Курс высшей математики. Том 1 (Смирнов В.И.). В. И. Смирнов Допущено Научнометодическим советом по математике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебника для студентов механикоматематических и физикоматематических факультетов у
 Скачать 3.3 Mb.
|
|
(n) + ϕ ′ z (x, y, z) · z (n) + A = 0, ψ ′ y (x, y, z) · y (n) + ψ ′ z (x, y, z) · z (n) + B = где A и B — выражения, содержащие производные порядка ниже n. Такая система, как это известно из элементарной алгебры, будет давать одно определенное решение, если выполнено условие, y, z) · ψ ′ z (x, y, z) − ϕ ′ z (x, y, z) · ψ ′ y (x, y, z) 6= При всех тех значениях x, y и z, удовлетворяющих системе (17 при которых это условие выполнено, описанный выше прием приведет к вполне определенным значениям производных. Если имеется система m уравнений с (m + n) переменным, то такая система определяет, вообще говоря, m переменных как неявные функции остальных n переменных, и производные этих неявных функций могут быть получены указанным выше приемом последовательного дифференцирования уравнений по независимым переменным 158] § 15. Производные и дифференциалы функции 158. Пример. Рассмотрим в качестве примера уравнение ax 2 + by 2 + cz 2 = которое определяет z как функцию от x и y. Дифференцируя по x, получим и точно также, дифференцируя по y, получим by + cz · z ′ y = 0, (19 откуда z ′ x = − ax cz , z ′ y = − by Дифференцируя соотношение (19) пои, а соотношение (19 1 ) по y, получим a + cz ′2 x + czz ′′ x 2 = 0, cz ′ x z ′ y + czz ′′ xy = 0, b + cz ′2 y + czz ′′ y 2 = откуда z ′′ x 2 = − a + cz ′2 x cz = − a + c a 2 x 2 c 2 z 2 cz = − acz 2 + a 2 x 2 c 2 z 3 , z ′′ xy = − z ′ x z ′ y z = − abxy c 2 z 3 , z ′′ y 2 = − b + cz ′2 y cz = − bcz 2 + Покажем теперь другой способ вычисления частных производных, основанный на применении выражения полного дифференциала функции. Докажем предварительно вспомогательную теорему. Пусть нам удалось каким-нибудь образом получить выражение полного дифференциала dz функции двух независимых переменных x ив виде dz = pdx + С другой стороны, мы знаем, что dz = z ′ x dx + z ′ y Сравнивая эти два выражения, получим pdx + qdy = z ′ x dx + z ′ y dy. Гл. V. Функции нескольких переменных [158 Но dx и dy, как дифференциалы независимых переменных, суть величины произвольны. Полагая dx = 1 и dy = 0 или dx = 0 и dy = получим p = и q = Итак, если полный дифференциал функции z двух независимых переменных и y может быть представлен в виде dz = pdx + то p = z ′ x и q = Теорема эта справедлива и для функции любого числа независимых переменных. Совершенно также можно показать, что если дифференциал второго порядка может быть представлен в виде d 2 z = rdx 2 + 2sdxdy + то r = z ′′ x 2 , s = z ′′ xy и t = Вернемся теперь к рассмотренному примеру. Вместо того, чтобы определять производные левой части соотношения (18) пои, определим ее дифференциал, помня, что выражение первого дифференциала не зависит от выбора независимых переменных [153]: axdx + bydy + czdz = откуда dz = − ax cz dx − by cz и, следовательно, в силу доказанной теоремы − ax cz и − by Определим теперь дифференциал левой части соотношения (20), принимая во внимание, что dx и dy должны считаться при этом постоянными или d 2 z = − a cz dx 2 − b cz dy 2 − 1 z dz 2 = − a cz dx 2 − b cz dy 2 − 1 z ax cz dx + by cz dy 2 = = − acz 2 + a 2 x 2 a 2 z 3 dx 2 − 2 abxy x 2 z 3 dxdy − bcz 2 + b 2 y 2 c 2 z 3 dy 2 , 159] § 15. Производные и дифференциалы функции 489 и, следовательно z ′′ x 2 = − acz 2 + a 2 x 2 c 2 z 3 , z ′′ xy = − abxy c 2 z 3 , z ′′ y 2 = − bcz 2 + Таким образом, определив дифференциал некоторого порядка, мы получим все частные производные соответствующего порядка. Существование неявных функций. Наши рассуждения носили формальный характер. Мы предполагали во всех случаях, что соответствующее уравнение или система уравнений определяют неявным образом некоторую функцию, имеющую производную. Сейчас докажем основную теорему существования неявных функций. Рассмотрим уравнение (x, y) = и укажем те условия, при которых оно