти числа и действия над ними таким образом, чтобы для новых чисел остались в силе все основные законы действий, известные для вещественных чисел. Это, как мы покажем дальше, оказывается возможным. Не только указанная выше невыполнимость, в некоторых случаях, действия извлечения корня, но и простые геометрические соображения приводят к естественному расширению понятия о числе. Мы и будем руководиться этими геометрическими соображениями при расширении понятия о числе Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . Мы знаем, что всякое вещественное число графически можно изобразить или как отрезок, отложенный на данной оси OX, или же как точку на этой оси, если условимся начала всех отрезков помещать в начала координат обратно — всякому отрезку или точке на оси OX соответствует определенное вещественное число. Если теперь вместо одной оси OX рассматривать всю плоскость, отнесенную к координатным осям OX, OY , то, обобщив надлежащим образом понятие о числе, мы получим возможность каждому вектору, лежащему в этой плоскости, или каждой ее точке сопоставить некоторое число, которое мы назовем комплексным. Если условимся не различать между собой векторы, равные по длине и одинаково направленные, то можно сопоставить вещественное число не только всякому вектору на оси OX, но, вообще, всякому вектору, параллельному оси OX. В частности, вектору длины единица, направление которого совпадает с положительным направлением оси OX, соответствует вещественное число единица. Вектору длины единица, направление которого совпадает с положительным направлением оси OY , сопоставим символ i, называемой мнимой единицей. Всякий вектор M N плоскости может быть представлен как сумма двух векторов M P и P N , параллельных осям координат (рис. 168). Вектору M P , параллельному оси Рис. соответствует некоторое вещественное число a. Вектору M P , параллельному оси OY , пусть соответствует символ где b — вещественное число, абсолютное значение которого равно длине вектора и которое будет положительным, если направление P N совпадает с положительным направлением оси , и отрицательным, если направление противоположно положительному направлению OY . Таким образом, естественно, вектору M сопоставить комплексное число, имеющее вид a + Отметим тот факт, что знак (+) в написанном выражении a + bi не есть знак действия. Это выражение надо рассматривать как еди- 170] § 17. Комплексные числа 525 ный символ для обозначения комплексного числа. После определения сложения комплексных чисел мы вернемся к рассмотрению этого знака. Вещественные числа a и b представляют собой, очевидно, величины проекций вектора M N на координатные оси. Отложим от начала координат вектор OA (рис. 168), совпадающий по длине и направлению с вектором M N . Конец этого вектора будет иметь координаты (a, b), и этой точке A мы можем сопоставить тоже комплексное число a + bi, что и векторами Итак, всякому вектору плоскости (всякой точке плоскости) соответствует определенное комплексное число a + bi. Вещественные числа a и b равны проекциям рассматриваемого вектора на координатные оси (координатам рассматриваемой точки). Придавая в выражении a + bi буквами всевозможные вещественные значения, получим совокупность комплексных чисел называется вещественной и bi — мнимой частью комплексного числа. ∗ В частном случае вектора, параллельного оси OX, комплексное число совпадает со всей вещественной частью + 0i = Таким образом, вещественное число a мы считаем частным случаем комплексного числа. Понятие о равенстве двух комплексных чисел вытекает из их геометрической интерпретации. Два вектора считаются равными, если они имеют одинаковую длину и совпадающее направление, т. е. если они имеют одинаковые проекции на координатные оси, а потому два комплексных числа считаются равными между собой тогда и только тогда, когда в отдельности равны их вещественные и мнимые части, те. условие равенства комплексных чисел будет a 1 + b 1 i = a 2 + b 2 i равносильно a 1 = a 2 , b 1 = Часто мнимой частью комплексного