Курс высшей математики. Том 1 (Смирнов В.И.). В. И. Смирнов Допущено Научнометодическим советом по математике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебника для студентов механикоматематических и физикоматематических факультетов у
 Скачать 3.3 Mb.
|
|
463 Выберем за ξ любое число, лежащее внутри (−1, 1), но по абсолютному значению большее |a| и |b|. При всяком x в промежутке (a, b) имеем n x n | < |a итак как ряд a 0 + a 1 ξ + a 2 ξ 2 + . . . + a n ξ n + . . сходится абсолютно и члены его не зависят от x, то по признаку Вейерштрасса ряд (67) сходится равномерно в промежутке (a, Допустим теперь, что ряд (67) сходится иприте. что ряд a 0 + a 1 + a 2 + . . . + a n + . . сходится. Полагая v n (x) = x мы можем применить кряду) признак Абеля, который покажет, что ряд (67) будет равномерно сходиться во всем промежутке (a, 1), где a любое число, большее Случай, когда ряд (67) сходится при x = −1, приводится к предыдущему, если заменить x на (Обозначим через f (x) сумму ряда (67). Она существует, конечно, лишь при тех значениях x, при которых ряд сходится. Пусть R — радиус сходимости ряда. Принимая во внимание равномерную сходимость ряда во всяком промежутке (a, b), для которого < a < b < и свойство 1) из [146], можем утверждать, что сумма ряда f (x) есть непрерывная функция во всяком из указанных промежутков (a, b). Иначе говорят, что f (x) непрерывна внутри промежутка (−R, +R). Дальше мы увидим, что эта функция имеет сколько угодно производных внутри промежутка (−R, +R). Если ряд (67) сходится и при x = R, тов силу доказанной равномерной сходимости во всяком промежутке (a, R), где a > −R, f(x), будет непрерывной функцией в этом промежутке, ив частности, f (R) будет пределом f (x) при стремлении x к R слева [35]: f (R) = lim x→R−0 f (Аналогично при сходимости ряда для x = Выше мы видели, что разложение бинома Ньютона [131] (1 + x) m = 1 + m 1! x + m(m − 1) 2! x 2 + . . . Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям имеет радиус сходимости R = 1 ив некоторых случаях сходится при x = ±1. В силу только что доказанного можно утверждать, что если, например, ряд сходится при x = 1, то его сумма при этом равна lim x→1−0 (1 + x) m = 2 m 150. Дифференцирование и интегрирование степенного ря- да. Пусть R — радиус сходимости ряда a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + . . . + a n x n + . . Интегрируя его почленно от 0 дои дифференцируя его, мы получим два других степенных ряда a 0 x + a 1 2 x 2 + . . . + a n n + 1 x n+1 + . . . (73) a 1 + 2a 2 x + 3a 3 x 2 + . . . + na n x n−1 + . . Покажем, что они имеют тот же радиус сходимости R. Для этого надо показать, что они сходятся, если |x| < R, и расходятся, если |x| > По доказанному, ряд (72) сходится равномерно во всяком промежутке, где 0 < R 1 < R, ив силу свойства 2) из [146] его можно в этом промежутке интегрировать почленно от 0 доте. можно утверждать, что ряд (73) сходится при любом x, для которого |x| < R, и что при этом сумма ряда (73) равна x Z 0 f (где f (x) — сумма ряда (72). Покажем теперь, что и ряд (74) сходится, если |x| < R. Возьмем такое x, выберем какое-нибудь число ξ, лежащее между |x| и R, те и положим q = | x| ξ < Для членов ряда (74) получаем оценку n x n−1 | = na n ξ n x n−1 ξ n−1 · 1 ξ , 150] § 14. Дополнительные сведения из теории рядов 465 и, в силу предыдущего n x n−1 | 6 nq n−1 1 ξ |a Применяя кряду признак Даламбера, нетрудно показать, что он сходится при 0 < q < 1 и, следовательно [119], nq n−1 → 0 при n → а потому, при всех достаточно больших n: |na n x n−1 | < |a Нов силу (75), ряд Σa n ξ n сходится абсолютно, а потому и ряд (сходится абсолютно при взятом значении x. Итак, оба ряда (73) и (сходятся, если |x| < R, те. при почленном интегрировании и дифференцировании степенного ряда его радиус сходимости не может уменьшиться. Но отсюда непосредственно следует, что он не может и увеличиться. Действительно, если бы, например, радиус сходимости ряда (73) был причем R ′ > R, то при дифференцировании ряда (73) мы получили бы ряди его радиус сходимости должен быть не меньше R ′ , а по условию он равен R, причем R < R ′ . Итак, ряды (73) и (74) имеют тот же радиус сходимости, что и ряд (72). Дифференцируем ряд (74) еще раз, получим, в силу доказанного выше, степенной ряд+ 3 · 2a 3 x + 