определяет единственным образом y как функцию от x, непрерывную и имеющую производную. Т е орем а. Пусть x = и y = y 0 — решение уравнения (21), те пусть F (x, y) и ее частные производные первого порядка пои непрерывные функции при всех x и y, достаточно близких кии пусть, наконец, частная производная F ′ y (x, y) отлична от нуля при x = x 0 , y = y 0 . При этом существует при всех x, достаточно близких к x 0 , одна определенная функция y (x), удовлетворяющая уравнению, непрерывная, имеющая производную и удовлетворяющая условию) = Положим для определенности, что F ′ y (x, y) > 0 при x = x 0 , y = Так как по условию эта производная непрерывна, то она будет положительной и при всех значениях x и y, достаточно близких ките. существует такое положительное число l, что F (x, y) и ее частные производные непрерывны и, y) > при всех x и y, удовлетворяющие условию − x 0 | 6 l, |y − y 0 | 6 Далее, функция F (x 0 , y) одной переменной y обращается в нуль при y = y 0 , в силу (22). И есть возрастающая функция отв промежутке Гл. V. Функции нескольких переменных l, y 0 + l), в силу (23) и (24). Таким образом, числа F (x 0 , y 0 − l) и (x 0 , y 0 + l) будут разных знаков первое — отрицательное, а второе положительное. Принимая во внимание непрерывность функции F (x, мы можем утверждать [67], что F (x, y 0 − l) будет отрицательным, а (x, y 0 + l) — положительным при всех x, достаточно близких к x 0 , т. е. существует такое положительное число l 1 , что (x, y 0 − l) > 0 и F (x, y 0 + l) > при |x − x 0 | 6 l 1 . Обозначим через m наименьшее из двух чисел l и Принимая во внимание (24) и (25), мы можем утверждать, что выполнены неравенства (23) и (25), если x и y удовлетворяют неравенствам − x 0 | 6 m, |y − y 0 | 6 Если возьмем какое-нибудь определенное x, лежащее в промежутке m, x 0 + m), те. удовлетворяющее первому из неравенств (26), то (x, y), как функция отбудет в силу (23) возрастающей функцией в промежутке (y 0 − l, y 0 + l), ив силу (25), будет разных знаков на концах этого промежутка. Следовательно, она будет обращаться в нуль при одном определенном значении y из этого промежутка. В частности, если x + x 0 , тов силу (22), это значение y будет y = y 0 . Мы доказали, таким образом, существование в промежутке (x 0 −m, x 0 +m) определенной функции y(x), являющейся решением уравнения (21) и удовлетворяющей условию y(x 0 ) = y 0 . Иначе говоря, из предыдущих рассуждений следует, что при всяком фиксированном x из промежутка (x 0 − m, x 0 + уравнение (21) имеет единственный корень, лежащий внутри промежутка+ Покажем теперь, что найденная функция y(x) будет непрерывной при x = x 0 . Действительно, при любом заданном малом положительном числа F (x 0 , y 0 − ε) и F (x 0 , y 0 + ε) будут, в силу (25), разных знаков, а следовательно, будет существовать такое положительное η, что (x, y 0 − ε) и F (x, y 0 + ε) — разных знаков, если только |x − x 0 | < η, т. е. иначе говоря, при |x − x 0 | < η корень уравнения (21), те. значение найденной функции y(x), удовлетворяет условию |y−y 0 | < ε, что доказывает непрерывность y(x) при x = Покажем теперь существование производной y ′ (x) при x = x 0 . Пусть = x − и пусть ∆y = y − есть соответствующее приращение Следовательно, x = x 0 + ∆x и y = y 0 + ∆y удовлетворяют уравнению, те, ив силу (22) можем написать (x 0 + ∆x, y 0 + ∆y) − F (x 0 , y 0 ) = 0. 159] § 15. Производные и дифференциалы функции 491 Принимая во внимание непрерывность частных производных, можем переписать это равенство так [68]: [F ′ x 0 (x 0 , y 0 ) + ε 1 ]∆x + [F ′ y 0 (x 0 , y 0 ) + ε 2 ]∆y = где и ε 2 → 0, если ∆x и ∆y → 0, и где мы обозначили через F ′ x 0 (x 0 , и F ′ y 0 (x 0 , y 0 ) значения частных производных при x = x 0 , y = y 0 . Из доказанной выше непрерывности следует, что ∆y → 0, если ∆x → Уравнение (27) дает нам − F ′ x 0 (x 0 , y 0 ) + ε 1 F ′ y 0 (x 0 , y 0 ) + переходя к пределу при ∆x → 0, получим y ′ (x 0 ) = − F ′ x 0 (x 0 , y 0 ) F ′ y 0 (x 0 , Мы доказали непрерывность и существование производной функции y(x) только при x = x 0 . Если