Курс высшей математики. Том 1 (Смирнов В.И.). В. И. Смирнов Допущено Научнометодическим советом по математике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебника для студентов механикоматематических и физикоматематических факультетов у
 Скачать 3.3 Mb.
|
|
= Y − y q = Z − Для эллипсоида x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = уравнение касательной плоскости в некоторой его точке (x, y, z) будет a 2 (X − x) + 2y b 2 (Y − y) + 2z c 2 (Z − z) = или xX a 2 + yY b 2 + zZ c 2 = x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 161] § 16. Формула Тейлора 497 Правая часть этого уравнения равна единице, так как координаты, y, z) точки касания должны удовлетворять уравнению эллипсоида, и окончательно уравнение касательной плоскости будет xX a 2 + yY b 2 + zZ c 2 = 1. § 16. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА. МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ ФУНКЦИИ ОТ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Распространение формулы Тейлора на случай функции от нескольких независимы переменных. Для простоты письма ограничимся случаем функции f (x, y) от двух независимых переменных. Формула Тейлора даст разложение f (a + h, b + k) по степенями приращений независимых переменных Введем новую независимую переменную t, полагая x = a + ht, y = b + Мы получим, таким образом, функцию одной независимой переменной+ причем) = f (a, b) и ϕ(1) = f (a + h, b + Пользуясь формулой Маклорена с остаточным членом Лагранжа, можем написать [127]: ϕ(1) = ϕ(0)+ ϕ ′ (0) 1! + ϕ ′′ (0) 2! +. . .+ ϕ (n) (0) n! + ϕ (n+1) (θ) (n + 1)! (0 < θ < 1). (Выразим теперь производные ϕ (p) (0) и ϕ (n+1) (θ) через функцию. Из формулы (1) мы видим, что x и y суть линейные функции независимой переменной t и dx = hdt, dy = kdt. Гл. V. Функции нескольких переменных [161 Мы можем поэтому пользоваться символической формулой при определении дифференциала любого порядка функции ϕ(t) [156]: d p ϕ(t) = ∂ ∂x dx + ∂ ∂y dy (p) f (x, y) = h ∂ ∂x + k ∂ ∂y (p) f (x, y)dt откуда) = dp ϕ (t) dt p = h ∂ ∂x + k ∂ ∂y (p) f (x, При t = 0 имеем x = a и y = b, при t = θ имеем x = a + θh и y = b + θk, а потому) = h ∂ ∂a + k ∂ ∂b (p) f (a, b) = h ∂ ∂x + k ∂ ∂y (p) f (x, y) x=a y=b , ϕ (n+1) (θ) = h ∂ ∂a + k ∂ ∂b (n+1) f (a + θh, b + Подставляя эти выражения в формулу (3) и пользуясь еще формулами, получим окончательно формулу Тейлора f (a + h, b + k) = f (a, b) + h ∂ ∂a + k ∂ ∂b f (a, b)+ + 1 2! h ∂ ∂a + k ∂ ∂b (2) f (a, b) + . . . + 1 n! h ∂ ∂a + k ∂ ∂b (n) f (a, b)+ + 1 (n + 1)! h ∂ ∂a + k ∂ ∂b (n+1) f (a + θh, b + θk). (Заменяя в этой формуле a на x, b на y и обозначая приращения h и k независимых переменных через dx и dy, а приращение функции, те, через ∆f(x, y), можем написать формулу в следующем виде (x, y) = df (x, y)+ d 2 f (x, y) 2! + . . .+ d n f (x, y) n! + d n+1 f (x, y) (n + 1)! x+θdx y+θdy 162] § 16. Формула Тейлора 499 Правая часть этой формулы содержит дифференциалы различных порядков функции f (x, y), а в последнем члене указаны те значения независимых переменных, которые надо подставить в производные (n+1)-го порядка, входящие в этот член. Аналогично случаю функции от одной независимой переменной формула Маклорена, дающая разложение функции f (x, y) по степеням x, y, выводится из формулы Тейлора (4), если положить там a = 0, b = 0; h = x, k = При выводе формулы (4) мы предполагали, что функция f (x, имеет непрерывные частные производные до порядка (n+1) в некоторой открытой области, содержащей отрезок прямой, соединяющий точки (a, b) и (a + h, b + k). При изменении t от нуля до единицы переменная точка x = a + ht, y = b + kt описывает упомянутый отрезок. При n = 0 получаем формулу конечных приращений f (a + h, b + k) − f(a, b) = hf ′ a (a + θh, b + θk) + kf ′ b (a + θh, b + Отсюда, как ив, непосредственно следует, что если внутри некоторой области частные производные первого порядка равны везде нулю, то функция сохраняет внутри упомянутой области постоянное значение. Необходимые условия максимума и минимума функции. Пусть функция f(x, y) непрерывна в точке (a, b) и некоторой ее окрестности. Аналогично случаю одной независимой переменной мы будем говорить, что функция f (x, y) двух независимых переменных достигает максимума в точке (a, b), если значение f (a, b) не меньше всех