4 · 3a 4 x 2 + . . . + n(n − 1)a n x n−2 + . . стем же радиусом сходимости R и т. д. Тоже будем иметь и при повторном почленном интегрировании ряда (73) от 0 до x. Все полученные от почленного дифференцирования и от почленного интегрирования от до x ряды равномерно сходятся во всяком промежутке (a, b), удовлетворяющем условию (70). Вспоминая свойства 1), 2) и 3) из [146], можем сформулировать следующий результат. Сумма степенного ряда a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + . . . + a n x n + . . . радиус сходимости которого есть R, есть непрерывная внутри промежутка, те. при −R < x + R, функция, имеющая внутри этого промежутка производные всех порядков. Эти производные могут быть получены почленным дифференцированием ряда (77). Последовательное почленное интегрирование от 0 допри также Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям может производиться почленным интегрированием ряда (77). Почленное дифференцирование и интегрирование степенного ряда не меняют его радиуса сходимости. Отметим, что промежуток (−R, +R) может быть и открытым промежутком, те. все сказанное справедливо и для того случая, когда радиус сходимости ряда (77) равен бесконечности. Полагая f (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + . . . + a n x n + . . . мы получаем, таким образом) = a 1 + 2a 2 x + . . . + na n x n−1 + . . . , f ′′ (x) = 2a 2 + 6a 3 x + . . . + n(n − 1)a n x n−2 + . . . , f (n) (x) = n!a n + (n + 1)n . . . 3 · 2a n+1 x + . . . откуда следует при x = 0, a 0 = f (0), a 1 = f ′ (0) 1! , a 2 = f ′′ (0) 2! , . . . , a Подставив эти выражения для a 0 , a 1 , a 2 , . . . , a в (78), получим f (x) = f (0) + xf ′ (0) 1! + x 2 f ′′ (0) 2! + . . . + x n f (n) (0) n! + . . . (−R < x < +те. степенной ряд совпадает с разложением своей суммы по формуле Маклорена. Изложенная теория степенных рядов распространяется без труда на степенные ряды вида a 0 + a 1 (x − a) + a 2 (x − a) 2 + . . . + a n (x − a) n + . . Везде роль x будет играть разность (x−a). Радиус сходимости R ряда) определяется из того условия, что ряд сходится при |x − a| < R и расходится при |x − a| > R. Если обозначить через f(x) сумму ряда (в промежутке < x − a < то для коэффициентов a получаем выражение a 0 = f (a), a 1 = f ′ (a) 1! , . . . , a n = f (n) (a) n! , . . . , 150] § 14. Дополнительные сведения из теории рядов 467 т. е. ряд (79) в промежутке (80) совпадает с разложением своей суммы вряд Тейлора. Мы вернемся еще к теории степенных рядов в третьем томе при изложении теории функций комплексной переменной. В качестве примера предлагается вывести из теории степенных рядов разложения функций log(1 + x), arctg x, arcsinx, заметив, что log(1 + x) = x Z 0 dx 1 + x , arctg x = x Z 0 dx 1 + x 2 , arcsinx = x Z 0 dx √ 1 − и исследовать область применимости полученных разложений. ГЛАВА V ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 15. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ФУНКЦИИ. Основные понятия. В § 6 главы II, посвященном функциям двух переменных, мы начали с изложения основных понятий, касающихся таких функций. Сейчас мы будем говорить о функциях многих переменных и, кроме того, более подробно остановимся на понятии предела. Функцию f (x, y) мы считаем определенной или на всей плоскости или в некоторой области. Таким образом, всякой точке (x, из этой области соответствует определенное значение f (x, y). Если рассматриваются только внутренние точки области, то такая область называется открытой. Если к области причисляется ее контур, то область называется замкнутой. Аналогичным образом, если ввести прямолинейную, прямоугольную систему координат OX, OY , OZ в пространстве, то, вместо тройки чисел (x, y, z) мы можем говорить о точке M пространства с координатами (x, y, z). Будем считать, что функция f (x, y, определена во всем пространстве или в некоторой области пространства, которая может быть открытой или замкнутой. В наиболее простых случаях границами области (их может быть и несколь- 151] § 15. Производные и дифференциалы функции 469 ко) будут некоторые поверхности. Так, например, неравенства a 1 6 x 6 a 2 , b 1 6 y 6 b 2 , c 1 6 z 6 определяют замкнутый прямоугольный параллелепипед, ребра которого параллельны координатным осям. Неравенства a 1 < x < a 2 , b 1 < y < b 2 , c 1 < z < определяют открытый параллелепипед. Неравенство − a) 2 + (y − b) 2 + (z − c) 2 определяет замкнутую сферу с центром (a, b, c) и радиусом r. Если исключить знак равенства и оставить только знак <, то получится открытая сфера. Понятие предела и непрерывности для функции трех переменных определяют совершенно также, как и [67] для двух переменных. Для функций f (x 1 , x 2 , . . . , x n ) многих переменных при n > уже теряется геометрическая наглядность пространства, однако ив этом случае часто сохраняют геометрическую терминологию. Последовательность вещественных чисел (x 1 , x 2 , . . . , x n ) называют точкой. Множество всех точек образуют мерное пространство. Области такого пространства определяются неравенствами. Так, например, неравенства c 1 6 x 1 6 d 1 , c 2 6 x 2 6 d 2 , . . . , c n 6 x n 6 d определяют мерный параллелепипед или, как иногда говорят, n- мерный промежуток. Неравенство n X k=1 (x k − a k ) 2 определяет мерный шар. Окрестностью точки (a 1 , a 2 , . . . , a называется множество точек, определенных последним неравенством при некотором выборе r или неравенствами |x k − a k | 6 ρ (k = 1, 2, . . . , n), где ρ — некоторое положительное число Гл. V. Функции нескольких переменных [152 Если функция f (x 1 , x 2 , . . . , x n ) определена в окрестности точки, то говорят, что f (x 1 , x 2 , . . . , x n ) стремится к пределу A при стремлении точки M (x 1 , x 2 , . . . , x n ) к точке, a 2 , . . . , a n ), и пишут lim x k →a k f (x 1 , x 2 , . . . , x n ) = A или lim M→M 0 f (x 1 , x 2 , . . . , x n ) = если для любого заданного положительного числа ε существует такое положительное η, что |A − f(x 1 , x 2 , . . . , x n )| < ε, если только |a k − x k | < η при k = 1, 2, . . . , n, причем считается, что точка M (x 1 , x 2 , . . . , x n ) не совпадает с M 0 (a 1 , a 2 , . . . , a n ). Если f (x 1 , x 2 , . . . , x n ) определена ив точке M 0 (a 1 , a 2 , . . . , a n ), то непрерывность в этой точке определяется равенством [ср. 67]: lim x k →a k f (x 1 , x 2 , . . . , x n ) = f (a 1 , a 2 , . . . , a Справедливы указанные в [67] свойства функции, непрерывной в замкнутой области. Как в случае функции одного переменного [34], справедливы утверждения о непрерывности суммы, произведения и частного непрерывных функций. Последнее — в том случае, когда знаменатель отличен от нуля в точке (a 1 , a 2 , . . . , a n ). 152. О предельно переходе. Остановимся более подробно на понятии предела, ограничиваясь случаем функции двух переменных. Если существует lim x→a y→b f (x, y) = то будем говорить, что существует предел по обеим переменным. Как мы знаем [67], это значим, что f (x, y) стремится к пределу A при любом законе стремления точки M (x, y) кВ частности lim x→a f (x, b) = и lim y→b f (a, y) = В первом случае M (x, y) стремится к M 0 (a, b) по прямой, параллельной оси OX, а во втором случае — по прямой, параллельной оси OY . Отметим, что из существования пределов (2) и их равенства еще не вытекает ∗ Все переменные x стремятся к своим значениям a независимо друг от друга 152] § 15. Производные и дифференциалы функции 471 существование предела (1). В качестве примера рассмотрим функцию f (x, y) = xy x 2 + и положим a = 0 и b = 0. Мы имеем lim x→0 f (x, 0) = lim x→0 x · 0 x 2 + 0 2 = lim x→0 0 = и lim y→0 f (0, y) = а предел (1) в этом случае не существует. Действительно, полагая y x = tg α, можем переписать нашу функцию в виде f (x, y) = xy x 2 + y 2 = tg α 1 + tg 2 α = sin α cos Если точка M (x, y) стремится к M (0, 0) по прямой, проходящей через начало и образующей угол с осью OX, то f (x, y), выражаемая формулой, остается постоянной, и ее величина зависит от выбора откуда и следует, что предел (1) не существует в рассматриваемом примере. Отметим, что формула (3) не определяет функцию в самой точке (0, Кроме предельного перехода (1), можно рассматривать еще повторные пределы, соответствующие предельному переходу сначала по x при постоянном y, отличном от b, а затем поили наоборот x→a lim y→b f (x, или lim y→b h lim x→a f (x, Может оказаться, что оба повторных предела существуют, но различны. Так, например, для функции f (x, y) = x 2 − y 2 + x 3 + y 3 x 2 + мы имеем, как нетрудно проверить x→0 lim y→0 f (x, y) = 1, lim y→0 h lim x→0 f (x, y) i = Но имеет место Т е орем