мы возьмем какое-либо другое значение x из промежутка (x 0 − m, x 0 + m) и соответствующее значение y из промежутка (y 0 − l, y 0 + l), являющееся корнем уравнения (21), то для этой пары значений x, y опять выполнены все условия нашей теоремы, ив силу доказанного y(x) будет непрерывной и будет иметь производную при взятом значении x из упомянутого промежутка. Совершенно также, как и выше, формулируется и доказывается теорема о существовании неявной функции z(x, y), определяемой уравнением Рассмотрим теперь систему, y, z) = 0, ψ(x, y, z) = определяющую y и z как функции от Для этого случая имеет место Т е орем а. Пусть x = x 0 , y = y 0 , z = z 0 — решение системы (пусть ϕ(x, y, z), ψ(x, y, z) и их частные производные первого порядка непрерывные функции (x, y, z) при всех значениях этих переменных, достаточно близких к (x 0 , y 0 , z 0 ), и пусть выражение, y, z)ψ ′ z (x, y, z) − ϕ ′ z (x, y, z)ψ ′ y (x, y, z) Гл. V. Функции нескольких переменных [160 отлично от нуля при x = x 0 , y = y 0 , z = z 0 . При этом существует при всех значениях x, достаточно близких к x 0 , одна определенная система двух функций y(x), z(x), удовлетворяющая уравнениям (непрерывных, имеющих производные первого порядка и удовлетворяющих условию y(x 0 ) = y 0 , z(x 0 ) = На доказательстве этой теоремы мы останавливаться не будем. В третьем томе мы рассмотрим общий случай любого числа функций с любым числом переменных. Кривые в пространстве и поверхности. Начнем сука- зания некоторых фактов, известных из аналитической геометрии. Пусть трехмерное пространство отнесено к прямолинейным прямоугольным осям OX, OY , OZ, так что всякая точка определяется координатами x, y, z. Пусть a, b, c — какая-либо тройка чисел, причем по крайней мере одно из чисел отлично от нуля. Такой тройке чисел соответствует два прямо противоположных направления в пространстве, у которых направляющие косинусы (косинусы углов, образованных этими направлениями с осями OX, OY , OZ) пропорциональны числам (a, b, Упомянутые косинусы выражаются формулами α = a ± √ a 2 + b 2 + c 2 , cos β = b ± √ a 2 + b 2 + c 2 , cos γ = c ± √ a 2 + b 2 + Выбор знака у радикала (верхнего или нижнего) определяет одно из прямо противоположных направлений. Пусть имеются две тройки чисел (a, b, c) и (a 1 , b 1 , c 1 ). Равенство aa 1 + bb 1 + cc 1 = выражает условие перпендикулярности соответствующих этим тройкам чисел направлений. ∗ Как известно из аналитической геометрии, всякому уравнению стремя переменными (x, y, z) = Имеются ввиду вектора с координатами (a, b, c) и (a 1 , b 1 , c 1 ). 160] § 15. Производные и дифференциалы функции 493 или в явной форме z = f (x, соответствует, вообще говоря, некоторая поверхность в пространстве, отнесенном к прямоугольным осям OX, OY , Линия в пространстве может быть рассматриваема, как пересечение некоторых двух поверхностей, и может быть, следовательно, определена совокупностью двух уравнений, y, z) = 0, F 2 (x, y, z) = Иначе кривую можно определить в параметрической форме уравнениями Длина дуги кривой, как ив случае плоской кривой, определяется как предел периметров ломаных линий, вписанных в эту дугу, при беспредельном уменьшении каждой из сторон этой ломаной. Рассуждения, которые мы не будем приводить, так как они совершенно аналогичны рассуждениям [103] в случае плоской кривой, показывают, что длина дуги выражается определенным интегралом s = (M 2 ) Z (m 1 ) p (dx) 2 + (dy) 2 + (dz) 2 = t 2 Z t 1 p ϕ ′2 (t) + ψ ′2 (t) + ω ′2 (t)dt, (где и суть значения параметра t, соответствующие концами дуги, и дифференциал дуги имеет выражение ds = p (dx) 2 + (dy) 2 + (Если роль параметра t играет длина дуги s кривой, отсчитываемая от некоторой определенной точки ее, что совершенно также, как это мы делали в случае плоской кривой [70], можно показать, что производные dx ds , dy ds , dz ds равны направляющим косинусам касательной к кривой, те. равны косинусам углов, образованных положительным направлением этой касательной с осями координат Гл. V. Функции нескольких переменных [160 Принимая во