смежных значений функции, те. если = f (a + h, b + k) − f(a, b) 6 при всех h и k достаточно малых по абсолютной величине. ∗ ∗ Также, как ив случае функции одной переменной, существует окрестность точки (a, b), во всех точках которой, значения функции меньше, чем в точке (a, b). Гл. V. Функции нескольких переменных [162 Точно также мы будем говорить, что функция f (x, y) достигает минимума при x = a и y = b, если = f (a + h, b + k) − f(a, b) > 0 (5 при всех значениях h и k достаточно малых по абсолютной вели- чине. Итак, пусть x = a, y = b — значения независимых переменных, при которых функция f (x, y) достигает максимума или минимума. Рассмотрим функцию f (x, b) одной независимой переменной По условию она должна достигать максимума или минимума при x = a, а потому ее производная по x при x = a должна или обращаться в нуль или жене существовать [58]. Таким же рассуждением убедимся, что и производная функция f (a, y) по y должна или обращаться в нуль или не существовать при y = b. Мы приходим, таким образом, к следующему необходимому условию существования максимума или минимума функция f (x, y) двух независимых переменных может достигать максимума или минимума лишь при тех значениях x и y, при которых частные производные первого порядка (x,y) ∂x и (обращаются в нуль или не существуют. Совершенно также, меняя только x или только y, мы можем, пользуясь сказанным в [58], утверждать, что при наличии производных второго порядка необходимым условием максимума являются неравенства (x,y) ∂x 2 6 0 и (x,y) ∂y 2 6 0, а необходимым условием минимума — неравенства (x,y) ∂x 2 > 0 и (Предыдущие рассуждения остаются в силе ив случае функции любого числа независимых переменных. Мы можем высказать, таким образом, следующее общее правило: Функция нескольких независимых переменных может достигать максимума или минимума лишь при тех значениях независимых переменных, при которых частные производные первого порядка обращаются в нуль или не существуют. В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением того случая, когда указанные частные производные существуют. Дифференциал первого порядка равен сумме произведений частных производных по независимым переменным на дифференциалы соответствующих независимых переменных [153], и мы мо- 163] § 16. Формула Тейлора 501 жем поэтому утверждать, что при значениях независимых переменных, при которых функция имеет максимум или минимум, ее дифференциал первого порядка должен обращаться в нуль. Эта форма необходимого условия удобная, потому что выражения первого дифференциала не зависят от выбора переменных [153]. Приравнивая нулю частные производные первого порядка, мы получаем систему уравнений, откуда определяются те значения независимых переменных, при которых функция может достигать максимума или минимума. Для полного решения вопроса необходимо еще произвести исследование полученных значений для того, чтобы решить, достигает ли функция действительно при этих значениях независимых переменных максимума или минимума, а если достигает, то чего именно — максимума или минимума. В следующем номере мы покажем, как производится это исследование в случаях функции двух независимых переменных. Исследование максимума и минимума функции двух независимых переменных. Пусть система уравнений (x, y) ∂x = 0, ∂f (x, y) ∂y = выражающая необходимое условие максимума или минимума, дала нам значения x = a и y = b, которые надо исследовать. Предположим, что f (x, y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка в точке (a, b) и некоторой ее окрестности. Согласно формуле Тейлора (4), при n = 2 можем написать f (a + h, b + k) = f (a, b) + ∂f (a, b) ∂a h + ∂f (a, b) ∂b k+ + 1 2! ∂ 2 f (x, y) ∂x 2 h 2 + 2 ∂ 2 f (x, y) ∂x∂y hk + ∂ 2 f (x, y) ∂y 2 k 2 x=a+θh Принимая во внимание, что x = a и y = b являются решением системы (6), можем переписать это равенство так = f (a + h, b + k) − f(a, b) = Гл. V. Функции нескольких переменных 2! ∂ 2 f (x, y) ∂x 2 h 2 + 2 ∂ 2 f (x, y) ∂x∂y hk + ∂ 2 f (x, y) ∂y 2 k 2 x=a+θh y=b+θk . (Положим r = p h 2 + k 2 , h = r cos α, k = r sin При малых по абсолютному значению h и k, и r будет мало, и наоборот, и условия h и k → 0, с одной стороны, и r → 0, с другой между собой равносильны. Формула (7) имеет вид = r 2 2! ∂ 2 f (x, y) ∂x 2 cos 2 α + 2 ∂ 