числа называют только b, подчеркивая что и вещественная и мнимая части являются числами вещественными. Это позволяет говорить о комплексном числе, как об упорядоченной паре вещественных чисел Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . В частности + bi = 0 равносильно a = 0; b = Вместо того, чтобы определить вектор M N его проекциями a и b на координатные оси, мы можем определить его двумя другими величинами, а именно его длиною r и углом ϕ, который направление N образует с положительным направлением оси OX (рис. Если же мы считаем, что комплексное число a + bi соответствует точке с координатами (a, b)), то r и ϕ будут, очевидно, полярными координатами этой точки. Как известно, имеют место соотношения = r cos ϕ, b = r sin ϕ, r = p a 2 + b 2 , cos ϕ = a √ a 2 + b 2 , sin ϕ = b √ a 2 + b 2 , ϕ = arctg Положительное число r называется модулем, ϕ — аргументом комплексного числа a + bi. Аргумент определяется лишь с точностью до слагаемого, кратного 2π, так как всякий вектор M N совместится сам с собой, если его повернуть на любое число полных оборотов в ту или иную сторону вокруг точки M . В случае r = комплексное число равно нулю, и его аргумент совершенно неопре- деленен. Условие равенства двух комплексных чисел состоит, очевидно, в том, что модули их должны быть равны, а аргументы могут отличаться лишь слагаемым, кратным Вещественное число имеет аргумент 2kπ, если оно положительное, и (2k + 1)π, если оно отрицательное, где k — любое целое число. Если вещественная часть комплексного числа равна нулю, током- плексное число имеет вид bi и называется чисто мнимым. Соответствующий такому числу вектор параллелен оси OY , и аргумент чисто мнимого числа bi равен+ 2kπ , если b > 0, и+ если b < Модуль вещественного числа совпадает сего абсолютным значением. Для обозначения модуля числа a + bi пишут это число между двумя вертикальными чертами + bi| = p a 2 + b 2 171] § 17. Комплексные числа 527 В дальнейшем мы будем часто обозначать комплексное число одной буквой. ∗ Если α есть комплексное число, то его модуль будет обозначаться символом |α|. Пользуясь выражением (3) для a и можем выразить комплексное число через его модуль и аргумент в виде r(cos ϕ + i sin В этом случае говорят, что комплексное число написано в тригонометрической форме. Сложение и вычитание комплексных чисел. Сумма векторов представляет собою замыкающую многоугольника, составленного из слагаемых векторов. Принимая во внимание, что проекция замыкающей равна сумме проекций составляющих, мы приходим к следующему определению сложения комплексных чисел) + (b 1 + b 2 + . . . + b n )i. (Нетрудно видеть, что сумма комплексных чисел не зависит от порядка слагаемых (переместительный закон) и что слагаемые можно объединять в группы (сочетательный закон, ибо такими свойствами обладают сумма вещественных чисел a и сумма вещественных чисел b Как мы упоминали выше, комплексное число a + 0i отождествляется с вещественным числом a. Точно также число 0 + bi записывают просто в виде bi (чисто мнимое число. Пользуясь определением сложения, мы можем утверждать, что комплексное число a + bi есть сумма вещественного числа a и чисто мнимого числа то есть a + b = (a + 0i) + (0 + Вычитание определяется как действие, обратное сложению, т. е. разность x + yi = (a 1 + b 1 i) − (a 2 + В современных учебниках комплексные числа обычно обозначаются буквой Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . определяется из условия + yi) + (a 2 + b 2 i) = a 1 + или, в силу (4) и (2): x + a 2 = a 1 ; y + b 2 = b 1 , те, и окончательно получаем+ b 1 i) − (a 2 + b 2 i) = (a 1 − a 2 ) + (b 1 − Вычитание комплексного числа (a 2 + b 2 i), как мы видим, равносильно сложению уменьшаемого (a 1 + b 1 i) и комплексного числа b 2 i). Это соответствует следующему вычитание векторов сводится к сложению вектора уменьшаемого с вектором, повели- чине равным вычитаемому, по направлению ему противополож- ным. Рис. Рассмотрим вектор A 2 A 1 , начальной точке которого соответствует комплексное число a |