внимание (32) и (33), мы получаем для этих косинусов формулы α = ϕ ′ (t) ± p ϕ ′2 (t) + ψ ′2 (t) + ω ′2 (t) , cos β = ψ ′ (t) ± p ϕ ′2 (t) + ψ ′2 (t) + ω ′2 (t) , cos γ = ω ′ (t) ± p ϕ ′2 (t) + ψ ′2 (t) + при соответствующем выборе знака у радикала, зависящем от выбора направления касательной. Выше мы считали, что функции (32) имеют непрерывные производные и по крайней мере одна из них отлична от нуля. Таким образом, направляющие косинусы касательной к кривой в точке, y, x) пропорциональны ϕ ′ (t), ψ ′ (t), ω ′ (t) или dx, dy, dz и уравнение касательной может быть написано в виде − x dx = Y − y dy = Z − z dz , (36 или − x ϕ ′ (t) = Y − y ψ ′ (t) = Z − z ω ′ (t) (36 Введем теперь новое понятие, а именно понятие касательной плоскости к поверхности (x, y, z) = Пусть M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) — некоторая точка этой поверхности и L линия (32), лежащая на поверхности и проходящая через точку, так что при некотором t = имеем x 0 = ϕ(t 0 ), y 0 = ψ(t 0 ), z 0 = ω(t 0 ). Предполагаем, что у функции (37) в точке и ее окрестности имеются непрерывные частные производные пои, причем по крайней мере одна из этих производных отлична от нуля. Пусть аналогичное свойство имеют и функции (32) при t = ив окрестности этого значения 160] § 15. Производные и дифференциалы функции 495 Если подставим (32) в левую часть уравнения (37), то получим тождество по t, поскольку L лежит на поверхности (37). Дифференцируя это тождество по t, получим, y, z)ϕ ′ (t) + F y (x, y, z)ψ ′ (t) + F z (x, y, z)ω ′ (t) = где вместо x, y, z надо подставить функции (32), ив точке M 0 F x (x 0 , y 0 , z 0 )ϕ ′ (t 0 )+F y (x 0 , y 0 , z 0 )ψ ′ (t 0 )+F z (x 0 , y 0 , z 0 )ω ′ (t 0 ) = 0. (Как мы видели, ϕ ′ (t 0 ), ψ ′ (t 0 ), ω ′ (t 0 ) пропорциональны направляющим косинусам касательной к линии L в точке M 0 , и равенство (показывает, что касательная в точке к любой линии L, лежащей на поверхности (37) и проходящей через точку M 0 , перпендикулярна к некоторому определенному, независящему от выбора L направлению, у которого направляющие косинусы пропорциональны числам, F x (x 0 , y 0 , z 0 ), F y (x 0 , y 0 , z 0 ), F z (x 0 , y 0 , z 0 ). Мы видим, таким образом, что касательные в точке ко всем линиям, лежащим на поверхности и проходящим через точку M 0 , лежат водной и той же плоскости. Эта плоскость называется касательной плоскостью к поверхности (37) в точке M 0 . Она проходит, очевидно, через точку. Пусть − x 0 ) + B(Y − y 0 ) + C(Z − z 0 ) = 0 (39) — уравнение этой плоскости. Как известно из аналитической геометрии, коэффициенты A, B, C должны быть пропорциональны направляющим косинусам нормали к этой плоскости, те. в данном случае пропорциональны F x (x 0 , y 0 , z 0 ), F y (x 0 , y 0 , z 0 ), F z (x 0 , y 0 , В дальнейшем вместо точки M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) мы применим общее обозначение точки M (x, y, z). Таким образом, A, B и C должны быть пропорциональны F ′ x (x 0 , y 0 , z 0 ), F ′ y (x 0 , y 0 , z 0 ), F ′ z (x 0 , y 0 , z 0 ), и, следовательно, уравнение касательной плоскости окончательно может быть написано в виде, y, z)(X − x) + F ′ y (x, y, z)(Y − y)+ + F ′ z (x, y, z)(Z − z) = 0, (40) Гл. V. Функции нескольких переменных [160 где X, Y , Z — текущие координаты касательной плоскости, а x, y, z — координаты точки касания M Нормаль к касательной плоскости, проходящей через точку касания, называется нормалью к поверхности. Ее направляющие косинусы пропорциональны, как мы сейчас видели, частным производными уравнение ее, следовательно, будет − x F ′ x (x, y, z) = Y − y F ′ y (x, y, z) = Z − z F ′ z (x, y, Если поверхность задана уравнением в явной форме z = f (x, то уравнение (37) будет иметь вид (x, y, z) = f (x, y) − z = и, следовательно, y, z) = f ′ x (x, y), F ′ y (x, y, z) = f ′ y (x, y), F ′ z (x, y, z) = Обозначая, как это обыкновенно делается, частные производные f ′ x (x, y) и f ′ y (x, y), буквами p и q, получим уравнение касательной плоскости p(X − x) + q(Y − y) − (Z − z) = и нормали к поверхности − x p |