2 f (x, y) ∂x∂y cos α sin α+ + ∂ 2 f (x, y) ∂y 2 sin 2 α x=a+θh y=b+θk . (Принимая во внимание непрерывность производных второго порядка и считая h и k или, что тоже бесконечно малыми, можем утверждать, что производные в правой части формулы (8), вычисленные при значениях a+θh, b+θk, бесконечно мало отличающихся от a, b, сами бесконечно мало отличаются от чисел (a, b) ∂a 2 = A, ∂ 2 f (a, b) ∂a∂b = B, ∂ 2 f (a, b) ∂b 2 = а потому коэффициенты при cos 2 α, cos α sin α, sin 2 α в квадратной скобке формулы (8) можно заменить соответственно на A + ε 1 , 2B + ε 2 , C + ε 3 , где ε 1 , ε 2 , суть величины, бесконечно малые одновременно си (или с Формулу (8) можно после этого переписать так = r 2 2! A cos 2 α + 2B sin α cos α + C sin 2 α + где = ε 1 cos 2 α + 2ε 2 cos α sin α + есть величина, бесконечно малая одновременно си (или с r). 163] § 16. Формула Тейлора 503 Из определения максимума и минимума следует, что если правая часть равенства (9) при всех достаточно малых значениях r сохраняет знак (—), то значениями соответствует максимум функции f (x, y); если она сохраняет знак (+), то указанным значениям будет соответствовать минимум функции если жена- конец, при сколь угодно малых значениях r правая часть равенства) может иметь как знак (+), таки знак (—), то значениям функции и y = b не соответствуют ни максимум, ни минимум функции. При исследовании знака правой части равенства (9) могут представиться следующие четыре случая. Если трехчлен cos 2 α + 2B sin α cos α + C не обращается в нуль ни при одном значении α, то как непрерывная функция от α он сохраняет неизменный знак [55]. Пусть это будет знак (+). В промежутке (0, 2π) эта непрерывная функция достигает своего наименьшего (положительного) значения m. В силу периодичности cos α и sin α это же наименьшее значение m будет иметь место и для любых значений α. Величина |ε| при всех достаточно малых значениях r меньше m, и при этом знак правой части равенства (9) определяется знаком трехчлена (10), те. будет (в этом случае мы будем иметь минимум. Положим теперь, что трехчлен (10), не обращаясь ни при каких значениях α в нуль, сохраняет знак (–). Пусть — m наименьшее (отрицательное) значение этого трехчлена в промежутке (0, 2π) изменения. Величина |ε| при достаточно малых значениях r меньше m, и при этом знак правой части равенства (9) будет постоянно (те. в этом случае мы будем иметь максимум. Положим теперь, что трехчлен (10) меняет знак. Пусть при = он равен положительному числу +m 1 , а при α = отрицательному числу — m 2 . При всех достаточно малых значениях r |ε| будет меньше и m 2 . При таких значениях r и при α = и знак правой части равенства (9) будет определяться знаком трехчлена (10), те. будет (+) при α = и (–) при α = α 2 . Таким образом, в рассматриваемом случае знак правой части равенства Гл. V. Функции нескольких переменных) может быть и (+) и (–) при сколь угодно малых значениях те. в этом случае мы не будем иметь ни максимума, ни минимума. Положим, наконец, что трехчлен (10), сохраняя неизменный знак, может обращаться в нуль при некоторых значениях α. В этом случае без дальнейшего исследования знака ε мы не можем сделать никаких заключений о знаке правой части равенства (9), и этот случай остается сомнительным в нашем исследовании. Итак, все свелось к исследованию знака трехчлена (10) при изменении, и мы укажем простые признаки, позволяющие судить, с каким из указанных четырех случаев мы имеем дело. Положим сначала, что A 6= 0. Трехчлен (10) мы можем представить в виде cos α + B sin α) 2 + (AC − B 2 ) Если AC − B 2 > 0, то числитель написанной дроби представляет собою сумму двух положительных слагаемых, которые не могут обратиться в нуль одновременно. Действительно, второе слагаемое обращается в нуль, только если sin α = 0, но при этом cos α = ±1, и первое слагаемое обращается в A 2 6= 0. Таким образом, в рассматриваемом случае знак выражения (11) совпадает со знаком A, и, следовательно, прибудем иметь случайте. минимума при A < 0 — случайте. максимум. Предполагая по-прежнему A 6= 0, положим, что AC − B 2 < Числитель дроби (11) будет иметь знак (+) при sin α = 0 и знак) при ctg α = − B A , а потому при указанных условиях мы будем иметь случайте. не будет ни максимума, ни минимума. Если примы положим, что AC − B 2 = 0, то числитель дроби (11) приводится к первому слагаемому и, сохраняя неизменный знак (+), обращается в нуль прите. при этих условиях мы имеем дело с сомнительным случаем (IV). 