а. Если существует предел по обеим переменными при всяком x, достаточно близком к a и отличном от a, существует предел lim y→b f (x, y) = ϕ(x), (5) Гл. V. Функции нескольких переменных [152 то существует первый повторный предел (4) ион равен A, те Из существования предела (1) следует [67], что для любого заданного положительного ε существует такое положительное η, что − f(x, y)| < ε при |x − a| < η и |y − b| < причем (x, y) не совпадает с (a, b). Фиксируем x, отличное от a, так, чтобы иметь |x − a| < η. Принимая во внимание (5) и переходя в неравенстве) к пределу по y, получим − ϕ(x)| 6 ε при |x − a| < η и x 6= откуда, ввиду произвольности ε, следует равенство Замечание. Совершенно также, если мы предположим, что существует предел (1) и что при всяком y, достаточно близком к b и отличном от b, существует предел lim x→a f (x, y) = то существует второй повторный предел (4) ион равен A, те Если предел (1) существует и равен f (a, b), те, то функция) непрерывна в точке (a, b) или, как говорят, непрерывна по обеим переменным в точке (a, b). При этом, в силу (2), lim x→a f (x, b) = f (a, b), lim y→b f (a, y) = f (a, те. функция непрерывна по каждой переменной в отдельности в точке, о чем мы говорили и раньше [67]. Наоборот, из непрерывности по каждой переменной еще не вытекает непрерывности по обеим переменным. Действительно, определим функцию формулой (3) вне начала координат и положим f (0, 0) = 0. Как мы упоминали выше, мы имеем при этом lim x→0 f (x, 0) = и lim y→0 f (0, y) = те. функция непрерывна по каждой переменной в точке (0, 0). Но она не является непрерывной по обеим переменным, ибо, как мы видели 153] § 15. Производные и дифференциалы функции 473 не существует определенного предела f (x, y) при стремлении M (x, y) к, Если f (x, y) имеет в некоторой области, содержащей точку (x, внутри себя, частные производные, то, как мы показали [68], имеет место формула f (x+∆x, y+∆y)−f(x, y) = f ′ x (x + θ∆x, y + ∆y)∆x + f ′ y (x, y + θ 1 ∆y)∆y (0 < и Положим, что частные производные ограничены в упомянутой области, т. е. по абсолютной величине не превышают некоторого числа M . При этом написанная формула дает + ∆x, y + ∆y) − f(x, y)| 6 M(|∆x| + и правая часть этого неравенства стремится к нулю при ∆x → 0 и ∆y → 0, откуда следует lim ∆x→0 ∆y→0 f (x + ∆x, y + ∆y) = f (x, те. если f (x, y) имеет внутри некоторой области ограниченные частные производные, то она непрерывна внутри этой области. Функция (3) при дополнительном соотношении f (0, 0) = 0 равна нулю на всей оси OX и на всей оси OY ив точке M 0 (0, 0) она имеет, очевидно, частные производные, равные нулю. В остальных точках она также имеет частные производные, y) = y 3 − x 2 y (x 2 + y 2 ) 2 , f ′ y (x, y) = x 3 − xy 2 (x 2 + те. указанная выше функция имеет частные производные на всей плоскости. Все же она, как мы видели, не обладает непрерывностью в точке, 0). Это объясняется тем, что частные производные могут принимать сколь угодно больше по абсолютной величине значения при приближении точки (x, y) к началу координат. Частные производные и полный дифференциал первого порядка. В [68] мы ввели понятие о частных производных и полном дифференциале функции двух переменных. Эти понятия могут быть распространены и на случай функции любого числа Гл. V. Функции нескольких переменных [153 переменных. Для примера рассмотрим функцию четырех переменных, Частной производной от этой функции по x называется предел lim h→±0 f (x + h, y, z, t) − f(x, y, z, если он существует, и для обозначения это частной производной употребляют символы f ′ x (x, y, z, или (x, y, z, t) ∂x , или ∂w ∂x Аналогично определяются частные производные и по другим пере- менным. Полным дифференциалом функции называется сумма ее частных дифференциалов = ∂w ∂x dx + ∂w ∂y dy + ∂w ∂z dz + ∂w ∂t где dx, dy, dz, dt — дифференциалы независимых переменных (произвольные величины, независящие от x, y, z, Дифференциал есть главная часть приращения функции = f (x + dx, y + dy, z + dz, t + dt) − f(x, y, z, а именно (ср. [68]): ∆w = dw + ε 1 dx + ε 2 dy + ε 3 dz + где ε 1 , ε 2 , ε 3 , стремятся к нулю, если dx, dy, dz, dt стремятся к нулю, причем предполагается, что функция w имеет непрерывные частные производные внутри некоторой области, содержащей точку (x, y, z, t) внутри себя. |