4. Положим, что A = 0, но B 6= 0. Трехчлен (10) имеет тогда вид sin α(2B cos α + C sin α). При значениях α, близких к нулю, выражение, стоящее в круглых скобках, сохраняет неизменный знак, совпадающий со знакома первый множитель sin α имеет разные знаки, смотря потому, будет ли α больше или меньше нуля, т. е. имеет место случай (III) — ни максимума, ни минимума 164] § 16. Формула Тейлора 5. Предположим, наконец, что A = B = 0. Тогда трехчлен (приведется к одному слагаемому C sin 2 α и, следовательно, не меняя знака, может обращаться в нуль, темы имеем дело с сомнительным случаем. Принимая во внимание, что в случае 4 будет AC − B 2 < 0, в случае 5 имеем AC − B 2 = 0, можем высказать следующее правило для нахождения максимумов и минимумов внутри области при предположении, что функция f (x, y) непрерывна там и имеет непрерывные производные до второго порядка, надо составить частные производные f ′ x (x, y) и f ′ y (a, y) и решить систему уравнений Пусть x = a, y = b — какое-нибудь решение этой системы. Положив производим исследование решения последующей схеме − ни мин. сомнит. ни макс. случай мин. макс. 164. Примеры. Рассмотрим поверхность z = f (x, y). Уравнение касательной плоскости к ней будет [160]: p(X − x) + q(Y − y) − (Z − z) = где p и q обозначают частные производные f ′ x (x, y) и f ′ y (x, Если при некоторых значениях x = a и y = b функция z достигает максимума или минимума, то соответствующая точка называется вершиною поверхности в такой точке касательная плоскость должна быть параллельна плоскости XY , те. частные производные p и q должны обращаться в нуль, и поверхность должна быть расположена по одну сторону от касательной плоскости, вблизи точки касания (рис. 163). Гл. V. Функции нескольких переменных [164 Рис. Но может случиться, что p ив некоторой точке обращаются в нуль, т. е. касательная плоскость параллельна плоскости XY , но поверхность вблизи этой точки расположена по обе стороны от касательной плоскости, ив этом случае при соответствующих значениях x и y функция не будет достигать ни максимума, ни минимума. Укажем на еще одну возможность, которая может осуществиться в случае, названном нами в предыдущем сомнительным. Положим, что при x = a, y = b касательная плоскость параллельная плоскости XY и поверхность расположена по одну сторону от касательной плоскости, но имеет с нею общую линию, проходящую через точку касания. В этом случае разность f (a + h, b + k) − f(a, не меняя знака при достаточно малых по абсолютному значению h и будет обращаться в нуль при h и k, отличных от нуля. Нетрудно осуществить этот случай, представив себе, например, круговой цилиндр, ось которого параллельна плоскости XY . В этом случае также говорят, что функция f (x, y) имеет максимум или минимум при x = a и y = b Поверхность есть гиперболический параболоид. Приравнивая нулю частные производные от z пои, получим x = y = 0, и касательная плоскость к поверхности вначале координат будет совпадать с плоскостью XY . Составим частные производные второго порядка 0, ∂ 2 z ∂y 2 = и, следовательно − B 2 = − 1 a 2 b 2 < 0, 165] § 16. Формула Тейлора 507 Рис. те. при x = y = 0 функция не достигает ни максимума, ни минимума, и вблизи начала координат поверхность расположена по обе стороны от касательной плоскости (рис. На плоскости даны точек M i (a i , b i )(i = 1, 2, . . . , n). Требуется найти точку M такую, чтобы сумма произведений данных положительных чисел m на квадраты расстояний ее до точек M i достигала минимума. Пусть (x, y) — координаты искомой точки M . Упомянутая выше сумма будет = n X i=1 m i [(x − a i ) 2 + (y − b Приравнивая нулю частные производные w ′ x и w ′ y , получаем x = m 1 a 1 + m 2 a 2 + . . . + m n a n m 1 + m 2 + . . . + m n , y = m 1 b 1 + m 2 b 2 + . . . + m n b n m 1 + m 2 + . . . + m n . (Нетрудно проверить, что в рассматриваемом случае A и AC − будут больше нуля, и, следовательно, найденным значениями действительно будет соответствовать минимум w. Этот минимум является наименьшим значением w на плоскости (x, y), ибо w → +∞ при беспредельном удалении точки (x, Если M i — материальные точки и m |